第14讲 一元二次不等式的解法（三大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019必修一）

第14讲 一元二次不等式的解法 目录 题型归纳 1 题型01 不含参数的一元二次不等式的解法 3 题型02 “三个二次”间的关系 5 题型03 含参的一元二次不等式的解法 7 易错归纳 10 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 18 创新拓展 25 1．一元二次不等式的概念 定义 只含有一个____________，并且未知数的最高次数是______的整式不等式，叫作一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 2.二次函数的图象与一元二次方程的根、不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 注意点： (1)当a>0时，若不等式对应的一元二次方程能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集． (2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集 题型01不含参数的一元二次不等式的解法 【解题策略】 一元二次不等式的解法 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图； ③由图象得出不等式的解集． (2)代数法：将已给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解，当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n 【典例分析】 【例1】解下列不等式： (1)－2x2＋x－6<0； (2)－x2＋6x－9≥0； (3)x2－2x－3>0. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·湖南娄底·期末）不等式的解集是 ． 【变式3】（23-24高一上·北京东城·期中）求不等式的解集. (1) (2) 题型02 “三个二次”间的关系 【解题策略】 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循： (1)根据解集来判断二次项系数的符号； (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解 【典例分析】 【例2】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·江西新余·期中）不等式的解集是，则的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·广东广州·期中）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为 . 【变式3】已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集． 题型03 含参的一元二次不等式的解法 【解题策略】 解含参数的一元二次不等式的步骤 【典例分析】 【例3】设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0. 【变式演练】 【变式1】解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a<0. 【变式2】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）解关于的不等式：. 【变式3】解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)． 易错点1　忽略二次项系数的讨论而致错 1.若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是________． 2．若不等式mx2－4mx＋3≠0对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是________． 易错点2　审题不仔细而致错 3．已知一元二次不等式(m－2)x2＋2(m－2)x＋4>0的解集为R，则实数m的取值范围是________． 易错点3　随意消项致错 4．解不等式：(x2－4x＋4)(x2－4x＋3)≥0. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽宣城·期末）设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一下·浙江宁波·阶段练习）不等式的解是（    ） A．或 B．或 C． D． 4．（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（    ） A． B． C． D．1 6．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知关于的不等式的解集为，或，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是，或 三、填空题 7．（22-23高一上·内蒙古乌兰察布·期中）若，则关于的不等式的解集为 ． 8．（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）若不等式的解集为，那么不等式的解集为 ． 9．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 四、解答题 10．（23-24高一上·新疆·期中）解下列不等式． (1) (2) 11．（23-24高一上·北京·期中）（1）若命题“R，”是真命题，求实数a的取值范围； （2）求关于的不等式的解集． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·海南·期中）若关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（        ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·云南迪庆·期末）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 4．（23-24高一上·山东·阶段练习）不等式的解集为（    ）. A． B． C．或 D．或 二、多选题 5．（22-23高一上·江苏连云港·期中）对于给定实数，关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C．R D． 6．（23-24高一上·河南商丘·期末）对任意的，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一上·广东江门·期中）不等式的解集用区间表达为 ． 8．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则的解集为 . 9．（23-24高一上·浙江金华·期中）若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则a的取值范围是 ． 四、解答题 10．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）解下列不等式 (1) (2) 11．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高一下·河南·阶段练习）已知，且，关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·河北张家口·期中）若不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高一上·天津滨海新·阶段练习）一元二次不等式的解集为 ． 三、解答题 4．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知关于x的不等式的解集是. (1)若，求b，c的值； (2)求不等式的解集. 5．已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为. (1)求a，c的值； (2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0. 6．已知函数y＝ax2－(a＋2)x＋2，a∈R. (1)若y<3－2x恒成立，求实数a的取值范围； (2)当a>0时，求不等式y≥0的解集． 【下节预览】 1、 选择题 1．（2024高一·全国·专题练习）某杂志能以每本1.20元的价格销售12万本，假设定价每降低0.1元，销售量就增加4万本，要使总销售收入不低于20万元，则杂志的价格最低为（    ） A．0.5元 B．0.8元 C．1元 D．1.1元 二、解答题 2．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）解关于的不等式 (1)． (2)已知，解不等式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 一元二次不等式的解法 目录 题型归纳 1 题型01 不含参数的一元二次不等式的解法 3 题型02 “三个二次”间的关系 5 题型03 含参的一元二次不等式的解法 7 易错归纳 10 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 18 创新拓展 25 1．一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫作一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 注意点： 一元二次不等式一般形式中，应注意二次项系数a≠0. 2．二次函数的图象与一元二次方程的根、不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) ∪ R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 (x1，x2) ∅ ∅ 注意点： (1)当a>0时，若不等式对应的一元二次方程能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集． (2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集 题型01不含参数的一元二次不等式的解法 【解题策略】 一元二次不等式的解法 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图； ③由图象得出不等式的解集． (2)代数法：将已给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解，当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n 【典例分析】 【例1】解下列不等式： (1)－2x2＋x－6<0； (2)－x2＋6x－9≥0； (3)x2－2x－3>0. 解　(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0. 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示)．观察图象可得，原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图所示， 根据图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}． (3)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示．观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 则不等式的解集为. 故选：B 【变式2】（23-24高一上·湖南娄底·期末）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】直接根据因式分解的方法求解即可. 【详解】由题意，解得或， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·北京东城·期中）求不等式的解集. (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】把一元二次不等式的左边分解因式，结合二次函数的图象即得其解集. 【详解】（1）由可得，则得或， 故不等式的解集为； （2）由可得，则得, 故不等式的解集为. 题型02 “三个二次”间的关系 【解题策略】 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循： (1)根据解集来判断二次项系数的符号； (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解 【典例分析】 【例2】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 解　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0， 且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根， 由根与系数的关系可知＝－5，＝6. 由a<0知c<0，＝－， 故不等式cx2＋bx＋a<0， 即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0， 解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·江西新余·期中）不等式的解集是，则的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次不等式解集求参数，代入目标不等式，应用一元二次不等式的解法求解集. 【详解】由题设是的两个根，则， 所以，即， 故不等式解集为. 故选：B 【变式2】（23-24高一上·广东广州·期中）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到，，代入数据解不等式即可. 【详解】的不等式的解集为或， 故的解为或，且，故， 故，， ，即，即， 解得，·     故答案为： 【变式3】已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集． 解　∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}， ∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1,2. 由根与系数的关系得得 代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0. 解得x<或x>1. ∴bx2＋ax＋1>0的解集为. 题型03 含参的一元二次不等式的解法 【解题策略】 解含参数的一元二次不等式的步骤 【典例分析】 【例3】设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0. 解　不等式可化为(ax＋1)(x－2)>0. (1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2； (2)当a≠0时，不等式可化为a(x－2)>0， 对应方程的两根为－和2， 2－＝2＋＝， ①当a<－时，解得－<x<2； ②当a＝－时，不等式无解； ③当－<a<0时，解得2<x<－； ④当a>0时，解得x<－或x>2. 综上可得，当a<－时，不等式的解集为； 当a＝－时，不等式的解集为∅； 当－<a<0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为(2，＋∞)； 当a>0时，不等式的解集为∪(2，＋∞)． 【变式演练】 【变式1】解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a<0. 解　 方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为 x1＝－1，x2＝a， 函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上， 则当a<－1时，原不等式解集为{x|a<x<－1}； 当a＝－1时，原不等式解集为∅； 当a>－1时，原不等式解集为{x|－1<x<a}． 【变式2】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】首先将不等式左侧因式分解，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】不等式，即， 当时，原不等式即，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 综上可得：当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为或， 当时不等式的解集为或 【变式3】解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)． 解　原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a. ①当a>0时，x1>x2， 不等式的解集为{x|－a<x<2a}； ②当a＝0时，原不等式化为x2<0，无解； ③当a<0时，x1<x2， 不等式的解集为{x|2a<x<－a}． 综上，当a>0时，原不等式的解集为{x|－a<x<2a}； 当a＝0时，原不等式的解集为∅；当a<0时，原不等式的解集为{x|2a<x<－a}． 易错点1　忽略二次项系数的讨论而致错 1.若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是________． 【解析】①若a＝0，则1<0不成立，此时不等式ax2－ax＋1<0的解集为空集； ②若a≠0，则解得0<a≤4.综上，0≤a≤4. 2．若不等式mx2－4mx＋3≠0对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是________． 【解析】①当m＝0时，3≠0恒成立，满足条件． ②当m≠0时，Δ＝16m2－12m<0，解得0<m<. 综上，实数m的取值范围是{m|0≤m＜} . 易错点2　审题不仔细而致错 3．已知一元二次不等式(m－2)x2＋2(m－2)x＋4>0的解集为R，则实数m的取值范围是________． 【解析】∵(m－2)x2＋2(m－2)x＋4>0为一元二次不等式，∴m≠2. ∵不等式(m－2)x2＋2(m－2)x＋4>0的解集为R， ∴ 解得2<m<6. ∴实数m的取值范围为{m|2<m<6}． 易错点3　随意消项致错 4．解不等式：(x2－4x＋4)(x2－4x＋3)≥0. 【解析】原不等式可化为 或x－2＝0， 解得x≥3或x≤1或x＝2. 所以原不等式的解集为{x|x≥3或x≤1或x＝2}． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不含参的一元二次不等式的解法计算即可求解. 【详解】原不等式可化为，解集为. 故选：C. 2．（23-24高一上·安徽宣城·期末）设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意， 对比选项可知不等式成立的一个充分不必要条件是. 故选：D. 3．（21-22高一下·浙江宁波·阶段练习）不等式的解是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得方程的解，结合不等式的解法，即可求解. 【详解】由方程，即，解得或， 不等式，可得，解得， 即不等式的解集为. 故选：D. 4．（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，，再根据，即可求出． 【详解】关于的不等式的解集是， ∴是方程的两个根， ∴即， ∴或， ∴，， ∵， ∴， 即， 即， 解得， 综上所述，或， 故选：D. 二、多选题 5．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（    ） A． B． C． D．1 【答案】BCD 【分析】分类讨论求出不等式的解集，进而确定出的取值范围即可． 【详解】不等式可化为，显然， 当时，原不等式的解集为，由于解集中恰有两个整数，则，解得， 当时，原不等式的解集为，由于解集中恰有两个整数，则，解得， 因此的取值范围是,,， 故选：BCD． 6．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知关于的不等式的解集为，或，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是，或 【答案】AD 【分析】根据一元二次不等式的解集可确定，可判断A；结合根与系数关系可得的关系式，由此化简B，C，D选项中的不等式或进而求解，即可判断其正误，即得答案. 【详解】由关于的不等式解集为或， 知-3和2是方程的两个实根，且，故A正确； 根据根与系数的关系知：， ， 选项B：不等式化简为，解得：， 即不等式的解集是，故B不正确； 选项C：由于，故，故C不正确； 选项D：不等式化简为：， 解得：或，故D正确； 故选：AD. 三、填空题 7．（22-23高一上·内蒙古乌兰察布·期中）若，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由可得，则可求出一元二次不等式的解． 【详解】，，则， ， 或． 故答案为：． 8．（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）若不等式的解集为，那么不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，所以， 所以不等式可整理为 ， 即， 也即，解得， 故答案为: . 9．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由关于的不等式的解集为可得、、的关系及的正负，即可将转化为，解出即可得. 【详解】由关于的不等式的解集为， 故等价于，即， 故有、、， 则等价于， 即，即 解得或，即解集为. 故答案为：. 四、解答题 10．（23-24高一上·新疆·期中）解下列不等式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】结合二次方程的根及二次函数的图象求解一元二次不等式. 【详解】（1）对于方程，因为，所以方程有两个相等的实数根， 解得， 画出二次函数的图象，如图， 结合图象得不等式的解集为； （2）原不等式可化为， 对于方程，方程有两个实数根，解得， 画出二次函数的图象，如图， 结合图象得不等式的解集为 故所求不等式的解集为. 11．（23-24高一上·北京·期中）（1）若命题“R，”是真命题，求实数a的取值范围； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）或；（2）答案见解析 【分析】（1）利用二次函数图象得出解得结果； （2）分成，，，，五种情况讨论一元二次不等式的解集. 【详解】（1）∵R，为真命题， 则函数与x轴有交点， ∴，即，解得或． ∴实数的取值范围是或． （2）当时，不等式等价于，即； 当时，原不等式化为， 当时，即时，解得或； 当时，即时，原不等式即为，解得； 当时，即时，解得或． 当时，原不等式化为， 解得． 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式的解法得出. 【详解】因为的根是3和7， 所以不等式的解集为， 故选：C 2．（22-23高一上·海南·期中）若关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求原不等式解集，按m与3的大小分类讨论，使得m的取值满足题意即可. 【详解】原不等式等价于 有两根 当时，原不等式解集为， 其中最多只有2个正整数1和2，故不满足题意. 当时，原不等式解集为， 其中恰有3个正整数只能为4、5、6， 故. 故选：A. 3．（23-24高一上·云南迪庆·期末）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】直接解一元二次不等式即可得解. 【详解】解一元二次不等式得或，所以不等式的解集为或. 故选：B. 4．（23-24高一上·山东·阶段练习）不等式的解集为（    ）. A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由一元二次不等式的解法求解. 【详解】原不等式可化为即，而，故， 图象开口向下，故原不等式的解集为. 故选：A 二、多选题 5．（22-23高一上·江苏连云港·期中）对于给定实数，关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C．R D． 【答案】ACD 【分析】根据的大小分类讨论. 【详解】时，不等式化为，，解集为， 时，不等式化，解集为， 时，不等式化为，，即解集为， 时，不等式化为， 时，或，解集为或， 时，或，解集为或， 故选：ACD． 6．（23-24高一上·河南商丘·期末）对任意的，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用配方法判断A、C；特值法判定B；利用基本不等式判断D. 【详解】对于A，，对于任意的恒成立； 对于B，当时，，所以原不等式不恒成立； 对于C，，对于任意的恒成立； 对于D，，当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 7．（23-24高一上·广东江门·期中）不等式的解集用区间表达为 ． 【答案】. 【分析】根据不等式的解法，求得不等式的解集，进而得到答案. 【详解】由不等式，解得或，即不等式的解集为. 故答案为：. 8．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则的解集为 . 【答案】 【分析】利用给定解集结合韦达定理用表示出，再代入解不等式即得. 【详解】由关于的不等式的解集为或， 得是方程的二根，且， 于是，解得， 不等式化为：，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 9．（23-24高一上·浙江金华·期中）若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集，然后根据题意得到不等式组，进而求出结果. 【详解】不等式， 当时，，不等式的解集为， 若不等式解集中有且仅有四个整数，则这四个整数为， 则，此时，与矛盾； 当时，，不等式的解集为，不符合题意； 当时，，不等式的解集为， 若不等式解集中有且仅有四个整数，则这四个整数可能为或， 当这四个整数为时，则且，无解， 当这四个整数为时，则且，解得， 综上可知，实数的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题 10．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）解下列不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式运算求解； （2）分、和三种情况，结合一元二次不等式运算求解. 【详解】（1）因为，即， 注意到，所以不等式的解集为. （2）因为，即， 令，解得或， 若，即，所以不等式的解集为； 若，即，所以不等式的解集为； 若，即，所以不等式的解集为； 综上所述：若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为. 11．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据列不等式，由此求得的取值范围. （2）解不等式求得集合，根据充分条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）， 解得：. 实数的取值范围为. （2）由解得， 所以， “”是“”的充分条件，. ，解得：， 实数的取值范围为. 【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高一下·河南·阶段练习）已知，且，关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次不等式的解集与二次方程的根的关系，利用韦达定理可得关系，代入所求不等式解不等式即可． 【详解】因为不等式，的解集为， 所以且即， 不等式等价于， 即，，解得或， 所以不等式的解集为：， 故选：C． 2．（22-23高一上·河北张家口·期中）若不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的解集，列式可求出m，n的值，代入即可求不等式的解集. 【详解】因为不等式的解集为， 所以方程的两根分别为和 所以，解得：， 代入不等式， 即，即 解得： ， 所以不等式的解集为. 故选：C. 二、填空题 3．（23-24高一上·天津滨海新·阶段练习）一元二次不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用一元二次不等式的解法求出. 【详解】分解因式可得， 所以不等式的解集为， 故答案为： 三、解答题 4．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知关于x的不等式的解集是. (1)若，求b，c的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理即可求解； （2）由（1）用表示，代入得一元二次不等式，即可求解. 【详解】（1）因为不等式的解集是，所以 所以. 因为，所以. （2）由（1）可知，所以不等式等价于不等式. 因为不等式的解集是，所以， 所以不等式等价于， 解得或，即不等式的解集是. 5．已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为. (1)求a，c的值； (2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0. 解　(1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和， 由根与系数的关系，得 解得a＝－6，c＝－1. (2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0， 即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1， 所以所求不等式的解集为. 6．已知函数y＝ax2－(a＋2)x＋2，a∈R. (1)若y<3－2x恒成立，求实数a的取值范围； (2)当a>0时，求不等式y≥0的解集． 解　(1)由题意得ax2－(a＋2)x＋2<3－2x恒成立，即ax2－ax－1<0恒成立， 当a＝0时，－1<0恒成立，符合题意； 当a≠0时， 则 解得即－4<a<0， 综上，实数a的取值范围为{a|－4<a≤0}． (2)由题意知，ax2－(a＋2)x＋2≥0, 即 (ax－2)(x－1)≥0， 由于a>0，则(x－1)≥0， 且－1＝. ①当0<a<2时，>1， 不等式的解集为； ②当a＝2时，不等式的解集为R； ③当a>2时，<1， 不等式的解集为. 综上可得，当0<a<2时， 不等式的解集为； 当a＝2时，不等式的解集为R； 当a>2时，不等式的解集为. 【下节预览】 1、 选择题 1．（2024高一·全国·专题练习）某杂志能以每本1.20元的价格销售12万本，假设定价每降低0.1元，销售量就增加4万本，要使总销售收入不低于20万元，则杂志的价格最低为（    ） A．0.5元 B．0.8元 C．1元 D．1.1元 【答案】A 【分析】由题意设杂志的价格降低了x个0.1元，即可确定降价后的价格以及卖出的数量，可得总销售收入的表达式，解不等式即可求得x的范围，由此可得答案. 【详解】设杂志的价格降低了x个0.1元， 则此时价格为元，卖出万本， 设总销售收入为y万元， 则， 要使，即，即，解得， 当时，价格最低，为(元). 故选：A. 二、解答题 2．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）解关于的不等式 (1)． (2)已知，解不等式． 【答案】(1)或； (2)答案见解析. 【分析】（1）求解一元二次不等式即得. （2）等价变形不等式，再按分类讨论求解. 【详解】（1）原不等式化为，即 于是，解得或， 所以不等式解集为或. （2）原不等式化为， ①当时，原不等式为，解得； ②当时，原不等式化为，即， 当时，原不等式等价于，显然，解得； 当时，原不等式等价于，而，解得或． 所以当时原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$