暑假培优：几何法求二面角、已知二面角求其他量专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦几何法求二面角及逆用问题，通过精选不同情境典例构建从基础求角到已知角求量的递进训练体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何法求二面角|6题（3例+3变式）|含翻折、柱锥台等模型，需先证线面关系再作二面角平面角|以空间线面平行垂直证明为基础，通过作、证、算三步构建求角逻辑链| |已知二面角求其他量|6题（3例+3变式）|涉及存在性探究、线段长度、线面角等，需用二面角条件列方程|承接求角方法，逆向运用二面角结论解决几何量计算，深化空间几何转化思想|

暑假培优：几何法求二面角、已知二面角求其他量专项训练 暑假培优：几何法求二面角、已知二面角求其他量专项训练 考点目录 几何法求二面角 已知二面角求其他量 考点一 几何法求二面角 例1．（25-26高一下·安徽马鞍山·期末）如图1，在直角梯形中，，，，.为的中点，将沿着翻折成，如图2. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)当时，求二面角的余弦值. 例2．（25-26高一下·湖北孝感·期末）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，其中，，. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)为上的动点，以为直径作球，设，若球被平面截得的截面圆的面积为，求的最小值. 例3．（25-26高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，，，，，为中点．    (1)证明：平面； (2)若平面，过点作出平行于平面的截面（写出作法，不要求证明），并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积； (3)若，求二面角的余弦的最小值. 变式1．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）如图，平面四边形是边长为的正方形.平面，，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 变式2．（25-26高一下·福建厦门·期中）矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题：      (1)求四棱锥的体积. (2)求二面角的余弦值． (3)在上是否存在点使得平面? 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； 变式3．（24-25高一下·四川泸州·期末）如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 考点二 已知二面角求其他量 例1．（25-26高一下·福建福州·月考）如图，在四棱锥中，△为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26高一下·江苏南京·月考）如图，四棱锥中，平面． (1)若为中点，证明：平面； (2)若，且二面角的大小为，求． （请不用空间向量法，用空间向量法不得分） 例3．（25-26高一下·山东枣庄·月考）如图所示，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，且，，. (1)证明：平面平面； (2)当二面角的平面角的正切值为时，求直线BD与平面夹角的正弦值. 变式1．（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，. (1)证明：平面； (2)若，求二面角； (3)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值． 变式2．（25-26高一下·广西玉林·月考）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. (1)求证：平面平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 变式3．（25-26高三下·江苏南京·阶段检测）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，. (1)证明：平面； (2)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：几何法求二面角、已知二面角求其他量专项训练 暑假培优：几何法求二面角、已知二面角求其他量专项训练 考点目录 几何法求二面角 已知二面角求其他量 考点一 几何法求二面角 例1．（25-26高一下·安徽马鞍山·期末）如图1，在直角梯形中，，，，.为的中点，将沿着翻折成，如图2. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)当时，求二面角的余弦值. 【答案】(1)连接，设，连接. 由四边形为平行四边形可得，与互相平分，即点是的中点， 又因为为中点，所以. 因为面，面，所以面. (2) 【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分得到中点，结合是中点构造三角形中位线，证出线线平行，最后利用线面平行判定定理即可证出线面平行； （2）先利用勾股定理证明垂直底面，用三垂线定理找出二面角的平面角，再在中求解余弦值即可. 【详解】（1）略 （2）取的中点为，连接和. 因为，所以，且，同理， 所以在中，，， 则，即， 又因为，面，所以面. 过点作的垂线，垂足为，连接，则，又， 则为二面角的平面角. 在中，，， 所以，解得. 故. 即二面角的余弦值为. 例2．（25-26高一下·湖北孝感·期末）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，其中，，. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)为上的动点，以为直径作球，设，若球被平面截得的截面圆的面积为，求的最小值. 【答案】(1)证明：因是圆的直径，则， 因平面，平面，则， 又平面，故平面. (2) (3) 【分析】（1）由平面可得，由条件易得，根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）过点作于点，连接，证明即二面角的平面角，在中，利用三角函数定义即可求得答案； （3）先求得球的半径为，设点到平面的距离为，则得点到平面的距离为，利用余弦定理求出相关边与角，根据求得，接着利用球的截面圆性质求出截面圆面积的表达式，借助于二次函数的性质即可求得其最小值. 【详解】（1）略 （2）过点作于点，连接， 由（1）平面，平面，则， 因平面，故平面， 又平面，则， 即二面角的平面角， 因在中，，由面积相等可得， 在中，，则. （3）因，则，， 则球的半径为，设点到平面的距离为，则点到平面的距离为. 在中，，则， 则，则， 在中，，则， 由可得：，解得， 设球与平面相交得到的截面圆半径为，则， 则， 因，故当时，. 例3．（25-26高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，，，，，为中点．    (1)证明：平面； (2)若平面，过点作出平行于平面的截面（写出作法，不要求证明），并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积； (3)若，求二面角的余弦的最小值. 【答案】(1)由 是 中点，，得 ； 因为，所以 ， 因为，故 ， 所以四边形是平行四边形，所以； 平面 ， 平面 ，所以平面 ； (2) (3). 【分析】（1）先证明线线平行，即，再由线面平行判定定理证明； （2）利用面面平行作出截面，通过总体积减去小三棱锥的体积求解； （3）先找出二面角的平面角（三垂线定理），再由平面与平面垂直时找到二面角的余弦的最小值. 【详解】（1）略； （2）取的中点，连接， 因为分别是的中点， 则，且平面，平面， 所以平面，且平面 ，，平面， 所以平面平面 ，即平面 即为过点 且平行于平面 的截面，    在 中，， 故，，， 由 平面 ， 平面 ， 又 ， 平面 ， 得 平面 ，即四棱锥高 ， 梯形 面积 四棱锥总体积 面积： 是 中点，； 三棱锥 的高 （ 为 中点，） 两平面间几何体体积：； （3）过点 作 平面 ，垂足为 ； 在平面 内，过垂足 作 ，交棱 于点 ； 连接 ，由三垂线定理：垂线 平面 ，射影 斜线 ； 所以 就是二面角 的平面角，记为 ， ， 为直角三角形，所以 当平面与平面垂直时，即当与重合时，二面角的平面角的余弦取得最小值， 在 中，， 所以，此时； 此时最小值.    变式1．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）如图，平面四边形是边长为的正方形.平面，，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)因为平面，且，所以平面. 又平面，因此. 因为是正方形，所以. 又，且平面， 根据线面垂直的判定定理，所以平面. (2) 【分析】（1）由条件可得 平面，再结合底面是正方形及线面垂直的判定定理可得； （2）先延长并交于点，进而可得平面平面，再过过作，连接，则就是平面与平面的夹角的平面角.在底面中，由余弦及正弦定理得，进而在直角中，得，最后在直角中用勾股定理及直角三角形的边角关系计算可得. 【详解】（1）略 （2）因为 ，且，所以四边形为直角梯形， 因此直线与直线必交于一点. 连接，过作，垂足为，连接，如图： 因为，所以平面，所以平面. 同理，平面，所以平面， 因此是平面与平面的公共点， 又因为点也平面与平面的公共点，所以平面平面. 因为平面，平面，所以， 又，且，平面， 由线面垂直的判定定理得，且，平面，平面， 因此就是平面与平面的夹角的平面角. 因为在中， ，且，所以是的中位线， 所以，在中，，如图： 由余弦定理， 解得， 又由正弦定理，得. 在直角中，，， 所以. 以在直角中，， 由勾股定理得， 所以. 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 变式2．（25-26高一下·福建厦门·期中）矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题：      (1)求四棱锥的体积. (2)求二面角的余弦值． (3)在上是否存在点使得平面? 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3)存在，是线段上靠近点的三等分点 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理推出线面垂直，即得出棱锥的高，代入四棱锥的体积公式即得； （2）先证，平面，得，计算，从而证，得出为二面角的平面角，在中即得余弦值； （3）设交于点，可证，因此只要，就有，进而可得平面. 【详解】（1） 取的中点，连接，在原矩形中，因为，点为的中点，故，因为是等腰三角形，所以. 翻折后，因为平面平面，且平面平面， 根据面面垂直的性质定理得：平面，即是四棱锥的高， 又因为，所以， 又因为， 所以四棱锥的体积. （2）在矩形中，，， ，． 又平面平面，平面，平面平面 平面， 平面，， ． 在中，，， 又，平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角， 在中，， ∴二面角的余弦值为． （3）存在．如图所示： 连接、，设交于点， ，且， ． 取的三等分点，使，连接、、，则． 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点的三等分点． 变式3．（24-25高一下·四川泸州·期末）如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，连接交于点，连接，先得到四边形为矩形，可得为的中点，结合为的中点，可得，进而求证即可； （2）由，为的中点，可得，再根据平面平面可得平面， 进而得到，进而求证即可； （3）取为的中点，作，垂足为，连接，分析得到是二面角的平面角，解三角形即得. 【详解】（1）如图，连接，连接交于点，连接，    因为点为的中点，为中点，且 四边形ABCD是正方形， 所以四边形为矩形， 故为的中点，又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由，为的中点，得， 又因为四边形是正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以，   又因为，平面， 所以平面． （3）如图，取为的中点， 由，得， 又因平面平面，平面平面，平面， 平面， 作，垂足为，连接，    由，，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，则， 所以就是二面角的平面角， 在中，，，得， 所以， 故所求二面角的余弦值为． 考点二 已知二面角求其他量 例1．（25-26高一下·福建福州·月考）如图，在四棱锥中，△为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以， 又，，，平面，所以平面. (2) (3)存在， 【分析】（1）通过证明、证得平面． （2）作出直线与平面所成的角，解直角三角形求得所成角的正弦值. （3）作出二面角的平面角，由此列方程求得. 【详解】（1）略 （2）连接， 由（1）中平面，所以为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）取中点，连接，， 在中，， 因为平面，又平面，所以， 在中，，所以，所以， 又点为中点，所以， 同理， 所以为二面角的平面角， 设， 在中，， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理可得，即， 化简得到，解得或（舍去）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为，此时． 例2．（25-26高一下·江苏南京·月考）如图，四棱锥中，平面． (1)若为中点，证明：平面； (2)若，且二面角的大小为，求． （请不用空间向量法，用空间向量法不得分） 【答案】(1)证明：取中点为，连接， 分别为的中点， ，且，又， 由平行传递性可得，且， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面. (2). 【分析】（1）取中点为，由题意得，且，可得四边形为平行四边形，所以，再由线面平行的判定定理证明即可. （2）将二面角转化为平面角，如图，再由线面关系可得为直角三角形，设，用等面积法将所需边长用表示出来，结合，用锐角三角函数即可求出. 【详解】（1）略 （2）过点作，垂足为， 面，，面，， 过点作，垂足为，连接， 面，， 二面角的平面角为. 面，，又面，面， 面，， 设，则，由已知得， 在和中，由等面积法得： ，得， ，得， ，，面，又面，， 在中，， ，解得，. 例3．（25-26高一下·山东枣庄·月考）如图所示，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，且，，. (1)证明：平面平面； (2)当二面角的平面角的正切值为时，求直线BD与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）由余弦定理，结合勾股定理的逆定理证得，借助三角形全等得，再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得. （2）取PA中点，由给定二面角结合勾股定理的逆定理证得，再利用线面垂直的判断性质求出线面角的正弦. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 显然，则，即， 由，，，得，则，即， 又，平面，于是平面，又平面， 所以平面平面. （2）取PA中点，连接BE，DE，如图， 由，，则，，即为二面角的平面角， 由（1）知，平面，平面，则，， 于是，，而， 则，，，于是， 又，，平面，因此平面， 又，则平面，过作于点，平面，于是， 而，平面，则平面， 因此直线BD与平面夹角即为，中，，， 所以直线BD与平面夹角的正弦值为. 变式1．（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，. (1)证明：平面； (2)若，求二面角； (3)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由已知侧面底面，得平面，则，又侧面是正三角形，可得，即可的证；. （2）由已知，作出二面角的平面角，证出是直角三角形，则求出二面角的大小； （3）作出二面角的平面角，求出，再利用异面直线所成角的定义得到异面直线与所成角，进而求出其正切值. 【详解】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面底面，侧面底面平面， 得平面，又平面，则， 又侧面是正三角形，是的中点，则， 又平面，所以平面. （2）如图，取，中点，连接， 因为底面为矩形，侧面是正三角形， 所以，且且都在面， 所以平面，又，所以平面，面， 所以，所以就是二面角的平面角， 由（1）知平面，因为，所以平面， 面，则，在直角三角形中，， 又正三角形，，则，所以， 所以，即二面角为. （3）如图，在平面内，过点作，垂足为，则， 由侧面底面，交线为，面，得底面， 底面，则， 过作，垂足为，连接， ，平面，则平面， 而平面，因此， 则即为二面角的平面角，其大小为， 在中，，则， 由，得四边形为平行四边形，则， 由，得（或其补角）为异面直线与所成角， 由（1）知平面，则为直角三角形，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 变式2．（25-26高一下·广西玉林·月考）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. (1)求证：平面平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质于判定定理可证平面，结合面面垂直的判断定理即可证明； （2）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解. 【详解】（1）由平面，平面，得， 连接，由且， 所以四边形为平行四边形， 又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又由且， 所以四边形为平行四边形， 则，所以， 又 平面， 所以平面， 由平面，所以平面平面； （2）由平面，平面，所以， 又， 平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，作，垂足为M， 由（1）知，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则为直线在平面上的投影， 所以为直线与平面所成的角， 在中，，所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为 变式3．（25-26高三下·江苏南京·阶段检测）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，. (1)证明：平面； (2)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值. 【答案】(1)证明：在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面底面，侧面底面平面， 得平面，又平面，则， 又侧面是正三角形，是的中点，则， 又平面，所以平面. (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质 判定推理即得. （2）作出二面角的平面角，由此求出，再利用异面直线所成角的定义求出其正切值. 【详解】（1）略 （2）如图， 在平面内，过点作，垂足为，显然， 由侧面底面，交线为，得底面，底面， 则，过作，垂足为，连接，显然， 平面，则平面，而平面，因此， 则即为二面角的平面角，其大小为， 在中，，则， 由，得四边形为平行四边形，则， 由，得（或其补角）为异面直线与所成角， 由（1）知平面，则为直角三角形，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $