第3章 实数（高效培优单元测试·提升卷）数学浙教版2024七年级上册

第三章 实数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在实数中，最大的数是（   ） A． B． C． D．3 2．如图，数轴上表示实数的点可能是（    ） A．点P B．点Q C．点R D．点S 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．有一个数值转换器，计算程序如图所示，当输入的x为16时，则输出的y的值是（   ） A．4 B． C． D． 5．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、．若B、C两点之间的距离为，则A、C两点之间的距离为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 6．球从空中落到地面所用的时间（秒）和球的起始高度（米）之间有关系式，若球的起始高度为米，则球落地所用时间与下列最接近的是（   ） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 7．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B．5 C． D．25 8．如图，在数轴上，与之间的整数一共有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 9．如图，以单位长度为边长画一个正方形，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数1和2，以表示数1的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点，，设点，表示的数为，，则以下说法正确的是（   ） A． B．表示数的点在线段上 C．是无理数 D．是有理数 10．用表示不超过的最大整数，例如：，则的值为（   ） A． B．21 C． D．22 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．化简： ． 12．我国古代数学家祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为，张衡将圆周率取值为，比较大小： （填“”“”或“”）． 13．的算术平方根是 ． 14．如图，正方形的面积为3，点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点（点在点的右侧），则点所表示的数为 ． 15．已知，则的平方根是 ． 16．我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：．华罗庚是按照下面的方法算出的：由，，从而确定是两位数，由的个位上的数是，所以能确定的个位上的数是，如果划去后面的三位得到数，而，，由此就能确定的十位上的数是，所以的立方根是．模仿华罗庚的方法，请确定的立方根是 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1)； (2) 18．（8分）已知的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 19．（8分）阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式： ①__________，__________， ②__________，__________． (2)运用（1）中的结果可以得到：；，通过计算，我们可以发现__________． (3)通过（1）（2），完成下列问题： ①化简：__________． ②计算：__________． ③化简：的结果是__________． 20．（8分）如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积和边长； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点A与重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数． 21．（10分）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法：因为，所以　　　　，所以　　　(填“”或“”)； 小英的方法：，因为，所以 0，所以　　　　0，所以 　　　　 (填“”或“”)． (1)将上述材料补充完整； (2)请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 22．（10分）如图，小正方形的边长为1个单位长度，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线的长为半径画圆，交数轴于两点． (1)写出点表示的数； (2)将点沿数轴向右移动两个单位长度得到点，求的长； (3)在（2）的情况下，若点是线段的中点，求点表示的数以及线段的长． 23．（10分）阅读与理解 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分是2，小数部分是 根据以上内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为______． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的相反数． 24．（10分）数感和量感都是“数”的表达，二者密切相关，相互依存． 问题情境：有多大呢？教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图②，可以求出大正方形的边长为； (1)探究过程：因为，所以．设，将边长为的正方形分成如图①所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到0.001），即≈_________． (2)黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面探究“有多大呢？”的过程，请你写出探究“有多大”的过程，然后计算出黄金分割数的近似值．（结果均保留到0.001） (3)怎样画出？ 现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图③，类比图①的方法，请你在图③中用实线把它们分割，然后在图④中拼接成一个新的大正方形．要求：在图③中画出分割线，并在正方形网格图④中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 实数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在实数中，最大的数是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较方法即可得出答案，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴最大的数是， 故选：A． 2．如图，数轴上表示实数的点可能是（    ） A．点P B．点Q C．点R D．点S 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算方法（利用完全平方数比较）和数轴上点与实数的一一对应关系，解题的关键是通过找出与14相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，再匹配数轴上各点的区间． 先找出小于 14 和大于14的最近完全平方数：，；由可得，即；结合数轴上点的区间确定表示的点为R． 【详解】解：∵，，且 ∴，即； 又∵数轴上点P在1～2之间，点Q在2～3之间，点R在3～4之间，点S在4～5之间， ∴表示的点是点 R， 故选：C． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根和立方根的定义．熟练掌握定义是解答的关键． 根据算术平方根和立方根的定义求解即可． 【详解】A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意． 故选：D． 4．有一个数值转换器，计算程序如图所示，当输入的x为16时，则输出的y的值是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，有理数，无理数的定义．根据数值转换器，输入进行计算即可． 【详解】解：第1次计算得：，而4是有理数， 第2次计算得：，而2是有理数， 第3次计算得：，是无理数， 故输出的y的值是， 故选：D． 5．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、．若B、C两点之间的距离为，则A、C两点之间的距离为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题主要考查了数轴上两点间的距离，先得到点C表示的数，然后分情况求出长解答即可． 【详解】解：由题意可知点C表示的数为或， 或．   故选：D． 6．球从空中落到地面所用的时间（秒）和球的起始高度（米）之间有关系式，若球的起始高度为米，则球落地所用时间与下列最接近的是（   ） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，掌握估算的方法是解决问题的关键．将代入公式计算，然后用平方法估算即可． 【详解】解：将代入得：， ∵， ∴， ∴所用时间与4秒最接近． 故选：B． 7．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B．5 C． D．25 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的性质． 根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解n的值，再代入任一平方根表达式计算m即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得： ∴m的值为： 故选：D． 8．如图，在数轴上，与之间的整数一共有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算能力，运用算术平方根的知识进行估算、求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴与之间的整数是， 即与之间的整数一共有6个， 故选：B． 9．如图，以单位长度为边长画一个正方形，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数1和2，以表示数1的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点，，设点，表示的数为，，则以下说法正确的是（   ） A． B．表示数的点在线段上 C．是无理数 D．是有理数 【答案】B 【分析】此题考查了实数在数轴的上表示方法，首先求出正方形对角线的长度，然后得出，，逐一判断即可，解题的关键是根据题意求出正方形对角线的长度． 【详解】解：由题意可得：正方形的对角线长为， ∴，，故A选项不符合题意； ∵， ∴表示数的点在线段上，故B选项符合题意； ∵， ∴是有理数，故C选项不符合题意； ∵， ∴是无理数，故D选项不符合题意； 故选：B． 10．用表示不超过的最大整数，例如：，则的值为（   ） A． B．21 C． D．22 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算，的大小，然后根据已知条件中的新定义，求出所求代数式中带有根号的数的近似值，然后再代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴表示不超过x的最大整数， ∴， ， ， ...， ， ∴ ， 故选：C． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，绝对值的定义，解题的关键是掌握无理数的估算．先求出，再根据绝对值的定义即可求解． 【详解】解： ， ， , ， 故答案为：． 12．我国古代数学家祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为，张衡将圆周率取值为，比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】分别计算和的近似值，再比较大小．本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握无理数的近似值计算是解题的关键． 【详解】解：，，因为， 所以． 故答案为：． 13．的算术平方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 14．如图，正方形的面积为3，点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点（点在点的右侧），则点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键；根据算术平方根的概念可求，再根据数轴上距离的概念可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ； ∵以A点为圆心，为半径，和数轴交于E点， ； ∴点E所表示的数为， 故答案为：． 15．已知，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b、c的值，代入所求代数式计算即可． 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．还考查了平方根的定义．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， 即， 解得， ∴， ∵4的平方根是， ∴的平方根是． 故答案为：． 16．我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：．华罗庚是按照下面的方法算出的：由，，从而确定是两位数，由的个位上的数是，所以能确定的个位上的数是，如果划去后面的三位得到数，而，，由此就能确定的十位上的数是，所以的立方根是．模仿华罗庚的方法，请确定的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数的立方根，理解一个数的立方根的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解本题的关键．根据例题的方法求解即可． 【详解】解： ，， 是两位数， 又只有个位上是的数的立方的个位上的数是， 的个位上的数是， 如果划去后面的三位得到，而，， 十位上的数是， 的立方根是， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先开方，再进行加减运算即可； （2）先去绝对值，进行开方运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． 18．