福建莆田哲理中学2025-2026学年下学期八年级数学期末试卷

**基本信息** 以新能源汽车降价、投壶游戏等现实情境为载体，融合函数、几何、方程等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、运算推理及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题40分|正比例函数、多边形内角和、平行四边形判定等|第8题以新能源汽车降价为情境，考查一元二次方程应用，体现时代性| |填空题|6题24分|二次根式意义、抛物线顶点、菱形性质等|第16题结合弹簧秤胡克定律，联系跨学科知识，考查模型意识| |解答题|9题86分|方程求解、几何证明、函数应用等|23题投壶游戏抛物线建模，21题花店购苗方案设计，25题矩形综合探究，梯度考查创新意识与实践能力|

202学年下学期八年级数学期末试卷 一、选择题（每题4分） 1.下列函数中是正比例函数的是（     ） A. B. C. D. 2.下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A. B. C. D. 3. 十边形的内角和是（     ）度 A.360 B.540 C.640 D.1440 4.若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（     ） A. B.0 C. D.1 5.如图，点A，B，C，D为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象不可能经过（     ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 6.依据图中所标数据，下列四边形一定为平行四边形的是（     ） 7.如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是（     ） A.1 B. C. D.1或 8. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（     ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，相交于点，过点作，，，，记长为，长为 （，），当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（     ） A. B. C. D. 10. 已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是 A. B. C. D. 二、填空题 （每题4分） 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是              12. 抛物线的顶点坐标为              13. 如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离是              14.如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则关于x的不等式的解集是            . 15. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，于点H，连接OH，若，，则                         16.弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的. 胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数. 如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米. 在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为7厘米，那么，当弹簧长度为10.8厘米时，所挂物体的质量为            千克. 三．解答题 17. （8分）计算： 18.（8分）解方程： 19.（8分）如图，、分别垂直对角线于点、. 求证：. 20.（8分） 已知关于x的一元二次方程. （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根； （2）若方程有一根不小于2，求m的取值范围. 21.（8分）南阳是中国月季之乡．某花店计划在南阳购买，两种月季幼苗培育盆栽．已知每株种幼苗单价3元，每株种幼苗单价3.2元，该花店计划购买两种幼苗共40株，其中购买种幼苗的株数不多于种幼苗株数的1.5倍，当分别购买，两种幼苗多少株时，总费用最少？并求出最少总费． 22.（10分）如图，在中，，平分，交于点，是的中线，交于点． （1） 尺规作图：在边上作出点，使得            ；（保留作图痕迹，不写作法） （2） 在 （1） 的条件下，连接，。 若，是菱形． 23.（10分）“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为1个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，． （1）如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点． ①求抛物线的解析式； ②竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围． （2）如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点处到达最高点．若点经过点正上方处，求出点在点正上方的距离（用含的式子表示）． 24.（12分）已知抛物线过点，，且． （1）若，求的值； （2）设点是抛物线的顶点，若，证明：． 25（14分）. 如图，在矩形中，，，分别在，上. （1）若，. ①如图1，求证：； ②如图2，点为延长线上一点，的延长线交于，若，求证：； （2）如图3，若为的中点，．求出的值。（结果用含的式子表示）. 答案 一、选择题（每题4分） 1. 答案：A 解析： 正比例函数形如（）。A项符合；B项为反比例函数；C项为一次函数但不是正比例函数；D项未注明。 2. 答案：C 解析： 最简二次根式需满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式。符合；，，均非最简。 3. 答案：D 解析： 十边形内角和为。 4. 答案：C 解析： 将代入：，，。 5. 答案：D 解析： 一次函数（）图象过定点，且经过二、三、四象限。点D在第一象限，不可能经过。 6. 答案：C 解析： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。C选项中两组对角相等，符合判定定理。 7. 答案：D 解析： 根据对话内容，DeepSeek给出的答案为1或。 8. 答案：D 解析： 2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，月平均降价率为，则。 9. 答案：C 解析： 设，则。又，∴。由面积关系，，结合，可推导出为定值。 10. 答案：D 解析： 抛物线开口向上，对称轴。由，得，即。点A横坐标在对称轴左侧，点B横坐标在对称轴右侧。当时，，且A离对称轴较远，B离对称轴较近，故。 二、填空题（每题4分） 11. 答案： 解析： 在实数范围内有意义，需，解得。 12. 答案： 解析： 抛物线的顶点坐标为。 13. 答案： 解析： ∵C、D分别为OA、OB中点，∴CD为的中位线，。∴（m）。 14. 答案： 解析： 由图象可知，抛物线在直线下方的部分对应的x取值范围为。 15. 答案： 解析： ∵，O为BD中点，在Rt中，，∴。又，菱形对角线互相垂直平分，∴。 16. 答案： 解析： 弹簧原长6厘米。挂0.5千克时伸长1厘米，劲度系数（千克/厘米）。弹簧长10.8厘米时，伸长厘米，所挂质量千克。 三、解答题 17. （8分） 解： 原式 18. （8分） 解： 提取公因式： ∴或 ， 19. （8分） 证明： ∵，，∴。 在和中： （平行四边形ABCD中，，内错角相等） （已证） （平行四边形对边相等） ∴（AAS） ∴ 20. （8分） （1）证明： ∴无论m取何值，原方程总有两个实数根。 （2）解： 解方程得 当时，， 当时，， 若方程有一根不小于2，则且无解；或且，得。 综上，。 21. （8分） 解： 设购买A种幼苗株，则购买B种幼苗株。 由题意：，，， 总费用 ∵随增大而减小，∴当时，取最小值。 此时购买A种幼苗24株，B种幼苗16株。 最少总费用（元） 22. （10分） （1）解： 在AC边上取点F，使（尺规作图：以A为圆心，为半径画弧交AC于F）。 （2）证明： ∵，平分，∴，。 AE为的中线，E为BC中点。 又为AC上一点，，由题意。 可证（SSS），得，。 又，E为BC中点，可得，。 结合，可得四边形ADEF四边相等，∴四边形ADEF是菱形。 23. （10分） （1）①解： ，为顶点，则抛物线。 过点：，∴。 抛物线解析式为。 （1）②解： 壶：，，，则A(20,0)，B(20,5)，C(21,5)。 使点P落在BC上（不含边界），即当时，。 将代入： 将代入： 需满足，即且，得。 （2）解： 最高点为，则抛物线。 由，且点P经过B正上方2dm处，即经过。 代入得：，。 点P在C正上方的距离即当时，。 利用关系式，可得距离为（用含m的式子表示）。 24. （12分） （1）解： 抛物线过点，，且，即。 ∴，。 两式相减得：，，∴。 （2）证明： ∵，在抛物线上， ∴，。 两式相减得： ∵，∴，即。 顶点横坐标。 已知，且（抛物线开口向上，否则与题意不符）， ∴。得证。 25. （14分） （1）①证明： 当时，，矩形ABCD为正方形。 ，，， ∴。 在和中：，，， ∴（ASA），∴。 （1）②证明： 由①知，设，则。 由，在中，可证（HL），∴。 又中，通过勾股定理可证。 （2）解： 设，则，。 ，在中，。 设，则，。 在Rt中，。 ∴ ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $