暑假培优：几何图形中的解三角形计算问题、证明三角形中的恒等式或不等式专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦解三角形计算与证明双模块，通过分层例题与变式题构建从基础应用到拓展探究的系统性训练，培养数学推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何图形中的解三角形计算问题|3例+3变式|结合角平分线、中点等图形要素，综合考查边长、面积计算|从正弦定理、余弦定理基础公式，到复杂图形中多三角形关联应用，形成"公式→图形→综合计算"逻辑链| |证明三角形中的恒等式或不等式|3例+3变式|涉及布洛卡点等拓展概念，需综合三角恒等变换与不等式证明|从基本恒等式证明，到结合几何性质的不等式推导，构建"概念→推理→拓展应用"思维路径|

暑假培优：几何图形中的解三角形计算问题、证明三角形中的恒等式或不等式专项训练 暑假培优：几何图形中的解三角形计算问题、证明三角形中的恒等式或不等式专项训练 考点目录 几何图形中的解三角形计算问题 证明三角形中的恒等式或不等式 考点一 几何图形中的解三角形计算问题 例1．（25-26高二下·江苏常州·期中）在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，为的中点，设. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先在中用余弦定理算出，再对使用正弦定理，代入与直接解出； （2）先由同角平方关系求出，再结合三角形内角和得到，利用两角差正弦公式与正弦定理求出，最后由面积公式算出面积． 【详解】（1）在中，，，， 由， 得， 由， 得． （2）由（1）知，所以， 在中，，， 由， 得， 所以． 例2．（25-26高二下·浙江舟山·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足：. (1)求角的大小； (2)若，，角的角平分线交于点，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求进而可求； （2）根据，利用三角形的面积公式结合角平分线可求解. 【详解】（1） 由正弦定理可得：， 则. 由余弦定理，得, 所以， 故， 又， ∴. （2）由 可得， 则. 例3．（25-26高二下·浙江湖州·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，点在边上，且，． (1)若，求的面积； (2)若，求， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，进而求出的正弦值，再求面积．因为在上且，所以与同高，面积比等于底边比． （2）由和得到，再结合正弦定理和求出，最后求． 【详解】（1）因为在上，所以． 在中，，所以，从而 因为，所以 又，所以 因此 又，所以． 因为与有相同的高，所以 （2）设．因为，所以 又，即，所以 由正弦定理，得 因为，所以 于是即 因为，所以，从而 又，所以. 故． 变式1．（25-26高二下·浙江绍兴·期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求； (2)当的面积取最大值时，点满足，，与交于点，的角平分线交于点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用正弦边角关系、三角恒等变换和三角形内角性质求得，即可得； （2）法一：应用余弦定理及基本不等式求得，注意取等号的条件为、，结合已知求线段长；法二：应用正弦定理及三角形面积公式得，由余弦函数的性质确定最值对应的、且，再结合已知求线段长. 【详解】（1）由，可知， 整理得，且， 所以，且，所以； （2） 法一：因为，所以， 由基本不等式可知，则， 当且仅当时等号成立，此时， 因为，，， 所以，．    因为的角平分线交于点， 所以，从而， 因为，所以，从而．    法二：由正弦定理可知， 从而的面积 ， 当且仅当时，的面积取最大值，此时，且．    下同法一． 变式2．（25-26高一下·江苏南京·期末）在中，内角的对边分别为，已知 (1)求角； (2)分别以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，被称为“拿破仑三角形”，它是等边三角形. ①若外接圆半径为，求的取值范围； ②若，的面积为，求的周长. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）由题设结合正弦定理边角互化可得，再结合余弦定理可得答案； （2）（i）如图，由题设及几何知识可得，然后由正弦定理边角互化结合外接圆半径为，可得，据此可得答案； （ii）设外心为，连接，由几何知识可设，然后由题设及几何知识分别在，中利用余弦定理可得答案 【详解】（1）因，由正弦定理边角互化可得， 则，结合，可得； （2）（i）如图，取中点分别为，由外心定义可得， 又由题可得为等边三角形，则，结合，可得， 则，又由正弦定理可得， 设，由正弦定理边角互化， 可得， 因，则，结合正弦函数单调性， 可得，从而； （ii）设外心为，连接，因在中垂线上，在中垂线上， 则，结合（i）分析可得，. 由平面四边形内角和为，可得，从而四边形两组对角对应相等， 则四边形为平行四边形，得，设， 因的面积为，得.则在中，由余弦定理可得： . 因，，为等边三角形， 则，.又，在中，由余弦定理可得： , 则， 从而，结合，周长为    变式3．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，点在线段上．    (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解的值，进而得到的值，再结合正弦定理即可求解的长度； （2）结合已知的面积、长度和，求解的长度，再根据得到、的长度，进而分别在和中使用正弦定理，结合与互补、正弦值相等的性质求解正弦比值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即， 因为，则，故，则为锐角， 所以， 因为，则， 在中，由正弦定理得， 所以，解得． （2），则 由，得，. 由余弦定理可得： . 在中，由正弦定理可得， 故， 在中，由正弦定理可得， 故， 因为， 所以． 考点二 证明三角形中的恒等式或不等式 例1．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）在中，内角的对边分别为，． (1)证明：． (2)证明：． (3)延长至点，得，求的最大值． 【答案】(1)由正弦定理（为外接圆半径）， 得，且， 所以，即等式得证. (2)由（1）知，， 因为， 所以，即， 由正弦定理得：， 所以，即等式得证. (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，利用和角正弦公式与三角形内角和即可证明； （2）利用（1）的结论化简题干条件，借助正弦定理化角为边，再结合余弦定理代换即可推导； （3）设，由推出，利用正切差角公式结合均值不等式即可求出的最大值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）设，由可知，由（1）（2）可得， 又，因此，即， 因此，由和， 结合正弦定理可得：， 两式相除得，即，令，则， 代入的表达式得：， 当且仅当，即时取等号，此时的最大值为. 例2．（25-26高一下·重庆·期中）布洛卡是法国数学家，当内一点P满足条件时，称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为. (1)当时，且时，求； (2)证明，若，，，求； (3)求证：.（此处A，B，C分别为的三内角） 【答案】(1)． (2)证明见解析，． (3)证明见解析． 【分析】（1）先在 ，， 中分别用正弦定理建立线段比与角的关系，再利用 得到 ，由 列出关于 的方程，求出 ． （2）先由余弦定理和面积公式证明所给等式，再由第（1）问同样的正弦定理关系求 ，最后求 . （3）从三个小三角形中的正弦定理出发，推出 ，再结合 得到 ，最后化为所证结论． 【详解】（1）在 中， 由正弦定理得 因为 ，所以（1） 同理，在 ， 中分别有 三式相乘，得（2） 因为 ，所以 ． 设 ，则 ． 由式（1）和式（2）可得 所以（3） 由，得（4） 由式（3）得，所以（5） 令 ．因为 ，所以 由式（4）和式（5）得 因为 ，所以 ，两边约去 ，得 整理得 解得或 因为 ，所以 舍去． 于是 故 （2）先证明 由余弦定理，得 所以 又因为所以 因此原等式得证． 当 ，， 时，由余弦定理得 又 由已证结论可得 设 由第（1）问中的正弦定理关系可得 因为 所以（6） 此时 于是 又由 可得 代入式（6），得 展开并利用 ，得 所以 即 因为 为实数，所以 ，故 所以从而 （3）由第（1）问中的正弦定理关系，有（7） 设 因为. 代入式（7），得（8） 下面由 推出两个恒等式． 由得 两边同除以 ，得 所以（9） 又由得 两边同除以 ，得 所以（10） 由式（8）和式（10），得 展开左边，得 再由式（9），得 整理得 因为 为实数，所以 ，故 即 于是 展开得 由式（9）可知 ，所以 又 所以 因此 例3．（25-26高一下·广东佛山·期中）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为S，且满足，点H在线段AC上，BH平分． (1)证明：； (2)证明：； (3)在上述条件下，设点D为线段BH上的动点，连接AD并延长交BC于点E，若存在符合题意的和点D，满足，求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析； (3) 【分析】（1）由正弦定理得到方程，联立后可得结论； （2）由三角形面积公式和正弦定理得，从而； （3）先得到，并且，结合（1）和正弦定理得，代入可得，求出，从而. 【详解】（1）BH平分，故， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 因为，所以， 又，两式相除可得； （2）因为，故， 又为锐角三角形，，故，所以， 由正弦定理得， 其中 ， 故，又， 所以， 又为锐角三角形，，， 故或，故或（舍去）； （3）先证明，过程如下： ， 故， 故 ，又，所以， 由（1）可知，故，即， 由正弦定理 ， 故， 所以，所以， 均非负，故， 因为，所以， 因为， 所以，解得， 则.    变式1．（25-26高一下·福建厦门·期中）阅读下面的两个材料： 材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为.这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》（或称《测地术》）中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式. 现已知的三条边为，，，请你解答下面问题： (1)根据海伦公式求这个三角形的面积； (2)若为边上的中点，求中线的长度； (3)请根据秦九韶公式，证明海伦公式. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）通过求半周长，再代入公式即可得出； （2）利用中线性质代入相应数值，即可得出结果； （3）通过平方差公式和因式分解，即可将秦九韶公式转化为海伦公式. 【详解】（1）由题意得：， 由海伦公式得：. （2）在中，因为为边上的中点，由余弦定理知，①② 又因为， 两式相加得：， 因为，所以， 所以，即. （3）证明： ， 设， 所以 . 变式2．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，若内一点P满足，则称P为的布洛卡点，α为布洛卡角．某同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索并得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点P为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： (1)证明：； (2)已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求证：； (3)在（2）的条件下，若的周长为6，试把表示为b的函数，并求的值域． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）根据布洛卡点的定义和三角形内角和为即可证明； （2）在和中分别应用正弦定理后可得，然后再在中应用正弦定理得，两个式子相乘即可证明； （3）由向量的数量积运算结合余弦定理、（2）的结论和的周长即可求得，根据基本不等式和三角形边的关系求出的范围，再由的单调性即可求得值域. 【详解】（1）在中，， 因为点为布洛卡点，所以， 所以， 所以. （2）由，则， 在中，， 在中，由正弦定理得， 即，解得①， 在中，由正弦定理得，， 即，解得②， 联立①②得，即． 在中，由正弦定理有， 与两边相乘：， 所以. （3）由题意有，， 则 ， 所以， 又因为，（当且仅当时，等号成立），解得， 又由三角形边的关系知，则，即， ，整理得，解得，即， 而时，单调递减， ，， 所以的值域为． 变式3．（25-26高一下·江苏宿迁·阶段检测）三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现的，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．若内一点满足，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角所对的边分别为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为． (1)若，求证： ①为的面积）； ②为等边三角形； (2)若，求证： 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）①先根据表示出三角形的面积，再在中，由余弦定理相加，再化简整理，即可得证；②先利用作差法证明，并求出取等号的条件，再结合即可得证； （2）方法一：根据（1）得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形的面积公式，化简整理即可得证；方法二：在和中，分别利用正弦定理即可得证； 【详解】（1）①若，则 ， 所以． 在中，分别应用余弦定理，得 三式相加并整理，得， 即，所以； ②在中，由余弦定理可得， 则 ， 当且仅当且时取等号， 因为，所以， 所以，所以， 即当且仅当且时，即当且仅当为等边三角形时，， 又由①知， 所以为等边三角形； （2）方法一：由（1）得， 所以． 又， 所以， 又由余弦定理可得， 所以， 所以，所以， 由正弦定理可得，故得证． 方法二：因为，所以， ，在中，， 即，在中，， 即，所以， 即，所以即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：几何图形中的解三角形计算问题、证明三角形中的恒等式或不等式专项训练 暑假培优：几何图形中的解三角形计算问题、证明三角形中的恒等式或不等式专项训练 考点目录 几何图形中的解三角形计算问题 证明三角形中的恒等式或不等式 考点一 几何图形中的解三角形计算问题 例1．（25-26高二下·江苏常州·期中）在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，为的中点，设. (1)求； (2)求的面积. 例2．（25-26高二下·浙江舟山·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足：. (1)求角的大小； (2)若，，角的角平分线交于点，求的长度. 例3．（25-26高二下·浙江湖州·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，点在边上，且，． (1)若，求的面积； (2)若，求， 变式1．（25-26高二下·浙江绍兴·期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求； (2)当的面积取最大值时，点满足，，与交于点，的角平分线交于点，求． 变式2．（25-26高一下·江苏南京·期末）在中，内角的对边分别为，已知 (1)求角； (2)分别以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，被称为“拿破仑三角形”，它是等边三角形. ①若外接圆半径为，求的取值范围； ②若，的面积为，求的周长. 变式3．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，点在线段上．    (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 考点二 证明三角形中的恒等式或不等式 例1．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）在中，内角的对边分别为，． (1)证明：． (2)证明：． (3)延长至点，得，求的最大值． 例2．（25-26高一下·重庆·期中）布洛卡是法国数学家，当内一点P满足条件时，称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为. (1)当时，且时，求； (2)证明，若，，，求； (3)求证：.（此处A，B，C分别为的三内角） 例3．（25-26高一下·广东佛山·期中）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为S，且满足，点H在线段AC上，BH平分． (1)证明：； (2)证明：； (3)在上述条件下，设点D为线段BH上的动点，连接AD并延长交BC于点E，若存在符合题意的和点D，满足，求实数m的取值范围． 变式1．（25-26高一下·福建厦门·期中）阅读下面的两个材料： 材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为.这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》（或称《测地术》）中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式. 现已知的三条边为，，，请你解答下面问题： (1)根据海伦公式求这个三角形的面积； (2)若为边上的中点，求中线的长度； (3)请根据秦九韶公式，证明海伦公式. 变式2．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，若内一点P满足，则称P为的布洛卡点，α为布洛卡角．某同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索并得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点P为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： (1)证明：； (2)已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求证：； (3)在（2）的条件下，若的周长为6，试把表示为b的函数，并求的值域． 变式3．（25-26高一下·江苏宿迁·阶段检测）三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现的，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．若内一点满足，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角所对的边分别为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为． (1)若，求证： ①为的面积）； ②为等边三角形； (2)若，求证： 2 学科网（北京）股份有限公司 $