暑假培优：证明异面直线问题、证明三点共线问题、证明四点共面问题专项训练-2026年人教A版数学高一升高二暑假培优

**基本信息** 聚焦立体几何中空间位置关系证明，以异面直线、三点共线、四点共面为核心模块，构建递进式训练体系 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |证明异面直线问题|2例+2变式|结合多面体、翻折情境，需用判定定理或反证法|从线线位置关系切入，培养空间观念与推理意识| |证明三点共线问题|2例+2变式|依托正方体、长方体及空间四边形，利用公理2证点在交线上|衔接线面相交，深化平面交线性质的应用| |证明四点共面问题|2例+2变式|涉及矩形、正方体及四面体，通过线线平行或平面基本性质证共面|递进至点面关系，强化几何直观与逻辑推理|

暑假培优：证明异面直线问题、证明三点共线问题、证明四点共面问题专项训练 暑假培优：证明异面直线问题、证明三点共线问题、证明四点共面问题专项训练 考点目录 证明异面直线问题 证明三点共线问题 证明四点共面问题 考点一 证明异面直线问题 例1．（25-26高一下·江苏南通·期末）如图，在多面体中，平面平面，在平行四边形和四边形中，，点，分别是，的中点，，，． (1)判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)证明：； 例2．（25-26高一下·上海·期末）如图，四边形和都是边长为1的正方形，且二面角的大小为． (1)证明：直线和是异面直线； (2)求直线与所成的角的余弦值； (3)求点B到平面的距离． 变式1．（25-26高二上·上海金山·期末）如图，在平行四边形中，，，，沿将翻折至的位置，使得平面平面是线段所在直线上的动点（与点不重合），是的中点． (1)证明：直线与是异面直线； (2)证明：平面； (3)求点到平面距离的最大值． 变式2．（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知三棱锥满足，. (1)证明：直线与直线是异面直线； (2)若为的中点，为的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 考点二 证明三点共线问题 例1．（25-26高一下·河南·期中）在正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且. (1)若正方体的所有顶点均在球的球面上，球的表面积为，求球的体积及正方体的体积； (2)若平面，平面，平面，证明：三点共线. 例2．（25-26高一下·山西运城·期中）如图，在正方体中，为棱的中点，为棱的中点. (1)连接并延长，交平面于点，求证：三点共线； (2)点在棱的延长线上，且，求证：平面平面. 变式1．（25-26高一下·福建福州·月考）如图，在长方体中，，截面． (1)求证：B、P、三点共线； (2)若，，，求DP的长． 变式2．（25-26高一下·广东惠州·月考）已知是空间四边形，如图所示（，，，分别是、、、上的点）． (1)若直线与直线相交于点，证明，，三点共线； (2)若，为，的中点，，，，求异面直线与所成的角的余弦值． 考点三 证明四点共面问题 例1．（25-26高一下·广东东莞·月考）如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，，分别是，的中点． (1)证明：四点共面． (2)证明：直线，，经过同一点． 例2．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，在边长为4的正方体中，点分别为棱，，，的中点，点分别是棱上的一点，且 (1)求证：四点共面； (2)求证：平面； (3)试求三棱锥的体积. 变式1．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，四面体中，、分别是、的中点，、分别是、边上的点，且（）. (1)证明：、、、四点共面； (2)设四面体的各棱长均为6. （ⅰ）当时，求四边形的周长； （ⅱ）求四面体外接球与内切球的半径. 变式2．（25-26高一下·河北衡水·期中）如图，在正方体中为的中点，为棱的中点，为棱的中点． (1)求证：四点共面； (2)求证：平面； (3)求正方体的外接球的表面积和体积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：证明异面直线问题、证明三点共线问题、证明四点共面问题专项训练 暑假培优：证明异面直线问题、证明三点共线问题、证明四点共面问题专项训练 考点目录 证明异面直线问题 证明三点共线问题 证明四点共面问题 考点一 证明异面直线问题 例1．（25-26高一下·江苏南通·期末）如图，在多面体中，平面平面，在平行四边形和四边形中，，点，分别是，的中点，，，． (1)判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)证明：； 【答案】(1)异面，理由为： 如图所示，取中点，连接，，则， 因为四边形为平行四边形，所以，， 又因为，且， 所以，且， 则四边形为平行四边形，且，， 所以且， 所以四边形为平行四边形，且， 又，且平面， 所以与异面. (2)因为，是的中点，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 【分析】（1）根据平行传递性证明线线平行，进而证明直线异面； （2）根据面面垂直证明线面垂直，即可证明异面直线垂直. 【详解】（1）略 （2）略 例2．（25-26高一下·上海·期末）如图，四边形和都是边长为1的正方形，且二面角的大小为． (1)证明：直线和是异面直线； (2)求直线与所成的角的余弦值； (3)求点B到平面的距离． 【答案】(1)如图： 因为平面，平面，且直线，平面， 所以直线和是异面直线. (2) (3) 【分析】（1）利用异面直线的判定定理证明两直线异面. （2）先明确两异面直线所成的角，利用三角形的边角关系求角. （3）利用等体积法求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）∵，，所以即为二面角的平面角，等于. 又，所以为等边三角形，所以. 又平面，且，所以平面. ∵，所以平面. 平面，所以. 又，所以. 又因为，所以即为异面直线与所成的角，即为. 在中，，，， 所以. （3）因为平面，平面，所以平面平面. 取中点，连接，则， 又平面平面，平面，所以平面. ∵是边长为1的等边三角形，所以. 所以. 又中，，， 所以. 设到平面的距离为， 则. 变式1．（25-26高二上·上海金山·期末）如图，在平行四边形中，，，，沿将翻折至的位置，使得平面平面是线段所在直线上的动点（与点不重合），是的中点． (1)证明：直线与是异面直线； (2)证明：平面； (3)求点到平面距离的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用异面直线的判定定理来进行证明即可； （2）利用面面垂直的性质定理来证明线面垂直即可； （3）利用空间向量法来求点到平面的距离，再借助二次函数求出最值即可. 【详解】（1）因为平面、平面、平面、直线， 由异面直线判定定理，直线与是异面直线． （2） 由题意得，，，， 所以．所以． 又因为平面平面、平面平面、平面， 所以平面． （3）如图，以点为原点，分别以、、的方向为、、的方向，建立空间直角坐标系． 可得点的坐标，，，设，． ，，． 设平面，．，，． 则点到平面距离． 所以当时，． 变式2．（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知三棱锥满足，. (1)证明：直线与直线是异面直线； (2)若为的中点，为的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据异面直线的定义，结合点平面，点平面，即可判断； （2）取的中点，连接，，根据平行关系可证明异面直线与所成角为（或其补角），结合余弦定理可得解. 【详解】（1）因为直线平面，点平面， 点，点平面，所以直线与直线是异面直线． （2）如图：取的中点，连接，， 因为为的中点，为的中点， 所以，， 所以异面直线与所成角（或其补角）， 因为，所以，， 在中，，则， 所以，即， 在中由余弦定理得， 因为异面直线所成角范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为. 考点二 证明三点共线问题 例1．（25-26高一下·河南·期中）在正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且. (1)若正方体的所有顶点均在球的球面上，球的表面积为，求球的体积及正方体的体积； (2)若平面，平面，平面，证明：三点共线. 【答案】(1)8 (2) 因为平面，所以平面，且， 又平面，所以平面， 同理，平面平面，所以平面平面， 同理，平面平面，所以， 即三点共线. 【分析】（1）根据外接球表示出球的半径，再根据球的表面积列方程求出半径，再求出球的体积以及正方体体积. （2）根据平面的性质可得点在平面与平面的交线上，同理可得点也在两平面的交线上，即可得证； 【详解】（1）设正方体的棱长为，则球的半径， 所以球的表面积，所以， 所以球的体积， 正方体的体积. （2）略 例2．（25-26高一下·山西运城·期中）如图，在正方体中，为棱的中点，为棱的中点. (1)连接并延长，交平面于点，求证：三点共线； (2)点在棱的延长线上，且，求证：平面平面. 【答案】(1) 点直线，直线平面，所以点平面. 又因为点平面，所以点为平面与平面的公共点， 又因为平面平面，故点在直线上. 故三点共线. (2) 取的中点，连接， 因为为棱的中点，所以， 又因为，所以. 又，所以四边形为平行四边形， 所以. 因为， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 又因为平面平面，所以平面. 因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面. 又因为平面，平面， 所以平面平面. 【详解】（1）略 （2）略 变式1．（25-26高一下·福建福州·月考）如图，在长方体中，，截面． (1)求证：B、P、三点共线； (2)若，，，求DP的长． 【答案】(1)见解析； (2). 【分析】（1）证明出点在平面与平面的交线上即可； （2）由（1）推理出点为与交点，利用三角形重心的特点即可得到答案. 【详解】（1）平面， 所以平面，又平面, 平面平面，所以, 即三点共线. （2）连接，再连接，交于点，由（1）及， 则点为与交点， ，四边形为平行四边形， 是中点，又是的中点, 所以点是的重心,所以, 又因为,所以, 所以. 变式2．（25-26高一下·广东惠州·月考）已知是空间四边形，如图所示（，，，分别是、、、上的点）． (1)若直线与直线相交于点，证明，，三点共线； (2)若，为，的中点，，，，求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面公理1证明直线在平面内，再结合公理3证明点在直线是，即可得证； （2）根据异面直线的定义找异面直线夹角，结合余弦定理即可求得异面直线与所成的角的余弦值． 【详解】（1）因为，，平面，平面， 所以平面， 因为，，平面，平面， 所以平面， 由于直线与直线相交于点， 即，平面，，平面， 又有平面平面，则， 所以，，三点共线. （2）连接，作的中点，并连接，，如图所示： 在中，点，分别是和的中点，且， 所以，且， 在中，点，分别是和的中点，且， 所以，且， 则异面直线与所成的角等于直线与所成角，即或的补角， 又，由余弦定理得：， 故异面直线与所成的角的余弦值. 考点三 证明四点共面问题 例1．（25-26高一下·广东东莞·月考）如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，，分别是，的中点． (1)证明：四点共面． (2)证明：直线，，经过同一点． 【答案】(1)证明：连接，因为是的中位线，所以 ． 因为，是两个全等的矩形， 所以 ， 所以 ，则四边形为平行四边形，从而． 又因为，所以 ，故四点共面． (2)证明：为梯形，设 ， 因为平面 平面，所以平面 平面． 又因为 ，所以，即直线经过同一点 ． 【分析】(1)利用中位线定理和平性定理证明，从而四点共面； (2)设两直线交于一点，利用线面关系和面面交线证明该点在上. 【详解】（1）略. （2）略. 例2．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，在边长为4的正方体中，点分别为棱，，，的中点，点分别是棱上的一点，且 (1)求证：四点共面； (2)求证：平面； (3)试求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，利用直线平行的传递性证明即可； （2）方法一：连接，结合图形几何关系利用线面平行判定定理证明；方法二：利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论； （3）利用题干比例关系，转换棱锥底面，结合等体积法求解即可. 【详解】（1）连接，因为点分别为棱，的中点， 所以，           又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以，               所以，     所以四点共面； （2）方法一：在正方体中，连接， 点分别为棱，的中点， ，             ，                               四边形为平行四边形 ， ， 平面，平面， 平面.                             方法二：连接、分别交、于点，连接， 在正方体中，且，     所以，则，              同理可得，                          所以，所以，                   又平面，平面，             所以平面； （3）正方体的边长为4，为棱的中点，                                                        变式1．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，四面体中，、分别是、的中点，、分别是、边上的点，且（）. (1)证明：、、、四点共面； (2)设四面体的各棱长均为6. （ⅰ）当时，求四边形的周长； （ⅱ）求四面体外接球与内切球的半径. 【答案】(1) 、分别是、的中点，故为的中位线， 故， 、分别是、边上的点，，故， 故，、、、四点共面； (2)（ⅰ）周长为；（ⅱ）外接球半径为，内切球半径为 【分析】（1）得到，得到四点共面； （2）（ⅰ）由余弦定理等知识求出各边长，相加求周长； （ⅱ）作出辅助线，根据外接球半径相等得到方程，求出外接球半径，并根据三角形相似得到内切球半径 【详解】（1）略 （2）四面体的各棱长均为6， 故均为等边三角形， ，，故，， 且， 又， 在中，，由余弦定理得 ， 同理可得， 所以四边形的周长为. （ⅱ）连接，过点作⊥平面于点，则在上，且， 设四面体外接球的球心为，半径为，连接，则， 因为，由勾股定理得，， 故，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得； 如图所示，点为四面体内切球球心，内切球与切于点， 与切于点，设内切球半径为， 连接，则， 显然∽，故， 即，解得， 所以外接球半径为，内切球半径为 变式2．（25-26高一下·河北衡水·期中）如图，在正方体中为的中点，为棱的中点，为棱的中点． (1)求证：四点共面； (2)求证：平面； (3)求正方体的外接球的表面积和体积． 【答案】(1) 如图：连接. 因为分别是线段的中点，所以. 又因为在长方体中，且，所以四边形是平行四边形， 所以，因此，根据平面的性质，四点在同一个平面内， 所以四点共面. (2) 连接，交于点，因为是正方形，对角线互相平分，所以是的中点. 又是的中点，因此在​中，是中位线，故. 因为平面，平面，且， 由线面平行判定定理得：平面. (3)； 【分析】（1）只需证明即可证明四点共面； （2）先由中位线定理得，再由线面平行的判定定理可得； （3）根据正方体的体对角线即为外接球的直径，进而可得外接球的表面积和体积. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长， 正方体棱长，体对角线长，因此外接球半径. 所以外接球的表面积：， 外接球的体积： 2 学科网（北京）股份有限公司 $