第五章分式与分式方程复习课 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学分式与分式方程单元复习课件系统梳理了分式的概念、性质、运算及分式方程的定义、解法与应用，通过“闯关地图”分六关从概念辨析到拓展挑战，结合知识框架图串联知识点，构建完整知识网络。 其亮点在于采用分层闯关设计，基础关夯实概念与运算，应用关培养数学建模意识，拓展关发展创新思维，如行程问题建立分式方程模型，参数题提升推理能力。错题反思和闯关心得帮助学生规避易错点，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第五章 分式与分式方程 分式大闯关 单元回顾与思考 实际问题 分式 分式方程 最简分式 分式的值 分式的运算 分式有意义 分式值为0 分式的化简 分式的求值 注意：分母不为0 乘除 加减 约分： 因式分解→公 因式→约分 同分母分式加减 异分母分式加减 混合 运算 通分 解方程 去分母 最简公分母 检验 转化 列式 列方程 闯关地图 第一关 概念辨析关 ⭐ 第二关 运算技能关 ⭐⭐ 第三关 综合提升关 ⭐⭐⭐ 第四关 方程求解关 ⭐⭐⭐⭐ 第五关 实际应用关 ⭐⭐⭐⭐⭐ 第六关 拓展挑战关 ⭐⭐⭐⭐⭐⭐ START FINISH 一、分式 1. 分式的概念： 一般地，如果 A，B 都表示整式，且 B 中含有字母，那么称 为分式.其中 A 称为分式的分子，B 称为分式的分母. 2. 分式有意义的条件： 对于分式 ： 当_______时分式有意义； 当_______时无意义. B≠0 B = 0 3. 分式值为零的条件： 当______________时，分式 的值为零. A = 0 且 B≠0 🎯 第一关 概念辨析关 ⭐【闯关任务】夯实分式核心概念，厘清易错点 闯关题1 题目来源：复习题 数学理解 第6题 考查知识点：分式有意义的条件（分母不为0） 当取什么值时,下列分式有意义？ （1）​； （2）； （3） 分式有意义的核心要求：分母≠0 分母，即≠1时,分式有意义； 分母≠0，即≠1时,分式有意义； 分母≠0时,分式有意义. 做题反思: ①分式有意义仅与分母相关,与分子无关,只需保证分母不为0； ②注意平方的非负性,≥0,仅当=1时分母为0,切勿误判为全体实数； ③含字母系数的分式,默认分母的字母不为0,仅需讨论未知数的取值. 闯关挑战 1 关卡进度: 1/6 💡 提示：分式有意义的关键是分母不为0！ 闯关挑战 闯关题2 题目来源：复习题 数学理解 第8题 考查知识点：分式值为0的条件 分式的值为零时,实数a,b应满足什么条件？ 分式值为0,需同时满足 解得:a=b,且a≠−1 💡 闯关心得: 分式值为0是双条件,缺一不可： 先保证分子为0,必须再验证分母不为0,这是高频易错点. 4. 分式的基本性质： 分式的符号法则： 5. 分式的约分： 约分的定义 把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． 最简分式的定义 注意：化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式. 分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式. 6. 分式的通分： 分式的通分的定义 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分. 最简公分母 通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母. 二、分式的运算 1. 分式的乘除法则： 2. 分式的乘方法则： 3. 分式的加减法则： (1) 同分母分式的加减法则： (2) 异分母分式的加减法则： 4. 分式的混合运算： 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 计算结果要化为最简分式或整式. 13 闯关挑战 🎯 第二关 运算技能关 ⭐⭐ 【闯关任务】掌握分式化简与四则运算 闯关题3 题目来源：复习题 知识技能 第1题 考查知识点：分式的基本性质,约分,因式分解 化简下列分式： (1) ​； (2) ； (3) ​ 结果如下： (1) -​； (2) -； (3) ​ 💡 闯关心得： ①约分前必须先对分子、分母因式分解,找全公因式； ②注意互为相反数的因式变形：2−a=−(a−2),符号是高频易错点； ③最终结果必须是最简分式/整式，不能再约分. 2 关卡进度: 2/6 💡 提示：先因式分解，再约分，注意符号变化！ 闯关挑战 闯关题4 题目来源：复习题 知识技能 第2题 考查知识点：分式乘除运算法则,因式分解,符号法则 (2)​÷(−2) (4) 💡 闯关心得: ①分式除法必须先转化为乘法,除式的分子分母要完全颠倒,不能只颠倒部分； ②多项式必须先因式分解,再约分,避免直接约分导致的错误； ③多个负号运算时,先确定最终符号,再计算绝对值,减少符号错误. = = =− = 闯关挑战 闯关题5 题目来源：复习题 知识技能 第3题 考查知识点：分式通分,加减运算法则,混合运算顺序,因式分解. (5) 💡 闯关心得： ①异分母分式加减,先找最简公分母,通分后分子相加减,分子是多项式时要加括号,避免符号错误； ②混合运算严格遵循运算顺序,不能随意调换； ③整式与分式相加减,把整式看作分母为1 的分式再通分； ④互为相反数的因式要先统一形式,再运算. = = = =​ 闯关挑战 🎯 第三关 综合提升关 ⭐⭐⭐ 【闯关任务】代数恒等变形与化简求值 闯关题6 题目来源：复习题 知识技能 第5题 考查知识点：分式化简求值,比例的性质,完全平方公式,分式拆分 (2)已知=2,求​的值； = (3) 已知求实数A,B. 右边通分得,对比分子得: , 解得 💡 闯关心得: ②完全平方公式的变形是高频考点,要熟练掌握这类整体代入技巧；③分式拆分的核心是“左右恒等，对应项系数相等”,通分后对比分子列方程组求解. 3 关卡进度: 3/6 💡 提示： 整体代入可以大大简化计算！ 三、分式方程 1. 分式方程的定义 分母中含未知数的方程叫做分式方程. 2. 分式方程的解法 (1) 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； (2) 解这个整式方程； (3) 检验整式方程的解，判断是否存在增根. 闯关挑战 🎯 第四关 方程求解关 ⭐⭐⭐⭐ 【闯关任务】分式方程解法与增根辨析 闯关题7 题目来源：复习题 知识技能 第4题 考查知识点：分式方程的解法,增根的概念与验根方法. (2)+3= 解:两边同乘−2,得1+3(𝑥−2)=𝑥−1， 解得:𝑥=2 验根:𝑥=2时,公分母=0,是增根 ∴ 原方程无解. 💡 闯关心得： ①去分母时,方程的每一项都要乘最简公分母,包括常数项,极易漏乘； ②解分式方程必须验根,这是与一元一次方程的核心区别； ③增根是整式方程的解,但使原分式方程分母为0,无意义,需舍去. 4 关卡进度: 4/6 💡 提示：解完方程一定要验根，这是关键步骤！ 分式方程去分母，变身整式来求解； 算出答案别着急，回头检验不能离； 分母为零是增根，果断舍去记心里！ 分式方程口诀： 3. 分式方程的应用 列分式方程解应用题的一般步骤 (1) 审：审清题意，找出相等关系； (2) 设：设出未知数； (3) 列：列出方程； (4) 解：解这个分式方程； (5) 验：验根（包括两方面： ①是不是分式方程的根；②是否符合题意）； (6) 答：写答案. 🎯 第五关 实际应用关 ⭐⭐⭐⭐⭐ 【闯关任务】数学建模解决实际问题 闯关题8 题目来源：复习题 问题解决 第12题 考查知识点：行程问题的分式方程应用 甲、乙两地相距360km,新修的高速公路开通后,在甲、乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了50%,运行时间缩短了2h.试确定原来的平均车速. 解:设原来的平均车速为km/h,提速后车速为1.5km/h,由题意得： 解得:=60 验根:=60时,公分母≠0,符合题意 答：原来的平均车速为60km/h. 💡 闯关心得： ①行程问题核心公式:路程=速度×时间,等量关系为“原时间-提速后时间=2h”； ②分式方程实际应用,不仅要验根,还要检验是否符合实际意义. 闯关挑战 5 关卡进度: 5/6 💡 提示：找准等量关系，建立分式方程模型！ 某车间加工1300个零件后,采用了新工艺,工效提升了30%,这样同样加工1300个零件就少用10h.采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？ 闯关题9 题目来源：复习题 问题解决 第14题 考查知识点:工作效率问题的分式方程应用 解:设采用新工艺前每小时加工个零件,则采用新工艺后每小时加工(1+30%)个零件,由题意得： 解得： =30, 1.3=39 经检验：=30是原方程的解，分母不等于0，符合题意. 答：采用新工艺前每小时加工个零件,则采用新工艺后每小时加工39个零件. 💡 闯关心得： 1.等量关系抓准 2.计算化简细心 3.检验环节重视 闯关挑战 🎯 第六关 拓展挑战关 ⭐⭐⭐⭐⭐⭐ 【闯关任务】思维拓展与能力提升 补充题目1： 已知分式方程 ，由于印刷问题，数“ ”看不清楚. （1）若“ ”表示的数为8，求分式方程的解. 解：把代入原方程，得 . 方程两边都乘，得 . 解得： . 检验：当时， . 是原分式方程的根. 🏆 终极挑战 6 关卡进度: 6/6 💡 提示：参数问题需要分类讨论，挑战你的思维！ （2）若原分式方程无解，试求出原分式方程中“ ”表示的数. 解：方程两边都乘，得 ， 解得 . 原分式方程无解， ，解得 . ，解得 . 终极挑战 25 补充题目2 关于的分式方程的解为正数，且关于 的不等式组 的解集为，则所有满足条件的整数 的值之和是____. 板块6含参数类题目，课标不做掌握要求，各位同学依据个人情况进行拓展学习，也可以和同学、老师思维碰撞，拓展学科视野. 终极挑战👑 BOSS关 1.类比思想： 全程贯穿本章，类比分数的概念、性质、运算法则学习分式，类比一元一次方程解法学习分式方程，深刻体现 “数式通性”，是本章学习的核心思想. 2.转化与化归思想： 分式加减通过通分转化为同分母加减；分式除法转化为乘法；分式方程通过去分母转化为一元一次方程，将未知问题转化为已知问题，是本章运算与求解的核心思想. 3.数学建模思想： 将实际问题中的数量关系转化为分式或分式方程，建立代数模型，解决行程、工程、销售等实际问题，落实数学建模核心素养. 4.整体思想： 在分式化简求值中，通过整体代入简化计算，避免复杂的求解过程，是代数变形的常用思想. 5.分类讨论思想： 在分式值为整数、有意义的条件等问题中，通过分类讨论保证解题的完整性. 📖 通关秘籍 1. 下列说法正确的是( ) A. 分式的值为零，则的值为 B. 根据分式的基本性质， C. 分式中的， 都扩大3倍，分式的值不变 D. 分式 是最简分式 D 闯关检测 ⏱ 2. 解 . 解：方程可化为 ， 方程两边都乘 ，得 ，解得 . 检验：当时， . 是分式方程的增根. 原分式方程无解. 闯关检测 ⏱ 1.分式运算最核心的易错点有哪些？你在运算中最容易出错的环节是什么？可以通过哪些方法避免这些错误？ 闯关总结 🏆 概念大师 成功掌握分式核心概念 🏆 运算达人 熟练运用分式四则运算 🏆 方程高手 精准求解分式方程 2.解分式方程为什么必须验根？增根的本质是什么？它与分式方程无解有什么区别与联系？ 3.用分式方程解决实际问题的核心步骤是什么？如何快速找到题目中的等量关系？结合做题经验，说说实际应用中最容易踩的 “坑”有哪些？ 课堂小结 分式 分式 分式的定义及有意义的条件等 分式方程 分式方程的应用 步骤 一审二设三列四解五检六答，尤其不要忘了验根 类型 行程问题、工程问题、销售问题等 分式的运算及化简求值 分式方程的定义 分式方程的解法 内容由AI生成 内容由AI生成 null 72480.0 $