精品解析：福建省泉州市洛江区2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

2025~2026学年度八年级下学期期末考试 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 函数自变量的取值范围是（ 　 ） A. B. C. 且 D. 2. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料被广泛应用于手机芯片、汽车电池等领域，其理论厚度约．数据0.000000000335用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知中，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 4. 在菱形中，对角线、相交于点O，若，中，则菱形的周长为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 5. 已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是 A. 当AC=BD时，四边形ABCD是矩形 B. 当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形 C. 当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形 D. 当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形 6. 某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 丙班 D. 丁班 7. 在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ） A. 样本的容量是4 B. 样本的中位数是3 C. 样本的众数是3 D. 样本的平均数是3.5 8. 如图为某地区2025年10月和11月的空气质量指数箱线图，值越小，空气质量越好；值在201～300之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（ ）． A. 该地区2025年11月有重度污染天气 B. 该地区2025年11月的值比10月集中 C. 该地区2025年10月值的下四分位数是50 D. 从整体上看，该地区2025年10月的空气质量好于11月 9. 某工程队原计划修路，实际每天比原计划多修，结果提前3天完成．设原计划每天修路，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，，动点，分别在线段，上，且．则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 计算：________． 12. 若点在直线上，则代数式的值为_______． 13. 某超市对员工进行三项测试：电脑、语言、商品知识，并按三项测试得分的5：3：2的比例确定测试总分，已知某员工三项得分分别为80，70，75，则这位超市员工的总分为__． 14. 如图，在四边形中，，点O是对角线的中点，若，则的长为__________ ． 15. 如图，在矩形中，对角线、交于点．延长至点，，，则的大小是_______度． 16. 平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的，两点，规定其坐标“积和”运算为：．若A，B，C，D四个点的“积和”运算满足：，若A，B，C，D为不在坐标轴上的四个不相同的点，则下列关于以A，B，C，D为顶点的四边形的结论： ①四边形ABCD可以是平行四边形； ②四边形ABCD可以是菱形； ③四边形ABCD可以是矩形； ④四边形ABCD不可能是正方形； 其中正确的____________（写出所有正确结论的序号）． 三、解答题（本题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置解答） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，且为满足的整数． 19. 如图，在中，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点．求证：四边形是平行四边形． 20. 如图，，点C是射线上一点． （1）尺规作图：以为对角线构造菱形，且点B在射线上（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求菱形的面积． 21. 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集．如图，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下列两个统计图． （1）根据统计图，直接写出，，，的值； 选手 平均数 方差 最小值、四分位数和最大值 最小值 下四位数 中位数 上四位数 最大值 A 6 10 B 8 8 9 10 10 ； ； ； ； （2）箱线图中，选手A中间的“箱子”被分成了两部分，其中“上半截箱子”比较短，这说明什么？ （3）根据（1）中表格信息，你认为应选拔哪个选手去参加青少年射击比赛，请你采用适当的统计数据说明理由． 22. 某校需要购买A、B两种书共60本．已知A种书的单价与B种书的单价之比为，用420元购买的A种书比用420元购买的B种书多2本． （1）两种书的单价分别为多少元？ （2）若学校购买A种书的数量不多于B种书的数量的一半，问如何购买费用最低，最低费用为多少元？ 23. 【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 30 60 增加的电量y（%） 0 10 30 60 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示电量e（%） 100 60 50 30 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式； 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 24. 在平面直角坐标系中，已知点和点． （1）求直线的解析式； （2）如图，点在直线上，点在线段上，，，求点的坐标； （3）若点在轴上，将沿直线翻折，点的对应点刚好落在轴上的点，求点的坐标． 25. 已知矩形，，．将矩形绕点顺时针旋转（），得到矩形． （1）如图1，当点落在边上时，求证：平分； （2）连接，点为的中点． ①如图2，当点落在的延长线上时，求的长； ②如图3，连接．求在旋转过程中，线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度八年级下学期期末考试 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 函数自变量的取值范围是（ 　 ） A. B. C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ ∴ ∴． 2. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料被广泛应用于手机芯片、汽车电池等领域，其理论厚度约．数据0.000000000335用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为  的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成  时，小数点移动了多少位）． 【详解】解：， 故选：B． 3. 已知中，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形对角相等，求出，对边平行，得到，进而可求出． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4. 在菱形中，对角线、相交于点O，若，中，则菱形的周长为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键． 根据菱形对角线互相垂直平分得到，由此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵在菱形中，，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴菱形的边长为5， ∴菱形的周长为． 故选：A． 5. 已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是 A. 当AC=BD时，四边形ABCD是矩形 B. 当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形 C. 当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形 D. 当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形 【答案】C 【解析】 【详解】 A、对角线AC与BD互相垂直，AC=BD时，无法得出四边形ABCD是矩形，故此选项错误． B、当AB=AD，CB=CD时，无法得到四边形ABCD是菱形，故此选项错误． C、当两条对角线AC与BD互相垂直，AB=AD=BC时， ∴BO=DO，AO=CO， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵两条对角线AC与BD互相垂直， ∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确． D、当AC=BD，AD=AB时，无法得到四边形ABCD是正方形，故此选项错误． 故选：C． 6. 某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 丙班 D. 丁班 【答案】C 【解析】 【分析】设反比例函数表达式为，表示出甲、乙、丙、丁，过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，然后结合图象判断即可． 【详解】解：∵甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴设反比例函数表达式为， 则甲、乙、丙、丁， 过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示： 由图可知， ∴甲、、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知合格人数， ∴，即甲、丁两个班级合格人数相同； ，即乙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数少； ，即丙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数多； 综上所述：乙班级合格人数甲班级合格人数丁班级合格人数丙班级合格人数， ∴这四个班合格人数最多的是丙． 7. 在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ） A. 样本的容量是4 B. 样本的中位数是3 C. 样本的众数是3 D. 样本的平均数是3.5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据方差的计算公式得出样本数据，从而可得样本的容量，再根据中位数与众数的定义、平均数的计算公式逐项判断即可得． 【详解】由方差的计算公式得：这组样本数据为 则样本的容量是4，选项A正确 样本的中位数是，选项B正确 样本的众数是3，选项C正确 样本的平均数是，选项D错误 故选：D． 【点睛】本题考查了中位数与众数的定义、平均数与方差的计算公式等知识点，依据方差的计算公式正确得出样本数据是解题关键． 8. 如图为某地区2025年10月和11月的空气质量指数箱线图，值越小，空气质量越好；值在201～300之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（ ）． A. 该地区2025年11月有重度污染天气 B. 该地区2025年11月的值比10月集中 C. 该地区2025年10月值的下四分位数是50 D. 从整体上看，该地区2025年10月的空气质量好于11月 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查统计图表的认识，读懂统计图表是解题基础．属于基础题．根据统计图中数据，结合各选项逐一判断即可得． 【详解】解：A、该地区2025年11月值超过，有重度污染天气，故A正确，不符合题意； B、该地区2025年10月的值比11月集中，故B错误，符合题意； C、该地区2025年10月值的下四分位数是50，故C正确，不符合题意； D、从整体上看，该地区2025年10月的空气质量好于11月，故D正确，不符合题意． 故选：B． 9. 某工程队原计划修路，实际每天比原计划多修，结果提前3天完成．设原计划每天修路，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用． 本题依据“工作时间工作总量工作效率”，结合原计划完成天数与实际完成天数的差值为3天来列方程． 【详解】解：∵原计划每天修路，总路程为， ∴原计划完成工程的天数为， ∵实际每天比原计划多修， ∴实际每天修路，实际完成工程的天数为， ∵结果提前3天完成，即原计划天数实际天数3， ∴可列方程为， 故选：B． 10. 如图，在菱形中，，，动点，分别在线段，上，且．则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，可证明，即得出，．结合题意可证为等边三角形，得出，即说明当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，此时，结合三线合一和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，如图所示： ∵在菱形中，， ∴，， ∴和都为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小． 由垂线段最短可知当时，最小， ∵为等边三角形， ∴当时，， ∴此时， ∴的最小值为． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 若点在直线上，则代数式的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】将点代入直线解析式，得到与的关系式，对所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：点在直线上， ， ∴， ∴． 13. 某超市对员工进行三项测试：电脑、语言、商品知识，并按三项测试得分的5：3：2的比例确定测试总分，已知某员工三项得分分别为80，70，75，则这位超市员工的总分为__． 【答案】76 【解析】 【分析】运用加权平均数的计算公式求解． 【详解】解：这位员工得分==76． 故答案为76．． 【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 14. 如图，在四边形中，，点O是对角线的中点，若，则的长为__________ ． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 在和，由斜边上中线等于斜边的一半得到，即可求解． 【详解】解：∵，点O是对角线的中点， ∴， 故答案为：3． 15. 如图，在矩形中，对角线、交于点．延长至点，，，则的大小是_______度． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明四边形是平行四边形，得到，求出，再根据矩形的性质证明，可得，即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ． 16. 平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的，两点，规定其坐标“积和”运算为：．若A，B，C，D四个点的“积和”运算满足：，若A，B，C，D为不在坐标轴上的四个不相同的点，则下列关于以A，B，C，D为顶点的四边形的结论： ①四边形ABCD可以是平行四边形； ②四边形ABCD可以是菱形； ③四边形ABCD可以是矩形； ④四边形ABCD不可能是正方形； 其中正确的____________（写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据新运算可得，即可得到点A，B，C，D在同一反比例函数的图象上，根据反比例函数图象上点的坐特征即可判断以A，B，C，D为顶点的四边形可以是平行四边形或矩形，不可能是正方形，也不可能是菱形，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴点A，B，C，D在同一反比例函数的图象上， ∴以A，B，C，D为顶点的四边形可以是平行四边形或矩形，不可能是正方形，也不可能是菱形， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形，矩形，菱形的判定与性质，解题的关键是确定点A，B，C，D在同一反比例函数的图象上． 三、解答题（本题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置解答） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，且为满足的整数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，除法变乘法，利用乘法分配律进行计算，化简后再代入一个使分式有意义的值计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵且， ∴且， ∵且是整数， ∴， ∴当时，原式． 19. 如图，在中，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵点，点分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】先根据中点的性质推出是的中位线，再根据中位线的性质结合线段的等量代换，即可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行证明． 【详解】略 20. 如图，，点C是射线上一点． （1）尺规作图：以为对角线构造菱形，且点B在射线上（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线，交于点B，交于点O，在垂直平分线上取点D，使得，连接，，，则四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，，，由得到，根据勾股定理有，因此，求得，从而，根据菱形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图，菱形为所求． ∵是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解∶∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵在中，， 即， ∴， ∴， ∴． 21. 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集．如图，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下列两个统计图． （1）根据统计图，直接写出，，，的值； 选手 平均数 方差 最小值、四分位数和最大值 最小值 下四位数 中位数 上四位数 最大值 A 6 10 B 8 8 9 10 10 ； ； ； ； （2）箱线图中，选手A中间的“箱子”被分成了两部分，其中“上半截箱子”比较短，这说明什么？ （3）根据（1）中表格信息，你认为应选拔哪个选手去参加青少年射击比赛，请你采用适当的统计数据说明理由． 【答案】（1）；9；；9 （2）“上半截箱子”比较短，这说明选手A的射击成绩，在中位数到上四分位数之间的数据分布更集中，该区间成绩的离散程度更小； （3）应选拔选手B参加比赛，理由如下： 选手B的平均成绩为9，高于选手A的平均成绩，说明B的整体平均水平更高；同时B的方差为，低于选手A的方差，说明B的成绩更稳定，因此选择B参赛． 【解析】 【分析】（1）利用下四位分数、中位数、上四位分数及平均数的定义求解即可； （2）明确箱线图中“上半截箱子”对应中位数到上四分位数的区间，结合区间长度与数据分布的关系，分析该区间短代表的统计意义； （3）结合平均数、方差、四分位数、最值等统计量的实际意义，对比两名选手的成绩稳定性、平均水平等特征，选择合适的统计量作为选拔依据即可． 【小问1详解】 解：解法一：选手A的射击成绩从小到大排列为：6，7，8，9，9，9，10，10， 下四位数为前4个数据的中位数， 下四位数为， 中位数为， 上四位数为后4个数据的中位数， 上四位数为， 选手B的射击成绩从小到大排列为：8，8，8，9，9，10，10，10， 平均数为； 解法二：选手A的射击成绩从小到大排列为：6，7，8，9，9，9，10，10， ， 下四位数为第2个数据和第3个数据的平均数，即， 中位数为第4个数据和第5个数据的平均数，即， ， 上四位数为第6个数据和第7个数据的平均数，即， 选手B的射击成绩从小到大排列为：8，8，8，9，9，10，10，10， 平均数为； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 22. 某校需要购买A、B两种书共60本．已知A种书的单价与B种书的单价之比为，用420元购买的A种书比用420元购买的B种书多2本． （1）两种书的单价分别为多少元？ （2）若学校购买A种书的数量不多于B种书的数量的一半，问如何购买费用最低，最低费用为多少元？ 【答案】（1）A种书的单价为元，B种书的单价为元 （2）购买A种书20本，B种书40本时费用最低，最低费用为2000元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用以及考查一次函数的实际应用，掌握一次函数的增减性是解决本题的关键． （1）解题思路是先设出A、B两种书的单价，再根据“用420元购买的A种书比用420元购买的B种书多2本”这一条件列出分式方程，最后求解并检验． （2）先设购买A种书的数量，再根据条件得出购买B种书的数量，然后列出费用的函数表达式，最后根据函数性质求出最低费用． 【小问1详解】 解：设A种书的单价为元，则B种书的单价为元． 可知用420元购买A种书的数量为本，购买B种书的数量为本． 已知用420元购买的A种书比用420元购买的B种书多2本， 可列方程：． 进行化简： 解得． 经检验，当时，，， 所以是原方程的解，且符合题意． 则A种书的单价为元，B种书的单价为元． 【小问2详解】 解：设购买A种书m本，则购买B种书本． 已知学校购买A种书的数量不多于B种书的数量的一半， 可列不等式． 解不等式得：． 设购买总费用为w元，已知A种书单价为30元，B种书单价为35元， 则． 化简： ， ． 因为，所以w随m的增大而减小． 又因为，所以当时，w取得最小值． 此时（本）， （元）． 所以购买A种书20本，B种书40本时费用最低，最低费用为2000元． 23. 【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 30 60 增加的电量y（%） 0 10 30 60 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示电量e（%） 100 60 50 30 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式； 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 【答案】（1）y关于t函数解析式为：，e关于s函数解析式为：；（2）电动汽车在服务区充电35分钟． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据表格数据，待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）先计算行驶后的电量，假设充电充了分钟，应增加电量：，出发是电量为，走完剩余路程，应耗电量为：，应耗电量为，据此可得：，解得即可． 【详解】解：（1）根据题意，两个函数均为一次函数，设，， 将，代入得， 解得， 函数解析式为：， 将，代入得， 解得， 函数解析式为：； （2）由题意得，先在满电的情况下行走了， 当时，， 未充电前电量显示为， 假设充电充了分钟，应增加电量：， 出发是电量为，走完剩余路程， 应耗电量为：，应耗电量为，据此可得： ，解得， 答：电动汽车在服务区充电35分钟． 24. 在平面直角坐标系中，已知点和点． （1）求直线的解析式； （2）如图，点在直线上，点在线段上，，，求点的坐标； （3）若点在轴上，将沿直线翻折，点的对应点刚好落在轴上的点，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求一次函数解析式； （2）先过点作轴交轴于，证明，再设，结合全等推出，将代入（1）中的解析式即可求解； （3）先求出的值，进行分类讨论：①点在轴正半轴，设，②点在轴负半轴，设，再根据翻折的性质求出的坐标，最后根据距离公式分别构造关于的方程求解即可． 【小问1详解】 设直线的解析式为：， ∵将点，点代入， 即，解得：， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 如图，过点作轴交轴于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在与中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴将代入（1）中，解得：， ∴； 【小问3详解】 ∵点，点， ∴，，， 分类讨论： ①如图，点在轴正半轴，设， ∴， ∴， ∵沿直线翻折得， ∴，， ∴， ∴ ∴，解得：， ∴； ②如图，点在轴负半轴，设， ∴， ∴， ∵沿直线翻折得， ∴，， ∴， ∴ ∴，解得：， ∴； ∴综上，点的坐标为或． 25. 已知矩形，，．将矩形绕点顺时针旋转（），得到矩形． （1）如图1，当点落在边上时，求证：平分； （2）连接，点为的中点． ①如图2，当点落在的延长线上时，求的长； ②如图3，连接．求在旋转过程中，线段的最大值． 【答案】（1）证明：矩形绕点顺时针旋转（），得到矩形， ， ， ， ， ， 平分； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的性质证明即可； （2）连接，，根据勾股定理求出，，证明，利用勾股定理求出即可；连接，，，取的中点，连接，，根据即可得解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，， 根据旋转的性质可得：，,， ， ，， ， ，即， 是等腰直角三角形， 是的中点， ，， ，， ， ， ； 连接，，，取的中点，连接，， 根据旋转的性质可知：，,， ， ， 是等腰三角形， 点为的中点， ， 为中点，， ， 在中，， ， 在中，， 的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $