辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（九）

**基本信息** 高二下学期数学期末复习卷，覆盖复数、数列、函数等核心知识，通过梯度化题型设计（如解答题第18题导数应用与证明），考查数学眼光、思维与语言，适配期末综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数象限、数列单调性等|基础概念辨析，如第3题结合数列单调性与充分必要条件| |多选题|3/18|函数性质、概率统计|多维度考查，如第10题综合正态分布、概率计算| |填空题|3/15|数列求和、方程解|情境简洁，如第14题方程解的综合应用| |解答题|5/77|函数单调性、数列求和、导数证明等|分层设计，第18题融合导数几何意义与不等式证明，第19题结合随机变量与数列，考查数学思维与表达|

辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（九） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.85 【详解】设，则， 因为，所以， 整理得， 所以，解得，即， 所以在复平面内，复数对应的点为，位于第二象限. 2．若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.68 【分析】先求函数在区间上的最小值，再根据有解条件确定的取值范围即可. 【详解】设，，则不等式在上有解等价于. 对任意，有，当且仅当，即时等号成立. 因为，故在上的最小值为，所以. 故的取值范围为. 3．若等差数列的公差为，前项和为，则“为单调递减数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.68 【分析】直接通过举反例验证充分性和必要性是否成立可得. 【详解】充分性：如等差数列为：，则， 显然数列为单调递减数列，但，故充分性不成立. 必要性：如等差数列为：，则数列为：， 显然公差，但数列为单调递增数列，必要性也不成立. 因此“数列为单调递减数列”是“”的既不充分也不必要条件. 4．已知数列与分别满足，则集合的元素个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】C 【难度】0.65 【分析】通过解方程，结合代入验证与归纳法证明确定解的个数. 【详解】由题意，集合中的元素需满足， 代入数列通项得 化简为，分情况讨论： 当时，左边，右边=1，等式成立； 当时，左边，右边=2，等式成立； 当且时，用数学归纳法证明： ① 当时，左边，不等式成立； ② 假设时不等式成立，即， 则当时，，不等式也成立． 由①②得，对所有的正整数，均有，无满足等式的解，综上，满足条件的仅有1、2，共2个元素． 5．函数在上存在单调递增区间，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.55 【分析】对原函数求导，将“存在单调递增区间”转化为导函数在给定区间上存在大于零的解，分离参数后构造新函数，利用导数研究新函数在区间上的最值，即可推得参数的取值范围. 【详解】函数在上存在单调递增区间，等价于在上有解， 对求导得：， 有解等价于：有解， 令，则只需，求导得：， 当时，，，故，即在上单调递减， 因此的最小值在处取得：， ，故的取值范围是. 6．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.55 【分析】利用导数的几何意义求出曲线在处切线方程，再设出切点坐标，利用导数几何意义用表示并建立函数关系，利用导数求出最大值. 【详解】函数，求导得，则，而， 曲线在处的切线方程为，即， 设曲线在处的切线与曲线相切的切点为， 而，则且，于是， 解得，，即． 因此，令函数， 求导得，由，得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以的最大值为. 7．设a，，，，函数，从有序实数对中随机抽取一个，则函数恰有三个零点的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.5 【分析】先求导，得到函数单调性和极值情况，根据零点个数得到，求出恰有三个零点的有序实数对共有个，从而得到概率 【详解】由a，，，，得有序实数对共有对， 函数的定义域为R，求导得， 由，得或；由，得， 函数在，上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值且，在处取得极小值且， 由a，，得恒成立， 因此函数恰有三个零点，当且仅当，即，， 当时，b无解； 当时，； 当时，， 当，5，6，7时，， 满足函数恰有三个零点的有序实数对共有对， 所以函数恰有三个零点的概率为． 8．已知，，若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【分析】令，可得，令，由题意可知直线与的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，即，则． 令，则， 由可得，由可得或， 所以函数的减区间为、，增区间为， 的极小值为，极大值为， 当时，，当时，，如下图所示： 因此要使得直线与的图象有三个交点，的取值范围为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．关于函数，则下列选项正确的是（    ） A．图象关于直线对称 B．在单调递增 C．的值域为 D．有两个零点 【答案】AD 【难度】0.65 【分析】先得到函数定义域为，由，即可得到图象关于直线对称，即可验证A项；令内层函数， 时，单调递减，根据复合函数“同增异减”得到在单调递减，即可验证B项；先由复合函数的单调性原则得到函数的单调性，即可验证C项；令，解得，即可验证D项. 【详解】函数 需满足，即定义域为， 由对数的运算法则得到， 对于A项，因为， 所以，即图象关于直线对称，故A正确； 对于B项，令内层函数，开口向下，对称轴， 时，单调递增，时，单调递减， 因为外层函数在单调递增， 所以根据复合函数的单调性得到在单调递减，故B错误； 对于C项，根据复合函数的单调性得到在单调递增， 所以当时，函数有最大值， 又因为当或时，函数，， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D项，令，即，得到， 整理得到，解得， 所以函数有两个零点，故D正确. 10．下列结论正确的是（   ） A．随机变量，则 B．某同学参加100米达标训练，5次训练的成绩为：11.5秒，13.1秒，14.5秒，11.7秒，14.3秒，从这5次训练的成绩中不放回任意抽取两次，则两次抽取的成绩都比12.8秒好的概率为 C．已知，，则是的充要条件 D．已知甲、乙两位选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率是0.6，乙获胜的概率是0.4，那么对甲而言“三局两胜”比“五局三胜”更有利 【答案】ABC 【难度】0.62 【分析】对于A，使用二项分布的均值公式结合方差的线性运算性质即可求解，对于B，使用超几何分布的运算公式即可求解，对于C，由条件概率的公式结合独立事件的乘法公式即可求解，对于D，分类讨论各个赛制下的胜利方式，结合二项分布的运算公式即可求解. 【详解】对于A，，则，故A正确， 对于B，5次训练的成绩中比12.8秒用时更少的有2次，概率为．故B正确， 对于C，充分性验证: 若，即，则， 此时事件与事件独立，充分性得证, 必要性验证: 若事件与事件独立，则， 则，必要性得证， 即是的充要条件，故C正确. 对于D，三局两胜：甲获胜的情况为甲前两局全胜或甲前两局一胜一负第三局胜， 概率为． 五局三胜：甲获胜的情况为前三局甲全胜，前三局甲两胜一负第四局甲赢，前四局甲两胜两负且第五局甲胜， 概率为． ，所以对甲而言“五局三胜”比“三局两胜”更有利，故D错误. 11．已知数列满足，且，为前n项和，下列说法正确的是（  ） A． B．偶数项是等比数列 C． D． 【答案】ADC 【难度】0.45 【分析】直接计算出判断A，计算出后可判断B，由递推关系得出数列的奇数项的关系，从而利用等比数列的通项公式求解判断C，利用分组求和法求和判断D. 【详解】对A，由已知，，A正确； 对B，由已知，，，， 显然，因此偶数项不是等比数列，B错； 对C，，所以， 又，所以是等比数列，且公比为， 所以，从而，C正确； 对D，由选项C得， ， 又 ， 所以，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 13．已知，且，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【难度】0.74 【分析】利用求导判断函数的单调性，根据单调性即可求得不等式的解集. 【详解】函数的定义域为， 其导函数恒成立，故函数在上单调递增， 则由可得，解得， 即实数的取值范围为. 12．已知数列的前n项和为，若，则________． 【答案】30200 【难度】0.55 【分析】分析出，再分组求和即可 【详解】当，时，， 当，时，， 两式联立得， 故，所以，所以， 又，故，即， 将与相加可得 ， . 14．已知，关于的方程恰有三个不同的实数解，，，则的值为____________． 【答案】4 【难度】0.42 【分析】利用换元法，令 ，求出，再求解. 【详解】令 ，则 ， 由均值不等式可知， 的取值范围是 原方程可转化为，即， 对于方程 ，整理为 ，其判别式 ， 当 时，，有2 个不同实数解； 当 时，，有1 个实数解（重根）； 当 时，，无实数解， 原方程有 3 个不同实数解，说明关于 的方程的两个根中， 一个根满足 ，另一个根满足 ， 由韦达定理，方程 的两根之和为 5， 两根之积为 ，因此两根均为正数，故一个根是，另一个根 ， 当 时，方程 的解为 ， 当 时，方程 即 ，由韦达定理，两根之和 ， 因此，三个解的和为. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数在区间上的最大值． 【答案】(1)当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减． (2)当时，最大值为；当时，最大值为2 【难度】0.62 【分析】（1）求导后，分、及进行讨论即可得； （2）结合函数单调性，分及进行讨论即可得. 【详解】（1）因为，所以， 令，解得或， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，，所以当或时，， 当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，所以当或时，，当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为； 当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为和中的较大者， 因为，， 解，得，解，得， 所以当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为； 综上，当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为2． 16．（15分）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.62 【分析】（1）应用等差数列的前n项和公式求基本量，即可得通项公式，根据递推式得，从而有，作差即可得； （2）根据（1）得，应用裂项相消法求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，得，； ，， 当且时，， 两式相减得，则； 当时，，满足； 综上所述：； （2）， 则； 17．（15分）已知函数. (1)当时，求过点且与曲线相切的直线的方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，无单调递增区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【难度】0.59 【分析】（1）先利用导数写出切线斜率，再利用斜率坐标公式建立方程，求出切点，最后代入点斜式即可写出方程； （2）先求导分解因式，再根据的正负，比较两根2和的大小，分类讨论导数的符号，从而确定函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，所以. 设切点为，则， 即，解得， 所以，又， 所以切线方程为，即. （2）因为函数的定义域为， 且 当时，由，得，在上单调递增， ，得，在上单调递减； 当时，因为， 当时，，在上单调递减； 当时，因为， 由，得或，在上单调递减， 由，得，在上单调递增； 当时，因为， 由，得或，在上单调递减， 由，得，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，无单调递增区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 18．（17分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时，恒成立； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明：要证，即证．令，， 依题意，只需证当时，恒成立． 方法一：因为，，解，得， 所以当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减． 所以函数在处取得极大值，也是最大值． 只需证函数的最大值． ， 因为，所以．因为，所以． 所以恒成立，所以当时，恒成立． 方法二：设，，则． 因为函数在上单调递减，且， 所以当时，，函数在上单调递减． 所以当时，，即，当且仅当时，等号成立． 因为当时，，所以． 所以当时，恒成立． (3)证明：由（2）知，对任意，． 取，得． 分别取，个不等式两边分别求和，得 ． 化简，得． 即． 【难度】0.51 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，求切点处的切线方程； （2）问题转化为证明当时，，方法一，利用导数求的最大值；方法二，证明时，，又，可证； （3）利用（2）中的结论，结合数列的求和公式证明. 【详解】（1）因为，，所以，，所以． 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）略 （3）略 19．（17分）设离散型随机变量的取值为且，（）． (1)当数列为等差数列时，求． (2)若数列的通项公式为，求实数的值． (3)当数列满足时，求． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.5 【分析】（1）利用离散型随机变量的概率和为，结合等差数列求和，即可求得； （2）利用离散型随机变量的概率和为，结合裂项相消法求和，即可求得； （3）利用离散型随机变量的概率和为，结合数列的递推关系和累乘法，即可求得. 【详解】（1）离散型随机变量的概率和满足， 因为为等差数列，所以前99项和为，由，得； （2）离散型随机变量的概率和满足， 由， 则， 所以； （3）离散型随机变量的概率和满足， 令，， 则，整理得，， 由累乘法可得：， 即可得， 又，即， 故. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（九） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．若等差数列的公差为，前项和为，则“为单调递减数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知数列与分别满足，则集合的元素个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 5．函数在上存在单调递增区间，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 6．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．设a，，，，函数，从有序实数对中随机抽取一个，则函数恰有三个零点的概率为（   ） A． B． C． D． 8．已知，，若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．关于函数，则下列选项正确的是（    ） A．图象关于直线对称 B．在单调递增 C．的值域为 D．有两个零点 10．下列结论正确的是（   ） A．随机变量，则 B．某同学参加100米达标训练，5次训练的成绩为：11.5秒，13.1秒，14.5秒，11.7秒，14.3秒，从这5次训练的成绩中不放回任意抽取两次，则两次抽取的成绩都比12.8秒好的概率为 C．已知，，则是的充要条件 D．已知甲、乙两位选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率是0.6，乙获胜的概率是0.4，那么对甲而言“三局两胜”比“五局三胜”更有利 11．已知数列满足，且，为前n项和，下列说法正确的是（  ） A． B．偶数项是等比数列 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 13．已知，且，则实数的取值范围为___________． 12．已知数列的前n项和为，若，则________． 14．已知，关于的方程恰有三个不同的实数解，，，则的值为____________． 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数，． (1)讨论函数的单调性；(2)若，求函数在区间上的最大值． 16．（15分）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 17．（15分）已知函数. (1)当时，求过点且与曲线相切的直线的方程； (2)讨论的单调性. 18．（17分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时，恒成立； (3)证明：． 19．（17分）设离散型随机变量的取值为且，（）． (1)当数列为等差数列时，求． (2)若数列的通项公式为，求实数的值． (3)当数列满足时，求． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $