精品解析：天津市蓟州区上仓中学2025-2026学年高二下学期阶段性练习(二)数学试题

上仓中学2025--2026学年度第二学期高二年级数学阶段性练习（二） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 试卷满分120分．考试时间100分钟． 第Ⅰ卷 一、选择题（共10题，每题5分，共50分） 1. 设集合，，则（ ） A. {-1，1，2} B. {1} C. {2} D. {1，2} 2. 已知命题；，则是的（ ） A. 充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 3. 已知命题，总有，则命题p的否定为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 4. 在的展开式中共有7项，则下列叙述中正确的结论个数为（ ） ①二项式系数之和为32；②各项系数之和为0；③二项式系数最大项为第四项；④的系数为15 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 若随机变量X服从二项分布，且，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 随机变量的分布列为 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 2024年汤姆斯杯需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（ ） A. 102种 B. 105种 C. 210种 D. 288种 8. 2023年第5届藏博会在拉萨举行，藏博会上本地核桃油深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示：若线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（    ） 时间 1 2 3 4 5 销售量/万瓶 5.7 4.8 3.8 3.2 2.5 A. 由题中数据可知，变量负相关 B. 当时，残差为0.1 C. 可以预测当时销量约为1.8万瓶 D. 线性回归方程中 9. 下列说法中，正确的个数是（ ） ①若随机变量服从正态分布，且，则； ②可以用相关系数刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强． ③残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高； ④根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验 （），可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05． ⑤决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每题4分 共24分） 11. 不等式的解集为，则_______． 12. 已知，则的最小值是_________________. 13. 曲线在处的切线方程为________. 14. 已知关于x的不等式对一切实数都成立，则满足条件的实数的取值范围为______. 15. 甲、乙两射手每次射击击中目标的概率为和，且各次射击的结果互不影响．则甲射击3次，击中目标次数的数学期望为______；甲、乙两射手各射击2次，至少有1人击中目标的概率为______． 16. 设某学校有甲、乙两个校区和两个食堂，并且住在甲、乙两个校区的学生比例分别为和；在某次调查中发现住在甲校区的学生在食堂吃饭的概率为，而住在乙校区的学生在食堂吃饭的概率为，则任意调查一位同学是在食堂吃饭的概率为________．如果该同学在食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为________．（结果用分数表示） 三、解答题（共4题，共46分） 17. 已知集合集合，集合. （1）若，求和； （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18. 已知函数在处取得极值. （1）求实数、的值； （2）求函数在区间上的最值. 19. “马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表： 不喜爱 喜爱 合计 男性 90 120 女性 25 合计 200 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？ （2）为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题． ①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率； ②设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望． 20. 已知函数，. （1）求的单调区间. （2）若在单调递增，求实数的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上仓中学2025--2026学年度第二学期高二年级数学阶段性练习（二） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 试卷满分120分．考试时间100分钟． 第Ⅰ卷 一、选择题（共10题，每题5分，共50分） 1. 设集合，，则（ ） A. {-1，1，2} B. {1} C. {2} D. {1，2} 【答案】D 【解析】 【详解】集合，，所以. 2. 已知命题；，则是的（ ） A. 充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，求得不等式的解，利用充分条件，必要条件的定义可得结论. 【详解】由，得，解得， 由，得，解得， 所以，反之不成立， 所以是的必要而非充分条件. 故选：B. 3. 已知命题，总有，则命题p的否定为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 【答案】B 【解析】 【详解】因全称量词命题的否定为改变量词，否定结论. 故命题，总有的否定为：，使得. 4. 在的展开式中共有7项，则下列叙述中正确的结论个数为（ ） ①二项式系数之和为32；②各项系数之和为0；③二项式系数最大项为第四项；④的系数为15 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由展开式中各项系数之和，展开式中的二项式系数之和，二项式系数最大项及二项展开式中的通项公式运算求解判断各个选项即可. 【详解】由条件在的展开式中共有7项，可得①二项式系数之和为，①错误； 令，各项系数之和为，②正确； 二项式系数最大项为第四项，③正确； ， 令，解得， 所以展开式中含项的系数为，的系数为15，④正确. 故选：B. 5. 若随机变量X服从二项分布，且，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项分布的概率计算公式解出，再结合均值的线性性质即可求解. 【详解】由题意得， 即，，解得， 则随机变量X服从二项分布，， . 6. 随机变量的分布列为 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分布列性质和数学期望公式可求得的值，由方差的公式可计算得到结果. 【详解】由分布列性质知：，解得：； ，； . 故选：A. 7. 2024年汤姆斯杯需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（ ） A. 102种 B. 105种 C. 210种 D. 288种 【答案】C 【解析】 【分析】先算从8名志愿者中任意选出3名的方法数，再减去甲、乙、丙3人有一人负责语言服务工作的方法数，即可得解. 【详解】先从8名志愿者中任意选出3名， 分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，有种， 其中甲、乙、丙3人有一人负责语言服务工作，有种， 故符合条件的选法共有种. 故选：C 8. 2023年第5届藏博会在拉萨举行，藏博会上本地核桃油深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示：若线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（    ） 时间 1 2 3 4 5 销售量/万瓶 5.7 4.8 3.8 3.2 2.5 A. 由题中数据可知，变量负相关 B. 当时，残差为0.1 C. 可以预测当时销量约为1.8万瓶 D. 线性回归方程中 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，利用表中的数据就化情况分析判断，对于B，利用样本中心点求出线性回归方程，再利用回归方程可求出预测值，进而可求出残差，对于C，利用回归方程可求出预测值，对于D，利用回归方程一定过样本中心点即可求解. 【详解】对于A，从表中的数据看，随的增大而减小，所以变量负相关，所以A正确， 对于B，， 所以，得， 所以， 所以当时，残差为，所以B正确， 对于C，当时，， 所以以预测当时销量约为1.6万瓶，所以C错误， 对于D，由选项B可知，所以D正确. 故选：C 9. 下列说法中，正确的个数是（ ） ①若随机变量服从正态分布，且，则； ②可以用相关系数刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强． ③残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高； ④根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验 （），可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05． ⑤决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】①.正态分布的对称轴为，故, 已知，因此，①错误； ②.相关系数刻画线性相关程度，是越接近，线性相关程度越强； 并非值越大越强，例如的相关程度强于, ②错误; ③.残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明残差波动越小， 回归方程的拟合效果越好，预报精确度越高，③正确; ④.，根据的独立性检验，拒绝 “与独立” 的原假设， 判断与有关联，该推断犯错误的概率不超过,④正确; ⑤.决定系数越接近，模型拟合效果越好,甲模型更接近， 因此甲的拟合效果更好，而非乙,⑤错误; 综上，正确的说法为③④，共个. 10. 若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数，利用导数研究函数在单调性，并计算，可得结果. 【详解】令， 则，令 若时， 若时， 所以可知函数在递减，在递增 所以 由对任意的实数恒成立 所以 故选：A 【点睛】本题考查利用导数解决恒成立问题，关键在于构建函数，通过导数研究函数性质，属基础题. 二、填空题（共6题，每题4分 共24分） 11. 不等式的解集为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据一元二次不等式的解集，确定一元二次方程的根，进而根据韦达定理求解参数的值即可. 【详解】已知不等式的解集为， 可得方程的两个根为，. 根据韦达定理可得：，. 解得：，. 进而求得： 故答案为： 12. 已知，则的最小值是_________________. 【答案】6 【解析】 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值是6. 故答案为：6. 13. 曲线在处的切线方程为________. 【答案】 【解析】 【详解】由题可知， 则，又， 所以切线方程为，即. 14. 已知关于x的不等式对一切实数都成立，则满足条件的实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次项系数是否为0分类：二次项系数为0时，代入成立；二次项系数不为0 时，根据二次函数的性质，可知开口向下，判别式为负，即可得实数的取值范围. 【详解】当时，得，显然成立； 当时，由对一切实数都成立，得， 解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 15. 甲、乙两射手每次射击击中目标的概率为和，且各次射击的结果互不影响．则甲射击3次，击中目标次数的数学期望为______；甲、乙两射手各射击2次，至少有1人击中目标的概率为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】利用二项分布的数学期望公式计算即得第一空；利用对立事件的概率公式，计算求解易得. 【详解】设甲射击3次，击中目标次数为，依题意，,则； 再设甲、乙两射手各射击2次，击中目标次数分别为和,则, 因“至少有1人击中目标”的对立事件为“两人都没有击中目标”，故其概率为. 故答案为：2；. 16. 设某学校有甲、乙两个校区和两个食堂，并且住在甲、乙两个校区的学生比例分别为和；在某次调查中发现住在甲校区的学生在食堂吃饭的概率为，而住在乙校区的学生在食堂吃饭的概率为，则任意调查一位同学是在食堂吃饭的概率为________．如果该同学在食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为________．（结果用分数表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据条件，结合全概率公式，以及条件概率公式，即可求出结果. 【详解】记为事件“该同学住在甲校区”，为事件“该同学在食堂吃饭”， 则，， 故， 如果该同学在食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为， 故答案为：；. 三、解答题（共4题，共46分） 17. 已知集合集合，集合. （1）若，求和； （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先求解出集合和集合，再根据交集和并集的定义进行计算. （2）根据是成立的必要不充分条件得出集合与集合的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【小问1详解】 已知，解不等式： 移项可得，通分得到，即. 此不等式等价于. 解，可得，所以. 已知，当时，. 解不等式，可得，即，所以. 所以. . 【小问2详解】 已知，解不等式，可得，即，所以. 因为是成立的必要不充分条件，所以. 则有（不能同时取等号），解得. 所以实数的取值范围是 18. 已知函数在处取得极值. （1）求实数、的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）， （2）最大值，最小值 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解出、的值，结合函数极值的定义验证即可； （2）利用导数求出函数在区间上的最大值和最小值，即可得出答案. 【小问1详解】 由，得. 又当时，有极值，所以，解得. 所以， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以当时，有极小值，所以，. 【小问2详解】 由（1）知，， 令，得，，令得， 令得或， 、的值随的变化情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知在上的最大值为，最小值为， 19. “马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表： 不喜爱 喜爱 合计 男性 90 120 女性 25 合计 200 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？ （2）为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题． ①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率； ②设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望． 【答案】（1）列联表见解析，性别与对活动的喜爱程度无关． （2）①概率为；②的分布列见解析；数学期望 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，与2.706比较后得到结论； （2）①利用二项分布求概率公式求出概率；②得到的可能取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望. 【小问1详解】 补全的列联表如下： 不喜爱 喜爱 合计 男性 30 90 120 女性 25 55 80 合计 55 145 200 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此我们可以认为成立，即认为对该场活动的喜爱程度与性别无关． 【小问2详解】 ①记“戏迷甲至少正确完成其中3道题”为事件A，则 ． ②的可能取值为， ， ， 的分布列为； X 2 3 4 P 数学期望. 20. 已知函数，. （1）求的单调区间. （2）若在单调递增，求实数的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求导分析单调性，根据导函数的正负判断单调性； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【小问1详解】 ， 令，则，令，则， 故的单调递增区间为，的单调递减区间为 【小问2详解】 函数， 求导得，由在单调递增， 得在上恒成立， 即在上恒成立，因此，， 设，， ，则在上单调递增， 于是，即， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得， 由，得，函数在上单调递减， 则，因此，解得， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $