第五章 分式与分式方程（14种题型）期末复习讲义 2025-2026学年北师大版数学 八年级下册

第五章 分式与分式方程 一、分式的概念 1.分式定义：形如 （A,B 为整式，B含字母且B≠0）。 2.分式有意义： 。 3.分式无意义： 。 4.分式值为0： 且 （双条件）。 5.分式的值：代入求值、根据条件求字母范围。 二、分式的基本性质 1.基本性质：  (C≠0)。 2.符号法则：分子、分母、分式本身，变两个，值不变。 3.约分：先 ，再 ，化为 。 4.通分：找 （各分母因式最高次幂的积）。 三、分式的运算 1.乘法： 。 2.除法： （转化为乘法）。 3.乘方： （n正整数）。 4.同分母加减： 。 5.异分母加减：先通分，再加减。 6.混合运算：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内。 7.整数指数幂：a−p= (a≠0)；a0=  (a≠0)。 四、分式方程 1.定义：分母含 的方程。 2.解法：去分母→化为整式方程→解整式方程→ （必写步骤）。 3.增根：使最简公分母为0的根，不是原方程的解。 4.无解：①整式方程 ；②整式方程的解全是 。 5.含参分式方程：已知解的范围、增根、无解求参数。 五、分式的应用 步骤：审→设→列→解→双检验（方程+实际意义）→答。 ❌ 分式值为0：只令分子为0，漏验分母≠0； ❌ 判断分式：先约分再判断（应看原式分母是否含字母）； ❌ 把π当字母（π是常数）； ❌ 分子分母同乘/除可能为0的整式； ❌ 符号变形：只变一项符号（应变两项才不变号）； ❌ 约分：多项式不先因式分解，直接约去部分项； ❌ 通分：找错最简公分母（未先分解分母）； ❌ 乘除：除法未转化为乘法就计算； ❌ 加减：异分母直接分子相加减，未通分； ❌ 混合运算：顺序混乱（先加减后乘除）； ❌ 符号错误：分子为多项式时，去分母不加括号导致符号错乱； ❌ 化简题去分母（化简只能通分，不能去分母）； ❌ 去分母：不含分母的常数项漏乘公分母； ❌ 解完不验根（中考硬性得分点）； ❌ 增根与无解混淆：无解包含“整式方程无解”和“全是增根”两种情况； ❌ 含参问题：求出参数后，未排除使分母为0的值； ❌ 只检验方程，不检验实际意义（如人数、时间为正）。 1. 分式变形技巧 · 因式分解优先：乘除、约分时，先分解（提公因式、平方差、完全平方）。 · 符号统一法：把负号移到分式前，分子分母首项为正，减少符号错误。 · 系数化整：分子分母同乘所有分母的最小公倍数，把小数/分数系数化为整数。 2. 运算速算技巧 · 先约分后计算：乘除中先交叉约分，再相乘，简化计算。 · 分步通分：异分母加减，先找最简公分母，再逐个通分，避免一次性通分出错。 · 混合运算 “四步走”： 乘方——除法变乘法——约分——加减。 3. 求值常用技巧 · 整体代入法：不单独求字母，把已知条件整体代入。 · 倒数法：遇型，先求倒数，再计算。 · 设k法（比例法）:设 · 分离常数法：假分式化为 “整式+真分式”，便于求值或判断整数解。 4. 分式方程解题技巧 · 验根口诀：去分母→解整式→代回公分母→不为0则有效。 · 增根求参数： 令最简公分母=0，得增根； 代入整式方程求参数。 · 无解求参数：分两类讨论： 1 整式方程无解（系数为0，常数不为0）； ② 整式方程的解是增根。 题型一 分式有意义、无意义、值为0的条件 1．（2026·河北廊坊·一模）分式的值为0，则x的值是（    ） A． B．0 C．2 D．2或 2．（2026·江苏无锡·二模）若分式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）若分式无意义，则__________． 4．（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）若分式的值为零，则______． 题型二 分式的求值 1．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）若，则的值为_____． 2．（2026·广东广州·二模）若，则________． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）已知，且a，b，c不全为0，则的值为_________． 4．（2026·北京顺义·二模）已知，求代数式的值． 题型三 分式的基本性质 1．（25-26八年级下·河南·阶段检测）下列分式变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）下列分式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·福建漳州·期中）下列分式变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 题型四 分式值为整数时未知数的值 1．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）当正整数________时，分式的值也为整数． 2．（2026·河南平顶山·二模）请写出一个使的值为整数的x的值：___________． 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）分式的值为正整数，则正整数x的值为______． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 题型五 判断分式值的变化 1．（25-26八年级下·山东济南·期中）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大6倍 D．缩小3倍 2．（25-26八年级下·四川内江·期中）选择题：将分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（    ） A．扩大为原来的3倍 B．不变 C．扩大为原来的9倍 D．缩小为原来的倍 3．（25-26八年级下·四川遂宁·阶段检测）把分式中的x，y都扩大3倍，则分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定 4．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 题型六 约分 1．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）化简分式的结果是（     ） A． B． C． D．1 2．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）化简：_____． 3．（25-26八年级下·河南·阶段检测）化简： =__________ 4．（25-26八年级下·全国·单元复习）约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型七 最简分式 1．（25-26八年级下·海南海口·期中）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南周口·期中）下列分式中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·福建漳州·期中）下列分式中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 题型八 含乘方的分式乘除混合运算 1．（25-26八年级下·天津·开学考试）计算： 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：． 3．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）计算： (1)； (2)． 4．（25-26八年级下·吉林长春·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 题型九 分式加减乘除混合运算 1．（2026·河北·二模）化简： 2．（2026·甘肃武威·三模）化简：． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期中）计算： (1)； (2)． 4．（25-26八年级下·全国·单元复习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十 分式化简求值 1．（2026·湖南邵阳·三模）先化简，再求值：，其中． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，求代数式的值． 3．（2026·福建漳州·模拟预测）先化简，再求值： ，其中． 4．（25-26八年级下·山东济南·期中）先化简，再求值：，再从，，0，1中选一个合适的数代入求值． 题型十一 分式方程的定义 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列关于x的方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于的方程：；；；；；中，_____是整式方程，_____是分式方程．（填序号） 题型十二 解分式方程 1．（2026·湖北武汉·一模）分式方程的解是________． 2.（2026·陕西榆林·模拟预测）解方程：． 3．（2026·江苏盐城·二模）解方程：． 4．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）解分式方程： (1)； (2)． 题型十三 根据分式方程解的情况求参数 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）若关于x的方程有解，则m的取值范围是（ ） A． B．且 C．且 D．且 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 3．（2026·黑龙江牡丹江·二模）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．且 D．且 4．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）关于x的分式方程有整数解，则整数a的和为______． 题型十四 分式方程的应用 1．（2026·浙江杭州·二模）某地电信公司调低了电话费收费标准，每分钟费用降低了．因此，按照原收费标准6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话10分钟．如果设原收费标准下每分钟收费x元，则根据题意可列出方程（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·单元复习）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A、B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送30件，A型机运送800件所用时间与B型机运送600件所用时间相同．这两种无人机平均每小时分别运送多少件快件？ 3．（2026·内蒙古通辽·三模）近年来，我国航天科技飞速发展，某航天零件加工厂为提高生产效率，引进了新的加工设备，已知使用新设备加工个零件，与使用旧设备加工个零件所用的时间相同，且新设备每小时比旧设备多加工个零件． (1)求旧设备每小时加工多少个零件？ (2)若该厂计划加工一批零件，要求使用新设备加工的时间不超过小时，求该厂最多需要给新设备分配多少个零件的加工任务？ 4．（2026·重庆·三模）列方程解应用题：随着夏日露营火爆，某工厂推出一种便携露营套装，每个套装包含5个折叠水杯和12个一次性餐盒．该工厂有28名工人进行生产制作，每名工人每小时可制作15个折叠水杯或20个一次性餐盒． (1)若该工厂每小时生产的折叠水杯、一次性餐盒恰好全部配成露营套装，应分别安排多少名工人制作折叠水杯、一次性餐盒？ (2)露营套装包装成套后，工厂需核实每个套装的成本，从而制定其售价，定价人员发现，用144元制作一次性餐盒的数量与用216元制作折叠水杯的数量相等，已知每个一次性餐盒的成本比每个折叠水杯成本少0.6元，每个套装的包装成本为0.6元，求每套露营套装的成本价格． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 分式与分式方程 一、分式的概念 1.分式定义：形如（A,B 为整式，B含字母且B≠0）。 2.分式有意义：分母≠0。 3.分式无意义：分母=0。 4.分式值为0：分子=0且分母≠0（双条件）。 5.分式的值：代入求值、根据条件求字母范围。 二、分式的基本性质 1.基本性质： (C≠0)。 2.符号法则：分子、分母、分式本身，变两个，值不变。 3.约分：先因式分解，再约去公因式，化为最简分式。 4.通分：找最简公分母（各分母因式最高次幂的积）。 三、分式的运算 1.乘法：。 2.除法：（转化为乘法）。 3.乘方：（n正整数）。 4.同分母加减：。 5.异分母加减：先通分，再加减。 6.混合运算：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内。 7.整数指数幂：a−p=1/ap (a≠0)；a0=1 (a≠0)。 四、分式方程 1.定义：分母含未知数的方程。 2.解法：去分母→化为整式方程→解整式方程→检验（必写步骤）。 3.增根：使最简公分母为0的根，不是原方程的解。 4.无解：①整式方程无解；②整式方程的解全是增根。 5.含参分式方程：已知解的范围、增根、无解求参数。 五、分式的应用 步骤：审→设→列→解→双检验（方程+实际意义）→答。 ❌ 分式值为0：只令分子为0，漏验分母≠0； ❌ 判断分式：先约分再判断（应看原式分母是否含字母）； ❌ 把π当字母（π是常数）； ❌ 分子分母同乘/除可能为0的整式； ❌ 符号变形：只变一项符号（应变两项才不变号）； ❌ 约分：多项式不先因式分解，直接约去部分项； ❌ 通分：找错最简公分母（未先分解分母）； ❌ 乘除：除法未转化为乘法就计算； ❌ 加减：异分母直接分子相加减，未通分； ❌ 混合运算：顺序混乱（先加减后乘除）； ❌ 符号错误：分子为多项式时，去分母不加括号导致符号错乱； ❌ 化简题去分母（化简只能通分，不能去分母）； ❌ 去分母：不含分母的常数项漏乘公分母； ❌ 解完不验根（中考硬性得分点）； ❌ 增根与无解混淆：无解包含“整式方程无解”和“全是增根”两种情况； ❌ 含参问题：求出参数后，未排除使分母为0的值； ❌ 只检验方程，不检验实际意义（如人数、时间为正）。 1. 分式变形技巧 · 因式分解优先：乘除、约分时，先分解（提公因式、平方差、完全平方）。 · 符号统一法：把负号移到分式前，分子分母首项为正，减少符号错误。 · 系数化整：分子分母同乘所有分母的最小公倍数，把小数/分数系数化为整数。 2. 运算速算技巧 · 先约分后计算：乘除中先交叉约分，再相乘，简化计算。 · 分步通分：异分母加减，先找最简公分母，再逐个通分，避免一次性通分出错。 · 混合运算 “四步走”： 乘方——除法变乘法——约分——加减。 3. 求值常用技巧 · 整体代入法：不单独求字母，把已知条件整体代入。 · 倒数法：遇型，先求倒数，再计算。 · 设k法（比例法）:设 · 分离常数法：假分式化为 “整式+真分式”，便于求值或判断整数解。 4. 分式方程解题技巧 · 验根口诀：去分母→解整式→代回公分母→不为0则有效。 · 增根求参数： 令最简公分母=0，得增根； 代入整式方程求参数。 · 无解求参数：分两类讨论： 1 整式方程无解（系数为0，常数不为0）； ② 整式方程的解是增根。 题型一 分式有意义、无意义、值为0的条件 1．（2026·河北廊坊·一模）分式的值为0，则x的值是（    ） A． B．0 C．2 D．2或 【答案】C 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， 解，得或， 由，得， ∴． 2．（2026·江苏无锡·二模）若分式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵分式有意义时，分式的分母不能为0， ∴， 解得． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）若分式无意义，则__________． 【答案】2 【详解】解：根据分式无意义，则分母为0，可得， 解得． 4．（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）若分式的值为零，则______． 【答案】 【分析】分式的值为零需满足分子为零，同时分母不为零，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 题型二 分式的求值 1．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）若，则的值为_____． 【答案】/0.2 【详解】解：设，则，其中，代入，得 2．（2026·广东广州·二模）若，则________． 【答案】 【分析】根据已知等式，用含的代数式表示，再代入所求分式计算结果． 【详解】解：， ， ∴ ． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）已知，且a，b，c不全为0，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】本题采用设参数法，将a，b，c用含同一参数的代数式表示，即设，将，，代入所求分式约分后即可得到结果． 【详解】解：设，根据等式的基本性质，可得，，， 将，，代入分式得． 4．（2026·北京顺义·二模）已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ． 题型三 分式的基本性质 1．（25-26八年级下·河南·阶段检测）下列分式变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式基本性质判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：对于选项A：举反例，当，时，，，则，故A错误； 对于选项B：举反例，当，时，，，则，故B错误； 对于选项C：由分式的基本性质，分子分母同乘以不为零的整式，分式的值不变，故C正确； 对于选项D：举反例，当，时，，，则，故D错误． 2．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）下列分式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质与分式乘方运算，根据相关运算法则逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：∵分式变形不能直接给分子分母同加1，不满足分式基本性质，变形后值改变，∴A错误． ∵该变形中，分式的分子乘以了，分母乘以了，未乘以同一个整式，不符合分式的基本性质，故B错误． ∵，符合变形规则，∴C正确． ∵，∴D错误． 3．（25-26八年级下·福建漳州·期中）下列分式变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故A错误； B．当时无意义，故B错误； C．，故C错误； D．，变形正确． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【答案】②④ 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质中，同乘的整式必须不为0的要求，逐一判断变形是否正确即可. 【详解】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断： ①，当时，该变形不成立，故①错误； ②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确； ③，当时，该变形不成立，故③错误； ④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确. 题型四 分式值为整数时未知数的值 1．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）当正整数________时，分式的值也为整数． 【答案】1 【分析】本题考查分式的值为整数的参数求解，核心方法为分离常数法，将分式拆分为整式和分子为常数的最简分式，解题的关键是利用”除数为被除数的约数”确定参数的可能取值，再结合参数的取值范围筛选出符合题意的解．先对分式进行恒等变形，化为整式与最简分式的和，根据分式的值为整数，得到是2的正约数，结合为正整数的条件求解． 【详解】解：对分式变形： 分式的值为整数，为正整数， 为整数，即是2的正约数． 2的正约数为1,2， 当时，解得, 符合正整数题意： 当时，解得, 不是正整数，舍去． 故答案为：1． 2．（2026·河南平顶山·二模）请写出一个使的值为整数的x的值：___________． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】先将化为，进而取合适的值即可． 【详解】解：， 可知当时， ，值为整数，符合题意． 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）分式的值为正整数，则正整数x的值为______． 【答案】1或2/2或1 【分析】先把分式进行因式分解，然后约分，再根据分式的值为正整数，得出的取值，从而得出x的值． 【详解】解：， 要使的值为正整数，则分母是2的约数，即的值可以为1，，2，， 当时，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数； 当，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数， ∵x为正整数， ∴或1． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 【答案】或 【分析】先利用完全平方公式对已知分式进行变形，然后结合分式的值为整数和是非负整数，求得的取值． 【详解】解： 分式的值为整数， 或， 或， 是非负整数， 或． 题型五 判断分式值的变化 1．（25-26八年级下·山东济南·期中）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大6倍 D．缩小3倍 【答案】A 【分析】将x，y扩大3倍后代入原分式，化简后与原分式比较，即可得到分式值的变化． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大3倍，变为，， 则新分式为， 所以新分式与原分式相等，分式的值不变． 2．（25-26八年级下·四川内江·期中）选择题：将分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（    ） A．扩大为原来的3倍 B．不变 C．扩大为原来的9倍 D．缩小为原来的倍 【答案】A 【分析】设，根据分式的性质，解答即可． 【详解】解：设， 根据分式的性质，得， 扩大3倍． 3．（25-26八年级下·四川遂宁·阶段检测）把分式中的x，y都扩大3倍，则分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】将扩大后的x，y代入原分式化简，和原分式比较即可得到结论． 【详解】解：∵x，y都扩大3倍，分式为， ∴分式的值不变． 4．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意将扩大后的x，y代入分式，化简后结合原分式的值即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 将x，y都扩大3倍后，得到新分式： ． 题型六 约分 1．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）化简分式的结果是（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题先对分子因式分解，再约去分子分母的公因式即可得到化简结果，用到平方差公式和分式约分的知识点． 【详解】解：∵分子可以用平方差公式分解因式， ∴， ∴原式， ∵分式有意义时，可同时约去公因式 ∴原式． 2．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）化简：_____． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：． 3．（25-26八年级下·河南·阶段检测）化简： =__________ 【答案】/ 【详解】解：． 4．（25-26八年级下·全国·单元复习）约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型七 最简分式 1．（25-26八年级下·海南海口·期中）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简分式的分子与分母没有公因式的分式，对各选项分式的分子分母因式分解，判断是否存在公因式即可得到答案． 【详解】解：A、的分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式，故不符合题意； B、，，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式，故不符合题意； C、的分子分母没有公因式，是最简分式，故符合题意； D、，，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式，故不符合题意． 2．（25-26八年级下·河南周口·期中）下列分式中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据最简分式的定义判断，分子分母没有公因式的分式为最简分式，对各选项分解后找公因式即可得到答案． 【详解】解：A选项：，可以约分，A不符合要求． B选项：分母，原式，可以约分，B不符合要求． C选项：，可以约分，C不符合要求． D选项：的分子和分母没有公因式，不能约分，D是最简分式． 3．（25-26八年级下·福建漳州·期中）下列分式中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A ， 分子分母存在公因式，可约分为，不是最简分式； 选项B 无法分解因式，分子和分母没有公因式，不能约分， 是最简分式； 选项C ，分子分母存在公因式，可约分为，不是最简分式； 选项D ，分子分母存在公因式，可约分为，不是最简分式． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“分子与分母没有公因式的分式是最简分式”，对各选项分别判断即可得到结果． 【详解】解：对选项A：分母无法分解因式，分子与没有公因式，不能约分，所以是最简分式． 对选项B：，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式． 对选项C：因为，所以，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式． 对选项D：因为，所以，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式． 题型八 含乘方的分式乘除混合运算 1．（25-26八年级下·天津·开学考试）计算： 【答案】 【分析】先计算分式乘方和积的乘方，再把除法变成乘法后计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式运算，熟练掌握分式的乘除运算是解题的关键； 进行幂运算后先将除法化为乘法然后进行约分化简． 【详解】解：原式 ． 3．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘方，把除法变成乘法，最后算乘法即可； （2）先将括号内通分，变成同分母的分式，再根据同分母的分式相减法则对括号内的式子进行化简，最后计算乘法求出答案即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 4．（25-26八年级下·吉林长春·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型九 分式加减乘除混合运算 1．（2026·河北·二模）化简： 【答案】 【分析】先对括号内的分式进行通分，将异分母分式转化为同分母分式并计算减法，再将除法转化为乘法，通过约分化简得到结果． 【详解】解： ． 2．（2026·甘肃武威·三模）化简：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 4．（25-26八年级下·全国·单元复习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先通分化为同分母分式，再进行计算即可； （2）先根据异分母减法运算法则计算括号内的，再根据分式除法运算法则，进行计算即可； （3）先通分化为同分母分式，再进行计算即可； （4）先根据异分母加法运算法则计算括号内的，再根据分式除法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型十 分式化简求值 1．（2026·湖南邵阳·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据分式混合运算法则，先对原式通分、因式分解后约分化简，再代入x的值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查的是分式的化简求值．先根据分式运算法则，结合完全平方公式、平方差公式对原式进行化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 将代入原式，得： 原式． 3．（2026·福建漳州·模拟预测）先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，分式有意义时，符合条件， 将代入得：原式． 4．（25-26八年级下·山东济南·期中）先化简，再求值：，再从，，0，1中选一个合适的数代入求值． 【答案】，2 【分析】先计算小括号里面的，通分，将异分母分式相加转化为同分母分式相加，再进行除法运算，将除法变乘法，化简后，选择使原式有意义的值，将 代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵的值为，0，1时，分式无意义， ∴当时，原式． 题型十一 分式方程的定义 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列关于x的方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A.是一元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； B.分母中含有未知数，是分式方程，符合要求； C.分母为常数和，不含未知数，是一元一次整式方程，不符合要求； D.是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分母中含有未知数的方程是分式方程，逐一判断即可求解． 【详解】解：选项A、B、D中的方程，分母中都不含未知数，所以都不是分式方程；只有选项C符合分式方程的定义，是分式方程． 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于的方程：；；；；；中，_____是整式方程，_____是分式方程．（填序号） 【答案】 ②③④⑥ ①⑤ 【分析】本题考查的是整式方程，分式方程的含义，根据整式方程和分式方程的定义，整式方程是方程两边均为整式，分母中不含有未知数的方程；分式方程是分母中含有未知数的方程．通过检查每个方程分母是否含有未知数进行判断． 【详解】解：对于方程①：分母中含有未知数x，因此是分式方程； 对于方程②：分母为常数2和5，不含有未知数，因此是整式方程； 对于方程③：分母中的b为常数，不是未知数，因此是整式方程； 对于方程④：分母为常数2和3，不含有未知数，因此是整式方程； 对于方程⑤：分母中含有未知数x，因此是分式方程； 对于方程⑥：分母为常数2、5和3，不含有未知数，因此是整式方程． 故答案为：②③④⑥；①⑤ 题型十二 解分式方程 1．（2026·湖北武汉·一模）分式方程的解是________． 【答案】 【详解】解：， 整理得：， 两边同乘去分母得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 经检验，当时，， 则是原分式方程的解． 2.（2026·陕西榆林·模拟预测）解方程：． 【答案】 【详解】解：原方程可变形为， 解得； 检验：当时，， 故原分式方程的解为. 3．（2026·江苏盐城·二模）解方程：． 【答案】无解 【详解】解： 去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 4．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 检验：当时，， 原方程的解为； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为得， 检验：当时，， 原方程的解为． 题型十三 根据分式方程解的情况求参数 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）若关于x的方程有解，则m的取值范围是（ ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】分式方程有解需满足两个条件：一是去分母得到的整式方程有解；二是整式方程的解不是原分式方程的增根，据此计算的取值范围即可. 【详解】解：， 方程两边同乘得， 去括号、移项、合并同类项得， ∵关于的方程有解， ∴且， 解得且. 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程无解的问题，分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解；②整式方程的解为分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，再分两种情况计算的值即可． 【详解】解：原方程， 可变形为， 方程两边同乘去分母，得：， 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴分两种情况讨论：① 当整式方程本身无解时，，解得； ② 当整式方程的解为原分式方程的增根时，原分式方程分母为，增根为， 把代入得：， 解得， 综上，的值为或． 3．（2026·黑龙江牡丹江·二模）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先解关于的分式方程，用表示出，再根据方程的解为非负数且分式分母不为，列出关于的不等式，即可求解． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得， ∵方程的解为非负数，且分式分母不为， ∴且， 解得且． 4．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）关于x的分式方程有整数解，则整数a的和为______． 【答案】 【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，得到关于的表达式，根据分式方程有解可知，结合方程有整数解、为整数，求出所有符合条件的，再计算的和即可． 【详解】解：， 方程两边同乘去分母，得， 整理得， 当，即时，方程无解，不符合题意； 当时，解得， ∵分式方程有整数解，且分母不为零，即， ∴，即，且为的整数约数， ∴的可能取值为， 当时，，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 所有符合条件的整数为，其和为． 题型十四 分式方程的应用 1．（2026·浙江杭州·二模）某地电信公司调低了电话费收费标准，每分钟费用降低了．因此，按照原收费标准6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话10分钟．如果设原收费标准下每分钟收费x元，则根据题意可列出方程（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据原收费标准表示出新的每分钟收费，再分别求出原收费标准下6元的通话时间和新收费标准下6元的通话时间，根据新通话时间比原通话时间多10分钟列出方程即可． 【详解】解：∵设原收费标准下每分钟收费元，每分钟费用降低了， ∴新收费标准下每分钟收费为 元，原收费标准下元话费的通话时间为分钟，新收费标准下元话费的通话时间为分钟， ∵新收费标准下可多通话分钟，即新通话时间原通话时间， ∴可得方程． 2．（25-26八年级下·全国·单元复习）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A、B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送30件，A型机运送800件所用时间与B型机运送600件所用时间相同．这两种无人机平均每小时分别运送多少件快件？ 【答案】A型机平均每小时运送120件，B型机平均每小时运送90件 【分析】设A型机平均每小时运送x件，根据A型机比B型机平均每小时多运送30件，得出B型机平均每小时运送件，再根据A型机运送800件所用时间与B型机运送600件所用时间相等，列出方程解之即可． 【详解】解：设A型机平均每小时运送x件，则B型机平均每小时运送件， 根据题意得：， 解这个方程得：． 经检验是方程的解， ∴． 答：A型机平均每小时运送120件，B型机平均每小时运送90件． 3．（2026·内蒙古通辽·三模）近年来，我国航天科技飞速发展，某航天零件加工厂为提高生产效率，引进了新的加工设备，已知使用新设备加工个零件，与使用旧设备加工个零件所用的时间相同，且新设备每小时比旧设备多加工个零件． (1)求旧设备每小时加工多少个零件？ (2)若该厂计划加工一批零件，要求使用新设备加工的时间不超过小时，求该厂最多需要给新设备分配多少个零件的加工任务？ 【答案】(1)旧设备每小时加工个零件 (2)该厂给新设备最多分个零件 【分析】（1）设旧设备每小时加工个零件，根据使用新设备加工个零件，与使用旧设备加工个零件所用的时间相同，列分式方程求解即可； （2）设该厂给新设备分配个零件，根据使用新设备加工的时间不超过小时，列不等式求解. 【详解】（1）解：设旧设备每小时加工个零件，则新设备每小时加工个零件， ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：旧设备每小时加工个零件； （2）解：设该厂给新设备分配个零件， ， ， 答：该厂给新设备最多分配个零件. 4．（2026·重庆·三模）列方程解应用题：随着夏日露营火爆，某工厂推出一种便携露营套装，每个套装包含5个折叠水杯和12个一次性餐盒．该工厂有28名工人进行生产制作，每名工人每小时可制作15个折叠水杯或20个一次性餐盒． (1)若该工厂每小时生产的折叠水杯、一次性餐盒恰好全部配成露营套装，应分别安排多少名工人制作折叠水杯、一次性餐盒？ (2)露营套装包装成套后，工厂需核实每个套装的成本，从而制定其售价，定价人员发现，用144元制作一次性餐盒的数量与用216元制作折叠水杯的数量相等，已知每个一次性餐盒的成本比每个折叠水杯成本少0.6元，每个套装的包装成本为0.6元，求每套露营套装的成本价格． 【答案】(1)应安排10名工人制作折叠水杯，18名工人制作一次性餐盒 (2)每套露营套装的成本为24元 【分析】（1）设安排名工人制作折叠水杯，则安排名工人制作一次性餐盒，根据“该工厂每小时生产的折叠水杯、一次性餐盒恰好全部配成露营套装”列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）设每个一次性餐盒的成本为元，则每个折叠水杯的成本为元，根据“用144元制作一次性餐盒的数量与用216元制作折叠水杯的数量相等”列出分式方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设安排名工人制作折叠水杯，则安排名工人制作一次性餐盒， 由题意可得， 解得， 则（人）， ∴应安排10名工人制作折叠水杯，18名工人制作一次性餐盒； （2）解：设每个一次性餐盒的成本为元，则每个折叠水杯的成本为元， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（元）， （元）， 故每套露营套装的成本为24元． 学科网（北京）股份有限公司 $