25.3第2课时 传播问题与平均变化率问题 教学课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的实际应用，核心内容为传播问题与平均变化率问题。课堂导入通过复习列方程解应用题的“审设列解验答”步骤，衔接实际情境问题，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步掌握问题分析与模型建立。 其亮点在于以传染病传播、成本下降等真实情境为载体，培养学生用数学眼光观察现实问题，通过表格分析抽象数量关系。结合“a(1+x)^n=b”公式总结，强化数学思维中的推理意识与模型意识，如探究2对比两种食品下降率，引导学生理解绝对与相对变化量。学生能提升应用能力，教师可借助结构化案例提高教学效率。

25.3 实际问题与一元二次方程 第2课时 传播问题与平均变化率问题 第二十五章 一元二次方程 R·九年级数学上册 学习目标 1.熟练掌握列一元二次方程解应用题. 2.掌握传播、平均变化率等问题的常见应用题解法. 3.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型． 复习回顾 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤 ① 审 ② 设 ③ 列 ④ 解 ⑤ 验 ⑥ 答 探索新知 探究1 某种传染病的传染速度很快.如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 分析：设每轮传染中平均1个人传染了x 个人. 第一轮 第二轮 每轮平均1个人传染人的数量 被传染的总人数 x 1+x x 1+x+x(1+x) 探究1 某种传染病的传染速度很快.如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 解：设每轮传染中平均1个人传染了 x 个人. 列方程 1+x+x(1+x) = 121. 解方程，得 x1=10，x2= –12（不合题意，舍去） 因此，每轮传染中平均1个人传染了10个人. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？ 第一轮 第二轮 第三轮 每轮平均1个人传染人的数量 x x x 被传染的总人数 1+x 1+x+x(1+x) (1+x)2+x(1+x)2 分析：设每轮传染中平均1个人传染了x 个人 . (1+x)2 经过三轮传染后共有 (1+10)3=1331（人）被传染. (1+x)3 经过n轮传染后共有__________个人被传染. (1+10)n 变式训练 1. 某种传染病的传染速度很快. 如果开始有3个人被传染，经过两轮传染后共有1200个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 解：设每轮传染中平均1个人传染了 x 个人. 初始病例 第一轮后 第二轮后 3 3+3x=3(1+x) 3(1+x)+3(1+x)x=3(1+x)2 依题意，得 3(1+x)2=1200， 解得 x1=19，x2= –21（不合题意，舍去） 知识要点 常见的传染问题：病毒感染问题、信息传播问题等，等量关系为： 传染源数量+第1轮+第2轮+……+第n轮=第n轮传染后的总数. a(1+x)n=b a为传染源数量 x为每轮平均1个传染源传播的数量 n为传播的轮顺 b为现有传染后感染总量 变式训练 2. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支.如果主干、支干和小分支的总数是91，那么每个支干长出多少个小分支？ 【选自教材第22页 练习 第1题】 解：设这种植物每个支干长出 x 个小分支. 根据题意，得 1+x+x2=91，解得 x1=9，x2= –10（舍去）. 答：每个支干长出9个小分支. 树干问题中的基本数量关系：树干问题中主干长出n个支干，第二轮主干不再分支，n个支干进行分支，第二轮有n2个支干，总共有(1+n+n2)个支干. 探究2 两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 下降率是下降的成本与前一年成本的比值. 下降率 = ×100% 下降前的量 –下降后的量 下降前的量 下降后的量=下降前的量×（1 – 下降率） 探究2 两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 解：设甲种食品成本的年平均下降率为 x . 甲的初始成本 一年后的成本 二年后的成本 10000 10000(1–x) 10000(1–x)2 依题意，得 10000(1–x)2=6000， 探究2 两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 解：设甲种食品成本的年平均下降率为 x . 依题意，得 10000(1–x)2=6000， 解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775. 下降率不可为负，且不大于1. 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 请计算乙种食品成本的年平均下降率. 探究2 两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 解：设乙种食品成本的年平均下降率为 y . 依题意，得 12000(1–y)2=7200， 解方程，得y1≈0.225，y2≈1.774. 根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 两种食品成本的年平均下降率相等. 思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降率一定大吗？应怎样全面比较几个对象的变化情况？ 成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大. 成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况. 变式训练 3. 青山村所种水稻某年平均每公顷产 15000 kg，两年后平均每公顷产 18000 kg. 求水稻每公顷产量的年平均增长率（结果写成 a% 的形式，其中 a 保留小数点后两位） 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x . 根据题意，知 15000(1+x)2=18000. 解得 x1≈ 0.10，x2 ≈ –2.10（不合题意，舍去）， 答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为10%. 【选自教材第22页 练习 第2题】 知识要点 关于平均增长（下降）率问题，设基数为a，平均增长（下降）率为x，增长（下降）n次后的量为b，则 一次增长（下降）后的值 两次增长（下降）后的值 … n 次增长（下降）后的值 列方程 a(1±x) a(1±x)2 … a(1±x)n a(1±x)n=b 随堂练习 1.一农户家的田地中有 3 株农作物感染了病虫害，经过两轮传染后共有 192 株农作物感染病虫害. 每轮传染中平均一株农作物传染了多少株农作物？ 解：设每轮传染中平均一株农作物传染了 x 株农作物. 依题意，得 3(1+x)2=192， 解得 x1=7，x2= –9（不符合题意，舍去）. 答：每轮传染中平均一株农作物传染了 7 株农作物. 2.有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短消息，则每轮转发中平均一个人转发给几个人？ 解：设每轮转发中平均一个人转发给 x 个人. 依题意，得 1+x+x2=133， 解得 x1=11，x2= –12（不符合题意，舍去）. 答：每轮转发中平均一个人转发给 12 个人. 3.某市政府通过招商引进优势产业来发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片 100 万个，第三季度生产芯片 144 万个. 求前三季度生产量的平均增长率. 解：设前三季度生产量的平均增长率为 x . 由题意，得100(1+x)2 =144， 解得 x1=0.2，x2= –2.2（不符合题意，舍去）. 答：前三季度生产量的平均增长率为 20% . 课堂小结 本节课学习了传播、平均变化率与一元二次方程的问题，你有哪些收获呢？请同学们谈一谈. $