第一章 有理数 导学案 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦“有理数”章节，涵盖正负数、有理数概念、数轴、相反数、绝对值及大小比较等核心知识点。通过“章节故事”讲述负数历史，结合温度、海拔等实际应用引入，搭建从自然数到有理数的学习支架，衔接前后知识脉络。 特色在于以历史情境激发兴趣，培养数学眼光中的抽象能力与创新意识。概念引入后设“牛刀小试”即时巩固，强化数学思维的运算能力和推理意识。“直击考点”习题贴合实际，提升数学语言的应用意识，助力学生系统掌握有理数知识。

第1章 有理数 （教师版） 章节故事 故事一： 今天人们都能用正负数来表示两种相反意义的量。例如若以冰点的温度表示0℃，则开水的温度为+100℃，而零下10℃则记为-10℃。若以海平面为0点，则珠穆朗玛峰的高度约为+8844米，最深的马里亚纳海沟深约-11034米。在日常生活中，人们常用“+”表示收入，用“-”表示支出。可是在历史上，负数的引入却经历了漫长而曲折的道路。 故事二： 古人在实践活动中遇到了一些问题：如两人相互借用东西，对借出方和借入方来说，同一东西具有不同的意义；再如从同一地点，两人同时向相反方向行走，离开出发点的距离即使相同，但其表示的意义却不同。久而久之，古人意识到仅用数量表示一个事物是不全面的，似乎还应加上表示方向的符号。因此为了表示具有相反意义的量和解决被减数小于减数等问题，逐渐产生了负数。 故事三： 我国是世界上最早使用负数概念的国家。《九章算术》中已经开始使用负数，而且明确指出若“卖”是正，则“买”是负；“余钱”是正，则“不足钱”是负。刘徽注《九章算术》，定义正负数为“两算得失相反”，同时还规定了有理数的加、减法则，认为“正、负术曰：同名相益，异名相除。”这“同名”、“异名”即现在的“同号”、“异号”、“除”和“益”则是“减”和“加”，这些思想，西方要迟于中国八九百年才出现。 故事四： 印度在公元7世纪才采用负数，公元628年，印度的《婆罗摩修正体系》一书中，把负数解释为负债和损失。在西方，直到1484年，法国的舒开才给出了二次方程的一个负根。1544年，德国的史提菲把负数定义为比任何数都小的数。1545年，意大利的卡当著《大法》，成为欧洲第一部论述负数的著作。虽然负数早已出现在人们的计算过程中，但却迟迟得不到学术界的承认，直到17世纪，数学、力学、天文学获得广泛发展，使用负数可以大大简化计算，所以负数才正式进入了数学。特别是1637年，法国数学家笛卡尔发明了解析几何学，建立了坐标点，将平面点与负数、零、正数组成的实数对应起来，使负数得到了解释，从而加速了人们对负数的承认。但直到19世纪，德国数学家魏尔斯特拉斯等人为整数奠定了逻辑基础以后，负数才在现代数学中获得巩固的地位。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第01讲 从自然数到有理数 概念引入 👉 正数和负数 1. 在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 2. 0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 3. 用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． ⚔牛刀小试 1．小能同学参加航模比赛赢得第一名，获得500元奖学金，记作+500元，那么，他购买模型配件支出60元，记为 -60元． 2．珠穆朗玛峰是世界第一高峰，高于海平面8844.43米，记为海拔+8844.43米。吐鲁番盆地是世界最低的盆地，它的海拔高度为米，表示低于海平面154米． 3．历史数据显示，北京5月份的日均最高气温为25℃，记录表上有2015年5月份中5天的最高气温记录，分别为+2.7，0，+1.5，-2，-2.7，那么这5项记录表示的实际当日最高和最低气温分别是27.7℃，22.3℃． 👉 有理数 1. 有理数的概念：整数和分数统称为有理数． 2 学科网（北京）股份有限公司 2. 有理数的分类： ①按整数、分数的关系分类： 有理数；自然数 ②按正数、负数与0的关系分类： 有理数． ⚔牛刀小试 1．下列各数：，分数有 4 个；整数有 3 个；自然数 2 个． 2．在下列数： 1.11111，，0，＋2004，2，1.12122122212222……，，-2中， 整数有 0，＋2004， -2 ； 分数有 1.11111，， ； 有理数有 1.11111，，0，＋2004，，-2 ． 直击考点 1．如果向东走3米记为+3米，那么向西走6米记作（　C　） A．+3米 B．﹣3米 C．﹣6米 D．+6米 2．在下列选项中，既是分数，又是负数的是（　D　） A．4 B．5 C．﹣8 D．﹣0.5 3．如果温度上升3℃，记作+3℃，那么温度下降2℃记作（　B　） A．+2℃ B．﹣2℃ C．+3℃ D．﹣3℃ 4．如果盈利90元记作+90元，那么亏损35元记作 　-35　元． 5．若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣7℃表示气温为（　D　） A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃ 6．下列各数中，是负整数的是（　B　） A．+1 B．﹣2 C． D．0 7．在有理数中，有（　D　） A．最大的数 B．最小的数 C．最大的负数 D．最小的自然数 8．有如下四个命题：①最大的负数是﹣1；②最小的整数是1；③最大的负整数是﹣1；④最小的正整数是1；其中正确的有（　B　）个．（①②错，③④对） A．1 B．2 C．3 D．4 9．　整数　和　分数　统称为有理数． 10．在数，﹣0.4，0.2，3.14，0.1010010001…（每两个之间多一个0），120%，，100这8个数中， 有理数有　 6　个． 11．在数﹣5.7，+17，，0，﹣13，，﹣201中，负分数是 　﹣5.7， 　；正整数是 　+17　． 12．在0，3，﹣2，﹣3.6这四个数中，是负整数的为　﹣2　． 13．写出一个是分数但不是正数的数　（答案不唯一）　． 14．把下列各数填到相应的括号里（只填编号即可）． ①；②1；③0.5；④+7：⑤0；⑥﹣1.4；⑦﹣9；⑧；⑨5%． 正数：{　 ②③④⑨ 　}； 负数：{　 ①⑥⑦⑧　 　}； 整数：{　 ②④⑤⑦ 　}； 分数：{　 ①③⑥⑧⑨ 　}． 第02讲 数轴 概念引入 👉 数轴 1. 定义：规定了 原点 、 正方向 和 单位长度 的直线叫做数轴。 数轴三要素： 2. 性质：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。 3. 数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数. 4. .数轴的画法步骤: 第一步:画一条水平直线(现在为了读画方便，通常把数轴画成水平的); 第二步:在直线上选取一点为原点，原点表示0 (在原点下边标上“0”) ; 第三步:规定从原点向右的为正方向那么相反的方向(从原点向左)则为负方向。(用箭头表示出来) 第四步:选择适当的长度为单位长度。 ⚔牛刀小试 1. 以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（　B　） A． B． C． D． 2. 在数轴上表示下列各数：﹣2，﹣3，0，3， 👉 相反数 1. 相反数： 只有符号不同 的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。 2. 零的相反数是 零 3. 在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等 注意 （1）通常a与-a互为相反数； （2）a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ⚔牛刀小试 1．4与 -4 互为相反数；的相反数是； 7 的相反数是－7． 2．（1）正数的相反数是 负数 ；负数的相反数是 正数 ；0的相反数是 0 ． （2） 负数 的相反数比它本身大； 正数 的相反数比它本身小； 0 的相反数等于它本身． 3．的相反数是 -a ；的相反数是 a ；的相反数是 -a ． 直击考点 1. 如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中，画图正确的是（　B　） A． B． C． D． 2. ﹣4的相反数是（　A　） A．4 B．﹣4 C．﹣0.25 D．0.25 3. 若x的相反数是2022，则x的值是（　C　） A．2022 B． C．﹣2022 D． 4. 下列各对数中，互为相反数的是（　B　） A．﹣（+1）和+（﹣1） B．﹣（﹣1）和+（﹣1） C．﹣（+1）和﹣1 D．+（﹣1）和﹣1 5. 如图，数轴上一个点被叶子盖住了，这个点表示的数可能是（　A　） A．2.3 B．﹣1.3 C．3.7 D．1.3 6. 下列说法正确的是（　D　） A．+7是相反数 B．﹣7是相反数 C．+7不是﹣7的相反数 D．﹣7与+7互为相反数 7. 化简：﹣（﹣2）＝（　D　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 8. 画出数轴并表示下列有理数：1.5，﹣2，2，﹣2.5，，﹣，0． 9. 指出图所示的数轴上A、B、C、D、E各点分别表示的有理数． A点表示﹣4，B点表示﹣1.5，C点表示0.5，D点表示3，E点表示4.5． 第03讲 绝对值 概念引入 👉 绝对值 1. 绝对值的意义： 一个数在数轴上对应的点到原点的距离 叫做这个数的绝对值。 2. 一个正数的绝对值是 它本身 ；一个负数的绝对值是 它的相反数 ；零的绝对值是 零 ， 互为相反数的两个数绝对值 相等 . 3. 绝对值可表示为： ⚔牛刀小试 1．的绝对值是 ；的绝对值是 ；= ；= ； 2．下列式子中成立的是（ B ） A．﹣|﹣5|＞﹣5 B．﹣3＜|﹣3| C．﹣|﹣4|=4 D．|﹣5|＞5 直击考点 1．﹣4的绝对值是（　A　） A．4 B．±4 C．﹣4 D．8 2．下列各式正确的是（　A　） A．﹣（﹣2）＝2 B．﹣（﹣5）＝﹣5 C．|﹣2022|＝﹣2022 D．﹣|﹣2022|＝2022 3．计算：＝　　． 4．的相反数是　　，﹣2的绝对值是　2　． 5．若|x|＝6，则x＝　±6　． 6．分别写出下列各数的绝对值．，﹣（+6.3），+（﹣32），12，． ，|﹣（+6.3）|＝|﹣6.3|＝6.3，|+（﹣32）|＝|﹣32|＝32，|12|＝12，． 7．计算： （1）|﹣7|﹣|+4|； （2）|﹣7|+|﹣2009|． 3 2016 第04讲 有理数的大小比较 概念引入 👉 有理数的大小比较 1. 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大． 2. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数． 3. 两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 4. 认识“∵”：“因为”，“∴”：“所以”。 ⚔牛刀小试 1. 在数轴上表示下列各数，并用“＜”号连接． ﹣（﹣5），﹣|﹣2.5|，﹣4，． ∴﹣4＜﹣|﹣2.5|＜＜﹣（﹣5）． 2. 比较下列每对数的大小：与，与，与，与 ∵﹣＜0，﹣＜0，|﹣|＝＞|﹣|＝， ∴﹣＜﹣＜0； ∵﹣＝﹣＜0，﹣＝﹣＜0，|﹣|＞|﹣|， ∴﹣＜﹣，即＜； ∵﹣＝﹣＜0，﹣＜0，|﹣|＞|﹣|， ∴﹣＜﹣，即，＜； ∵﹣＝﹣＜0，﹣＝﹣＜0，|﹣|＜|﹣|， ∴﹣＞﹣，即＞． 直击考点 1．下列四个数中，最大的负整数是（　D　） A．﹣1.5 B．﹣3 C．0 D．﹣2 2．下列各数中，最小的数是（　D　） A．0 B．﹣ C．2 D．﹣2 3．如图所示，a、b、c表示有理数，则a、b、c的大小顺序是（　D　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c 4．比较大小：　<　． 5．任意写出一个绝对值大于1的负有理数 　-2（答案不唯一）　． 6．画出数轴，并解决下列问题： （1）把4，﹣3.5，，，0，2.5表示在数轴上． （2）请将上面的数用“＜”连接起来； （3）观察数轴，写出绝对值不大于4的所有整数． 解：（1）如图所示： （2）由（1）可得：； （3）由（1）可得，绝对值不大于4的整数有﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4． $ 第1章 有理数 （学生版） 姓名：__________ 章节故事 故事一： 今天人们都能用正负数来表示两种相反意义的量。例如若以冰点的温度表示0℃，则开水的温度为+100℃，而零下10℃则记为-10℃。若以海平面为0点，则珠穆朗玛峰的高度约为+8844米，最深的马里亚纳海沟深约-11034米。在日常生活中，人们常用“+”表示收入，用“-”表示支出。可是在历史上，负数的引入却经历了漫长而曲折的道路。 故事二： 古人在实践活动中遇到了一些问题：如两人相互借用东西，对借出方和借入方来说，同一东西具有不同的意义；再如从同一地点，两人同时向相反方向行走，离开出发点的距离即使相同，但其表示的意义却不同。久而久之，古人意识到仅用数量表示一个事物是不全面的，似乎还应加上表示方向的符号。因此为了表示具有相反意义的量和解决被减数小于减数等问题，逐渐产生了负数。 故事三： 我国是世界上最早使用负数概念的国家。《九章算术》中已经开始使用负数，而且明确指出若“卖”是正，则“买”是负；“余钱”是正，则“不足钱”是负。刘徽注《九章算术》，定义正负数为“两算得失相反”，同时还规定了有理数的加、减法则，认为“正、负术曰：同名相益，异名相除。”这“同名”、“异名”即现在的“同号”、“异号”、“除”和“益”则是“减”和“加”，这些思想，西方要迟于中国八九百年才出现。 故事四： 印度在公元7世纪才采用负数，公元628年，印度的《婆罗摩修正体系》一书中，把负数解释为负债和损失。在西方，直到1484年，法国的舒开才给出了二次方程的一个负根。1544年，德国的史提菲把负数定义为比任何数都小的数。1545年，意大利的卡当著《大法》，成为欧洲第一部论述负数的著作。虽然负数早已出现在人们的计算过程中，但却迟迟得不到学术界的承认，直到17世纪，数学、力学、天文学获得广泛发展，使用负数可以大大简化计算，所以负数才正式进入了数学。特别是1637年，法国数学家笛卡尔发明了解析几何学，建立了坐标点，将平面点与负数、零、正数组成的实数对应起来，使负数得到了解释，从而加速了人们对负数的承认。但直到19世纪，德国数学家魏尔斯特拉斯等人为整数奠定了逻辑基础以后，负数才在现代数学中获得巩固的地位。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第01讲 从自然数到有理数 概念引入 👉 正数和负数 1. 在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 2. 0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 3. 用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． ⚔牛刀小试 1．小能同学参加航模比赛赢得第一名，获得500元奖学金，记作+500元，那么，他购买模型配件支出60元，记为 ． 2．珠穆朗玛峰是世界第一高峰，高于海平面8844.43米，记为海拔+8844.43米。吐鲁番盆地是世界最低的盆地，它的海拔高度为米，表示 ． 3．历史数据显示，北京5月份的日均最高气温为25℃，记录表上有2015年5月份中5天的最高气温记录，分别为+2.7，0，+1.5，-2，-2.7，那么这5项记录表示的实际当日最高和最低气温分别是 ． 👉 有理数 1. 有理数的概念：整数和分数统称为有理数． 2 学科网（北京）股份有限公司 2. 有理数的分类： ①按整数、分数的关系分类： 有理数；自然数 ②按正数、负数与0的关系分类： 有理数． ⚔牛刀小试 1．下列各数：，分数有 个；整数有 个；自然数 个． 2．在下列数： 1.11111，，0，＋2004，2，1.12122122212222……，，-2中， 整数有__________________________________________； 分数有__________________________________________； 有理数有________________________________________． 直击考点 1．如果向东走3米记为+3米，那么向西走6米记作（　　） A．+3米 B．﹣3米 C．﹣6米 D．+6米 2．在下列选项中，既是分数，又是负数的是（　　） A．4 B．5 C．﹣8 D．﹣0.5 3．如果温度上升3℃，记作+3℃，那么温度下降2℃记作（　　） A．+2℃ B．﹣2℃ C．+3℃ D．﹣3℃ 4．如果盈利90元记作+90元，那么亏损35元记作 　 　元． 5．若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣7℃表示气温为（　　） A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃ 6．下列各数中，是负整数的是（　　） A．+1 B．﹣2 C． D．0 7．在有理数中，有（　　） A．最大的数 B．最小的数 C．最大的负数 D．最小的自然数 8．有如下四个命题：①最大的负数是﹣1；②最小的整数是1；③最大的负整数是﹣1；④最小的正整数是1；其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 9．　 　和　 　统称为有理数． 10．在数，﹣0.4，0.2，3.14，0.1010010001…（每两个之间多一个0），120%，，100这8个数中， 有理数有　 　个． 11．在数﹣5.7，+17，，0，﹣13，，﹣201中，负分数是 　 　；正整数是 　 　． 12．在0，3，﹣2，﹣3.6这四个数中，是负整数的为　 　． 13．写出一个是分数但不是正数的数　 　． 14．把下列各数填到相应的括号里（只填编号即可）． ①；②1；③0.5；④+7：⑤0；⑥﹣1.4；⑦﹣9；⑧；⑨5%． 正数：{　 　　 　　 　　 　}； 负数：{　 　　 　　 　　 　}； 整数：{　 　　 　　 　　 　}； 分数：{　 　　 　　 　　 　}． 第02讲 数轴 概念引入 👉 数轴 1. 定义：规定了________、________和________的直线叫做数轴。 数轴三要素： 2. 性质：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。 3. 数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数. 4. .数轴的画法步骤: 第一步:画一条水平直线(现在为了读画方便，通常把数轴画成水平的); 第二步:在直线上选取一点为原点，原点表示0 (在原点下边标上“0”) ; 第三步:规定从原点向右的为正方向那么相反的方向(从原点向左)则为负方向。(用箭头表示出来) 第四步:选择适当的长度为单位长度。 ⚔牛刀小试 1. 以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 2. 在数轴上表示下列各数：﹣2，﹣3，0，3， 👉 相反数 1. 相反数： 的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。 2. 零的相反数是 3. 在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等 注意 （1）通常a与-a互为相反数； （2）a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ⚔牛刀小试 1．4与 互为相反数；的相反数是 ； 的相反数是－7． 2．（1）正数的相反数是 ；负数的相反数是 ；0的相反数是 ． （2） 的相反数比它本身大； 的相反数比它本身小； 的相反数等于它本身． 3．的相反数是 ；的相反数是 ；的相反数是 ． 直击考点 1. 如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中，画图正确的是（　　） A． B． C． D． 2. ﹣4的相反数是（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣0.25 D．0.25 3. 若x的相反数是2022，则x的值是（　　） A．2022 B． C．﹣2022 D． 4. 下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．﹣（+1）和+（﹣1） B．﹣（﹣1）和+（﹣1） C．﹣（+1）和﹣1 D．+（﹣1）和﹣1 5. 如图，数轴上一个点被叶子盖住了，这个点表示的数可能是（　　） A．2.3 B．﹣1.3 C．3.7 D．1.3 6. 下列说法正确的是（　　） A．+7是相反数 B．﹣7是相反数 C．+7不是﹣7的相反数 D．﹣7与+7互为相反数 7. 化简：﹣（﹣2）＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 8. 画出数轴并表示下列有理数：1.5，﹣2，2，﹣2.5，，﹣，0． 9. 指出图所示的数轴上A、B、C、D、E各点分别表示的有理数． 第03讲 绝对值 概念引入 👉 绝对值 1. 绝对值的意义： 叫做这个数的绝对值。 2. 一个正数的绝对值是 ；一个负数的绝对值是 ；零的绝对值是 ， 互为相反数的两个数绝对值 . 3. 绝对值可表示为： ⚔牛刀小试 1．的绝对值是_______；的绝对值是_______；=_______；=_______； 2．下列式子中成立的是（ ） A．﹣|﹣5|＞﹣5 B．﹣3＜|﹣3| C．﹣|﹣4|=4 D．|﹣5|＞5 直击考点 1．﹣4的绝对值是（　　） A．4 B．±4 C．﹣4 D．8 2．下列各式正确的是（　　） A．﹣（﹣2）＝2 B．﹣（﹣5）＝﹣5 C．|﹣2022|＝﹣2022 D．﹣|﹣2022|＝2022 3．计算：＝　　． 4．的相反数是　　，﹣2的绝对值是　　． 5．若|x|＝6，则x＝　　． 6．分别写出下列各数的绝对值．，﹣（+6.3），+（﹣32），12，． 7．计算： （1）|﹣7|﹣|+4|； （2）|﹣7|+|﹣2009|． 第04讲 有理数的大小比较 概念引入 👉 有理数的大小比较 1. 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大． 2. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数． 3. 两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 4. 认识“∵”：“因为”，“∴”：“所以”。 ⚔牛刀小试 1. 在数轴上表示下列各数，并用“＜”号连接． ﹣（﹣5），﹣|﹣2.5|，﹣4，． 各数从小到大排列：　 　 　 　． 2. 比较下列每对数的大小：与，与，与，与 直击考点 1．下列四个数中，最大的负整数是（　　） A．﹣1.5 B．﹣3 C．0 D．﹣2 2．下列各数中，最小的数是（　　） A．0 B．﹣ C．2 D．﹣2 3．如图所示，a、b、c表示有理数，则a、b、c的大小顺序是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c 4．比较大小：　　． 5．任意写出一个绝对值大于1的负有理数 　　． 6．画出数轴，并解决下列问题： （1）把4，﹣3.5，，，0，2.5表示在数轴上． （2）请将上面的数用“＜”连接起来； （3）观察数轴，写出绝对值不大于4的所有整数． $