精品解析：天津市武清区杨村第一中学2025-2026学年高二下学期7月统练数学试题

天津市武清区杨村第一中学2025-2026学年高二下学期7月统练数学试题 第I卷（选择题 共45分） 一、选择题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，所以， 又，所以. 2. 设，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，，时满足，但不满足且. 当且时，可得， 因此“”是“且”是必要不充分条件. 3. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当时，由图知函数减函数，则导函数，排除A，B； 又因当时，的图象趋势依次为增、减、增，则的值应依次为正、负、正，故D项不符合，C项符合． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 记两个变量的样本相关系数为，若越接近0，线性相关程度越强 B. 在回归分析中，为的模型比为的模型拟合的效果更好 C. 随机变量X，Y，若，且，则 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过 【答案】D 【解析】 【详解】相关系数越接近于1，线性相关性越强，越接近0，线性相关性越弱，故A错误； 决定系数越接近1，模型拟合的效果越好，，故的效果更好， 故B错误； ，解得，故C错误； 独立性检验，在下拒绝原假设，故与有关联， 故此推断犯错误的概率不超过，故D正确． 5. ，则（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二项式的通项公式得出；再利用赋值法得出，进而可解答. 【详解】由可得：， 则. 令， 由可得：. 所以. 6. 已知，若不等式能成立，则实数的最小值是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用计算的取值范围，能成立，即转化为. 【详解】，， 所以，所以， ，所以能成立， 令，所以， 所以当时，有最小值0， 所以，在上有最小值0， 能成立，即， 所以实数的最小值是0. 7. 某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．箱中有2道代数题和2道几何题，箱中有3道代数题和1道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中抽取2道题作答．若甲同学选择箱，答题结束后工作人员失误将甲抽取的2道题目放回了箱，接着乙同学选择从箱抽取题目，则乙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出相关事件，并求出相关事件的概率，利用全概率公式即可求得答案. 【详解】设事件为“乙从箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”， 事件为“甲从箱中取出2道代数题”， 事件为“甲从箱中取出1道代数题和1道几何题”， 事件为“甲从箱中取出2道几何题”， 则，，. 当发生时，箱中有5道代数题和1道几何题，； 当发生时，箱中有4道代数题和2道几何题，； 当发生时，箱中有3道代数题和3道几何题，. 由全概率公式可得 . 8. 已知是定义在上的连续奇函数，是其导函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. [0，2] D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性和根据函数性质求解不等式. 【详解】已知 时，，整理得， 设 ， ， 由条件得，当 时，，即 在 单调递减。 时， ， 当时，，因为，所以 当<0，因为，所以 在中，令得 所以时, 因为 是上的连续奇函数，则，且 所以时, 解不等式 ,得 情况 1： 时，，无交集，无解； 情况 2： 当，，所以 综上所述，不等式的解集为. 9. 将0，1，2，3，4，5，6，7，8，9全部填入如下图所示的方格中，每个方格填写1个数字，则仅有前两列数字之和为9的填法有（ ） A. 15360种 B. 30720种 C. 21120种 D. 42240种 【答案】B 【解析】 【分析】先找出所有数字之和为9的情况填写前两列，再写出后三列符合题意的所有情况再逐一排列. 【详解】数字之和为9的有，，，，，共种，则前两列共有种， 假设前两列放的是，， 则后三列有，，，，，，，共八种情况， 先从这八种情况中选择一种，再将其放入后三列中，并将每一种进行排序，则后三列共有种， 则仅有前两列数字之和为9的填法有种. 第II卷（非选择题 共105分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 10. 已知随机变量，则实数________________． 【答案】4 【解析】 【详解】正态分布的图象关于直线对称，由题知，， 由可知，和关于对称， 则，解得． 11. 已知的二项展开式中常数项为30，则实数的值为________________． 【答案】 【解析】 【详解】展开式的通项， 令，解得， 则常数项为，解得（负值舍去）. 12. 对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其经验回归方程为，且，则相应于点的残差为________________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得其经验回归方程，再根据残差的定义即可求解． 【详解】由题可知，， 所以，则， 当时，， 所以相应于点的残差为． 13. 若函数的图象在点处的切线恰好与函数的图象切于点，则________________． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出导函数进而得出切线方程，再利用切线相同列式计算求解. 【详解】，则过点的切线方程为， 整理得①， ，则过点的切线方程为， 整理得②， 因为①②都是直线的方程，且①在轴上的截距为，②在轴上的截距为， 所以，即. 14. 天津海河游船公司的调度员，正在模拟游船班次准点情况．已知：第一班游船准点到达码头的概率为0.8；若前一班游船准点，则下一班游船准点的概率为0.5；若前一班游船晚点，则下一班游船准点的概率为0.1．若已知第二班游船准点到达码头，则第一班游船准点到达码头的概率为______________；若调度员做5组模拟训练，每组连续安排两班游船，两班都准点记为“一趟顺行”，每组训练结果相互独立，设这5组训练中“一趟顺行”的次数为X，则期望______________． 【答案】 ①. ##0.42 ②. 2 【解析】 【分析】第一空：先根据已知条件，结合条件概率公式求出，再利用条件概率求解即可； 第二空：易判断变量服从二项分布，利用二项分布的期望公式求解即可. 【详解】第一空：设事件表示第一班游船准点到达码头，事件表示第二班游船准点到达码头， 则，，，， 所以，， 所以，因此； 第二空：由题可知，一组模拟训练中“一趟顺行”，即两班游船都准点，其概率为， 由调度员做5组模拟训练，每组训练结果相互独立，则， 所以. 15. 已知函数．若，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性和最小值，根据不等式恒成立建立不等式，即可求最值 ，即可求最值. 【详解】， 时，，得或（舍） 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值，， 由条件可知，即，则， 当时，，得或（舍） 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值，， 由条件可知，即， 则，所以， 综上可知，，所以的最小值为. 三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 设函数在及时取得极值． （1）求出a，b的值； （2）若当时，关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)通过极值点的定义对函数求导来求解. (2)根据函数单调性判断函数极值来求解取值范围. 【小问1详解】 ， 因为在和取极值，所以是的两个根， 韦达定理：， 解得． 【小问2详解】 由，得， ， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增， ， 因此， 解得. 17. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有两道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一道题目，则面试通过，结束答题；否则继续答第二道题目，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对两道题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． （1）求甲通过面试的概率； （2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为X，求X的分布列与期望． 【答案】（1） （2） 2 3 4 ． 【解析】 【小问1详解】 设事件为“甲通过面试”，则， 故甲通过面试的概率为. 【小问2详解】 随机变量的可能取值为2，3，4． ， 所以随机变量的分布列为 2 3 4 所以随机变量的期望为． 18. 某新能源汽车工厂生产两种动力电池，现有2个高能量密度的三元锂电池，和4个安全稳定的磷酸铁锂电池，这些电池外观尺寸完全相同，混放在一个仓库中． （1）质检员从中随机抽取3个电池进行循环寿命测试，求至少抽到1个三元锂电池的概率； （2）自动化检测线逐个对电池进行检测，检测过的电池不再放回，直到三元锂电池或磷酸铁锂电池被全部检测完毕时停止．记停止时检测的电池总数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2） 2 3 4 5 . 【解析】 【分析】（1）利用对立事件的概率公式求解即可； （2）确定的所有可能取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，继而求得数学期望. 【小问1详解】 设“至少抽到1个三元锂电池”为事件， 则. 【小问2详解】 由题意知的所有可能取值为2，3，4，5． 解法一：， . 解法二： ， , 所以的分布列为 2 3 4 5 . 19. 已知函数，其中． （1）当时，求在上的最小值； （2）若，求证：； （3）当时，不等式对任意的恒成立，求整数的最大值． 【答案】（1） （2）法一；由已知， 因为函数在都是增函数，所以在上单调递增， 又， 所以存在，有， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以 令，则 所以在上单调递增，即， 综上：当时，， 法二：令， 当，即时，（恒成立）． 当，即时，在时单调递增， ，令， 因为在上都为增函数，且， 所以当，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，所以， 当，即时，在时单调递减， 所以， 令，则， 因为，所以，所以， 所以函数在上单调递增，所以， 综上：当时， （3）1 【解析】 【分析】（1）利用导数求解函数的最小值； （2）先分析导函数的单调性，确定导函数零点的范围，进而判断函数的单调性和最小值； （3）先将题意转化，对于参数分类讨论，结合导数进行分析，最后得到结论； 【小问1详解】 当时，，求导得， 当时，恒成立，所以在单调递增，则 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，不等式， 令，依题意，不等式对任意的恒成立， 当时，，求导得，当时，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ，即当时，恒成立； 当时，显然，而， 因此，即当时，不恒成立， 由（1）知当时，，若，则， ， 只需对任意的恒成立，即， 令函数，求导得， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，， 则当时，对任意的恒成立， 所以的最大整数值为1． 20. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若存在两个极值点，且． （i）求实数的取值范围； （ii）若满足，且，证明：． 【答案】（1） （2）（i） （ii）由（i）知在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，且， 又，不妨设，显然， 又，且， 则，即，所以， 则要证 只需证． 因为存在两个变号零点，所以， 得到， 令，则，又， 所以在上单调递增，在上单调递减，且有， 构造函数， 因为，所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以， 又因为，且在上单调递减， 则，即， 所以， 又因为在上单调递减，所以， 即证． 由上知，所以． 