辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（五）

**基本信息** 聚焦函数、数列、导数等核心知识，通过单选、多选、解答题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，适配高二期末复习与素养评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数单调性、随机变量性质、数列求和|基础概念辨析，如第1题函数单调区间求解| |多选题|3/18|不等式解集、函数极值与零点|多维度分析，如第10题结合参数讨论函数极值| |填空题|3/15|函数极值、概率传球模型、恒成立问题|情境应用，如第13题传球概率递推模型| |解答题|5/77|数列通项与求和、导数极值与证明|综合探究，如第17题导数几何意义与不等式证明，第19题数学归纳法应用|

辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（五） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知连续型随机变量，令函数，则下列选项正确的是（     ） A． B．是增函数 C．的图象关于点中心对称 D．的图象关于轴对称 3．已知数列（非常数列）前项和为，为等差数列，，，且，，成等比数列，则的值为（     ） A． B．80 C．81 D．90 4．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 5．已知数列的前n项和为，且满足，，则使得不等式成立的实数k的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 6．已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为（   ） A．18 B． C． D． 8．已知，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的极大值为 B．若，则函数有极小值点 C．若在区间上单调递减，则的最大值为 D．若函数恰有个零点，则的值为 11．已知函数，．令，，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得最小值 B．为偶函数，且 C．方程在区间内有且仅有两个实根 D．对任意，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数(常数)在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围为_______ 13．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则________． 14．若对任意的，恒有，则实数的取值范围为_____. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知等差数列的前项和为，且，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值． 16．（15分）已知函数. (1)当，时，求的极值； (2)若，有最大值且的最大值小于，求a的取值范围. 17．（15分）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 18．（17分）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设求数列的前项和； (3)设，数列的前项和为，求证：. 19．（17分）已知函数，. (1)当时，求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：（，） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（五） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】条件可转化为在上恒成立，利用导数求的取值范围，可得结论. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，，则， 在上单调递增，又， 所以当时，的取值范围为， 所以的取值范围为. 2．已知连续型随机变量，令函数，则下列选项正确的是（     ） A． B．是增函数 C．的图象关于点中心对称 D．的图象关于轴对称 【答案】C 【难度】0.65 【分析】由随机变量，得到正态分布曲线关于对称，根据正态分布的性质，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为随机变量，所以正态分布曲线关于对称， 根据正态分布曲线的性质，可得，所以A不正确； 对于B，根据正态分布曲线的性质，当增大时，逐渐减小， 所以函数为单调递减函数，所以B错误； 对于C，因为随机变量，所以正态分布曲线关于对称， 所以， 则， 所以的图象关于点中心对称，所以C正确； 对于D，由选项B知：函数为单调递减函数， 所以的图象不关于对称，所以D错误. 3．已知数列（非常数列）前项和为，为等差数列，，，且，，成等比数列，则的值为（     ） A． B．80 C．81 D．90 【答案】B 【难度】0.65 【分析】由题意可得数列的首项为，设其公差为，由，，成等比数列和数列（非常数列），求得，从而得，再将代入求解即可. 【详解】因为为等差数列，， 所以数列的首项为，设其公差为， 则，所以， 所以，，， 又因为，，成等比数列，所以，即， 解得或， 当时，，当时，， 所以，为常数数列，不满足题意，故舍去; 当时，，当时，， 所以，不是常数数列，满足题意，所以，所以， 所以. 4．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.63 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 5．已知数列的前n项和为，且满足，，则使得不等式成立的实数k的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【难度】0.62 【分析】根据和与的关系，结合等比数列性质，即可求解得到数列本身的通项，表示，代入到原不等式中，通过比较即可求解. 【详解】因为，，因此当时，， 所以两式相减得，，所以，， 当时，，满足递推关系，所以的递推公式为， 则为首项为，公比为的等比数列，通项公式为， 因此， 代入得，，化简得， 设，则上式等价于， 所以，， 当时，，，单调递增，当时，，，单调递减， ，，当时，，所以，因此的最小值为， 即，因此的最大值为， 故选择B选项. 6．已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.6 【详解】函数有两个零点，则方程有两个实根， 即有两个实根，即直线与函数的图象有两个交点. 结合函数的图象，可得， 所以的取值范围是. 7．已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为（   ） A．18 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.45 【分析】对求导，结合导数的几何意义及判断出的大小关系，求出并判断出正负值，结合基本不等式即可求出最小值. 【详解】， . 因为，所以 因为，所以，即. 所以或. 不妨取， ，， 所以，，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立. 8．已知，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【分析】通过等式得出与的关系，然后构造新函数，利用函数的单调性即可求解. 【详解】因为，所以， 令，所以，因为恒成立， 所以在上单调递增，所以，即， 所以，令， 所以，令， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，取得最大值为， 即的最大值是，故C正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【难度】0.65 【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D. 【详解】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的极大值为 B．若，则函数有极小值点 C．若在区间上单调递减，则的最大值为 D．若函数恰有个零点，则的值为 【答案】ACD 【难度】0.55 【分析】根据题意，利用导数的求出函数的单调性即可判断AB；根据题意，得到在上恒成立，利用导数即可判断C；根据题意，利用导数分类讨论的范围，得到函数的单调性和极值即可判断D. 【详解】对于A，若，则，， 令，解得和， 当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则在处取得极大值，极大值为，故A正确； 对于B，，，所以函数在定义域内单调递增，没有极值点，故B错误； 对于C，若在区间上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立， 由于函数在上的最小值为，所以，即的最大值为，故C正确； 对于D，，， 当时，，函数在定义域内为增函数，故函数不可能存在个零点，不符合题意； 当时，由，解得， 当时，；当时，；当时，， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为， 则函数的极小值为，极大值为． 又函数恰有个零点，所以或者，解得，故D正确． 11．已知函数，．令，，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得最小值 B．为偶函数，且 C．方程在区间内有且仅有两个实根 D．对任意，都有 【答案】ABC 【难度】0.42 【分析】A，通过导数求单调性即可；B，利用偶函数的定义判断，并通过的单调性求出范围；C，通过单调性判断其等于的解的个数；D，代入特殊值即可判断. 【详解】选项A，， 所以，所以当时，,单调递减， 当时，，单调递增.所以当时，取得最小值. 故A正确. 选项B，，且，又定义域关于原点对称， 所以是偶函数. 因为，所以在恒成立，所以. 故B正确. 选项C，因为，当时，，，故， 所以函数在单调递增，， 因为，时，所以内存在使得， 又因为是偶函数，所以存在使得. 故C正确. 选项D，取，因为，而，故此时不成立. 故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数(常数)在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围为_______ 【答案】 【难度】0.62 【分析】根据极值，求出，进而检验是否符合题意，再由函数的单调性可求得的取值范围． 【详解】因为，则， 故，得； 当时，，， 当或时，，所以在和是单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以是极值点，所以符合题意， 由在和上单调递增，在上单调递减， 又，， 当时，，当时，， 所以关于x的方程有3个不同的实根，所以， 所以实数m的取值范围为． 13．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则________． 【答案】/0.3125 【难度】0.6 【分析】由题得出的递推式，构造等比数列求解即可． 【详解】由题意得，时，，即， 设，故， 所以，其中， 即是首项为，公比为的等比数列， 故，即， 所以． 14．若对任意的，恒有，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【难度】0.35 【分析】由已知不等式变形得出，令，其中，利用导数分析该函数的单调性，可得出，即可得出，参变分离可得，构造函数，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】对任意的，恒有，则， 即， 令，其中，则， 所以函数在上单调递增，且， 由可得，则， 参变分离可得，构造函数，其中， ， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故，即实数的取值范围是. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知等差数列的前项和为，且，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.7 【分析】（1）设等差数列的首项和公差，从而列方程组求出首项和公差，进而得到数列的通项公式； （2）对求导后，可知是等差乘等比结构的求和问题，用错位相减法即可计算出结果． 【详解】（1）由数列为等差数列，设首项为，公差为， 又对恒成立，所以有， 联立， 即， 解得 所以 ， 故数列的通项公式为． （2）由， 则， 所以， ， 两式相减得： ， 所以． 16．（15分）已知函数. (1)当，时，求的极值； (2)若，有最大值且的最大值小于，求a的取值范围. 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【难度】0.55 【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性和极值； （2）求导，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性和最值，结合题意可得，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】（1）当时，则， 其定义域为，且， 令，解得或；令，解得， 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为. （2）若，则的定义域为，且， 当时，则，可知函数在上单调递增， 所以函数无最大值，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数的最大值为， 因为的最大值小于，即，可得， 设，，可知在上单调递增， 且，由不等式可得， 所以的取值范围为. 17．（15分）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.51 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可得； （3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明转化为证明在上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可得. 【详解】（1）若，则，， ，又， 故曲线在点处的切线方程为； （2）由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； （3）若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则，两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令，则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证. 18．（17分）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设求数列的前项和； (3)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.48 【分析】（1）利用与的关系可求出数列的通项公式； （2）由（1）知，得为奇数时，，当为偶数时，，，令，，通过错位相减法分别求得即得； （3）由（1）知，通过放缩法结合裂项求和即可得证. 【详解】（1）当时，， 而满足上式，所以. （2）当为奇数时，，当为偶数时，， 所以， 令， 则， ， 两式相减，得 ，故. 而， ， 两式相减，得， 故， 故. （3）证明：由题知 ， 所以 ，即命题得证. 19．（17分）已知函数，. (1)当时，求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：（，） 【答案】(1)最小值为 (2) (3)证明见解析 【难度】0.28 【分析】（1）求导分析单调性，找到唯一极小值点，从而确定函数的最小值； （2）通过参变分离，将恒成立问题转化为求函数的最大值问题，再利用导数研究的单调性，得到其最大值，进而求出的取值范围。 （3）利用第 (2) 问得到的不等式结论，构造可放缩的不等式，再通过累加法对个不等式求和，最终得到数列不等式的证明. 【详解】（1）当时，函数 ，定义域为，， 所以当时，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，且最小值为. （2）当时，恒成立等价于恒成立， 令，求导得， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，则，即恒成立， 所以当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以a的取值范围为. （3）由（2）知，（），即（），所以， 则，当且仅当时取等号， 所以，，…，， 将以上个不等式左右两边分别相加得 ， 即（，）. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $