暑假培优：正余弦定理与三角函数的性质结合应用问题、几何图形中的计算问题专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦正余弦定理与三角函数性质的综合应用及几何图形计算，通过精选典例与变式构建从单一三角形到复杂图形的解题逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正余弦定理与三角函数性质结合|3例+3变式|三角形及四边形中边角计算、面积求解，含角平分线等几何条件|以正余弦定理为工具，结合三角函数性质解决几何图形中的数量关系，体现从定理应用到综合转化的思维过程| |几何图形中的计算问题|3例+3变式|等腰直角三角形、锐角三角形等图形中的取值范围、面积最值及高的计算|从基本图形到复杂情境，通过几何直观与推理能力，构建边角关系与面积公式的应用逻辑，培养模型观念|

暑假培优：正余弦定理与三角函数的性质结合应用问题、几何图形中的计算问题专项训练 暑假培优：正余弦定理与三角函数的性质结合应用问题、几何图形中的计算问题专项训练 考点目录 正余弦定理与三角函数的性质结合应用问题 几何图形中的计算问题 考点一 正余弦定理与三角函数的性质结合应用问题 例1．（2026·山西忻州·模拟预测）在中，点在边上，且为的平分线．已知，，． (1)求； (2)求的面积和． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）由三角形面积公式列方程求解； （2）由三角形面积公式求解即可；由余弦定理求即可. 【详解】（1）设，．则， 又， 由余弦定理，． 记，则， 因为为的平分线， 所以， 所以，又， 故，因此． （2）三角形面积：； 由（1）可知：． 例2．（2026·江苏连云港·模拟预测）在中，，点在边上，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设、（），利用正弦定理结合互补角的正弦值相等求出； （2）通过余弦定理求得，再用勾股定理计算. 【详解】（1）设，，， 在中，，故， 因为 ，所以， 在中，由正弦定理得， 代入，得：，化简得 ，结合，解得； （2）在中，，，， 由余弦定理得：，故， 由，得，即， 在中，由勾股定理得：. 例3．（2026·湖南株洲·三模）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，，，． (1)求AD长； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解即可； （2）先求的三角函数，利用倍角得的三角函数，再由圆内接四边形性质得，通过三角恒等变换可得，在中用正弦定理求，最后用面积公式计算即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 代入，，，得 ， 整理得，解得（不符合边长要求，舍去）. （2）在中，由余弦定理得， 所以，又因为，所以，， 四边形为圆内接四边形，，所以，， 所以，即，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 所以. 变式1．（25-26高一下·广东惠州·期中）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛A，B，C，D，小岛B与小岛A，小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为海里，角A为钝角，且． (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)15平方海里． 【分析】(1)求：放在中解三角形，由题意可得、的值以及的正弦值，即两边及一边的对角已知，求另一边对角的正弦值，可利用正弦定理求解； (2)求的面积，利用面积公式，已知边、长；利用圆内接四边形的性质可知角与互补，由此得到；已知两边一角可用余弦定理求出第三边长，因此面积可用公式： ，求出的面积． 【详解】（1）由题意知：在中，，，； 由正弦定理得：，即， 解得． （2）因为A、B、C、D四点共圆，所以， 又A为钝角，故为锐角； 所以，故． 在中，，； 由余弦定理得：， 即， 整理得：，解得（海里）（负值已舍去）； 所以的面积为： （平方海里）． 变式2．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）如图，在四边形，，，. (1)若，，求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理证得为等腰直角三角形，再由余弦定理求即可； （2）设，在与中利用正弦定理结合可得，展开化简即可得其正切值. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 即， 解得，所以， 则为等腰直角三角形，所以， 则． 在中，由余弦定理得 ， 所以． （2）设，则由题意可知，． 在中，由正弦定理得，即， 即， 在中，由正弦定理得，即，即， 又，所以， 所以，解得，所以． 变式3．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在平面四边形中，.    (1)若，求； (2)判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由； (3)若，设的面积分别为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)是， (3) 【分析】（1）直接根据余弦定理即可得结果； （2）分别在和中，两次运用余弦定理即可得结果； （3）根据三角形面积公式结合（2）中的结论，将表示为关于的函数，求其函数值域即可. 【详解】（1）设，则. 由，得. 在中，. （2）在中， . 在中， ， 则， 得， 故是定值，且该定值为. （3）， ， 则. 由（2）可知， 则， 则. 设，则. 由，得. 令，则. 易知函数在内单调递减，则， 则， 则， 故的取值范围为. 考点二 几何图形中的计算问题 例1．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）如图，在等腰直角三角形中，，，是的重心，过的直线与线段，分别交于，两点，记． (1)求的取值范围． (2)记的面积为． （ⅰ）当时，求的值； （ⅱ）求关于的函数解析式，并求的最值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ），最大值为1，最小值为． 【分析】（1）先利用重心的性质确定直线PQ的旋转边界，找到的最大值和最小值；再通过余弦定理计算这两个临界值的余弦值；最后结合余弦函数的单调性，得到的取值范围； （2）（ⅰ）当时， ,利用相似三角形的面积比求解； （ⅱ）利用正弦定理把边化角，然后代入面积公式，得到关于的函数解析式，再由的取值范围得到的最值. 【详解】（1）如图，连接BO并延长交AC于点E，连接CO并延长交AB于点D． 因为O是的重心，所以D，E分别为AB，AC的中点． 又是等腰直角三角形，， 所以． 由图可知，当点P与点B重合时，取得最大值， 此时． 当点P与点D重合时，取得最小值， 此时． 因为函数在上单调递减， 所以的取值范围为． （2）（i）当时，，则． （ii）在中，由，可得， 由正弦定理可得， 则， 同理可得， 则． 由（1）可知，则． ， 由，可得，则， 即S的最大值为1，最小值为． 例2．（25-26高一下·湖北·期中）在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，. (1)求角C的大小； (2)若，求的面积； (3)记边a、b、c的高分别为、、，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意及正弦定理得，化简即得； （2）化简得到，即，又由，得到，从而得到，进而得到是等边三角形，即可求其面积； （3）先利用面积公式化简得到，再利用正弦定理和三角恒等变换化简得到，在锐角中， 则在上单调递减，从而，所以. 【详解】（1）由正弦定理可得， 即， ∴, 又∵，∴， ∵，∴. （2） ， ∵，∴，∴， 又∵，∴，从而，， 由（1）知，∴是等边三角形，面积为. （3）由题得到， ∵， ∴， ， 在锐角中，∵，∴，， ∴在上单调递减， 从而， 即， ∴. 例3．（25-26高二上·云南·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)求； (2)若D是边的中点，，，求的面积； (3)求的最大值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合同角三角关系运算求解即可； （2）根据中点可得，结合数量积可得，进而可求面积； （3）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，换元结合二次函数求最值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又因为， 代入整理可得， 且，则，可得， 联立方程，解得或（舍去）， 所以. （2）因为是的中点，则， 两边平方可得， 即，解得，， 又因为，所以. （3）由正弦定理可得， 且，， 则 . 令，则， 所以当时，取得最大值. 变式1．（24-25高一下·海南·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)在锐角中，角的对边分别为，若，求周长的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由的图象，求得，得到，得到，再由，即，求得，即可函数的解析式及对称中心； （2）由，求得，由正弦定理得，得到，化简得到的周长为，结合为锐角三角形，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得， 可得，所以，所以， 又由，即， 解得，即， 因为，所以， 所以函数的解析式为； 令，可得， 所以的对称中心为. （2）解：因为，可得，即， 因为，可得，所以，所以， 又因为，由正弦定理可得，则， 所以的周长为 因为，可得， 所以， 因为为锐角三角形，可得，可得，可得， 则，可得， 所以的周长为. 变式2．（24-25高一下·河北石家庄·阶段检测）在中，角所对的边分别为，已知且． (1)求角的大小． (2)若的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式得，再由三角形内角的性质及辅助角公式得，即可得； （2）由三角形面积公式得，再应用余弦定理求边长，即可得； （3）由题设得、，再应用三角恒等变换有，最后由正弦型函数的性质求范围. 【详解】（1）由题设及正弦边角关系，知， 又， 所以，又， 则，即， 因为，所以，所以，即； （2）由题设，则， 所以， 所以三角形周长为； （3）由（1）知，则，而，得， 所以， 而，故，则的范围为. 变式3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，角的对边分别为，已知． (1)求A的值； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若为锐角三角形，且的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，所以，进而得到，即可求得的大小； （2）由正弦定理化简得到，再由为锐角三角形，得到，求得的范围，进而得到的取值范围； （3）由余弦定理得和，得到，化简，根据，得到，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理，可得， 所以， 因为， 所以， 因为，可得，所以，所以， 又因为，所以. （2）解：由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 则，可得，所以. （3）解：由余弦定理，可得，即， 又由 则， 由 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，则，即， 所以，即的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：正余弦定理与三角函数的性质结合应用问题、几何图形中的计算问题专项训练 暑假培优：正余弦定理与三角函数的性质结合应用问题、几何图形中的计算问题专项训练 考点一 正余弦定理与三角函数的性质结合应用问题 考点目录 正余弦定理与三角函数的性质结合应用问题 几何图形中的计算问题 例1.(2026山西析州模拟预测)在△ABC中，点D在边BC上，且AD为∠A的平分线.已知∠A=60°， 4B+AC=4.AD=3 (1)求AB·AC: (2)求△ABC的面积和BC2. 例2，(2026-江苏连云港模拟预测)在AHBC中，AB-1r点D在边AC上，∠ABD-,∠D8C=君 6 AD=2CD (1)求BC: (2)求BD. 1 暑假培优：正余弦定理与三角函数的性质结合应用问题、几何图形中的计算问题专项训练 列3.(2026湖南株洲三模)如图，四边形ABCD为圆内接四边形，B=5,BD=35,CosA= 51 (1)求AD长： (2)若∠CDB=2LADB,求△BCD的面积. 变式1.(25-26高一下·广东惠州期中)如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛A,B,C,D,小岛B 与小高4，小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为35海里，角4为钝角，且sm4 -5 A (I)求sin∠ADB的值： (2)求△BCD的面积. 2 暑假培优：正余弦定理与三角函数的性质结合应用问题、几何图形中的计算问题专项训练 ABCD AD=2N2BC∠BCD=45°∠ADC=120° 变式2.(25-26高一下·内蒙古赤峰期中)如图，在四边形 (1)若BD=10N2,CD=20,求AC: (2)若∠BAD=30°，求tan∠BDC的值 AB=BC=CD= 2 AD 变式3.(25-26高一下河北保定期中)如图，在平面四边形ABCD中， 2 D BD 5 (1)若AD2,求coS∠BCD; (2)判断 2cos∠BMD-cos∠BCD是否为定值若是，求出该定值；若不是，说明理由： 3)若AB<BD<V2AB:设△ABD,ABCD的面积分别为S,S,:求S,的取值范围 3 暑假培优：正余弦定理与三角函数的性质结合应用问题、几何图形中的计算问题专项训练 考点二 几何图形中的计算问题 例1.(25-26高一下河北邢台·阶段检测)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=2,O是△ABC 的重心，过O的直线与线段AB,AC分别交于P,Q两点，记∠AOP=0. (1)求cos0的取值范围. (2)记△AP的面积为S. (i)当8=90°时，求S的值： (ⅱ)求S关于B的函数解析式，并求S的最值. 例2.(25-26高一下湖北期中)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C,且满足 acos B+bcos A=2ccosC,a=2. (I)求角C的大小： (2)若sin4sinB≥ 4,求AABC的面积； ③)记边a6,c的高分别为么、乐、么，求么+么+的取值范围 暑假培优：正余弦定理与三角函数的性质结合应用问题、几何图形中的计算问题专项训练 例3.(25-26高二上·云南开学考试)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 3a=√7 csin B+3 bcosC D (1)求cosB; @若D是边4C的中点，BD=32=V70,求4MBC的面积： a2-2b2 (3)求c2 的最大值， 变式1，(2425高-下海南阶段检湖)已知函数/=2sn(or+po>0至0<孕的部分图象如图所示 -2 (1)求函数 f() 的解析式及对称中心： (②在锐角△MBC中，角4，B,C的对边分别为a,6c,若(C)=VB,c=4,求41BC用长的取值范围， 暑假培优：正余弦定理与三角函数的性质结合应用问题、几何图形中的计算问题专项训练 变式2.(2425高一下·河北石家庄阶段检测)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,己知且 acosC+3csinA=b+c (I)求角A的大小. (②)若b-341BC 3V3 面积为33，求△ABC的周长. (3)若△ABC为锐角三角形，求2CosB+cosC的取值范围. 变式3.(2425高-下江苏无锡期中)在△1BC中，角4，B, 的对边分别为4，b,c,己知 b(tanA+tanB)=2ctanB (1)求A的值： b (②)若。ABC为锐角三角形，求c的取值范围： ③)若。4BC为能角三角形，且。BC的面积为g,求++C S 的取值范围.