暑假培优：利用独立事件的乘法公式求概率、利用古典概型求概率专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦独立事件乘法公式与古典概型两大概率核心模块，通过各地期末真题构建“概念理解-情境应用-变式拓展”训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用独立事件的乘法公式求概率|7例+7变式|选择/填空/解答题，涵盖两人/三人独立事件、至少/恰好发生等情境|从事件独立性判定到乘法公式应用，逐步过渡到复杂情境概率计算| |利用古典概型求概率|6例+6变式|选择/填空/解答题，涉及骰子、方格表、频率分布直方图等样本空间计算|从基本事件计数到实际问题模型构建，强化样本空间分析能力|

暑假培优：利用独立事件的乘法公式求概率、利用古典概型求概率专项训练 暑假培优：利用独立事件的乘法公式求概率、利用古典概型求概率专项训练 考点目录 利用独立事件的乘法公式求概率 利用古典概型求概率 考点一 利用独立事件的乘法公式求概率 例1．（25-26高一下·山东淄博·期末）已知两个随机事件，相互独立， ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件计算，再利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可. 【详解】由，则， 因为事件，相互独立，根据相互独立事件的概率乘法公式， 则. 例2．（25-26高一下·广东深圳·期末）甲、乙两人各进行一次射击，已知两人各自中靶的概率分别为和，若两人是否中靶相互独立，则恰有一人中靶的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设“甲中靶”为事件，“乙中靶”为事件，由题意得 ，，且与为相互独立事件. ∴ ，. ∵ 恰有一人中靶对应两种互斥情况：甲中靶且乙未中靶、乙中靶且甲未中靶， ∴ 所求概率 . ，. ∴ . 例3．（25-26高一下·江苏常州·期末）甲、乙两名同学做同一道数学题（甲乙做对与否互不影响），甲做对的概率为0.7，乙做对的概率为0.8，下列说法错误的是（   ） A．两人都做对的概率是0.56 B．恰好有一人做对的概率是0.38 C．两人都做错的概率是0.16 D．至少有一人做对的概率是0.94 【答案】C 【分析】利用独立事件概率公式和对立事件的概率公式，根据选项事件分别求其概率逐一判断即可. 【详解】已知甲乙做对与否相互独立，记甲做对为事件，则，； 乙做对为事件，则，， 依题意，事件相互独立，则. 对于A：两人都做对的概率，故A正确； 对于B：恰好一人做对的概率为，故B正确； 对于C：两人都做错的概率为，故C错误； 对于D：至少一人做对的概率为，故D正确. 例4．（25-26高一下·天津·期末）甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为___________． 【答案】/ 【分析】使用独立事件的乘法公式与互斥事件的加法公式，分情况讨论被击中两次的情况即可求解. 【详解】甲乙击中，丙未击中的概率为， 甲丙击中，乙未击中的概率为， 乙丙击中，甲未击中的概率为， 以上情况互斥，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为. 例5．（25-26高一下·天津河北·期末）天津是一个历史悠久的文化古都，五大道、石家大院、古文化街、鼓楼这四个景点是天津十分有名的旅游胜地．已知某游客游览五大道的概率为，游览石家大院、古文化街、鼓楼的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立，则该游客至少游览三个景点的概率为__________． 【答案】 【分析】分类讨论符合题干的情况，根据独立事件的概率公式计算即可． 【详解】游览三个景点： 包含五大道的概率：； 不包含五大道的概率：； 游览四个景点：； 则至少游览三个景点的概率为． 例6．（25-26高一下·陕西西安·期末）某单位有甲、乙、丙三位职工某日中午计划在单位食堂就餐，或在外边餐馆就餐.已知甲、乙、丙在单位食堂就餐的概率分别为，，，且这三人在单位食堂或在外边餐馆就餐相互独立. (1)求这三人中恰有两人在单位食堂就餐的概率； (2)求这三人中至少有一人在外边餐馆就餐的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算求解； （2）应用独立事件概率乘积公式及互斥事件概率和公式计算求解； 【详解】（1）设三人中恰有两人在单位食堂就餐为事件A， 所以； （2）设三人中至少有一人在外边餐馆就餐为事件B， 所以. 例7．（25-26高一下·云南普洱·期末）为普及普洱本土特色产业与科创知识，普洱市科技馆开展“绿色科创体验周”科普活动，设置了两个活动方案，参观者可任选一个方案进行挑战，若挑战成功将获得一份纪念品． 方案一：准备4张“绿色食品知识卡”（涵盖普洱茶､咖啡､热带水果､特色农产品）和2张“生物医药知识卡”（涵盖中药材种植､生物制造产业），参观者从6张卡片中一次性随机抽取2张，如果两张卡片类型不同（即一张绿色食品知识卡､一张生物医药知识卡），则挑战成功． 方案二：回答3道关于普洱特色产业的问题，若至少答对1道题，则挑战成功． (1)求参观者在方案一中挑战成功的概率； (2)如果小明选择方案二，已知他每道题答对的概率均为，且每道题的回答相互独立．你觉得他的选择是否合理？请通过计算说明你的理由． 【答案】(1) (2) 小明的选择合理 【分析】（1） 根据古典概型的概率公式计算挑战成功概率； （2）利用对立事件的概率关系求解方案二的成功概率，通过两方案概率比较判断选择的合理性. 【详解】（1）记4张“绿色食品知识卡”分别为，记2张“生物医药知识卡”分别为. 则从6张卡片中一次性抽取2张，样本空间为Ω. 记参观者在方案一中挑战成功为事件， 则， 所以. 即方案一挑战成功的概率为 . （2）设小明选择方案二挑战成功为事件，其对立事件为3道题全部答错. 由已知得，每道题答错的概率为，且各题回答结果相互独立， 所以 . 所以. 又，， 即， 所以方案二挑战成功概率更高，因此小明的选择合理. 变式1．（25-26高一下·江苏泰州·期末）已知事件与事件相互独立，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用概率的基本性质及已知得，结合及对立事件的概率求法求概率. 【详解】由题设， 又，则，整理得， 由，且，可得， 所以. 变式2．（24-25高一下·福建三明·期末）某地有四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是同样也假定受，和感染的概率都是在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出：因为直接受感染的人至少是，而恰有一人是由感染的，由此可计算出概率． 【详解】设直接受感染分别为事件，则事件是相互独立的， ，，，由题意可知，除了外，二人中恰有一人是由感染的， 由于二人中恰有一人是由感染的事件是，并且，， 所以， 所以中恰有两人直接受感染的概率是，故C正确. 变式3．（25-26高二下·湖南长沙·期末）如图，一个质点从原点出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为，向右的概率为，共移动次，该质点共两次到达的位置的概率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记质点两次到达1的位置为事件，想要质点到达1的位置两次，则有，，共两种情况， 所以． 变式4．（25-26高一下·广东深圳·期末）某企业到大学招聘，小张，小李和小王3位毕业生前去应聘.若小张，小李签约的概率都是，小王签约的概率是人签约事件相互独立，那么3人中至少有1人签约该企业的概率是_________. 【答案】 【分析】根据对立事件及相互独立事件的概率乘法公式，求出概率即可. 【详解】由事件“3人中至少有1人签约该企业”的对立事件是“3人均未签约”， 由题意可知小张，小李未签约的概率是，小王未签约的概率是， 因为相互独立，所以三人均未签约的概率是， 所以3人中至少有1人签约该企业的概率是. 变式5．（25-26高一下·天津和平·期末）甲、乙、丙3人各自独立地破译同一份密码．若甲能独立破译的概率为，乙能独立破译而丙不能独立破译的概率为，甲、丙都能独立破译的概率为．乙独立破译该密码的概率为________；甲、乙、丙3人中至少有1人独立破译该密码的概率为________． 【答案】 【分析】根据事件独立性的概率公式进行求解；根据对立事件的概率公式进行求解. 【详解】分别记事件甲、乙、丙独立地破译密码为A,B,C . 由题意可知，，， 解得，，. 所以乙独立破译该密码的概率为； 甲、乙、丙3人中至少有1人独立破译该密码的概率. 变式6．（25-26高一下·安徽芜湖·期末）甲、乙两人玩“剪刀、石头、布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），计分规则如下：①两人手势相同（平局）：每人各分；②两人手势不同，胜者分，败者分．比赛一共进行两局，两人之间及每局游戏结果均相互独立． (1)求甲单局得2分的概率； (2)求甲得3分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用样本空间和古典概型来求解概率即可； （2）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式来求解即可. 【详解】（1）不妨设出剪刀、石头、布分别用，，来表示，则甲、乙比赛的全部基本事件为： ，，，，，，，，， 其中甲得2分的有，，三种情况， 所以． （2）由（1）可知，甲得1分的有，，三种情况， 所以甲得1分的概率为， 甲得3分共有两种情形： 第一种情形是第一局甲胜乙，第二局甲与乙打成平局，此时概率为：， 第二种情形是第一局甲与乙打成平局，第二局甲胜乙，此时概率为：， 综上可得． 变式7．（25-26高一下·山西太原·期末）甲、乙、丙三人计划到三个城市观光旅游，每人只选择其中一个城市．在选择时，三人随机且独立．已知甲选择三个城市的概率分别为，，；乙选择两个城市的概率分别为，；丙选择两个城市的概率分别为，． (1)求三人选择同一个城市旅游的概率； (2)求三人选择三个不同城市旅游的概率； (3)求三人中恰有两人选择市旅游的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式计算即可； （2）利用互斥事件加法公式和独立事件的乘法公式计算即可； （3）利用互斥事件加法公式和独立事件的乘法公式计算即可； 【详解】（1）设甲选择城市分别记为事件， 乙选择城市分别记为事件，丙选择城市分别记为事件， 则， 由题意得三人选择同一个城市旅游为事件， 所以． （2）由题意得三人选择三个不同城市旅游的事件为：， 所以 ． （3）由题意得三人中恰有两人选择市旅游的事件为：， 所以 ． 考点二 利用古典概型求概率 例1．（25-26高一下·广东深圳·期末）设数、为连续抛掷两次正方体骰子分别得到的点数，则两数之和小于等于的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为一个样本点， 记事件设数、为连续抛掷两次正方体骰子分别得到的点数，两数之和小于等于， 样本空间的点数为个，，共个， 由古典概型的概率公式可得. 例2．（25-26高一下·天津南开·期末）先后两次抛掷同一枚质地均匀的骰子，将得到的点数分别记为，则能够构成三角形的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算两次抛掷骰子的总基本事件数，再根据三角形三边关系求出不能构成三角形的基本事件数，利用古典概型公式计算概率． 【详解】先后两次抛掷同一枚骰子，由分步乘法计数原理得总基本事件数为， 若能构成三角形，则需满足任意两边之和大于第三边， 即同时满足， 满足的事件有，共种， 满足的事件有，共种， 满足的事件有，共种， 且三类事件两两无交集， 所以不能构成三角形的基本事件总数为种， 能构成三角形的基本事件数为种， 由古典概型概率公式得所求概率． 例3．（25-26高二下·上海杨浦·期末）抛掷枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为_________． 【答案】/ 【详解】抛掷枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数的所有可能结果为，共6种， 且每种结果出现的可能性相等，其中点数为偶数的结果为，共种， 所以抛掷枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为. 例4．（25-26高二上·云南昆明·期中）在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为_______.           【答案】 【分析】列举所有可能的结果，即可由古典概型的概率公式求解. 【详解】因为选3个方格，每行和每列均恰有1个方格被选中， 设每种选法可标记为，其中分别表示第一、二、三行里所选方格中的数字， 则所有的可能结果为，，，，，，共6种. 其中所选方格中的3个数均为奇数的情况有，，共2种， 故所求概率为. 例5．（25-26高一下·江苏常州·期末）某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组第五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄； (2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．若甲（年龄36岁），乙（年龄42岁）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 【答案】(1)，平均年龄为 (2) 【分析】（1）在频率分布直方图中，根据各个小长方形面积总和为1列式进行计算a的值； （2）先根据分层抽样确定第四组和第五组抽到的使者人数，根据古典概型计算公式进行计算概率即可． 【详解】（1）由，解得； 则平均年龄为 ； （2）根据频率分布直方图可知 第四组的频率为，抽到的人数为； 第五组的频率为，抽到的人数为； 由甲年龄36岁可知，甲在第四组；乙年龄42岁可知，乙在第五组； 随机抽取2名作为组长： 选甲未选乙的概率为； 选乙未选甲的概率为； 甲乙都选的概率为； 综上，甲、乙两人至少有一人被选上的概率为． 例6．（25-26高一下·湖北武汉·期末）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于6”，“至少有一颗骰子的点数为4” (1)求事件，的概率； (2)求事件，的概率． 