第三章 实数 导学案 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

该初中数学导学案围绕“实数”展开，涵盖平方根、立方根、实数的概念及运算，通过章节故事（数学史与实际问题）导入，连接有理数到实数的扩展，搭建知识学习支架。 资料特色在于故事导入融合历史与生活情境，激发学习兴趣，培养抽象能力，分层次习题设计（牛刀小试、直击考点）提升运算能力，概念分类与符号表达强化模型意识，助力学生构建知识体系，发展数学核心素养。

第3章 实数 （教师版） 章节故事 故事一： 公元前5世纪左右，在古希腊哲学家和数学家毕达哥拉斯的领导下，成立了一个秘密会社，也就是后人所称的毕达哥拉斯学派。这个学派的基本信条是“万物皆数”。他们所说的“数”仅指整数，分数被看做两个整数之比。 当时该学派的成员希帕索斯（Hippasus，公元前470年左右）发现了一个既不是整数，又不是整数之比的数，即边长为1的正方形的对角线的长度。这一发现动摇了毕达哥拉斯学派的基本信条，引起数学史上第一次基础理论的危机。希帕索斯因此成了毕达哥拉斯学派的“叛逆者”，被投入大海。 在此后的2000多年里，人们对无理数进行了孜孜不倦的探索，直到19世纪才真正地对无理数有了一个全面的认识。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。 “有理数”和“无理数”两名词都是由英文翻译过来的。有理数一词的英文是“rational number”，其中“rational”有两层含义：一是“比率”，二是“合理”。从数学含义来说应该取前者，所以有理数实际上应该是“比数”，而无理数“irrational number”应该是“非比数”。但由于当初分别译成了“有理数”和“无理数”，而且大家经过长期使用也习惯了，所以沿用至今。 故事二： 跳伞运动员跳离飞机，在打开降落伞前，下降的高度d（米）和下降的时间 t（秒）之间有关系式d=5×t²（不计空气阻力）. 你能算出跳伞运动员在打开降落伞前下降875米所需要的时间吗？ 当你站在h千米高处时，你能看到的最远距离d可表示为千米. 上海金茂大厦观光厅高340米，人站在观光厅里能看多远？ 本章将学习平方根、立方根、实数及其运算. 实数的引入，使我们进入了一个更广阔的数的世界. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 学科网（北京）股份有限公司 第01讲 平方根 概念引入 👉 平方根 1. 平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根，也叫做二次方根. 2. 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 3. 求一个数的平方根的运算叫做开平方。开平方是平方运算的逆运算. 4. 平方根的表示方法：一个正数a，表示a的正平方根，表示a的负平方根 一个正数a的平方根就用表示，其中a叫做被开方数. ⚔牛刀小试 1. 下列各式的平方根 ①36　　　　②　　　　③　　　　④0.01 解：①＝±6　　　②＝±　　　　③±＝　　④＝±0.1 2. 求下列各数的平方根． （1）25 （2） （3） （4）|﹣5| 解：（1）∵（±5）2＝25，∴＝±5；（2）∵，∴； （3）∵，∴；（4）∵＝|﹣5|，∴． 👉 算术平方根 算术平方根：正数的正平方根称为算术平方根. 0的算术平方根是0. ⚔牛刀小试 1. 求下列各数的算术平方根． （1）0.0016； （2）（﹣5）2； （3）； （4）． 解：（1）∵（0.04）2＝0.0016，∴0.0016的算术平方根是0.04；（2）∵（﹣5）2＝25，52＝25，∴（﹣5）2的算术平方根是5； （3）∵（）2＝，∴的算术平方根是；（4）∵（）2＝＝2，∴2的算术平方根是． 2. 求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 解：（1）＝±13（2）＝﹣8（3）（4）＝4 直击考点 1．0.64的平方根是（　B　） A．0.8 B．±0.8 C．0.08 D．±0.08 2．2的平方根是（　C　） A． B．﹣ C．± D．4 3．下列各式中，正确的是（　D　） A． B． C． D． 4．a的算术平方根是4，那么a的值是（　B　） A．8 B．16 C．2 D．±2 5．下列说法正确的是（　A　） A．0的平方根是0 B．1的平方根是1 C．﹣1的平方根是﹣1 D．0.1的算术平方根是0.01 6．下列说法不正确的是（　C　） A．3是9的算术平方根 B．是的一个平方根 C．（﹣4）2的平方根是﹣4 D．（﹣2）2的平方根是±2 7．式子表示（　D　） A．﹣4的算术平方根 B．8的算术平方根 C．16的平方根 D．16的算术平方根 8．的平方根是　±　． 9．已知某数的一个平方根是，那么这个数是　11　，它的另一个平方根是 ﹣ ． 10．的平方根是 　±　，的算术平方根是 　2　． 11．先说出下列各式中的被开方数，再判断各式的结果正确与否，并把不正确的改正过来． （1）； （2）﹣＝3； （3）； （4）±＝±3． 解：（1）的被开方数是32，原式正确；（2）﹣＝3的被开方数是32，原式错误，改正：原式＝﹣3； （3）的被开方数是（﹣3）2，原式错误，改正：； （4）±＝±3的被开方数是（﹣3）2，原式正确． 12.求下列各数的平方根： （1）121；（2）0.01；（3）2； （4）（﹣13）2；（5）﹣（﹣4）3． 解：（1）＝±11；（2）＝±0.1；（3）＝＝；（4）＝±13； （5）＝＝±8． 第02讲 实数 概念引入 👉 实数 1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数. 2. 实数：有理数和无理数统称实数. 3. 按实数的定义分类： 根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数 4. 实数与数轴上的点一一对应： 5. 有理数的大小比较法则也适用于实数 （1）正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数， （2）数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大． （3）差值比较法：设a，b是任意实数，则a－b＞0⇔a>b；a－b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b． ⚔牛刀小试 1. 在实数0，3.14159，，，，，，，0.中，其中 　0，3.14159，﹣，，0.　是有理数，　，，，　是无理数． 2. 请把这些数填入相应的集合中： 5.2，0，，227，+（﹣4），﹣2，﹣0.030030003…，0.666… （1）有理数集合：{　5.2，0，227，+（﹣4），﹣2，0.666…　…}； （2）分数集合：{　5.2，﹣2，0.666…　…}． （3）非负整数集合：{　0，227，　…}； （4）无理数集合：{　，，﹣0.030030003…　…}． 3. 的相反数是　 　﹣　；1﹣π的绝对值是　 　π﹣1　． 4. 在下列各组数中，互为相反数的是（　C　） A．﹣3与 B．|﹣3|与﹣ C．|﹣|与﹣ D．3与 5. 比较大小：π　＞　3.14，﹣　＜　﹣，2 　＜　 直击考点 1．下列各数是无理数的是（　C　） A．﹣2.5 B． C．π D． 2．下列四个数中，不是无理数的是（　C　） A．Π B．0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0） C． D． 3．下列四个数中，属于有理数的是（　A　） A．2022 B． C．π D． 4．的绝对值是（　A　） A． B． C． D． 5．点A表示的数为﹣，下列在数轴上画出点A的位置，正确的是（　A　） A．B．C．D． 6．在﹣1，π，﹣，3.14四个数中，最小的数是（　C　） A．﹣1 B．π C．﹣ D．3.14 7．实数﹣2，，0，﹣5中绝对值最大的数是（　D　） A．﹣2 B． C．0 D．﹣5 8．写出一个小于﹣3的负无理数 　 （答案不唯一） 　． 9．﹣的相反数是 　　，的相反数是 　　，﹣绝对值是 　　． 10．把下列各数写入相应的集合中：﹣，，0.3，，，﹣7.，﹣3.14152，0，，，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1 ） 有理数集合{　﹣，，0.3，，﹣7.，﹣3.14152，0，　…}； 无理数集合{　，，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1 ）　…}； 正实数集合{　，0.3，，，，　…}； 负实数集合{　﹣，﹣7.，﹣3.14152，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1 ）　…}． 第03讲 立方根 概念引入 👉 立方根 1. 立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也叫做三次方根，记做 其中a是被开方数，3是根指数，符号“”读做“三次根号”. 2. 开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。 3. 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0. ⚔牛刀小试 1. 求下列各数的立方根 （1）729 （2）﹣4（3）﹣（4）（﹣5）3 解：（1）∵93＝729， ∴729的立方根是9； （2）∵（﹣）3＝﹣＝﹣4， ∴﹣4的立方根是﹣； （3）∵（﹣）3＝﹣， ∴﹣的立方根是﹣； （4）（﹣5）3的立方根是﹣5． 2. 求下列各数的立方根． （1）0.001； （2）10﹣6； （3）8000； （4）﹣． 解：（1）＝0.1； （2）＝10﹣2； （3）＝20； （4）＝﹣． 直击考点 1．的立方根为（　A　） A． B． C． D． 2．﹣8的立方根是（　A　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．﹣512 3．一个正方体的体积为V，它的棱长是（　D　） A．V的平方 B．V的平方根 C．V的立方 D．V的立方根 4．计算正确的是（　D　） A．＝±2 B．＝3 C．＝﹣2 D．±＝±4 5．下列说法正确的是（　A　） A．﹣1是1的平方根 B．﹣1是1的算术平方根 C．﹣1是1的立方根 D．﹣1没有立方根 6．下列结论正确的是（　C　） A．9的平方根是3 B．＝±4 C．＝﹣1 D．±2是8的立方根 7．216的立方根是 　6　． 8．（1）＝　3　； （2）丨﹣丨＝　　；（3）＝　0.9　；（4）＝　3　． 9．化简：＝　2　；±＝　±4　；＝　0.3　． 第04讲 实数的运算 概念引入 👉 实数的运算 实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的，同级运算应从左到右依次进行． ⚔牛刀小试 1. 计算． （1）||++2； （2）． 解：（1）||++2 ＝﹣++2 ＝3； （2） ＝﹣2÷（﹣2）+4﹣5 ＝1+4﹣5 ＝0． 2. 计算： （1）+﹣； （2）|1﹣|﹣+． 解：（1）+﹣ ＝0.2+（﹣2）﹣ ＝0.2﹣2﹣ ＝﹣2.3； （2）|1﹣|﹣+ ＝﹣1﹣2+3 ＝． 直击考点 1．下列计算结果正确的是（　A　） A． B．＝±6 C． D． 2．下列运算正确的是（　C　） A．＝±2 B． C．＝﹣2 D．﹣|﹣2|＝2 3．计算的结果是（　C　） A．0 B．16 C．12 D．4 4．下列运算正确的是（　D　） A． B． C． D． 5．计算﹣﹣|﹣3|的结果是（　D　） A．﹣1 B．5 C．1 D．﹣5 6．下列运算中，正确的是（　C　） A．＝2 B．＝﹣2 C．|3﹣|＝﹣3 D．＝3 7．计算﹣﹣的结果为（　B　） A．4 B．﹣4 C．10 D．﹣10 8．的值是 　-10　． 9．计算：＝　-3　． 10．计算下列各式的值： （1）； （2）． 解：（1） ＝2﹣3+9 ＝8； （2） ＝﹣9+3﹣+2 ＝﹣6． 11．计算： （1）； （2）（精确到0.01）．（，π≈3.1415926…） 解：（1）原式＝﹣+＝0； （2）原式． 12．计算题 （1）； （2）（精确到0.01）． 解：（1）原式＝2＝； （2）原式＝＝≈1.732+1.414≈3.15． $ 第3章 实数 （学生版） 姓名：__________ 章节故事 故事一： 公元前5世纪左右，在古希腊哲学家和数学家毕达哥拉斯的领导下，成立了一个秘密会社，也就是后人所称的毕达哥拉斯学派。这个学派的基本信条是“万物皆数”。他们所说的“数”仅指整数，分数被看做两个整数之比。 当时该学派的成员希帕索斯（Hippasus，公元前470年左右）发现了一个既不是整数，又不是整数之比的数，即边长为1的正方形的对角线的长度。这一发现动摇了毕达哥拉斯学派的基本信条，引起数学史上第一次基础理论的危机。希帕索斯因此成了毕达哥拉斯学派的“叛逆者”，被投入大海。 在此后的2000多年里，人们对无理数进行了孜孜不倦的探索，直到19世纪才真正地对无理数有了一个全面的认识。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。 “有理数”和“无理数”两名词都是由英文翻译过来的。有理数一词的英文是“rational number”，其中“rational”有两层含义：一是“比率”，二是“合理”。从数学含义来说应该取前者，所以有理数实际上应该是“比数”，而无理数“irrational number”应该是“非比数”。但由于当初分别译成了“有理数”和“无理数”，而且大家经过长期使用也习惯了，所以沿用至今。 故事二： 跳伞运动员跳离飞机，在打开降落伞前，下降的高度d（米）和下降的时间 t（秒）之间有关系式d=5×t²（不计空气阻力）. 你能算出跳伞运动员在打开降落伞前下降875米所需要的时间吗？ 当你站在h千米高处时，你能看到的最远距离d可表示为千米. 上海金茂大厦观光厅高340米，人站在观光厅里能看多远？ 本章将学习平方根、立方根、实数及其运算. 实数的引入，使我们进入了一个更广阔的数的世界. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 学科网（北京）股份有限公司 第01讲 平方根 概念引入 👉 平方根 1. 平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根，也叫做二次方根. 2. 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 3. 求一个数的平方根的运算叫做开平方。开平方是平方运算的逆运算. 4. 平方根的表示方法：一个正数a，表示a的正平方根，表示a的负平方根 一个正数a的平方根就用表示，其中a叫做被开方数. ⚔牛刀小试 1. 下列各式的平方根 ①36 ② ③ ④0.01 2. 求下列各数的平方根． （1）25 （2） （3） （4）|﹣5| 👉 算术平方根 算术平方根：正数的正平方根称为算术平方根. 0的算术平方根是0. ⚔牛刀小试 1. 求下列各数的算术平方根． （1）0.0016 （2）（﹣5）2 （3） （4） 2. 求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 直击考点 1．0.64的平方根是（　　） A．0.8 B．±0.8 C．0.08 D．±0.08 2．2的平方根是（　　） A． B．﹣ C．± D．4 3．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．a的算术平方根是4，那么a的值是（　　） A．8 B．16 C．2 D．±2 5．下列说法正确的是（　　） A．0的平方根是0 B．1的平方根是1 C．﹣1的平方根是﹣1 D．0.1的算术平方根是0.01 6．下列说法不正确的是（　　） A．3是9的算术平方根 B．是的一个平方根 C．（﹣4）2的平方根是﹣4 D．（﹣2）2的平方根是±2 7．式子表示（　　） A．﹣4的算术平方根 B．8的算术平方根 C．16的平方根 D．16的算术平方根 8．的平方根是　 　． 9．已知某数的一个平方根是，那么这个数是　　，它的另一个平方根是　 　． 10．的平方根是 　　，的算术平方根是 　　． 11．先说出下列各式中的被开方数，再判断各式的结果正确与否，并把不正确的改正过来． （1）； （2）﹣＝3； （3）； （4）±＝±3． 12.求下列各数的平方根： （1）121；（2）0.01；（3）2； （4）（﹣13）2；（5）﹣（﹣4）3． 第02讲 实数 概念引入 👉 实数 1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数. 2. 实数：有理数和无理数统称实数. 3. 按实数的定义分类： 根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数 4. 实数与数轴上的点一一对应： 5. 有理数的大小比较法则也适用于实数 （1）正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数， （2）数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大． （3）差值比较法：设a，b是任意实数，则a－b＞0⇔a>b；a－b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b． ⚔牛刀小试 1. 在实数0，3.14159，，，，，，，0.中，其中 　　是有理数，　　是无理数． 2. 请把这些数填入相应的集合中： 5.2，0，，227，+（﹣4），﹣2，﹣0.030030003…，0.666… （1）有理数集合：{　 　…}； （2）分数集合：{　 　…}． （3）非负整数集合：{　 　…}； （4）无理数集合：{　 　…}． 3. 的相反数是　 　　；1﹣π的绝对值是　 　　． 4. 在下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣3与 B．|﹣3|与﹣ C．|﹣|与﹣ D．3与 5. 比较大小：π　　3.14，﹣　　﹣，2 　　． 直击考点 1．下列各数是无理数的是（　　） A．﹣2.5 B． C．π D． 2．下列四个数中，不是无理数的是（　　） A．Π B．0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0） C． D． 3．下列四个数中，属于有理数的是（　　） A．2022 B． C．π D． 4．的绝对值是（　　） A． B． C． D． 5．点A表示的数为﹣，下列在数轴上画出点A的位置，正确的是（　　） A．B．C．D． 6．在﹣1，π，﹣，3.14四个数中，最小的数是（　　） A．﹣1 B．π C．﹣ D．3.14 7．实数﹣2，，0，﹣5中绝对值最大的数是（　　） A．﹣2 B． C．0 D．﹣5 8．写出一个小于﹣3的负无理数 　 　． 9．﹣的相反数是 　　，的相反数是 　　，﹣绝对值是 　　． 10．把下列各数写入相应的集合中：﹣，，0.3，，，﹣7.，﹣3.14152，0，，，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1 ） 有理数集合{　 　…}； 无理数集合{　 　…}； 正实数集合{　 　…}； 负实数集合{　 　…}． 第03讲 立方根 概念引入 👉 立方根 1. 立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也叫做三次方根，记做 其中a是被开方数，3是根指数，符号“”读做“三次根号”. 2. 开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。 3. 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0. ⚔牛刀小试 1. 求下列各数的立方根 （1）729 （2）﹣4（3）﹣（4）（﹣5）3 2. 求下列各数的立方根． （1）0.001； （2）10﹣6； （3）8000； （4）﹣． 直击考点 1．的立方根为（　　） A． B． C． D． 2．﹣8的立方根是（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．﹣512 3．一个正方体的体积为V，它的棱长是（　　） A．V的平方 B．V的平方根 C．V的立方 D．V的立方根 4．计算正确的是（　　） A．＝±2 B．＝3 C．＝﹣2 D．±＝±4 5．下列说法正确的是（　　） A．﹣1是1的平方根 B．﹣1是1的算术平方根 C．﹣1是1的立方根 D．﹣1没有立方根 6．下列结论正确的是（　　） A．9的平方根是3 B．＝±4 C．＝﹣1 D．±2是8的立方根 7．216的立方根是 　　． 8．（1）＝　　；（2）丨﹣丨＝　　；（3）＝　　；（4）＝　　． 9．化简：＝　　；±＝　　；＝　　． 第04讲 实数的运算 概念引入 👉 实数的运算 实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的，同级运算应从左到右依次进行． ⚔牛刀小试 1. 计算． （1）||++2； （2）． 2. 计算： （1）+﹣； （2）|1﹣|﹣+． 直击考点 1．下列计算结果正确的是（　　） A． B．＝±6 C． D． 2．下列运算正确的是（　　） A．＝±2 B． C．＝﹣2 D．﹣|﹣2|＝2 3．计算的结果是（　　） A．0 B．16 C．12 D．4 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．计算﹣﹣|﹣3|的结果是（　　） A．﹣1 B．5 C．1 D．﹣5 6．下列运算中，正确的是（　　） A．＝2 B．＝﹣2 C．|3﹣|＝﹣3 D．＝3 7．计算﹣﹣的结果为（　　） A．4 B．﹣4 C．10 D．﹣10 8．的值是 　　． 9．计算：＝　　． 10．计算下列各式的值： （1） （2） 11．计算： （1） （2）（精确到0.01）（，π≈3.1415926…） 12．计算题 （1） （2）（精确到0.01） $