（8分）已知的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查平方根，立方根，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据平方根定义，立方根定义列得，，即可求出，，的值； （2）先求出的值，再利用平方根定义求出答案即可． 【详解】（1）解：依题意得， 解得         故 ∴， 解得 由题意， 解得； （2）∵， ，6的平方根为 ， 所以的平方根为． 19．（8分）阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式： ①__________，__________， ②__________，__________． (2)运用（1）中的结果可以得到：；，通过计算，我们可以发现__________． (3)通过（1）（2），完成下列问题： ①化简：__________． ②计算：__________． ③化简：的结果是__________． 【答案】(1)①，；②， (2) (3)①；②；③ 【分析】本题考查算术平方根的计算，读懂题意，理解题中新的运算公式，掌握运算法则是解决问题的关键． （1）由算术平方根的定义计算即可得到答案； （2）根据规律总结即可得答案； （3）由（2）中直接计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①，， ②，． 故答案为：①，；②， （2）解：∵；， ∴通过计算，我们可以发现． 故答案为： （3）解：①． ②． ③． 故答案为：①；②；③． 20．（8分）如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积和边长； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点A与重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数． 【答案】(1)这个魔方的棱长为4 (2)阴影部分的边长为，阴影部分的面积为8 (3)点D在数轴上所表示的数为 【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线的长，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）用点A表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）解：． 答：这个魔方的棱长为4； （2）解：∵魔方的棱长为4， ∴每个小立方体的棱长为2， 阴影部分面积为：； 则阴影部分的边长为． （3）解：由（2）得， 则D在数轴上表示的数为． 21．（10分）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法：因为，所以　　　　，所以　　　(填“”或“”)； 小英的方法：，因为，所以 0，所以　　　　0，所以 　　　　 (填“”或“”)． (1)将上述材料补充完整； (2)请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据算术平方根的定义以及实数的大小比较方法解答即可； （2）采取（1）中相同的方法解答即可． 【详解】（1）解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以； （2）解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以． 22．（10分）如图，小正方形的边长为1个单位长度，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线的长为半径画圆，交数轴于两点． (1)写出点表示的数； (2)将点沿数轴向右移动两个单位长度得到点，求的长； (3)在（2）的情况下，若点是线段的中点，求点表示的数以及线段的长． 【答案】(1)点表示的数为和 (2) (3)点表示的数为，线段的长为 【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，平方根的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再由表示出点表示的数； （2）先求出点表示的数，再由数轴上两点距离公式求解； （3）根据点是线段的中点，得到，则，即可求出，再由数轴上两点距离公式求解． 【详解】（1）解：如图，，那么4个一样的等腰直角三角形拼成一个面积为的正方形，如图： ∴， ∴（舍负）， ∴， ∴点表示的数为和； （2）解：由题意得点表示的数为， ∴； （3）解：设点表示的数为 ∵点是线段的中点， ∴， ∴， 解得， ∴． ∴点表示的数为，线段的长为． 23．（10分）阅读与理解 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分是2，小数部分是 根据以上内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为______． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，相反数，掌握“逐步逼近”的方法是解题的关键． （1）根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案； （2）根据，可求得a值，根据，可求得b值，代入即可求解； （3）根据，，其中x是整数，且，可求得，，代入，即可求解． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是5， 的小数部分为， 故答案为：； （2）解：，即， 而a是的小数部分 ，∴． 又，即， 而b是的整数部分， ， ∴； （3）解：，其中x是整数，且， ，， 的相反数． 24．（10分）数感和量感都是“数”的表达，二者密切相关，相互依存． 问题情境：有多大呢？教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图②，可以求出大正方形的边长为； (1)探究过程：因为，所以．设，将边长为的正方形分成如图①所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到0.001），即≈_________． (2)黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面探究“有多大呢？”的过程，请你写出探究“有多大”的过程，然后计算出黄金分割数的近似值．（结果均保留到0.001） (3)怎样画出？ 现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图③，类比图①的方法，请你在图③中用实线把它们分割，然后在图④中拼接成一个新的大正方形．要求：在图③中画出分割线，并在正方形网格图④中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为． 【答案】(1)1.414 (2)见解析， (3)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，算术平方根等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据题意由正方形的面积可得出答案； （2）由（1）的方法可得出答案； （3）由题意画出图形即可． 【详解】（1）解：． 解方程得（保留到0.001）， 即． 故答案为：1.414； （2）解：∵， ∴， 设，画出示意图， 由面积公式，可得． 因为x值很小， 所以更小，略去， 解方程得（保留到0.001）， 即． ∴黄金分割数． （3）解：如图，即为所求 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $