第08讲 成比例的线段与平行线分线段成比例（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪教版五四制

第08讲 成比例的线段与平行线分线段成比例 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型一、比例的性质 题型二、比例线段 题型三、成比例线段 题型四、黄金分割 题型五、由平行判断成比例的线段 题型六、由平行截线求相关线段的长或比值 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 线段的比、成比例线段、比例性质、比例中项、黄金分割、平行线分线段成比例、比例尺、物高影长、设参法、分类讨论 1. 理解线段的比、成比例线段、比例中项定义，熟练运用比例基本性质、合比、分比、更比、等比性质进行变形计算。2. 掌握黄金分割概念与黄金比，能分情况计算黄金分割点分割后的线段长度。3. 掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能利用平行判定线段成比例、由比例线段求线段长度。4. 会用设参法、排序乘积法解决比例求值、判断成比例线段、比例尺、物高影长实际问题。5. 建立几何线段与比例代数方程的转化思维，规范分类讨论，舍去线段长度负值。 学习重点：1. 线段的比、成比例线段、比例中项的概念与计算。 2. 比例五大性质（基本、合比、分比、更比、等比）的灵活变形与设参求值。 3. 黄金分割定义、黄金比，分情况计算线段长度。 4. 平行线分线段成比例定理，找准对应线段列比例式计算。 5. 比例尺、物高影长等实际比例应用题解题步骤。 学习难点：1. 比例式变形时内外项混淆，分母不为0隐含条件遗漏。 2. 判断四条线段成比例时忘记先排序，导致判断失误。 3. 黄金分割未指明长短线段时漏分类，线段长度负值未舍去。 4. 平行线分线段成比例找错对应线段，A字型、X型比例式混淆。 5. 结合网格、梯形、三角形综合图形，利用平行构造比例求解线段。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点一 线段的比与比例线段 1.线段的比 两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 求两条线段的比时，对这两条线段一定要用同一长度单位来度量.因为线段的长度是正数，所以两条线段的比值总是正数. 2.线段成比例的定义 对于四条线段、、、，如果，就说、、、成比例. 3.比例中项 如果三条线段、、满足，那么线段叫作线段、的比例中项. 知识点二 比例的相关性质 1.比例的基本性质 当时,则；(两内项之积等于两外项之积) 若(),则，简记为“前:后=后:前”. 2.比例的其他性质 ①合比性质:若,则或(,均不为0) ②分比性质:若,则或(,均不为0) ③更比性质:若,则或(均不为0) ④等比性质:若,则=() 已知三条线段a，b，c满足，且． (1)求a，b，c的值； (2)若线段d是线段a和b的比例中项，求d的值． 知识点三 黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 知识点四 平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例定理1 (1)平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例. (2)两种常见类型： “A ”型 “X ”型 （3）推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 2.平行线分线段成比例定理2 （1）两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例. （2）推论 两条直线被三条平行的直线所截,如果在一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等. 如图，已知直线，直线和被、、所截．若，，． (1)求、的长； (2)如果，，求的长． 题型一、比例的性质 【典例1】（24-25九年级上·上海·期中）若 ，则下列比例式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）若已知，则的值为_________． 此类题型核心方法为设参法. 设比值为，将各量用含k的代数式表示后代入化简即可. 易错点：交叉相乘时内外项易混淆；比例式变形需注意等价性；勿遗漏分母不为零的隐含条件. 【变式1-1】若线段满足，且线段，，则线段（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·四川内江·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知，那么下列结论正确的是（） A． B． C．，， D． 【变式1-4】（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）如果，那么的值为________． 【变式1-5】（24-25九年级上·上海·期中）已知a、b、c满足．求的值． 题型二、比例线段 【典例3】（25-26九年级上·上海徐汇·期中）已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则为（   ） A． B． C． D． 【典例4】（24-25九年级上·上海·阶段检测）东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为（   ） A． B． C． D． 比例中项问题直接利用求解；比例尺问题先统一单位再计算比值. 易错点：线段长度恒正，负值须舍去；单位换算易出错；物高与影长的正比对应关系须找准. 【变式2-1】（25-26九年级上·上海崇明·期中）在比例尺为的地图上，相距的两地实际距离是_______． 【变式2-2】（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知线段b是线段a、c的比例中项，且，，那么______． 【变式2-3】（25-26九年级上·上海·阶段检测）在相同时刻的物高和影长成正比，如果某一时刻，旗杆在地面的影长为米，此时身高是米的小王的影长是米，则旗杆的高度是______米 题型三、成比例线段 【典例5】（25-26九年级上·上海浦东新·期末）下列各组线段中，能构成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【典例6】（2026·上海虹口·一模）下列四组线段中，成比例的是（   ） A．1，2，3，4； B．2，3，4，5； C．1，2，3，5； D．2，3，4，6． 判断四线段是否成比例，可先按大小排序，再验证"最小最大＝中间两数乘积"，此法快捷准确. 易错点：未排序直接判断易出错；含根式的线段长度计算易失误；须注意线段顺序对应. 【变式3-1】（25-26九年级上·上海杨浦·期末）下列各组线段的长度中，成比例的是（    ） A．1，2，3，4 B．2，4，4，8 C．1.5，3，4.5，6 D．3，4，5，6 【变式3-2】（25-26九年级上·上海普陀·期中）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（  ） A．1，2，3，4 B．1，1，2，3 C．，，2，3 D．1，，，2 【变式3-3】（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知线段b是线段a、c的比例中项，且，，则________． 【变式3-4】（25-26九年级上·上海金山·阶段检测）已知线段是线段的比例中项，且，，那么______． 题型四、黄金分割 【典例7】（24-25九年级上·上海·期中）点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 【典例8】（25-26九年级上·上海青浦·期中）已知线段长度为，点P在线段上，且点P是线段的黄金分割点，则线段的长为_____． 牢记黄金比；较长线段＝全长黄金比. 易错点：未指明哪条为较长线段时须分类讨论；黄金比值与其倒数易记混；结果通常保留根号形式. 【变式4-1】（25-26九年级上·上海静安·阶段检测）已知线段的长是4cm，点是线段的黄金分割点，则较短线段的长是______cm． 【变式4-2】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）已知是的黄金分割点，，则的长为________（结果保留根号）． 【变式4-3】（25-26九年级上·上海松江·期中）已知点C是线段的黄金分割点，且，，那么______（结果保留根号） 【变式4-4】（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．如图，点P是线段MN的中外比点，，，则______． 【变式4-5】（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如果一个矩形的宽与长的比值为黄金分割数，那么称其为黄金矩形，如图，矩形为黄金矩形，点分别在边上，四边形为正方形，已知，那么_______________． 题型五、由平行判断成比例的线段 【典例9】（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）已知线段a、b、c，作线段x，使，则正确的作法是（   ） A． B． C． D． 【典例10】（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）如图，已知直线、被三条互相平行的直线、、所截，其中点A、B、C在直线上，点D、E、F在直线上．下列四个结论①，②，③，④中，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 依据平行线分线段成比例定理，找准"上比下""上比全""下比全"的对应线段即可判断. 易错点：对应线段找错为高频错因；"A字型"与"X型"的比例式易混淆；切勿错用非对应线段的比. 【变式5-1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，已知，那么下列比例式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·上海闵行·一模）已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知，，如果，那么_________． 【变式5-4】（25-26九年级上·上海·期中）如图，点，都在格点上（网格小正方形的边长为1），点是线段与网格线的交点，则的长为__________. 题型六、由平行截线求相关线段的长或比值 【典例11】（25-26九年级上·上海崇明·期末）如图，已知直线、、分别与直线交于点、、，与直线交于点、、，如果，，则的长是__________． 【典例12】（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，则_____． 利用平行线分线段成比例列方程求解；遇中点可构造三角形中位线作辅助. 易错点：比例式列错对应关系；点在反向延长线上的情形易漏解；设元求解时注意单位统一. 【变式6-1】（25-26九年级上·上海黄浦·期中）已知点、分别在的边和的反向延长线上，．当时，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·上海奉贤·期末）如图，已知直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知，那么线段AC的长是_______． 【变式6-3】如图，直线，如果，那么的长是___________． 【变式6-4】（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，它们依次交直线于点和点．如果，那么___________． 【变式6-5】（24-25九年级上·上海宝山·阶段检测）如图，已知在中，点D、E分别是边、上的点，，，且，则__________． 1．（25-26九年级上·上海闵行·期中）已知线段，，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么b等于（   ） A． B．6 C．36 D． 2．（25-26九年级上·上海·期中）下列各组线段中，能组成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·上海长宁·一模）已知，那么的值为___________． 5．（24-25九年级上·上海宝山·阶段检测）已知线段厘米，厘米，b是线段a和c的比例中项，__________厘米． 6．（24-25九年级上·上海宝山·期中）线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么______厘米． 7．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）已知点P是线段的黄金分割点，较长线段厘米，则线段的长是______厘米． 8．（2025·上海杨浦·一模）已知点是线段的黄金分割点，那么__________． 9．（2026·上海长宁·一模）如图，两条直线被三条平行线、、所截，分别相交于点、、、、、，若，那么当时，的长为___________． 10．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，已知，它们依次交直线于点、、和点、、．如果，那么线段的长是______． 11．（23-24九年级上·上海·阶段检测）如图，已知：，如果，那么______． 12．（2026·上海松江·一模）的三边分别是、、，且， (1)如果的周长为60，求的值； (2)如果的面积为 60，求的值． 13．（25-26九年级上·上海虹口·期中）如图，直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知． (1)求的长； (2)点O是直线与的交点，如果，求的长． 14．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知，，，，求、的长． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 成比例的线段与平行线分线段成比例 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型一、比例的性质 题型二、比例线段 题型三、成比例线段 题型四、黄金分割 题型五、由平行判断成比例的线段 题型六、由平行截线求相关线段的长或比值 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 线段的比、成比例线段、比例性质、比例中项、黄金分割、平行线分线段成比例、比例尺、物高影长、设参法、分类讨论 1. 理解线段的比、成比例线段、比例中项定义，熟练运用比例基本性质、合比、分比、更比、等比性质进行变形计算。2. 掌握黄金分割概念与黄金比，能分情况计算黄金分割点分割后的线段长度。3. 掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能利用平行判定线段成比例、由比例线段求线段长度。4. 会用设参法、排序乘积法解决比例求值、判断成比例线段、比例尺、物高影长实际问题。5. 建立几何线段与比例代数方程的转化思维，规范分类讨论，舍去线段长度负值。 学习重点：1. 线段的比、成比例线段、比例中项的概念与计算。 2. 比例五大性质（基本、合比、分比、更比、等比）的灵活变形与设参求值。 3. 黄金分割定义、黄金比，分情况计算线段长度。 4. 平行线分线段成比例定理，找准对应线段列比例式计算。 5. 比例尺、物高影长等实际比例应用题解题步骤。 学习难点：1. 比例式变形时内外项混淆，分母不为0隐含条件遗漏。 2. 判断四条线段成比例时忘记先排序，导致判断失误。 3. 黄金分割未指明长短线段时漏分类，线段长度负值未舍去。 4. 平行线分线段成比例找错对应线段，A字型、X型比例式混淆。 5. 结合网格、梯形、三角形综合图形，利用平行构造比例求解线段。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点一 线段的比与比例线段 1.线段的比 两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 求两条线段的比时，对这两条线段一定要用同一长度单位来度量.因为线段的长度是正数，所以两条线段的比值总是正数. 2.线段成比例的定义 对于四条线段、、、，如果，就说、、、成比例. 3.比例中项 如果三条线段、、满足，那么线段叫作线段、的比例中项. 知识点二 比例的相关性质 1.比例的基本性质 当时,则；(两内项之积等于两外项之积) 若(),则，简记为“前:后=后:前”. 2.比例的其他性质 ①合比性质:若,则或(,均不为0) ②分比性质:若,则或(,均不为0) ③更比性质:若,则或(均不为0) ④等比性质:若,则=() 已知三条线段a，b，c满足，且． (1)求a，b，c的值； (2)若线段d是线段a和b的比例中项，求d的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段等知识点，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入，求解得到k，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：设， 则， ， ， 解得， ； （2）解：线段d是线段a和b的比例中项， ， 或（舍去）， d的值为． 知识点三 黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 知识点四 平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例定理1 (1)平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例. (2)两种常见类型： “A ”型 “X ”型 （3）推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 2.平行线分线段成比例定理2 （1）两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例. （2）推论 两条直线被三条平行的直线所截,如果在一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等. 如图，已知直线，直线和被、、所截．若，，． (1)求、的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平行线间线段成比例即可求出答案； （2）如图，先将平移经过A点，把线段分成和两部分求解即可． 【详解】（1）∵直线， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴长为，长为． （2）如图，将直线向左平移到直线交于H点，交于G点， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查平行线间线段成比例定理，熟练掌握线段中的比例关系是解题关键． 题型一、比例的性质 【典例1】（24-25九年级上·上海·期中）若 ，则下列比例式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】比例式可根据性质转化为等积式，将各选项转化为等积式后和已知 对比，即可找出不正确的选项． 【详解】解：选项A：， 交叉相乘得，与已知不相等，不符合条件，故A错误，符合题意； 选项B：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故B正确．不符合题意； 选项C：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故C正确．不符合题意； 选项D：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故D正确．不符合题意； 【典例2】（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）若已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系得到与的数量关系，将其代入化简即可得到结果． 【详解】解：， ， 将代入得： ． 此类题型核心方法为设参法. 设比值为，将各量用含k的代数式表示后代入化简即可. 易错点：交叉相乘时内外项易混淆；比例式变形需注意等价性；勿遗漏分母不为零的隐含条件. 【变式1-1】（25-26九年级上·海南海口·阶段检测）若线段满足，且线段，，则线段（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据比例的性质，由比例关系 可得是和的比例中项，即，代入数据计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 【变式1-2】（25-26九年级上·四川内江·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 设, （），代入运算即可． 【详解】解：∵ = ， ∴ 设, （）， ∴， 故选：C 【变式1-3】（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知，那么下列结论正确的是（） A． B． C．，， D． 【答案】D 【分析】本题考查比例的性质，由比例关系设参数表示变量，代入各选项验证即可． 【详解】解：∵， ∴设，，（）． A、，，∵，∴A错误． B、，该值随变化，不一定等于，∴B错误． C、的值取决于，不一定为2,3,5，∴C错误． D、，∴D正确． 故选：D． 【变式1-4】（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）如果，那么的值为________． 【答案】6 【分析】本题考查了比例的性质，由已知比例设参数，代入所求表达式化简计算即可． 【详解】解：， 设，（）， ． 故答案为6． 【变式1-5】（24-25九年级上·上海·期中）已知a、b、c满足．求的值． 【答案】1 【分析】设，可得，，，再将其代入式子求解即可． 【详解】解：设， 则，，， 则． 题型二、比例线段 【典例3】（25-26九年级上·上海徐汇·期中）已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查比例中项的定义，掌握比例中项的定义是解题的关键．根据比例中项的定义，列出比例式即可得出的值，注意线段不能为负． 【详解】解：是 和的比例中项， ， ，， ，解得：， ， 故选：D． 【典例4】（24-25九年级上·上海·阶段检测）东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例尺，在求比值时注意对单位进行统一，这是解题的关键．根据该地图上距离与实际距离的比，就是东海大桥地图上的长度与实际长度的比值解答即可． 【详解】解：32.5千米厘米， 所以该地图上距离与实际距离的比为． 故选C． 比例中项问题直接利用求解；比例尺问题先统一单位再计算比值. 易错点：线段长度恒正，负值须舍去；单位换算易出错；物高与影长的正比对应关系须找准. 【变式2-1】（25-26九年级上·上海崇明·期中）在比例尺为的地图上，相距的两地实际距离是_______． 【答案】 【分析】本题考查比例尺的相关计算，较为简单．根据比例尺的定义，地图上的距离与实际距离的比是，由此计算实际距离，并换算单位． 【详解】解：地图上距离为，比例尺为， 故实际距离为， 由于， 因此实际距离为， 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知线段b是线段a、c的比例中项，且，，那么______． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例线段，掌握线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．根据比例中项的定义，若线段b是线段a、c的比例中项，即．即可求解 【详解】解∶若线段b是线段a、c的比例中项， 即， ． 解得． 故答案为∶． 【变式2-3】（25-26九年级上·上海·阶段检测）在相同时刻的物高和影长成正比，如果某一时刻，旗杆在地面的影长为米，此时身高是米的小王的影长是米，则旗杆的高度是______米 【答案】 【分析】本题考查比和比例，掌握相关知识是解决问题的关键．因为在相同时刻的物高和影长成正比，则有，据此列方程求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度是米， 则， 解得：， 则旗杆的高度是米． 故答案为：． 题型三、成比例线段 【典例5】（25-26九年级上·上海浦东新·期末）下列各组线段中，能构成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．根据成比例线段的定义，逐项分析，即可求解． 【详解】解：对于选项A：，，，，任意两个比值均不相等，如，等； 对于选项C：，，，，任意两个比值均不相等，如，等； 对于选项D：，，，，任意两个比值均不相等，如，等； 对于选项B：，，，，∵，∴能构成比例线段． 故选：B． 【典例6】（2026·上海虹口·一模）下列四组线段中，成比例的是（   ） A．1，2，3，4； B．2，3，4，5； C．1，2，3，5； D．2，3，4，6． 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段的概念，判断四条线段是否成比例，可将四条线段的长度按从小到大排序，看最小线段与最长线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积．若相等，则四条线段成比例；反之，则不成比例． 【详解】解：A、，∴选项A中的四条线段不成比例； B、，∴选项B中的四条线段不成比例； C、，∴选项C中的四条线段不成比例； D、，∴选项D中的四条线段成比例； 故选：D． 判断四线段是否成比例，可先按大小排序，再验证"最小最大＝中间两数乘积"，此法快捷准确. 易错点：未排序直接判断易出错；含根式的线段长度计算易失误；须注意线段顺序对应. 【变式3-1】（25-26九年级上·上海杨浦·期末）下列各组线段的长度中，成比例的是（    ） A．1，2，3，4 B．2，4，4，8 C．1.5，3，4.5，6 D．3，4，5，6 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段，若在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，即一组线段，若有，这四条线段成比例线段，这是解题关键． 通过计算与来判断是否成比例. 【详解】解：A、，故不成比例线段； B、，故成比例线段； C、，故不成比例线段； D、，故不成比例线段； 故选：B． 【变式3-2】（25-26九年级上·上海普陀·期中）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（  ） A．1，2，3，4 B．1，1，2，3 C．，，2，3 D．1，，，2 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的定义，对于四条线段a、b、c、d，若，则它们成比例，依次计算各选项的和值，判断是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、∵，，， ∴1，2，3，4不成比例；故此选项不符合题意； B、∵，，， ∴1，1，2，3不成比例；故此选项不符合题意； C、∵，，， ∴，，2，3成比例；故此选项符合题意； D、∵，，， ∴1，，，2不成比例；故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-3】（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知线段b是线段a、c的比例中项，且，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了成比例线段， 由线段比例中项的定义，可得，代入已知数据求解． 【详解】解：∵线段是线段、的比例中项，且，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3-4】（25-26九年级上·上海金山·阶段检测）已知线段是线段的比例中项，且，，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义可得，从而易求，解题的关键是理解比例中项的含义． 【详解】解：∵线段是线段的比例中项， ∴，即， ∴（负值已舍去）， 故答案为：． 题型四、黄金分割 【典例7】（24-25九年级上·上海·期中）点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割的定义求出的长度，再利用线段的和差关系计算即可． 【详解】解： 点是线段的黄金分割点， ， ， ， ， ． 【典例8】（25-26九年级上·上海青浦·期中）已知线段长度为，点P在线段上，且点P是线段的黄金分割点，则线段的长为_____． 【答案】或 【分析】本题考查黄金分割的概念，解题关键是掌握黄金分割比为，分为较长线段和为较短线段两种情况讨论，列式计算即可得到结果. 【详解】解：∵线段长度为，点是线段的黄金分割点， ∴ 或 ， 把代入得， 或 ， 解得 或 . 牢记黄金比；较长线段＝全长黄金比. 易错点：未指明哪条为较长线段时须分类讨论；黄金比值与其倒数易记混；结果通常保留根号形式. 【变式4-1】（25-26九年级上·上海静安·阶段检测）已知线段的长是4cm，点是线段的黄金分割点，则较短线段的长是______cm． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的概念，解题关键是明确黄金分割点对应的线段比例关系． 明确黄金分割定义：较长线段与全长的比为． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，线段的长为，且为较短线段， 因此． 故答案为：． 【变式4-2】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）已知是的黄金分割点，，则的长为________（结果保留根号）． 【答案】或 【分析】本题考查黄金分割． 根据黄金分割的定义，按照和进行分类讨论，分别计算的长即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，， ∴或， 若，则， 若，则， ∴的长为或． 故答案为：或． 【变式4-3】（25-26九年级上·上海松江·期中）已知点C是线段的黄金分割点，且，，那么______（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，当点C是线段的黄金分割点且时，是的较长部分，满足． 直接根据黄金分割的定义列比例式求解即可． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且， ∴． 故答案为：． 【变式4-4】（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．如图，点P是线段MN的中外比点，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据所给定义列出线段关系是解题关键． 根据所给定义列出线段关系，再求解即可（由描述，可知中外比是黄金比例的倒数，直接用黄金比例的值代入计算也可）． 【详解】解：由题意，得， 又， ∴， 解得（不合题意，舍去），或， 故答案为： ． 【变式4-5】（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如果一个矩形的宽与长的比值为黄金分割数，那么称其为黄金矩形，如图，矩形为黄金矩形，点分别在边上，四边形为正方形，已知，那么_______________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了线段的黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点． 假设，根据黄金分割点列出方程求解即可． 【详解】解：假设， ∵四边形为正方形， ∴， ∵矩形为黄金矩形， ∴， 解得， 故答案为：2． 题型五、由平行判断成比例的线段 【典例9】（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）已知线段a、b、c，作线段x，使，则正确的作法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键． 根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、由平行线分线段成比例可得，故A选项错误； B、由平行线分线段成比例可得，故B选项正确； C、由平行线分线段成比例可得，故C选项错误； D、由平行线分线段成比例可得，故D选项错误； 故选：B． 【典例10】（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）如图，已知直线、被三条互相平行的直线、、所截，其中点A、B、C在直线上，点D、E、F在直线上．下列四个结论①，②，③，④中，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质．直接利用平行线分线段成比例定理进而得出结论． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③错误； ，故④错误， 正确的个数2个， 故选：B． 依据平行线分线段成比例定理，找准"上比下""上比全""下比全"的对应线段即可判断. 易错点：对应线段找错为高频错因；"A字型"与"X型"的比例式易混淆；切勿错用非对应线段的比. 【变式5-1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，已知，那么下列比例式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定等知识，得到四边形BDEF是平行四边形是解题的关键． 由，则四边形是平行四边形，得到，则，可判断A，可判断C，根据得到，即可判断B和D． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，， ， 即，， 故A不符合题意； 若，，与已知条件不符， 故不成立，C符合题意； B、， ，， 故B、D选项不符合题意； 故选：C． 【变式5-2】（2025·上海闵行·一模）已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．利用平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、，不能判断，本选项不符合题意； B、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； C、，即，能判断，本选项符合题意； D、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式5-3】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知，，如果，那么_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，等式的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 由平行线分线段成比例定理可得，进而可得，根据列方程求解，即可求得的长． 【详解】解：， ， ， 又， 解得：， 故答案为：． 【变式5-4】（25-26九年级上·上海·期中）如图，点，都在格点上（网格小正方形的边长为1），点是线段与网格线的交点，则的长为__________. 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理，以及平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例，是解题的关键． 如图，利用勾股定理求出的长，再利用平行线分线段成比例，进行求解即可． 【详解】解：如图：， ∴， 在中，， 则：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 题型六、由平行截线求相关线段的长或比值 【典例11】（25-26九年级上·上海崇明·期末）如图，已知直线、、分别与直线交于点、、，与直线交于点、、，如果，，则的长是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，据此代入数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【典例12】（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，则_____． 【答案】 【分析】取的中点F，连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到，再结合，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点F，连接， ∵D为边上的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 利用平行线分线段成比例列方程求解；遇中点可构造三角形中位线作辅助. 易错点：比例式列错对应关系；点在反向延长线上的情形易漏解；设元求解时注意单位统一. 【变式6-1】（25-26九年级上·上海黄浦·期中）已知点、分别在的边和的反向延长线上，．当时，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据得到，即可求解． 【详解】解：如图， 当时， 则， ∴， ∴， 故选：A． 【变式6-2】（25-26九年级上·上海奉贤·期末）如图，已知直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知，那么线段AC的长是_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理得到进而得到，利用比例的性质得到，从而可计算出的长． 【详解】解：， 故答案为： 【变式6-3】如图，直线，如果，那么的长是___________． 【答案】14 【分析】本题考查平行线分线段成比例，由，得，由，得即可解答． 【详解】解：∵， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为14． 【变式6-4】（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，它们依次交直线于点和点．如果，那么___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论，找准对应线段是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-5】（24-25九年级上·上海宝山·阶段检测）如图，已知在中，点D、E分别是边、上的点，，，且，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题根据平行线分线段成比例定理的知识，进行解答，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（25-26九年级上·上海闵行·期中）已知线段，，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么b等于（   ） A． B．6 C．36 D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例性质．比例中项的定义，且线段长度为正数，故排除负值，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】∵线段b是线段a和c的比例中项，且，， ∴， ∴， 又∵为线段长度， ∴， ∴， 故选：B 2．（25-26九年级上·上海·期中）下列各组线段中，能组成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键． 如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； B．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； C．，则是成比例线段，故该选项符合题意； D．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意． 故选：C． 3．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握该性质． 根据平行线分线段成比例逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵，， ∴， 该选项正确； B. ∵，， ∴， ∴； 该选项正确； C. ∵，， ∴， ∴， 该选项正确； D.根据给出条件无法得出， 该选项不一定正确； 故选：D． 4．（2026·上海长宁·一模）已知，那么的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查比与比例的性质，熟练掌握相关知识是关键． 利用比例关系设参数来表示和，代入所求表达式化简即可． 【详解】解：设，则，， ∴． 故答案为：. 5．（24-25九年级上·上海宝山·阶段检测）已知线段厘米，厘米，b是线段a和c的比例中项，__________厘米． 【答案】324 【分析】本题考查了比例线段． 根据比例中项的定义，若b是a和c的比例中项，则． 【详解】解：由题意，b是a和c的比例中项， 因此． ∵厘米，厘米， ∴， 即， 解得． 故答案为：324． 6．（24-25九年级上·上海宝山·期中）线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么______厘米． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义得到，然后利用比例性质计算即可，解题的关键是理解四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，当时，线段是线段和的比例中项． 【详解】解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∵线段厘米，厘米， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）已知点P是线段的黄金分割点，较长线段厘米，则线段的长是______厘米． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是． 根据黄金分割的定义作答即可． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，较长线段厘米， ∴， 即． 故答案为： ． 8．（2025·上海杨浦·一模）已知点是线段的黄金分割点，那么__________． 【答案】 或 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义，分2种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：根据黄金分割的定义，黄金比为． 当为较长部分时，； 当为较短部分时，，则， ∴， ∴． 故答案为： 或 9．（2026·上海长宁·一模）如图，两条直线被三条平行线、、所截，分别相交于点、、、、、，若，那么当时，的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例的定理，找到对应线段的比是关键． 直接利用平行线分线段成比例定理得出，再将已知数据代入求出即可． 【详解】， ， 又， ， ， ，解得． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，已知，它们依次交直线于点、、和点、、．如果，那么线段的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理直接解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．（23-24九年级上·上海·阶段检测）如图，已知：，如果，那么______． 【答案】/ 【分析】本题考查平行线截线段对应成比例，根据平行线截线段对应成比例求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为：． 12．（2026·上海松江·一模）的三边分别是、、，且， (1)如果的周长为60，求的值； (2)如果的面积为 60，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比例的性质和勾股定理逆定理． （1）设，则，利用周长公式列方程求解即可； （2）设，则，通过勾股定理逆定理判断直角三角形，再利用面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设， 则， ∵的周长为60， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设， 则， ∵，， ∴， 即是直角三角形，， ∵的面积为60， ∴， 即， 解得：（负值舍去）， ∴． 13．（25-26九年级上·上海虹口·期中）如图，直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知． (1)求的长； (2)点O是直线与的交点，如果，求的长． 【答案】(1)的长为 (2)的长为5． 【分析】本题考查平行线间的线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，由，得到，即，求出，即可解答． （2）先推导出，，求出，，则，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 答：的长为． （2）∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得． 答：的长为5． 14．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知，，，，求、的长． 【答案】， 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，掌握平行线分线段成比例定理（三条平行线截两条直线,所得对应线段成比例）是解题关键． 由得到即可求解，则由求出，再由，得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ，，， ∴， 解得：， 则． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $