25.3（第3课时）平均变化率与一元二次方程（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦平均变化率与一元二次方程应用，通过体育实心球成绩、建党纪念游客增长等情境导入，从具体实例抽象出a(1±x)^n模型，搭建实际问题到数学方程的学习支架。 其特色在于以生活实例（如药品降价、AI投入增长）培养数学眼光，通过合作探究与规范解答发展推理能力，总结统一公式强化模型意识。学生提升实际问题解决能力，教师获得结构化教学资源。

人教版(新教材) 九年级上册 25.3(第3课时) 平均变化率与一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 实心球是体育中考项目之一，小明学习非常认真，训练刻苦，体育成绩直线上升，第一次扔实心球成绩是 6.5 米，第二次增长了 20%，第三次又增长了 20%，问他第三次扔实心球成绩是多少米？ 如何解决这一问题呢？ 第一次成绩 第二次成绩 第三次成绩 6.5米 增长20% 增长20% 6.5(1 + 20%) 6.5(1 + 20%)(1 + 20%) 7.8米 9.36米 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 两年前生产1t甲种食品的成本是10000元，生产1t乙种食品的成本是12000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种食品的成本是6000元，生产1t乙种食品的成本是7200元，哪种食品成本的年平均下降率较大？ 分析：容易求出，甲种食品成本的年平均下降额为（10000 –6000）÷2=2000（元），乙种食品成本的年平均下降额为（12000 –7200）÷2=2400（元），显然，乙种食品成本的年平均下降额较大，旧年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 设甲种食品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种食品成本为10000(1–x)元.两年后甲种食品成本为10000(1–x)2元，于是有 10 000(1–x)2=6 000 解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降率. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 同理，设乙种食品成本的年平均下降率为y,则一年后乙种食品成本为12000(1–y)元.两年后乙种食品成本为12000(1–y)2元，于是有 12 000(1–y)2=7 200 解方程，得y1≈0.225，y2≈1.775. 根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 因此，两种食品成本的年平均下降率相同，均约为22.5%. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 2026年7月1日，是中国共产党建党105周年纪念日．一百多年前，在那个风雨飘摇的年代，伟大的中国共产党诞生于浙江嘉兴南湖的红船之上，成为了中华民族和中国人民的主心骨和领路人．为庆祝建党105周年，某地举行了大型的音乐焰火晚会．据悉，当天下午3点钟的时候，某景区周边游客人数为2500人，下午5点钟时，游客人数达到了3600人．若3点至5点该景区每小时游客人数的平均增长率相同，求这个平均增长率. 解：设平均增长率为x， 依题意： ， 解得： ， （舍去）． 答：平均增长率为20%． 105 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 为庆祝建党105周年，某地举行了大型的音乐焰火晚会．据悉，当天下午3点钟的时候，某景区周边游客人数为2500人，下午5点钟时，游客人数达到了3600人．若该景区每小时游客人数的平均增长率保持不变，预计7点时，该景区游客人数有没有超过5000人？请用计算进行说明． (2)依题意： ． ∵ ， ∴游客人数会超过5000人． 答：游客人数会超过5000人． 105 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 原来每盒 27 元的一种药品（如图），经两次降价后每盒售价为 9 元.求该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到 1%） 解：设该种药品两次平均降价率是 x. 根据题意，得 27(1 – x)2 = 9. 解得 x1 ≈ 1.58，x2 ≈ 0.42. x1 ≈ 1.58 不合题意，所以 x ≈ 0.42. 答：该药品两次降价的平均降价率约是 42%. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：设这个增长率为x.根据题意，得 答：这个增长率为50%. 200+200(1+x) +200(1+x)2=950 整理方程，得 4x2+12x–7=0， 解这个方程得 x1= –3.5（舍去），x2=0.5. 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 增长/降低率问题总结 增长(下降)率问题 增长率问题 下降率问题 基数为 a, 平均增长/下降率为x. 第一次增长 第二次增长 第n次增长 第一次下降 第二次下降 第n次下降 a(1+x) a(1+x)2 a(1+x)n a(1－x) a(1－x)2 a(1－x)n a(1±x)n 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 生成式AI被认为将为全球经济贡献约7万亿美元的价值，我国率先加大投入研究开发AI技术，预计两年内对这项技术的投入从300亿美元增长到507亿美元．求两年内我国平均每年投入增长的百分率． 解：设两年内我国平均每年投入增长的百分率为x， 根据题意得： , 解方程，得x1=0.3=30%，x2= –2.3(舍). 答：两年内我国平均每年投入增长的百分率为30%. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某区成功举办公路自行车骑行赛事，2024年该赛事约有2000人参赛，2026年参赛人数达到约2420人，若这两年参赛人数的年平均增长率保持一致，求参赛人数的年平均增长率． 解：设参赛人数的年平均增长率为x， 则 ， 解得： ， （舍）， 答：参赛人数的年平均增长率为10%． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，一农户原来种植的花生，每公顷产量为 3 300 kg，出油率为 50%（即每 100 kg 花生可加工出花生油 50 kg ）.现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油 2 187 kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的.求新品种花生产量的增长率. 解：设新品种花生产量的增长率为 x， 根据题意，得 3 300(1 + x)·[ 50%(1+ x)] = 2 187. 解方程，得 x1 = 0.2，x2 = –3.2（不合题意，舍去） 答：新品种花生产量的增长率为 20%. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x, 根据题意，得 系数化为1得， 直接开平方得， 则 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为20%. 6000(1+x)2=8640 (1+x)2=1.44 1+x=1.2, 1+x=–1.2 x1=0.2, x2=–2.2(舍), 红卫农场种的水稻去年平均每公顷产6000千克，今年平均每公顷产8640千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 平均变化率与一元二次方程 a(1+x)2=b，其中 a 为增长前的量，x 为增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量 增长率问题 常用公式：总利润=单件利润×销量=(售价−进价)×销量 营销问题 a(1−x)2=b，其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低后的量.注意：降低率不可为负，且不大于 1. 降低率问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 解：由题意，第三季度实现垃圾分类的社区个数为 ，第四季度实现垃圾分类的社区个数为 ， ∵三个季度实现垃圾分类的总个数为285， 可得方程 ，因此正确选项为D． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为200杯，随着气温不断回升，若连续两个月的销量逐月匀速上涨，预计五月份的销量能达到338杯．设四、五这两个月每月销量的平均增长率均为x，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 解：由题意四月份销量为杯 ， ∴五月份销量在四月份基础上增长，可得五月份销量为 ， 又∵已知五月份销量为338杯， ∴可列方程为 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 随着光伏产业的发展，光伏组件的制造技术逐渐成熟．某光伏组件厂的制造成本逐渐降低，今年第三季度的制造成本是第一季度制造成本的．若每个季度的制造成本下降百分率都相同，则每个季度的下降百分率为（     ） A．10% B．19% C．20% D．21% 解：设每个季度的下降百分率为x，设第一季度制造成本为单位1， ∴ ， 开方得 ， ∵下降率满足 ， ∴取正根得 ， 解得 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某厂生产某种产品的技术高速发展，起初该厂生产该种产品的成本为225元，经过两次技术改进，现生产成本下降了30.2元．设每次技术改进时产品的成本下降率均为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 解：由题意第一次技术改进后成本为 ， 第二次技术改进后成本为 ， 又∵现生产成本下降了30.2元，即现在的成本为 ， ∴可得方程 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 新能源汽车具有环保节能、经济性高、驾驶体验佳等等优点，深受消费者的青睐．据统计到2024年底全国新能源汽车保有量约为2020万辆，预计2026年底将达到4000万辆，若设新能源汽车的年平均增长率为x，则可列方程为_________． 解：设新能源汽车的年平均增长率为x，则2025年底全国新能源汽车保有量为 万辆，2026年底全国新能源汽车保有量为万辆， 根据题意可列方程为 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某种商品原售价为 125 元/盒，连续两次降价后售价为 80 元/盒.假设每次降价的百分率相同，求这种商品每次降价的百分率是多少？ 解：设这种商品每次降价的百分率为 x. 由题意 125(1 – x)2= 80. 解得：x1 = 0.2，x2 = 1.8（舍去） 答：这种商品每次降价的百分率为 20%. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36％，问平均每月降价百分之几？ 解：设平均每月降价的百分率为 x. 依题意，(1 – x)2 = 1 – 36% 解得 x1 = 0.2，x2 = 1.8（舍去） 答：平均每月降价 20%. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 菜农小李种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，小李为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率》 解：设平均每次下调的百分率为x， 由题意，得 5(1－x)2=3.2， 解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去） ∴平均每次下调的百分率为20%. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某新华书店计划第一季度共发行图书 122 万册，其中一月份发行图书 32 万册，二、三月份平均每月的增长率相同. 求二、三月份各应发行图书多少万册？ 解：设平均每月的增长率为 x. 依题意，32 + 32（1+x）+ 32（1 + x）2 = 122. 解得 x1 = 0.25，x2 = –3.25（舍去）. 二月份发行图书 32×（1 + 0.25）= 40（万册） 三月份发行图书 32×（1 + 0.25）2 = 50（万册） 答：二月份发行图书 40 万册，三月份发行图书 50 万册. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某市机器人产业2023年总产值约为100亿元，到2025年增长至约144亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率． (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是180亿元，若机器人产业总产值年平均增长率保持不变，请通过计算说明该市能否完成目标． (1)解：设这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为x， 由题意得： ， 解得 ， （舍去） 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为20%． (2) ，所以该市不能完成目标.