25.3（第2课时）传播问题与一元二次方程（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“传播问题与一元二次方程”，通过铃铛变化规律（每次1个变3个）情境引入，衔接一元二次方程解法，为建立传染病、植物分支等传播模型提供学习支架。 其亮点是以生活情境为载体，通过合作探究和表格梳理数量关系，培养抽象能力与模型意识。例如传染病问题中用表格分析每轮传染源与新增人数，引导学生抽象出方程模型，体现数学思维的推理能力。学生能提升解决实际问题能力，教师可借助结构化流程和多样化例题优化教学。

人教版(新教材) 九年级上册 25.3(第2课时) 传播问题与一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 25.3−2 传播问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 看一看：观察下图中图形的构成，试着发现它们的规律. 每次变化都是由一个铃铛变化出3个铃铛 25.3−2 传播问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某种传染病的传染速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 第2轮 第1轮 第 1 轮传染后人数 x + 1 第 2 轮传染后人数 x(x + 1) + x + 1 A 可以二次传染 ... ... 1 2 x 1 2 x A A ... 1 2 x ... 1 2 x ... 1 2 x 25.3−2 传播问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 设每轮感染中平均一个人感染 x人. 第一轮他感染了x人,第一轮后共有______人感染了病毒. 这(x+1)人是第二轮的感染源 第二轮:这些人中的每个人都又感染了x人, 第二轮后共有 人患了流感. (x+1) 变形为1+x+x(x+1)=(x+1)2 列方程得 (x+1)2=121 解得 x1=10;x2=−12(舍) 1+x+x(x+1) 答：每轮感染中平均一个人感染 10人. 25.3−2 传播问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如果按照这样的感染速度， 第三轮感染过后总共会有多少人感染病毒？ 121+121×10=113 = 1331(人) 解决“传播问题”的关键步骤是： 明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数． 25.3−2 传播问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是183，每个支干长出多少小分支? 主干 支干 支干 …… 小分支 小分支 …… 小分支 小分支 …… …… x x x 1 25.3−2 传播问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：设每个支干长出 x 个小分支， 则 1 + x + x2 = 183， 即 x2 + x −182 = 0. 解得 x1 = 13， x2 = −14 (不合题意，舍去). 答：每个支干长出 13个小分支. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是183，每个支干长出多少小分支? 25.3−2 传播问题与一元二次方程 传播问题 1. 在传播问题和树干问题中的数量关系时它们有何区别？ 每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染. 2. 解决这类传播问题有什么经验和方法？ (1)审题，设元，列方程，解方程，检验，作答； (2)可利用表格梳理数量关系； (3)关注起始值、新增数量，找出变化规律. 25.3−2 传播问题与一元二次方程 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤 建立一元二次方程模型 实际问题 分析数量关系 设出未知数 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 25.3−2 传播问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某生物实验室需培育一群有益菌，现有 60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达 24000 个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌. (1) 每轮分裂中平均每个有益菌 可分裂出多少个有益菌？ (2) 按照这样的分裂速度，经过 三轮培植后共有多少个有益菌？ 25.3−2 传播问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 有益菌的 初始数目 本轮分裂出的有益菌数目 本轮结束有益菌总数 第一轮 第二轮 第三轮 60 60x 60(1 + x) 60(1 + x) 60(1 + x)x 解：(1)设每个有益菌一次分裂出 x 个有益菌，则 60 + 60x + 60(1 + x) x = 24000. ∴ x1 = 19，x2 = −21(舍去). ∴每个有益菌一次分裂出 19 个有益菌. 分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 x 个有益菌. 25.3−2 传播问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (1)解：设每轮传染中平均一个人传染了x人， 由题意得： ， 解得： ， （不合题意舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； 25.3−2 传播问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ (2)解：第三轮感染的人数 （人）， 第三轮感染后，患流感的总人数为： （人）， 答：第三轮感染后，患流感的共有1024人． 25.3−2 传播问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病． (1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？ (1)解：设每头发病生猪平均每天传染x头生猪， 依题意，得： ， 解得： ， （不合题意，舍去）． 答：每头发病生猪平均每天传染13头生猪． 25.3−2 传播问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过2500头吗？ (2)解：3天后生猪发病头数为： （头）， ， 答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头． 25.3−2 传播问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班36人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会几名同学？ 解：设1人每次能手把手教会x名同学． 由题意，得1+x+(x+1)x=36, 解得：x1 = 5，x2 = −7(舍去)， ∴1人每次能手把手教会7名同学． 25.3−2 传播问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 “水是生命之源，树是水的卫士．”为了更好地让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了几人？ 解：设小红将这条宣传语转发给了x人．依题意得 x2 + x + 1 = 157，即x2 + x −156 =0， (x−12)(x+13)=0， ∴x−12=0或x+13=0, 解得x=12或x=−13(舍去) 答：小红将这条宣传语转发给了12人． 25.3−2 传播问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 传播问题与一元二次方程 与列一元一次方程解决实际问题基本相同.不同的地方要检验根的合理性 步骤 类型 传染源继续传染 第 2 轮传染后数量为 x(x + 1) + x + 1=(x + 1) 2 传染源继续传染 第 2 轮传染后数量为 1 + x + x2 25.3−2 传播问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 解：由题意第一轮传染后，总患病人数为 ， ∵第二轮传染中，有 个患者，每人传染x人， ∴新增患病人数为 ， ∴ ． 25.3−2 传播问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 有一个人患流感，经过两轮传染后共有个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x， 初始有1人患病，第一轮传染后共有(x+1)人患病，第二轮传染中，新增患病人数为x(x+1)，两轮后总患病人数为1+x+x(x+1)， 根据题意得1+x+x(x+1)=100，整理得 ， 解得 ， （舍去）， 则每轮传染中平均一个人传染的人数为9． 25.3−2 传播问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ A．11 B．10 C．8 D．9 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台x电脑， ∴两轮后被感染的电脑总数为 ，整理得 ， 解得 ， (舍去), 每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑, 故选C． 25.3−2 传播问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则每个支干长出(    ) A．2根小分支 B．3根小分支 C．4根小分支 D．5根小分支 解：设每个支干长出n根小分支，n为正整数， 根据题意可得 ，n为正整数， 解得n=5， ∴每个支干长出5根小分支． 故选：D． 25.3−2 传播问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达到50%，则每轮传播人数为？ 解：设每轮传播中平均一人传播了x人， 根据题意得： ， 即 ． 解得，n1 = 11，n2 = −13(舍去)， 答：每轮传播人数为11人. 25.3−2 传播问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？ 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，则 1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100. 解得 x1＝9，x2＝−11(舍去)．∴x＝9. 4轮感染后，被感染的电脑数为(1＋x)4＝104>7000. 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染后，被感染的电脑会超过 7000 台． 25.3−2 传播问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 解：设每天平均一个人传染了x人， 解得 x1=−4 (舍去)，x2=2. 答：每天平均一个人传染了2人，这个地区一共将会有2187人患甲型流感. 1+x+x(1+x)=9， 即(1+x)2=9. 9(1+x)5=9×(1+2)5=2187， (1+x)7= (1+2)7=2187. 25.3−2 传播问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 一个两位数，个位数字比十位数字大 3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？ 解：设这个两位数个位数字为 x，则十位数字为 (x − 3)，根据题意得 解得 x1＝5，x2＝6． 答：这个两位数是 25 或 36. ∴ x＝5 时，十位数字为 2，x＝6 时，十位数字为 3. 25.3−2 传播问题与一元二次方程 $