则， 因为， 所以 则 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，列出切线方程； （2）（i）法一：首先求函数的导数，根据函数有两个极值点，转化为函数存在两个变号零点，再结合函数的导数，和零点存在性定理，即可求解；法二：由函数存在两个变号零点，利用参变分离，求的取值范围； （ii）首先根据，再判断另两个零点的关系，可得，将所证明不等式转化为，再构造函数，利用导数分析，即可证明. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，又，故函数在点处切线方程为． 【小问2详解】 （i）因为，恒成立， 令，由题知存在两个极值点，等价于存在两个变号零点. 因为，则 当时，单调递减，此时最多一个零点，不合题意； 当时，令，得， 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 由题意得，解得， 当时，因为， 当时，存在唯一，使得， 令，则， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即，当且仅当时取等号， 则，所以当时，， 则当时，， 所以，当时，存在唯一，使得， 此时，单增，单减，单增． 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述，实数的取值范围为． （法二：存在两个极值点，等价于存在两个变号零点. 即，令，所以在上单调递增，在上单调递减， . 此时，单增，单减， 单增． 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市武清区杨村第一中学2025-2026学年高二下学期7月统练数学试题 第I卷（选择题 共45分） 一、选择题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 记两个变量的样本相关系数为，若越接近0，线性相关程度越强 B. 在回归分析中，为的模型比为的模型拟合的效果更好 C. 随机变量X，Y，若，且，则 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过 5. ，则（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 80 6. 已知，若不等式能成立，则实数的最小值是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 7. 某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．箱中有2道代数题和2道几何题，箱中有3道代数题和1道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中抽取2道题作答．若甲同学选择箱，答题结束后工作人员失误将甲抽取的2道题目放回了箱，接着乙同学选择从箱抽取题目，则乙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的连续奇函数，是其导函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. [0，2] D. 9. 将0，1，2，3，4，5，6，7，8，9全部填入如下图所示的方格中，每个方格填写1个数字，则仅有前两列数字之和为9的填法有（ ） A. 15360种 B. 30720种 C. 21120种 D. 42240种 第II卷（非选择题 共105分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 10. 已知随机变量，则实数________________． 11. 已知的二项展开式中常数项为30，则实数的值为________________． 12. 对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其经验回归方程为，且，则相应于点的残差为________________． 13. 若函数的图象在点处的切线恰好与函数的图象切于点，则________________． 14. 天津海河游船公司的调度员，正在模拟游船班次准点情况．已知：第一班游船准点到达码头的概率为0.8；若前一班游船准点，则下一班游船准点的概率为0.5；若前一班游船晚点，则下一班游船准点的概率为0.1．若已知第二班游船准点到达码头，则第一班游船准点到达码头的概率为______________；若调度员做5组模拟训练，每组连续安排两班游船，两班都准点记为“一趟顺行”，每组训练结果相互独立，设这5组训练中“一趟顺行”的次数为X，则期望______________． 15. 已知函数．若，则的最小值为___________． 三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 设函数在及时取得极值． （1）求出a，b的值； （2）若当时，关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 17. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有两道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一道题目，则面试通过，结束答题；否则继续答第二道题目，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对两道题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． （1）求甲通过面试的概率； （2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为X，求X的分布列与期望． 18. 某新能源汽车工厂生产两种动力电池，现有2个高能量密度的三元锂电池，和4个安全稳定的磷酸铁锂电池，这些电池外观尺寸完全相同，混放在一个仓库中． （1）质检员从中随机抽取3个电池进行循环寿命测试，求至少抽到1个三元锂电池的概率； （2）自动化检测线逐个对电池进行检测，检测过的电池不再放回，直到三元锂电池或磷酸铁锂电池被全部检测完毕时停止．记停止时检测的电池总数为，求的分布列与数学期望． 19. 已知函数，其中． （1）当时，求在上的最小值； （2）若，求证：； （3）当时，不等式对任意的恒成立，求整数的最大值． 20. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若存在两个极值点，且． （i）求实数的取值范围； （ii）若满足，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $