暑假培优：解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦解三角形中中线、角平分线、高线三类特殊线段问题，通过“例题+变式”系统训练，强化几何直观与推理能力，培养模型观念与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |中线问题|2例+2变式|结合中点性质求长度/范围，涉及面积与边长关系|以余弦定理为核心，推导中线长公式，关联三角形面积公式| |角平分线问题|2例+2变式|利用角平分线定理求长度，结合面积与等差数列条件|以角平分线定理为基础，融合正弦定理与面积分割法| |高线问题|2例+2变式|已知高线求边长/面积最值，含条件选择型问题|通过面积公式建立高线与边长关系，渗透函数思想求最值|

暑假培优：解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 暑假培优：解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点目录 解三角形中的中线问题 解三角形中的角平分线问题 解三角形中的高线问题 考点一 解三角形中的中线问题 例1．（25-26高一下·福建福州·阶段检测）在中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，且 (1)求A； (2)设D为BC的中点，若AD ，且，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的面积公式，得，再借助正弦定理，得，再利用余弦定理求出角A. （2）根据的面积为，求出，再根据 ，求出，从而得出的周长. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，           由正弦定理，得，              所以，因为, 所以. （2）由（1）知，且， 则，所以， 又D为BC的中点， ， 则， 所以， 所以，所以，① 由（1）可得，，② 由①②可得，，解得， 又， 所以，所以的周长为. 例2．（25-26高二下·云南红河·期末）在中，角的对边分别为，且满足. (1)求； (2)若， （i）求的外接圆的面积； （ii）设，且为的中点，求的长. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换求解即可； （2）（i）利用正弦定理求出的外接圆半径，再由圆的面积公式求解即可； （ii）先由余弦定理求得，再结合向量法求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 即，， 因为，所以， 得， 即； （2）（i）由正弦定理得，（是的外接圆的半径） 解得， 所以的外接圆的面积为； （ii）由余弦定理， 即， 得， 解得或（舍去）， 因为为的中点， 则， 所以， 即， 则， 故的长为． 变式1．（25-26高一下·福建莆田·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足. (1)若，的面积为，且，求、； (2)在（1）的条件下，D为的中点，求中线的长. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合三角形内角和与两角和的正弦公式化简，求出角，再通过三角形面积公式和余弦定理，联立方程求解、的值； （2）先用余弦定理求出，再在中，代入已知边和的值，用余弦定理计算中线的长度. 【详解】（1）因为角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足， 根据正弦定理得，因为， 所以，所以， 化简得，又，所以. 又，所以. 由，，得. 由余弦定理，得. 则，所以.又，，则，. （2）由于，所以根据余弦定理得. 在中，，所以根据余弦定理得 ， 所以. 变式2．（25-26高一下·湖南长沙·期中）在锐角中，角的对边分别是，，，若 (1)求角的大小； (2)若，求中线长的范围（点是边中点）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理进行边角转化，可得到，从而求出结果； （2）先利用向量的中线公式得到，再利用正、余弦定理及条件求出的范围，进而求出结果. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得： 即，所以， 因为，所以，所以，因为，所以. （2）由（1）得，且，由余弦定理知，，得到， 因为点D是边BC中点，所以，两边平方可得: ， 所以， 因为，又，， 所以, 又因为为锐角三角形， 所以，，得到， 所以，由的图像与性质知，， 所以，所以，得到 故. 考点二 解三角形中的角平分线问题 例1．（25-26高一下·四川南充·期末）已知分别为三个内角的对边，点是的中点，，且． (1)求； (2)求的面积； (3)点是边上的点，且为的角平分线，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由正弦定理边角互化结合两角和的正弦公式可得，据此可得答案； （2）由向量知识可得，据此可得，然后由（1）结合三角形面积公式可得答案； （3）由（2）分析可得，然后由等面积法结合题设可得答案. 【详解】（1）因，由正弦定理边角互化可得：， 在三角形中，，则，又，则； （2）由题可得，从而由题可得，则， 三角形面积为：； （3）由（2）解析可得，则. 注意到， 则. 例2．（25-26高二下·浙江舟山·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足：. (1)求角的大小； (2)若，，角的角平分线交于点，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求进而可求； （2）根据，利用三角形的面积公式结合角平分线可求解. 【详解】（1） 由正弦定理可得：， 则. 由余弦定理，得, 所以， 故， 又， ∴. （2）由 可得， 则. 变式1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知内角所对的边分别为，，且成等差数列． (1)求的面积； (2)若的角平分线交于，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由成等差数列，则，即， ，又， 解得，则，， ； （2）平分，   ，则， 解得， ， ， 解得． 变式2．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，内角的对边分别为；且． (1)求角； (2)若角平分线，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换，计算即可求解； （2）如图，由得，结合基本不等式和三角形面积公式计算即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， ， ， ， 由，得，则， 又，所以. （2）如图，为的角平分线， ，即， 得，解得（当且仅当时取等号）， 所以， 即的面积的最小值为. 考点三 解三角形中的高线问题 例1．（25-26高一下·四川资阳·期中）在中，． (1)求A的大小； (2)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求最长边上高线的长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：．（注：若选多个条件进行解答，按第一个解答计分．） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式求得，进而求得. （2）选择条件，然后根据正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式进行分析，从而求得正确答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以，， 因为，所以舍，所以，则； （2）选择① 因为，由正弦定理，代入，得； 法一：由余弦定理，代入得， 所以，所以或（舍），所以AC边最长； AC边上的高线； 法二：因为，，所以，所以，所以； 所以边为最长边，其高线； 选择② 因为，所以，因为，由余弦定理， 所以，所以或； 所以最长边上的高线； 若选择③，，，，由余弦定理， 所以或（舍）； 所以AC边最长，AC边上的高线； 例2．（2026·山东潍坊·三模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若边上的高为，，求，． 【答案】(1) (2)，或， 【分析】（1）利用三角形内角和性质、三角恒等变换化简已知等式求角； （2）结合三角形面积公式建立的关系，再用余弦定理列方程求解. 【详解】（1）在中，，故 ， 将已知等式变形： ， 又 ， 代入得： ， 因，， 故，得； （2）由三角形面积相等得，代入，，， 化简得： ，又 再代入余弦定理，得 ， 整理得，解得或， 对应代入，得或， 故，或，. 变式1．（2026·山东枣庄·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，.且. (1)求； (2)若，记边上的高为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化简得，再由余弦定理即可得解； （2）由三角形面积公式可得，结合正弦定理及三角恒等变换得，即可得解． 【详解】（1）根据正弦定理可得， 化简整理得， 由余弦定理得， 因为，故； （2）由，得， 又， 所以 ， 在三角形中，故， 当，即时，． 变式2．（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求a； (2)若，求AB边上的高h. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系求得，再结合正弦定理求解； （2）利用正、余弦定理求得，,再利用等面积法求边上的高. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由正弦定理得，所以,所以； （2）由正弦定理得，所以，所以， 由余弦定理可得， 因为，即， 所以AB边上的高. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 暑假培优：解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点目录 解三角形中的中线问题 解三角形中的角平分线问题 解三角形中的高线问题 例1.(25-26高一下福建福州阶段检测)在△ABC中，设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,记△ABC的面积 为S,且 s考点csinC+bs解三角形中的中线问题 (1)求A: .v19 阳S=35 (2)设D为BC的中点，若AD2,且°=2，求△ABC的周长. 例2.(2526高二下云南红河期未)在△MBC中，角 C的对边分别为a,c,且满足56sn4=a2-cos) A,B, (1)求B: Q客6g (i)求△ABC的外接圆的面积： (i)设a=1,且D为AC的中点，求BD的长， 暑假培优：解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 变式1.(25-26高-下福建莆田期中)在。4BC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,满足acosC+ =b 1 )活a=下，△MBC的面积为5，且b>C,求、c: .b c (2)在(1)的条件下，D为BC的中点，求中线AD的长. 2c-b cosB 变式2.(25-26高一下湖南长沙期中)在锐角。4BC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos4 (1)求角A的大小： (2)若a=2,求中线AD长的范围（点D是边BC中点）· 暑假培优：解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点二 解三角形中的角平分线问题 例1.(25-26高一下四川南充期末)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，点D是BC的中点， BC=6,AD=5,且 acosC+√3 asinC-b-c=0 (1)求A: (2)求△ABC的面积： (3)点M是BC边上的点，且AM为∠BAC的角平分线，求AM的长. 例2.(25-26高二下浙江舟山期末)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C,且满足： sinA=sinBsinC 3-sin Asin BsinC (1)求角A的大小： (2)若b=2,C=3,角A的角平分线交BC于点P,求AP的长度： 暑假培优：解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 变式1.(226江苏南通模拟预测)已知△ABC内角4B,C所对的边分别为a6,cs4=-a=4,且a山，c皮等 差数列. (I)求△ABC的面积： (2)若∠BAC的角平分线交BC于D,求AD. 变式2.，(25-26高一下安徽合肥期中)在△4BC 中，内角 '的对边分别为ab,c:且V56=cc04--csind A,B,C ；且 (1)求角C: (2)若△ABC 平分线 求4ABC CD=3 的面积°的最小值。 4 暑假培优：解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点三 解三角形中的高线问题 例1. (25-26高一下·四川资阳期中)在△ABC中，cos2A+cosA=0 (1)求A的大小： (2)若a=7,从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC最长边上高线的长. sin C= 53 条件①： 14;条件②：△ABC的面积为10W5；条件③：c=5,(注：若选多个条件进行解答，按第一个 解答计分，) 例2.(2026山东潍坊三模)记△MBC的内角 B,C的对边分别为a,bC,已知sinC=V5 sinsin-5 oos4 A,B,C (1)求C: 3V21 (2)若边AB上的高为7，a=2,求b,c. 暑假培优：解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 变式1.(2026山东枣庄三模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C.且 (a-b+c)(sin4+sin B+sinC)=(2+3)asinC (1)求B: (2)若b=2,记AC边上的高为，，求，的最大值 变式2.25：26高三上江苏徐州阶段检测)在△4BC中，角4，B,C的对边分别为a,b,C,已知0sC= 5 csin A=4. (1)求a: (2)若csinB=-12 ,求AB边上的高h