【答案】(1)， (2)， 【分析】(1)求出事件，的基本事件以及个数，利用古典概型的公式计算概率即可； (2)求出事件的基本事件以及个数，得出，再由得出答案. 【详解】（1），样本点总数 “两个点数之和等于6”，即 则，所以 所以 “至少有一颗骰子的点数为4” 则， 所以，所以； （2），所以 所以 所以. 变式1．（25-26高一下·云南文山·期末）文山州某中学高一学生甲、乙玩抛骰子游戏，游戏共进行两轮，每轮游戏相互独立，甲和乙各抛一枚质地均匀骰子1次为一轮游戏，在一轮游戏后，设事件：“甲抛得向上的点数是1”，事件：“乙抛得向上的点数是偶数”，事件：“甲和乙所得的点数之和能被5整除”，在两轮游戏后，设事件：“甲2次抛得向上的点数都是1且甲和乙4次抛得向上的点数之和能被6整除”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B． C． D． 【答案】C 【分析】应用互斥事件定义判断A，应用古典概型计算判断B,C,D. 【详解】甲抛得向上的点数是1，乙抛得向上的点数是2，可以同时发生，所以事件与事件不互斥，A选项错误； 因为事件包含甲的点数及乙的点数（甲，乙）有4种基本事件，所以，B选项错误； 因为事件包含甲的点数及乙的点数（甲，甲，乙，乙） 有6种基本事件，所以，C选项正确； 因为事件包含甲的点数及乙的点数（甲，甲，乙，乙）有1种基本事件，所以，D选项错误； 变式2．（25-26高一下·安徽宣城·阶段检测）购买手办盲盒是当下青年人的潮流之一，国产动漫手办越来越受欢迎.若某种手办盲盒产品共有三种玩偶，任意一种玩偶出现的概率相等，则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设3个盲盒分别为，三个动漫手办分别为, 总情况数：每个盲盒有3种可能，3个盲盒的总情况数为27种， 符合条件的情况数：要集齐三种玩偶，需在3个盲盒中包含所有3种玩偶， 共有6种情况，分别为；；； ；；， 则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为. 变式3．（25-26高一下·浙江宁波·期末）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则点数之和为完全平方数的概率是______. 【答案】 【分析】根据题意总共有种，再结合完全平方可知，点数之和可以为，再列举计算概率即可． 【详解】由题可知总共有种， 点数之和为4的有共3个； 点数之和为9的有， ,, ,,共25个； 点数之和为16的有共6个. 综上，点数之和为完全平方数的有种，则概率为． 变式4．（25-26高一下·浙江温州·期末）已知正方形，在中任取两个向量，能构成一个基底的概率是_________． 【答案】 【分析】先计算从6个向量中任取2个的总基本事件数，再找出共线的向量对（即不能构成基底的事件数），结合古典概型公式计算概率. 【详解】从6个向量中任取2个，基本事件有， ，共计15个， 在给定向量集合中，共线的向量仅有，共2对，即不能构成基底的基本事件数为2， 因此能构成基底的基本事件数为， 由古典概型概率公式得所求概率为. 变式5．（25-26高一下·广东广州·期末）学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． (1)求的值，并估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（中位数保留一位小数） (2)若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 【答案】(1)，平均数75分，中位数约为. (2) 【详解】（1）由频率分布直方图，得， 所以.该次测试分数的平均数的估计值为： 分； 测试分数在的频率：， 测试分数在的频率：， 则测试分数中位数为，，解得， 所以此次数学测试分数的中位数约为.             （2）记分数在的人数为（人）， 分数在的人数为（人）， 由，得采用分层随机抽样的方法抽取的5人中， 分数在的有2人，编号分别为，分数在的有3人，编号为， 从这5人中选取2人的样本空间， 则，记事件“至少有一人分数在”，则，则， 所以这2人中至少有一人分数在内的概率为. 变式6．（25-26高一下·广东深圳·期末）给定两组数据和，现定义为这组数据的“总体偏差”．现有数据，将中数据按任意顺序排列，得到数据，例如，当时，可以得到数据和，此时总体偏差的所有可能取值为和2． (1)当时，求的所有可能取值； (2)当时，求“”的概率； (3)记“”为事件，证明：事件为不可能事件． 【答案】(1)的所有可能取值为0，2，4 (2) (3)， ①若只调整个数，其他不变得到数据， 即将数据调整为，其余数据在原来位置不变， 此时， ②当时，若调整个数，其他不变得到数据， 即将数据调整为和，其余数据在原来位置不变， 此时， 或者， ③当时，若调整个数，其他不变得到数据，显然， 综上所述，事件为不可能事件． 【分析】（1）根据题意列举出数据的所有情况，根据公式计算结果； （2）设“”为事件，由古典概型求得事件的对立事件，即可求得； （3）讨论调整位置个数，由定义求得的表达式，从而证明. 【详解】（1）当时，则，，，，，， 可知0，2，2，4，4，4， 则的所有可能取值为0，2，4． （2）记“”为事件，样本空间为，则“”为事件， 当时，由列举可知，数据有个，样本空间有个样本点， ①若不调整数据，此时，事件有1个样本点； ②若只调整个数，其他不变，欲使，只能调整相邻的两个数据， 即将数据，，调整为，，， 此时，事件有3个样本点； ③若调整个数，由（1）可知，此时， 由以上可知，事件有个样本点， 则． （3）略. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：利用独立事件的乘法公式求概率、利用古典概型求概率专项训练 暑假培优：利用独立事件的乘法公式求概率、利用古典概型求概率专项训练 考点目录 利用独立事件的乘法公式求概率 利用古典概型求概率 考点一 利用独立事件的乘法公式求概率 例1．（25-26高一下·山东淄博·期末）已知两个随机事件，相互独立， ，则 （    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·广东深圳·期末）甲、乙两人各进行一次射击，已知两人各自中靶的概率分别为和，若两人是否中靶相互独立，则恰有一人中靶的概率为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·江苏常州·期末）甲、乙两名同学做同一道数学题（甲乙做对与否互不影响），甲做对的概率为0.7，乙做对的概率为0.8，下列说法错误的是（   ） A．两人都做对的概率是0.56 B．恰好有一人做对的概率是0.38 C．两人都做错的概率是0.16 D．至少有一人做对的概率是0.94 例4．（25-26高一下·天津·期末）甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为___________． 例5．（25-26高一下·天津河北·期末）天津是一个历史悠久的文化古都，五大道、石家大院、古文化街、鼓楼这四个景点是天津十分有名的旅游胜地．已知某游客游览五大道的概率为，游览石家大院、古文化街、鼓楼的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立，则该游客至少游览三个景点的概率为__________． 例6．（25-26高一下·陕西西安·期末）某单位有甲、乙、丙三位职工某日中午计划在单位食堂就餐，或在外边餐馆就餐.已知甲、乙、丙在单位食堂就餐的概率分别为，，，且这三人在单位食堂或在外边餐馆就餐相互独立. (1)求这三人中恰有两人在单位食堂就餐的概率； (2)求这三人中至少有一人在外边餐馆就餐的概率. 例7．（25-26高一下·云南普洱·期末）为普及普洱本土特色产业与科创知识，普洱市科技馆开展“绿色科创体验周”科普活动，设置了两个活动方案，参观者可任选一个方案进行挑战，若挑战成功将获得一份纪念品． 方案一：准备4张“绿色食品知识卡”（涵盖普洱茶､咖啡､热带水果､特色农产品）和2张“生物医药知识卡”（涵盖中药材种植､生物制造产业），参观者从6张卡片中一次性随机抽取2张，如果两张卡片类型不同（即一张绿色食品知识卡､一张生物医药知识卡），则挑战成功． 方案二：回答3道关于普洱特色产业的问题，若至少答对1道题，则挑战成功． (1)求参观者在方案一中挑战成功的概率； (2)如果小明选择方案二，已知他每道题答对的概率均为，且每道题的回答相互独立．你觉得他的选择是否合理？请通过计算说明你的理由． 变式1．（25-26高一下·江苏泰州·期末）已知事件与事件相互独立，若，，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一下·福建三明·期末）某地有四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是同样也假定受，和感染的概率都是在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·湖南长沙·期末）如图，一个质点从原点出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为，向右的概率为，共移动次，该质点共两次到达的位置的概率为（   ）    A． B． C． D． 变式4．（25-26高一下·广东深圳·期末）某企业到大学招聘，小张，小李和小王3位毕业生前去应聘.若小张，小李签约的概率都是，小王签约的概率是人签约事件相互独立，那么3人中至少有1人签约该企业的概率是_________. 变式5．（25-26高一下·天津和平·期末）甲、乙、丙3人各自独立地破译同一份密码．若甲能独立破译的概率为，乙能独立破译而丙不能独立破译的概率为，甲、丙都能独立破译的概率为．乙独立破译该密码的概率为________；甲、乙、丙3人中至少有1人独立破译该密码的概率为________． 变式6．（25-26高一下·安徽芜湖·期末）甲、乙两人玩“剪刀、石头、布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），计分规则如下：①两人手势相同（平局）：每人各分；②两人手势不同，胜者分，败者分．比赛一共进行两局，两人之间及每局游戏结果均相互独立． (1)求甲单局得2分的概率； (2)求甲得3分的概率． 变式7．（25-26高一下·山西太原·期末）甲、乙、丙三人计划到三个城市观光旅游，每人只选择其中一个城市．在选择时，三人随机且独立．已知甲选择三个城市的概率分别为，，；乙选择两个城市的概率分别为，；丙选择两个城市的概率分别为，． (1)求三人选择同一个城市旅游的概率； (2)求三人选择三个不同城市旅游的概率； (3)求三人中恰有两人选择市旅游的概率． 考点二 利用古典概型求概率 例1．（25-26高一下·广东深圳·期末）设数、为连续抛掷两次正方体骰子分别得到的点数，则两数之和小于等于的概率是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·天津南开·期末）先后两次抛掷同一枚质地均匀的骰子，将得到的点数分别记为，则能够构成三角形的概率是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·上海杨浦·期末）抛掷枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为_________． 例4．（25-26高二上·云南昆明·期中）在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为_______.           例5．（25-26高一下·江苏常州·期末）某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组第五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄； (2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．若甲（年龄36岁），乙（年龄42岁）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 例6．（25-26高一下·湖北武汉·期末）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于6”，“至少有一颗骰子的点数为4” (1)求事件，的概率； (2)求事件，的概率． 变式1．（25-26高一下·云南文山·期末）文山州某中学高一学生甲、乙玩抛骰子游戏，游戏共进行两轮，每轮游戏相互独立，甲和乙各抛一枚质地均匀骰子1次为一轮游戏，在一轮游戏后，设事件：“甲抛得向上的点数是1”，事件：“乙抛得向上的点数是偶数”，事件：“甲和乙所得的点数之和能被5整除”，在两轮游戏后，设事件：“甲2次抛得向上的点数都是1且甲和乙4次抛得向上的点数之和能被6整除”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B． C． D． 变式2．（25-26高一下·安徽宣城·阶段检测）购买手办盲盒是当下青年人的潮流之一，国产动漫手办越来越受欢迎.若某种手办盲盒产品共有三种玩偶，任意一种玩偶出现的概率相等，则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·浙江宁波·期末）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则点数之和为完全平方数的概率是______. 变式4．（25-26高一下·浙江温州·期末）已知正方形，在中任取两个向量，能构成一个基底的概率是_________． 变式5．（25-26高一下·广东广州·期末）学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． (1)求的值，并估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（中位数保留一位小数） (2)若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 变式6．（25-26高一下·广东深圳·期末）给定两组数据和，现定义为这组数据的“总体偏差”．现有数据，将中数据按任意顺序排列，得到数据，例如，当时，可以得到数据和，此时总体偏差的所有可能取值为和2． (1)当时，求的所有可能取值； (2)当时，求“”的概率； (3)记“”为事件，证明：事件为不可能事件． 2 学科网（北京）股份有限公司 $