暑假培优：解三角形中周长、线段长、面积的最值与范围问题专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦解三角形中周长、线段长、面积的最值与范围问题，通过分层例题与变式构建系统性训练，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |周长的最值与范围|3例+3变式|结合锐角三角形条件，综合运用正余弦定理|从基本定理应用到动态范围分析，构建"角-边-周长"逻辑链| |线段长的最值与范围|3例+3变式|含中线、角平分线等特殊线段，融合函数思想|以线段关系为核心，渗透转化与化归思想，强化几何直观| |面积的最值与范围|3例+3变式|涉及面积公式、内切圆等，结合不等式求最值|建立"面积-边角关系-最值条件"推导路径，培养数学运算素养|

暑假培优：解三角形中周长、线段长、面积的最值与范围问题专项训练 暑假培优：解三角形中周长、线段长、面积的最值与范围问题专项训练 考点目录 解三角形中周长的最值与范围问题 解三角形中线段长的最值与范围问题 解三角形中面积的最值与范围问题 考点一 解三角形中周长的最值与范围问题 例1．（25-26高二下·四川成都·期末）在中，角所对的边分别为.已知 (1)若，，求的面积； (2)若，求的周长的取值范围； (3)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由正弦定理并结合条件可得，再由三角形的面积公式可得； （2）先由正弦定理将边化为，，进而可得，再由的范围可得周长的范围； （3）由（2）的分析得，再由锐角三角形得，进而可得三角形周长范围. 【详解】（1）根据正弦定理，将等式化为， 又，代入化简得， 因为，所以， 所以，，结合，所以. 又因为在中，，，​， 由三角形面积公式得. 因此的面积为. （2）由（1）分析知，且，由正弦定理​， 得，，且，. 所以 ， 由，得，故. 所以三角形的周长. 因此周长的取值范围为. （3）因为为锐角三角形，且，由（1）分析知， 由（2）分析得，，且， 因为为锐角三角形，. 所以 ， 由，得，故. 所以三角形的周长. 因此周长的取值范围为. 例2．（25-26高一下·福建厦门·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且． (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由两向量平行的坐标公式建立边和角的等量关系，再结合正弦定理、余弦定理求出角；（2）利用正弦定理，将求周长边的关系问题，转化为利用三角函数求三角函数值的问题，即可求出三角形周长的取值范围. 【详解】（1）（1）由题意知，，， 则， 由正弦定理得，所以， 化简整理得，由余弦定理得， 因为，所以． （2）（2）由（1）知，则由正弦定理得， 所以，， 则 ， 因为为锐角三角形，所以，，解得， 则，，所以， 又，所以，即周长的取值范围为． 例3．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求角； (2)若，的面积为，求的值； (3)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过正弦定理角化边，因式分解后结合余弦定理求角； （2）直接代入面积公式求解参数； （3）利用正弦定理边角互化，结合三角函数值域求周长范围. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 化简得. 因为，则，故有. 又由余弦定理， 又，得. （2）由可得， 又，联立解得. （3）由正弦定理得，故. 因，易得，又，则， 则， 因，故，得. 因此周长. 变式1．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）已知的内角所对边分别为，，． (1)求的外接圆的周长． (2)若为锐角三角形，求ΔABC周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角形内角关系化简已知等式，结合正弦定理求角，再利用正弦定理求外接圆周长； （2）利用正弦定理列出周长表达式，利用三角形是锐角三角形求出的取值范围，进而求出周长的取值范围． 【详解】（1）由，得，， 故，， 可化为， 由正弦定理，则， 在中，，则，由二倍角公式得， ，则，， ，则，． 由正弦定理，故， 外接圆周长． （2）的周长，由，结合正弦定理得， ， ,则 ， 是锐角三角形，则三个内角均小于， ，解得， ，， 故， ． 变式2．（25-26高一下·黑龙江大庆·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，求周长的取值范围； 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由余弦定理即可得解； （2）由面积公式及余弦定理建立关于的方程组即可求解； （3）由正弦定理边化角，再结合三角函数的图象即可求解. 【详解】（1）由余弦定理可得. 已知，即. 代入得，又，故. （2）（2），，由，得， 解得.又，得， 即. 联立，解得，. （3）设周长为，则. ，，由正弦定理得，解得，. ，，. ，； ，则，，即. 周长的取值范围为. 变式3．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知锐角中，. (1)求B的大小; (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合内角和消去角A，通过恒等变换解出B的正切值从而求得角B， （2）利用正弦定理将周长转化为关于角A的三角函数，并利用锐角三角形的条件限定角A的取值范围，进而求出周长的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得， 在中，，则， 则， 即， 即，因为，所以， 则，即，因为，所以. （2）由正弦定理得， 即， 则 ， 由题意得，即，解得，则， 由正弦函数的性质得， 则，即，则. 考点二 解三角形中线段长的最值与范围问题 例1．（25-26高二下·湖北武汉·期末）在中，，其中角的对边分别为． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可得，进而利用正弦定理可得，进而利用余弦定理可求得角的大小； （2）根据三角形内角和以及为锐角三角形，从而可得出的取值范围，再将转化为关于的函数即可求解． 【详解】（1）由正弦定理，设． 原式可化为． 因为，所以． 所以由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 又因为，所以． （2）由，得． 又为锐角三角形，所以． 由，可得． 由正弦定理，． 当时，， 故． 例2．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足， (1)求证：； (2)若，求的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1)证明：由已知条件， 利用二倍角公式，有，， 代入已知等式得， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以，则， 因为和均为锐角，正切函数在上单调递增， 所以，即. (2) (3) 【分析】（1）利用商数关系、二倍角正余弦公式化简条件为，根据三角形内角性质及正切函数性质即可证； （2）由正弦边角关系及（1）结论得，再应用平方关系、二倍角正弦公式求函数值； （3）由正弦边角关系及（1）结论，应用三角恒等变换得，且，应用换元法及余弦函数的区间值域及二次函数的性质求范围. 【详解】（1）略 （2）由正弦定理，可得， 因，则， 由（1）知，代入上式得，解得， 因为为锐角，所以， 所以； （3）由正弦定理， 因为，且， 所以①， 因 ， 代入①得， 则， 由可得， 令，因为，所以， 设，可知在上单调递增， 而，，故， 即的取值范围是. 例3．（25-26高一下·湖北孝感·期末）在中，角所对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若是线段的中点，且，，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角可求得，进而得到； （2）利用余弦定理和向量运算可构造方程组求得，代入三角形面积公式即可； （3）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、二倍角和辅助角公式可将问题转化为正弦型函数值域问题的求解；根据的范围可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得：，，即， ，. （2）由余弦定理得：…①； 为线段的中点，， ，即…②， ②①得：，解得：， . （3）由正弦定理得：，，， ； 为锐角三角形，，解得：， ，，， 又，，即的取值范围为. 变式1．（25-26高一下·江苏常州·期末）记的内角的对边分别为，面积为，已知，． (1)求； (2)若边上的中线，求； (3)若，点分别在边上，线段将分成面积相等的两部分，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）根据余弦定理以及三角形的面积公式求解即可. （2）根据余弦定理求出，以及三角形面积公式求解即可. （3）根据三角形面积以及基本不等式求解即可. 【详解】（1）已知，则，解得. 因为，所以. （2），是边上的中线，    在中，. 根据余弦定理，，代入化简得. 已知，，所以，即. 由(1)知，因此. 所以. （3）由，，解得，.    由正弦定理，解得，， 则. 设，，由平分面积得 . 结合得. 由余弦定理， 由基本不等式，等号成立当且仅当， 因此最小值为. 变式2．（2026·广东肇庆·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，且 (1)求角； (2)已知，为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理边角互化，然后借助辅助角公式化简三角函数式，结合内角范围即可求出角； （2）先用正弦定理把边化为角的正弦，然后利用三角恒等变换化简，再由锐角三角形约束的范围，最后结合正弦函数的单调性即可得出的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理得： ， 因为，所以，则， 即，， 因为，则，所以，即. （2）因为，，所以， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以， 所以， 所以． 变式3．（25-26高一下·陕西·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)判断的形状并说明理由. (2)已知的面积为. （i）若，求的值； （ii）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)等腰三角形，因为，根据正弦定理，所以 ，则 ， 则 . 因为，，所以 ，则 ， 则 ，即，从而为等腰三角形. (2) （i）或；（ii）. 【分析】（1）根据正弦定理以及同角三角函数的关系化简得到 ，再求解即可. （2）（i）根据三角形面积公式求出，再余弦定理求出. （ii）根据（i）得到，再根据余弦定理得到，结合等腰三角形以及锐角三角形求出的范围，进而得到的取值范围. 【详解】（1）略 （2）（i）因为的面积为，所以. 又，所以 ， 即，则. 由余弦定理知. 当时，，得； 当时，，得. （ii）由（i）可得 ，则. 因为为锐角三角形，且，所以 解得，则，则 ， 则 ，故的取值范围为. 考点三 解三角形中面积的最值与范围问题 例1．（25-26高一下·陕西西安·期末）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，可得，即可得； （2）借助正弦定理与三角形内角和关系可将用表示，再利用三角形面积公式及的范围计算即可得. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，所以， 则，因为，∴； （2）因为，所以， ，因为为锐角三角形， 则，所以，则， 故，， 所以面积的取值范围为. 例2．（25-26高一下·安徽马鞍山·期末）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若且. (1)求角； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设结合正弦定理及同角三角函数的基本关系化简求解即可； （2）由余弦定理可得，再根据基本不等式可得，进而结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由， 根据正弦定理，得， 在中，，则，即， 因为，所以. （2）由余弦定理，得，而，， 则，当且仅当时取等号， 所以，则， 故面积的最大值为. 例3．（25-26高一下·福建莆田·期中）在中，角A，B，C的对边分别为的面积为．已知． (1)若，求的值； (2)若，求的最小值； (3)若分别在边上，且，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理结合三角形面积公式得到，再利用余弦定理求解余弦值即可； （2）利用余弦定理和三角形面积公式并结合换元法得到，再利用辅助角公式并结合正弦函数的有界性列出不等式，求解参数范围，最后求出最小值即可； （3）设，由正弦定理分别表示出，由得出的关系，再根据辅助角公式及正弦函数的最值即可求解． 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 因为，所以， 所以由余弦定理得． （2）由三角形面积公式得，且，解得， 由余弦定理得 ， 令，则，， 即，其中， 可得，解得， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． （3）由题意得，而，可得， 又，所以，则，因为，所以为等边三角形，则， 设，则， 在中，， 在中，， ， 由正弦定理得，， 由得，， 所以， 因为，其中， 由得，则，当时取等号， 此时， 所以． 变式1．（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）在中，角的对边分别为，且 ． (1)求角的值； (2)若的面积为，内角的平分线交边于点，，求的长； (3)若为边上一点，满足，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）利用正弦定理将角的正弦转化为边，得到边的关系式；再结合余弦定理，即可求出角的值； （2）先根据三角形面积公式和已知条件求出边的长度，再利用角平分线性质或三角形面积分割法，结合三角形面积公式建立关于的等式，进而求解的长； （3）根据，再结合向量将的长度与三角形的边、角建立联系，然后利用基本不等式，求出三角形面积的最大值. 【详解】（1）， 由正弦定理，得，即． 由余弦定理，得，所以． ，． （2） ，， 由，得． ，． 平分，． ， ； ． （3），，即，得 ． ， ，，即，解得 ，当且仅当时，即时等号成立． ， 即的面积最大值为． 变式2．（25-26高三下·安徽·阶段检测）已知长方形中，，点分别在线段上（不含端点位置），且． (1)若，求的面积； (2)求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知依次求出和即可计算求解； （2）由题设设，求出即可由正弦定理的面积公式结合三角恒等变换公式以及三角函数性质计算求解. 【详解】（1）因为，， 所以， 又，， 所以， ， 所以， 所以的面积为 ； （2）由题可设，则， 又，所以，， 所以面积为， 因为，所以，所以， 所以，则， 所以面积的最小值为. 变式3．（25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）在中，角的对边分别为．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用和角公式及诱导公式化简，借助于同角三角函数式和特殊角的函数值即得答案； （2）由三角形面积公式得，由等面积法得出，结合余弦定理即可求得边； （3）根据等面积法，可得与的关系，再利用基本不等式求得的最小值，继而可得三角形面积最小值． 【详解】（1）由，得， 所以， 所以，即. 因为，所以. （2）由题可知，化简得. 由余弦定理知，即， 所以，解得.    （3）因为的面积为， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，即， 所以的面积， 当且仅当时，的面积取得最小值，最小值为.      2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：解三角形中周长、线段长、面积的最值与范围问题专项训练 暑假培优：解三角形中周长、线段长、面积的最值与范围问题专项训练 考点目录 解三角形中周长的最值与范围问题 解三角形中线段长的最值与范围问题 解三角形中面积的最值与范围问题 例1.(25-26高二下四川成都期末)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C.已知3 bsinC+ecosBa. 考点一 (1若公=2b= 解三角形中周长的最值与范围问题 ，求4B( 的面积； (2)若c=2,求△ABC的周长的取值范围： (3)若△ABC为锐角三角形，且C=2,求△ABC的周长的取值范围. 例2.(2526高一下福建厦门期末)已知△MBC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量” m=(a+b,sinC) =(b-c,sin B-sin A) 且m伤 (1)求A: (2)若△ABC为锐角三角形，且a=3,求△ABC周长的取值范围. 暑假培优：解三角形中周长、线段长、面积的最值与范围问题专项训练 例3.(25-26高一下贵州遵义阶段检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 a(sin2A-sin2C）=b(sin2B-sin2C）A≠B. (1)求角C; (2)若a=2b△ABC 2W3 b 的面积为，求的值： 6)若c25 求4ABC 周长的取值范围 变式1.(25-26高一下河南南阳·阶段检测)已知△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,C, asin 4C=bsin(B+C),b= (1)求△ABC的外接圆的周长. (2)若△ABC为锐角三角形，求ABC周长的取值范围. 暑假培优：解三角形中周长、线段长、面积的最值与范围问题专项训练 变式2.(25-26高一下黑龙江大庆期中)已知4，b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且 b2+c2=a2+bc」 (1)求A: (2)若a=2△ABC 的面积为，求b,c; (3)若a=2,求△ABC周长的取值范围； 变式3.(25-26高二下浙江阶段检测)已知锐角A1BC中，4=bcsC+V3 -csin B 3 (1)求B的大小： (2)若b=2,求△ABC周长的取值范围. 暑假培优：解三角形中周长、线段长、面积的最值与范围问题专项训练 考点二 解三角形中线段长的最值与范围问题 例1.(25-26高二下~湖北武汉期末)在△ABC中，asinA+-asinBcosC+-csinBcosA=csinC+bsinA,其中角A,B,C 的对边分别为a,b,c. (1)求角C的大小： b (2)若。ABC为锐角三角形，求a的取值范围。 例2.(25-26高一下江苏南京期末)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且满足 sin Atan B=1-cos A, (1)求证：A=2B: (2)若3a=2b,求sinA的值： a+c (3)求b的取值范围 暑假培优：解三角形中周长、线段长、面积的最值与范围问题专项训练 cosA a 例3.(25-26高一下·湖北孝感期末)在。ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,且满足sinB-56 (1)求角A的大小： ②考P是线段8C的中点，且a=2D=5,求8， ，求 b2-c2 (3)若。ABC为锐角三角形，a=2:求a一的取值范围. 变式1.(25-26高一下江苏常州期末)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,面积为S,己知 a2+-c2-4 3°，c=25. (1)求C: (2)若边AB上的中线CD=2,求S: (3)若B=3A,点D,E分别在边AC,BC上，线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，求DE的最小值. 暑假培优：解三角形中周长、线段长、面积的最值与范围问题专项训练 变式2.(2026广东肇庆模拟预测)己知a,b,C分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且 3csin A+acos C-2a=0 (1)求角C: (2)已知C=V5.△AB 为锐角三角形，求2a-b的取值范围. 变式3.(25-26高一下陕西期中)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且atanA=btanB. (1)判断△ABC的形状并说明理由 (2)已知△ABC的面积为2. v15 Q= (i)若3，求c的值： (i)若△ABC为锐角三角形，求c的取值范围. 6 暑假培优：解三角形中周长、线段长、面积的最值与范围问题专项训练 考点三 解三角形中面积的最值与范围问题 例1.(25-26高一下陕西西安·期末)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 3acos C-csin A=0 (1)求C: (2)若a=2,求△ABC面积的取值范围. 例2.(25-26高一下安徽马骸山期末)已知△1BC内角4，B,C的对边分别为a,6.c若0=25 asin B+3bcos 4=0 (1)求角A: (2)求△ABC面积的最大值 暑假培优：解三角形中周长、线段长、面积的最值与范围问题专项训练 例3.(25-26高一下福建莆田期中)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为4，b,C△ABC的面积为S.己知 sinB=√3sinC ()若a2-c2=2S sinA,求cosA的值； 3 ②)若S=2,求a的最小值： 3)若A-π，。 =2c=LP,L,R分别在边AB,BC,CA上，且PO=QR=RP,求APOR面积的最小值. 变式1.(25-26高一下甘肃酒泉·期中)在△ABC中，角A,BC的对边分别为a,b,C,且 (a-c)(sin4+sinc)=(b-c)sinB (1)求角A的值： ②考△1BC的面积为5，内角的平分线交边BC于点5,6=2，求1E的长： (3)若D为边BC上一点，满足BD=2CD,且AD=2,求△ABC面积的最大值. 暑假培优：解三角形中周长、线段长、面积的最值与范围问题专项训练 变式2.2526高三下安徽阶段检测)已知长方形48CD中，B=V5D=3,点M,N分别在线段4D,B上 (不含端点位置)，且∠MCN=45°. (I)若∠MCD=15°，求△MCN的面积： (2)求△MCN面积的最小值. 变式3.(25-26高一下河北石家庄阶段检测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C.且满足 3(sin Bsin A-cos Bcos A)=sinC (I)求角C的大小： 的面积S=10 (2)若4AB ，内切圆的半径为=5。武 =3,求； (3)若∠ACB的平分线交AB于D,且CD=2，,求△ABC的面积S的最小值.】