暑假培优：证明线面垂直、补全线面垂直的条件专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教A版）必修二

**基本信息** 聚焦线面垂直证明与条件补全，通过分层典例构建正向推理与逆向探究的立体几何专项训练，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |证明线面垂直|3例+3变式|涵盖正四棱柱、四棱锥、正方体等几何体，需证线线垂直推线面垂直|基于线面垂直判定定理，从已知几何性质出发，构建线线垂直关系链| |补全线面垂直的条件|3例+3变式|存在性探究题，需确定点位置或参数值使线面垂直|逆向应用判定定理，通过空间几何量关系反推所需条件，体现逻辑推理的完整性|

暑假培优：证明线面垂直、补全线面垂直的条件专项训练 暑假培优：证明线面垂直、补全线面垂直的条件专项训练 考点目录 证明线面垂直 补全线面垂直的条件 考点一 证明线面垂直 例1．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明； （2）由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到，又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定定理的条件，得出证明. 【详解】（1）证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面. （2）在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. 例2．（25-26高一下·福建福州·期中·节选）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，.求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据勾股定理可以计算出，根据余弦定理可以计算出，再次利用勾股定理可以计算出，继而可以证得，再由已知条件即可证明. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，，， 则，且，则， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. 例3．（25-26高一下·湖北武汉·月考·节选）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据四棱锥的性质，结合已知条件，利用线面垂直判定定理证明结论． 【详解】，为线段的中点， ， 又底面，底面为正方形， ，，， 又，平面， 平面， 又平面， ， 又，平面， 平面． 变式1．（25-26高一下·湖南株洲·期中·节选）如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据垂直关系的转化，结合平行线的性质，转化为证明，，即可证明线面垂直. 【详解】在等腰梯形中，，， 则四边形是平行四边形，则， 因为，所以为等边三角形，则 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，可得 连接，在中， 由余弦定理可得：， 则，所以，则． 因为、分别是、中点，所以，所以， 从而可得，， 因为，、平面，所以平面. 变式2．（25-26高一下·四川成都·月考·节选）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点. 证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据条件先证，再由平面平面证明平面，可得，再由平面几何知识证明，进而利用线面垂直的判定定理可证得结论. 【详解】因为四边形是菱形，，且，则可得. 在直四棱柱中，平面平面， 且平面平面，平面，故平面. 又因平面，所以. 因为四边形是矩形，，，，分别为，的中点， 所以，所以， 因为，所以，故，即， 因为，且平面，所以平面. 变式3．（25-26高一下·福建龙岩·月考）如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用中位线性质可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）连接，利用中位线性质可得，首先证明平面，从而得到，同理得到，结合线面垂直的判定定理即可证明平面，即可得到结论. 【详解】（1）连接，因为为正方形， 所以为中点，同理，为中点， 在中，、分别为、的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）连接，中，、分别为、的中点，所以. 在正方形中，， 又因为为正方体，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可得：，，， 所以平面，所以平面； 考点二 补全线面垂直的条件 例1．（25-26高一下·广东东莞·月考）如图，在四棱锥中，，，底面，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)在侧面内找一点，使得平面，并求点到的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点．点到的距离均为． 【分析】（1）取的中点，连结，证明四边形是平行四边形，再由线面平行的判定定理可得到结论. （2）连结，过点作交于点,确定点的位置，然后在可求出点到的距离. 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为为的中点， 所以，且． 由且得， 由且得， 所以且， 故四边形是平行四边形，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）如图，连结，过点作交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 所以． 因为，所以． 又由且为的中点得，又平面， 所以平面，故． 由且为平面内两条相交直线，故平面． 在矩形中，，，， 所以， 所以，故为的中点， 在中，，为的中点， 所以为的角平分线， 所以点到的距离均为1， 所以点到的距离均为． 例2．（24-25高一下·江西景德镇·期末）如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【分析】（1）借助长方体的性质与线面垂直的判定定理可得平面，再借助面面垂直的判定定理即可得证； （2）结合直线与平面所成角的定义可得等于直线与平面所成的角，再借助正弦的定义计算即可得； （3）找出符合要求的点，再借助线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）由长方体性质可得平面，又平面，故， 又，则底面为正方形，故， 又，、平面，故平面， 又平面，故平面平面； （2）令，连接、，由长方体性质可得， 则直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 由（1）知平面，故等于直线与平面所成的角， ，，则， 即直线与平面所成的角的正弦值为； （3）存在，且，即点与重合，连接、、， 则， ， ， 有，故， 由平面，平面，故， 又，、平面，故平面， 故在直线上存在点Q使得平面，且. 例3．（25-26高一下·浙江杭州·月考）已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，点在线段上. (1)若为的中点，求证：平面； (2)求二面角的正切值； (3)证明：存在点，使得平面，并求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）设，连接，即可证明为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）在平面中过作于，连接，说明是二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得； （3）连接交于点，由面面垂直的性质得到平面，即可得到，当时可证平面，从而求出此时的值. 【详解】（1）设，连接， 因为正方形，所以为中点， 又矩形中，为的中点， 所以且， 所以为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）在平面中，过作于，连接， 因为正方形和矩形所在的平面互相垂直， ，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以，又，，平面， 平面，平面， 所以，又，平面，所以平面， 又平面，所以， 是二面角的平面角， 因为，，所以， 所以， 在中，，， 二面角的正切值为； （3）连接交于点，因为是正方形，所以， 又正方形和矩形所在的平面互相垂直， 平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以， 当时，，平面，所以平面， 此时，，，则， 又，所以，则，则， 所以，又，所以，则， 所以，所以. 变式1．（25-26高一下·河南濮阳·阶段检测）如图所示，正四棱锥中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为.    (1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小； (2)若E是PB的中点，问在棱AD上是否存在一点F，使侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，是的四等分点，靠近A点的位置 【分析】（1）取的中点，根据题意分析可得为所求二面角的平面角，为侧棱与底面所成的角，进而运算求解即可； （2）根据题意可得平面平面，结合面面垂直的性质可得平面，进而结合平行关系分析证明. 【详解】（1）取的中点，连接、， 由正四棱锥的性质可知平面，且平面，则， 依条件可知，则为所求二面角的平面角. 由面，可知为侧棱与底面所成的角， 则，设，则， 所以， 则，因为，故. （2）延长交于，则为的中点，取的中点，连接、. 因为，为的中点，则， 同理可得， 且，平面，故平面， 由平面，可知平面平面， 又因为，， 所以为正三角形，且为的中点，则， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 取的中点，连接， 因为、分别为、的中点，则∥且， 因为∥且，、分别为、的中点， 则∥且， 且为的中点，则∥且，所以∥且， 可得四边形为平行四边形，则∥，故平面， 因此是的四等分点，靠近A点的位置.    变式2．（25-26高一下·安徽亳州·月考）如图，在四棱锥A－BCDE中，四边形BCDE为菱形，，，AE＝AC，点G是棱AB上靠近点B的三等分点，点F是AC的中点． (1)证明：∥平面CEG． (2)点H为线段BD上一点，设，若AH⊥平面CEG，试确定t的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)0. 【分析】（1）取AG的中点Ⅰ，记，连接FⅠ，DⅠ，GO，由三角形中位线定理可得∥，∥，然后先证得线面平行，再可证得面面平行； （2）由已知可得△ABC≌△ABE，则GC＝GE，得OC⊥OG，结合已知可得OC⊥平面ABD，则OC⊥AG，利用余弦定理求出，再由勾股定理的逆定理可得BG⊥OG，由线面垂直的判定可得AG⊥平面CEG，从而可得H与B重合，进而可求得结果. 【详解】（1）证明：如图，取AG的中点Ⅰ，记，连接FⅠ，DⅠ，GO． 在△ACG中，F，Ⅰ分别为AC，AG的中点，所以∥， 同理，在△BDⅠ中，有∥， 因为平面，平面， 所以∥平面，∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 又平面ⅠFD， 所以∥平面CEG． （2）解：因为底面BCDE是菱形，所以OC⊥OD． 因为AE＝AC，BC＝BE，所以△ABC≌△ABE， 则GC＝GE， 又因为点O是EC的中点，所以OC⊥OG． 因为，平面ABD， 所以OC⊥平面ABD， 因为平面ABD， 所以OC⊥AG． 因为，， 所以， 则， 则，所以BG⊥OG． 又因为，平面CEG， 所以AG⊥平面CEG． 若AH⊥平面CEG，则H与B重合． 故． 变式3．（25-26高一下·河南开封·月考）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在， 【分析】（1）取中点，由证得四边形为平行四边形，进而证得，即可证得平面； （2）存在点，，先求出，再由余弦定理求得，结合勾股定理证得，又，即可证得平面. 【详解】（1） 取中点，连接，因为是的中点，则，又， 则，则四边形为平行四边形，则，又平面，平面，则平面； （2） 存在点，使得平面，此时，证明如下： 连接，易得，又底面，底面，则， 则，，则，，又， ，由余弦定理得，，则， ，又，，平面，则平面，故存在点，使得平面，此时. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：证明线面垂直、补全线面垂直的条件专项训练 暑假培优：证明线面垂直、补全线面垂直的条件专项训练 考点一 证明线面垂直 考点目录 证明线面垂直 补全线面垂直的条件 例1.(25-26高一下北京朝阳期中)如图，在正四棱柱 BCD-ABCD中，AB=l,H=2,M是D0的中 点 D C A D以 Ak-- 平面Awc BD/ (1)求证： BDD B (2)证明： AC上平面 例2.(25-26高一下福建福州期中·节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,E为PD的中点， ADIIBC,∠BAD=90°，PA=AB=BC=1,AD=2.求证：DC⊥平面PAC; A 暑假培优：证明线面垂直、补全线面垂直的条件专项训练 暑假培优：证明线面垂直、补全线面垂直的条件专项训练 例3.(25-26高一下·湖北武汉·月考·节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面 ABCD,PA=AB,E为线段PB的中点.证明：AE⊥平面PBC: D D B 变式1.(25-26高一下·湖南株洲期中·节选)如图1，等腰梯形ABCD中，AD/BC,E为AD边上一点，且 AB=AE=BE=CD=2,BC=ED=4,O为BE中点，F为BC中点·将△ABE沿BE折起到△ABE的位置，如图 2.证明：CD⊥平面AOF; A(A D F F 图1 图2 暑假培优：证明线面垂直、补全线面垂直的条件专项训练 ABCD-ABCD 变式2.(25-26高一下四川成都月考节选)如图，在直四棱柱 ABCD 中，底面 2√2 是边长为的 菱形，A4=2,∠BAD= 3,E,F分别为AB’AA的中点证明：BE⊥平面DEF D C B A D 变式3.(25-26高一下·福建龙岩·月考)如图，在正方体ABCD-AB'CD'中，E是AD的中点，BD与AC交于点 O,AB与AB交于点G D A D、 A B (1)证明：OG1∥平面BCCB: (2)证明：EG⊥平面A'BC': 暑假培优：证明线面垂直、补全线面垂直的条件专项训练 考点二 补全线面垂直的条件 例1.(25-26高一下·广东东莞月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD, PA=AD=CD=2,AB=1,M为PC的中点. M :! D A B (I)求证：BMII平面PAD: (2)在侧面PAD内找一点N,使得MN⊥平面PBD,并求点N到PA,AD的距离 BCD-4BCD中，MB=AD=1,M=2 D 例2.(2425高一下江西景德镇·期末)如图，长方体 ,点P为 的中点 D C A B P 求证：平面P4C1平面 BDD B AB (2)求直线与平面 BDD B 所成的角的正弦值： B,2 (3)在直线BB上是否存在点Q使得P吧L平面ACP,若存在，则此时BO为多少：若不存在，请说明理由， 暑假培优：证明线面垂直、补全线面垂直的条件专项训练 暑假培优：证明线面垂直、补全线面垂直的条件专项训练 例3.(25-26高一下·浙江杭州月考)已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2,AF=1, 点M在线段EF上. E M B 0 (I)若M为EF的中点，求证：AM∥平面BDE: (2)求二面角A-DF-B的正切值： EM (3)证明：存在点M,使得AM⊥平面BDF,并求EF的值： 变式1.(25-26高一下·河南濮阳·阶段检测)如图所示，正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱2A 6 与底面ABCD所成的角的正切值为2· P E B D (I)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小； (2)若E是PB的中点，问在棱AD上是否存在一点F,使EF⊥侧面PBC,若存在，试确定点F的位置；若不存在， 说明理由： 暑假培优：证明线面垂直、补全线面垂直的条件专项训练 变式2.(25-26高一下·安徽毫州月考)如图，在四棱锥A-BCDE中，四边形BCDE为菱形，AB=AD=3, BD=23 ,AE=AC,点G是棱AB上靠近点B的三等分点，点F是AC的中点. (I)证明：DF∥平面CEG. ②)点H为线段BD上一点，设B丽=1BD 若AHI平面CEG,试确定t的值. 变式3.(25-26高一下河南开封·月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直 角梯形，AB∥DC,AD⊥DC,且AB=AD=1,PD=DC=2,E是PC的中点. A B (I)求证：BE∥平面PAD: PB (2)在线段PB上是否存在一点Q,使得PC⊥平面DEQ?若存在，求出OB的值：若不存在，请说明理由.