2026年湖北省部分重点高中高一下学期末考试数学试卷

高一数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.若z(1+i)=i2(i为虚数单位)，则复数z的虚部是() A.1+i 2 B月 c D. 2.已知角a的终边过点P(-3,4),则sin2a=( 7 A.25 24 c. D.- 4 25 5 3.已知平面，B和直线L,n,下列结论正确的是() A.a⊥B,ca,则⊥B B.a⊥B,⊥B,m文a,则//a C./1n,/1a,n/1B,则a/1B D.若n与是异面直线，nc,cB,则a/1B 4.孝感红茶是国家地理标志产品，是全发酵工夫红茶，泡茶时讲 究高冲低斟、均分茶汤.茶壶聚香锁味，小杯小口品茶，一壶 分多杯是工夫茶“分茶奉客、礼敬宾朋”的习俗.如图，一把 圆台形茶壶，上口半径4cm,下口半径6cm,高12cm;配套 圆柱形品茗杯，底面半径2cm,高5cm.装满一壶茶水，最多 能倒满()杯. A.13 B.14 C.15 D.16 5.已知平行四边形ABCD的三个顶点B、C、D的坐标分别是(-1,3)、3,4)、(2,2).那么AC 在AB上的投影向量是( ) 5533 A. 3434 (n5 c(传 D. 6. 已知o>0,在函数y=sinr与y=cosr的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 √3，则w的值为() A.π B. 2 C.2 1 D. 第1页共4页 7.享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地 处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名 闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度OP,他选取 459A 了与该楼底部O在同一水平面内三个共线的测量基点A, B B,C,分别测得塔顶P点的仰角为45°，60°，45°，且 AB=2BC=60m,示意图如图，则该楼高OP=() A.30v2m B.60m C.30m D.303m AC 8. 已知店1c,园-t,C}若点P是△4BC所在平面内一点，且亚-2 AB AC 则PB.PC的最大值为() A.13 B.5-22 C.5-26 D.10+2W2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.有A,B,C三种个体按3：1：2的比例分层随机抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则 样本容量为30 B.数据0,1,2,2,3,4的极差与众数之和为6 C.一组数据5,6,4,2,8，在这组数据中插入一个数5，方差变大 D.数据1,3,5,6,8,9,11,16的上四分位数是10 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若A=30°，b=5,a=2,则△ABC有两解 C.若d=b+c3,则△ABC是锐角三角形 D.若a=b cosAcosBcosC,则A4BC一定是等边三角形 11.已知正三棱柱ABC-AB,C1的高为4，且有内切球O(球O位于三棱柱的内部且与各个面有 且只有一个公共点)，若过O,A,B三点的平面截该三棱柱所得截面为，则() A.AB=6 B.平面OAB⊥平面OAB1 C.截面是等腰梯形 D.该三棱柱被截面α分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为 4 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.如图，水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图为直角梯形OABC,已知 OA=2BC=6,OC=3,则原四边形OABC的面积为 A 13.己知函数f(x)=sin(r+p)(o∈N,0≤p<2π)，f(x)是奇函数且在0,5 单调递减，则 2 0= 14.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形 内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了 解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为 费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知 识解决下面问题：己知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 cos 2B+cos 2C-cos24=1,= ·若点P为△ABC的费马点，bc=12, 则PA.PB+PB.PC+PC.PA= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.(本小题13分) 某校A虹社团组织全校学生参加A虹伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习 人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的AI技术传播者，竞赛分为初赛和决赛两个环 节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按50,60)， [60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图. 频率阻距个 0.035 0.030 0.010 0.005- 0V3060708090100分数 (1)求图中的x值，并估计考核得分的第70百分位数： (2)己知落在[80,90]内的平均成绩是85分，方差是6，[90100]内的平均成绩是97分，方 差是4，求两组成绩合并后的平均数z和方差s2. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、s2；、x,、s,记两组 数据总体的样本平均数为p,则总体样本方差=心 m+n [+-可+区-] 第3页共4页 16.(本小题15分) 在复平面内，0是坐标原点，向量OZ,0Z)对应的复数分别为z1=1-V3i,z2-3+ai(a∈R). (I)互的对应点在第四象限，求实数a的取值范围； D (2)当OZ1OZ时，以分别为正四棱柱ABCD-AB,CD B D 底面棱长和侧棱长，E,F分别是BC,DC的中点，求异面直线AD与 EF所成角的余弦值. 17.(本小题15分) 行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是维空间中，一个线性变 换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等.把符 号 a b a b c d 称为二阶行列式，规定它的运算法则为 c d =ad-bc,己知函数 sinx sinx-cosx f(x)= sinx+cosx 2v3 cosx (1)当x∈[0，兀时，求f(x)的单调递增区间； (2)若对任意的x0引，[/(-2)-a=0部有解，求实数a的取值范围。 18.(本小题17分) 在△4BC中，角4B,C所对边分别为ab,c,且满足cos4-a sinB√3b (1)求角A的大小： (2)若D是线段BC的中点，且a=2,AD=√2，求S△4BC: (3》若△1BC为锐角三角形，4=2，求2-c的取值范围. 19.(本小题17分) 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，直线PC⊥平面ABC.其中 AB=4,PC=2,AC=23. (1)求证：BC⊥平面PAC; (2)求二面角B-PA-C的余弦值： (3)M为PC上的动点，以AM为直径作球O,设CM=x(0≤x≤2)， δ 若球O被平面PAB截得的截面圆的面积为S,求S的最小值. 第4页共4页 晴作各题日的答题《域内件容，想出滥色师形边心限定人域的客案效 晴在各题H的答延区煤叫作青，超出黑色更孔边私限定《域的答素无效 §·i 解答题 16.(本小题15分) 15.(本小题13分) 顿率组距↑ D 0.033 贴条形码区 0.030 准考证号引 B 填涂样例 D 贴缺考标识 0.010 正崎璃涂■ 等生装填山脑考老地填型☐圆 0.005* 0和市090100分数 意土这样脑多源能用28阳笔精律：手海得超品润纯理部平笔填明笔齐影1字体丁数，笔诗请是； 事生请转里可响年直格到性的理低收内外特，国由游绿风或邦可的将重儿蜂：直该址食，争纳面上普雄L业 选择题 6灯面四四 3四国四回 7国国四回 11a回▣回 4四国四回 8国面四回 请在各日的风内作，出色形女限定区域的室无效 填空题 12. 13 请勿在此区域内作答 诗在各题日的容题区域内作爷，超出黑色卸形边框鬼定区线的容老无效 诗在各题日的答题区城内作答，细出黑色拒形边延服定区城的答案无效 诗在各赠目的答区城内作若，超出色矩形边限定区域的若案无效 ”S乙口1+t2t ■ 一B 0r□□ 情在各题日的格则⅓城内作爷，灿出里色郑形边版限定仪域的荐率无效 端在各题日的喜德K城内作荐：烟出黑色知形边板限定风域的将来九效 睛在各思目的答题K城内作将，型出型色郑形边配限定区城的答素大效 17.(本小题15分) 18.(本小题17分) 19.(本小题17分) M 请在各题目的若题区城内作容，超出盟色形边形定区域的答案无效 请在各题日的答题区城内作答，出黑色形边限定区城的答案无效 请在各题日的答题区城内作答，出色矩形边服定区城的答案无效 ■ ”Si▣2丰，↑2+ ■ 高一数学参考答案 题号 1 3 4 6 7 P 9 10 11 答案 C D B C A D B BD ACD BCD 1.答案：C 【详解】，放选C 2.答案：D 【详解】0P=5血a=号cosu=号m2u=2 sin@.coa= 4 3 24 25 3.答案：B 【详解】依据线线、线面、面面的平行与垂直判断. 4.答案：C 【详解】金-有×12x6+4P+4xd小-301xm2 V杯=元×22×5=20mm3,304元÷20元=15.2故最多能倒满15杯. 5.答案：C 【详解】设顶点A的坐标为(xy),A正，A分别是(-1-x,3-y),(3-x,4-y) 因为四边形ABCD为平行四边形，D的坐标是(2,2)， 所以AB=DC,即(-1-x,3-y)=(1,2), [-1-x=1 x=-2 所以3-y-2,解得 y=1 所以顶点A的坐标为（-2,1)所以AB=1,2),AC=(5,3), x+3-1+2 (或者由AC与BD中点重合得{ 2 2 x=-2 y+43+2解得 y=1 2= 2 所以AC在正上的投影向量 号传别 AB 6.答案：A 【详解】方法一：函数y=sin ax与y=COS的周期T=2元 在同一个平面直角坐标系中作出正余弦函数的图象，结合图象可知 图)+6-k洞T=2w救途：A 第1页共8页 方法二：由s血a=c0sx,得tana饭=L低=正+kr,X=交+k红k∈Z 4o40 取k=0,1得A πV 4’2 （)+-,得T=2,m=x故选：A 7.答案：D 【详解】设OP=h,由在点A,B,C处分别测得塔顶P点的仰角为45°，60°，45°， 则oA=h,DB=y5,0C=h, 3 12+302-h2 在AOBC,由余弦定理知cos∠OBC= 2x30x h, 3 12+602-2 在AOBA中，由余弦定理知cos∠OBA= 2×60× h, 3 因为A,B,C三点共线.所以∠OBC+∠OBA=180°， R+302-2+602- 则 2 +31 h 一=0.解得h=30√3，故选D. -×30 2× -×60 3 8答案：B 【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P(x,y), 则4o,0.t,olc0}f>o,. P吸c=4-2-15-+大5-25. 当且仅当21-即？-5时等号成立.故B心的最大值为5-2万赦选B t 2 9答案：BD 【详解】A样本容量为9÷318，故A错误： 6 B.数据0,1,2,2,3,4的极差是4，众数是2，所以极差与众数之和为6，故B正确： 第2页共8页 C.这组数据，插入数据5前后平均数都是5 插入数据前 7=5-5P+6-52+4-52+2=5P+8-5 二4 5 插入数据后，分子不变，分母变大方差变小，C错误 此时255P+6-5P+4-5P+2-5P+8-5P+55》9 6 对于D,8×759%=6,所以上四分位数为9+11=10，D正确 2 10.答案：ACD 【详解】对于A,在△ABC中，若A>B,则a>b,结合正弦定理可得sinA>sinB,故A正确； mA6m8-b1-1, 对于B选项，根据正弦定理=b a4 此时△ABC无解，故B选项错误： b 对于C选项，若a3=b3+c3,所以a>b,a>c,所以0<6<1,0<<1， -6e导可日八目1伯食 即b2+c a? ->1, 整理得b+c2>a2,所以cosA=6+c2-a2 >0,可知A为锐角， 2bc 因为△ABC中，α为最大边，角A是最大角，所以△ABC是锐角三角形，故C正确. sin A sin B sin C 对于D:若 cosco8C,则6O18分0C,所以1m4m分=mC,则 a b A=B=C,故△ABC是等边三角形，故D正确. 11.答案：BCD 【详解】对于选项A,如图，取上底面，下底面的中心分别为O1,O2, 取AB,AB1的中点M,N,取MN中点I, N O B M 0---- 于是四边形O1O,MN为矩形，则OO=OO,=OI=2, 于是OM=2,CM=6,则AB=6÷%=4V3,A错误 第3页共8页 对于选项B,由于AB∥A1B1,且ABC平面OAB,A1B1文平面OAB,则A1B1∥平面OAB, 又因为AB1c平面OAB1,平面OA1B1∩平面OAB=1,则1∥AB∥A1B1, 如图，连接OM,ON,由于OM⊥AB,ON⊥A1B1,则1⊥OM,1⊥ON, 则∠MON为平面OAB与平面OA1B1所成的角的平面角， 由于OM=ON=2W2,MN=4,则oM2+ON2-N2,MOW= 于是平面OAB⊥平面OA1B1,故B正确： 对于选项C,如图，连接MO,交NC1于H,过点H作AB的平行线交A1C1,B1C1于E,F, 由于△HO10∽MO3O,则O1H=C1H=O1N=2,则H为C1N上靠近C1的三等分点， 于是B7=4B-45,由于MH上AB,M为AB中点，H为Br中点， 33 则四边形ABFE为等腰梯形，故C正确； 对于选项D,由于正三角形AC1EF与正三角形△CAB相似，三条侧棱延长相交于一点计为点P, 1 F是CPE3CP=6,RcB=27p-C8R3×6x,x43x6=243 26x24N5 VC.BR-CAB= V小= 26×24W3 2 13 而三棱柱的体积y=4×x43×6=85,于是安5一26x24W34一 2 27 故D正确 12.答案：27√2 【#解】方法：063号.9a-子25=25 2 方法二：利用斜二测画法还原平面图形，可得OB=3√2×2=6√2，BC=3,OA=6, 第4页共8页 :SOABC 2}=n5 13.答案：1 【详解】由f(c)=sin(ar+)为奇函数，f(0)=0,sinp=0,∴.p=kπ，keZ 又0∈N,0≤<2π所以p=0或π， 肖=0时，fW)=snr,在0】 不可能单调递减 当=天时，网=-sm做若0=0在0，到不单调，若0=1符合，若0220cZ,)-m你在 (0,不单调0=1 2 14容案：习 -4w3 【详解】由cos2B+cos2C-cos2A=1得1-2sin2B+1-2sim2C-1+2sin2A=1 即sim2A=sin2B+sim2C,即a2=b2+c2,设2A=x,PB=,PC=z 8e=ao-e-G如+*96，wtg+a-45 1 2 2 2 PA.PB+PB.PC+PC.PA=-43 15.【详解】(1)依题意10×(0.005+x+0.035+0.030+0.010)=1得x=0.020 2分 设第70百分位数为y,由于低于80分的频率为0.6，低于90分的频率为0.9， .80<y<90 3分 y=80+10×07-06-250-83 0.9-0.63 (或0.6+0.03×0-80)=0.7，y=250) 3 注：结果写成y≈83.3不扣分 6分 (2)[80,90]与[90,100]的频率之比为3：1 :=3×85+97=88 9分 2-6+8-8s)]+4+o7-8]-3x15+85- 4 .13分 16【i详解11)三--33-m)_B-5a65+a z2(3+m3-m) 3分 9+a 3-V5a>0 则 -33+ao ,得-33<a<5 6分 (2)0z10z=3-V3a=0,a=3,l=2,=23 8分 连接BD,B1D1,AB1,可得EFI∥BD∥B1D1, 第5页共8页 ∴∠ADB1为异面直线AD1与EF所成的角（或其补角） 10分 4B=4D=2.44=213,4B|=4D=4.BD=2V2 c0s∠AD1B1= 2+25-42V2 14分 2×4×2W2 4 异面直线A0,与即所成的角的余弦值为 .15分 sinx 17.【详解】(1)fx)= sinx-cosx 2v3 cosx =23 cos x sinx -(sinx-cosx)sin x+cosx) sinx+cosx -5am2x-c02x-2m2x+引 3分 由-T+2kπ≤2x+元s行+2kπ，-+k标5xs+kπ， 62 3 6 又e取小所8以单调地区阿足®[行 .6分 (2)令t=fw-22+君， 则-1≤t≤2， 2 。.7分 由xe0引时、F-2因-a=0有解，即有f-z=a在[L2有解， 10分 因为t2-2t=t-1)2-1在[11]上单调递减，在1,2]上单调递增， 故当t=1时，t2-2t取最小值-1：当t=-1时，t2-2t取最大值3，即-1≤t2-2t≤3， 14分 因为t2-2t=a有解，所以实数a的取值范围为1,3 15分 18【详解】(1)由正弦定理osA4-simA simB√3b√3sinB ..tan =3, 又0<A<元，A= 3 4分 (2)依题意AD AB+AC 2 即1k2+bc+b）=2, 化简得b?+bc+c2=8① 7分 又由余弦定理知b2+c2-bc=4② 第6页共8页 两式相减得bc=2, .SMBC =bcsin4-V3 10分 2 (3)解由正弦定理，mB-sim2C_41-c0s2B_1-cos2C sin?A 3 2 2 c9m-29m2+到 2 13分 0<B< 2 0<2红-B< E<B<I 6 2 .14分 3 2<2B+匹<4π 331 即b2-c 的取值范围是（1,1) 17分 19.【详解】(1)因AB是圆O的直径，则BC⊥AC, 因PC⊥平面ABC,BCC平面ABC,则PC⊥BC, 又PC∩AC=C,ACC平面PAC,故BC⊥平面PAC. 4分 (2)过点C作CH⊥PA于点H,连接BH, 5分 由(1)BC⊥平面PAC,PAC平面PAC,则BC⊥PA, 因BC∩CH=C,BC,CHC平面BCH,故PA⊥平面BCH, 又BHc平面BCH,则PA⊥BH, 即∠BHC即二面角B-PA-C的平面角， 7分 因为BC=V42-25}=2,在R4CP中，2A=V22+23}=4,由面积相等可得 CH=2x25-5,则朋=2+5=万， 4 第7页共8页 则cos∠BHC= CH 321 BH√77 .9分 所以二面角B-2A-C的余弦值为 10分 (3)因CM=x(0≤x≤2)，则AM=√x2+12, 则球O1的半径为R= V2+12, 设点O1到平面PAB的距离为d,则点M到平面PAB的距离为2d.…11分 2 在aPAB中，AB=4,PA=4,PB=2√2，由余弦定理，cs∠PHB=16+16-8_3 2×4×441 则血∠8-，则5m合44-25，w2取--5取-. 4 由wa=s-可得：×27x2a-×2x5配-x. 3 解得d=52-。 2W7 14分 设球O与平面PAB相交得到的截面圆半径为”， 则，2=0M2-d2=+1232-刘2=42+12x+72_+3x+18 428 28 则S=m2=(2+3x+18, 因0三x≤2，对称轴=子<0，放当=0时，及 18π 7 .17分 第8页共8页高一数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.若z(1+i)=i2(i为虚数单位)，则复数z的虚部是() A.1+i 2 B月 c D. 2.已知角a的终边过点P(-3,4),则sin2a=( 7 A.25 24 c. D.- 4 25 5 3.已知平面，B和直线L,n,下列结论正确的是() A.a⊥B,ca,则⊥B B.a⊥B,⊥B,m文a,则//a C./1n,/1a,n/1B,则a/1B D.若n与是异面直线，nc,cB,则a/1B 4.孝感红茶是国家地理标志产品，是全发酵工夫红茶，泡茶时讲 究高冲低斟、均分茶汤.茶壶聚香锁味，小杯小口品茶，一壶 分多杯是工夫茶“分茶奉客、礼敬宾朋”的习俗.如图，一把 圆台形茶壶，上口半径4cm,下口半径6cm,高12cm;配套 圆柱形品茗杯，底面半径2cm,高5cm.装满一壶茶水，最多 能倒满()杯. A.13 B.14 C.15 D.16 5.已知平行四边形ABCD的三个顶点B、C、D的坐标分别是(-1,3)、3,4)、(2,2).那么AC 在AB上的投影向量是( ) 5533 A. 3434 (n5 c(传 D. 6. 已知o>0,在函数y=sinr与y=cosr的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 √3，则w的值为() A.π B. 2 C.2 1 D. 第1页共4页 7.享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地 处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名 闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度OP,他选取 459A 了与该楼底部O在同一水平面内三个共线的测量基点A, B B,C,分别测得塔顶P点的仰角为45°，60°，45°，且 AB=2BC=60m,示意图如图，则该楼高OP=() A.30v2m B.60m C.30m D.303m AC 8. 已知店1c,园-t,C}若点P是△4BC所在平面内一点，且亚-2 AB AC 则PB.PC的最大值为() A.13 B.5-22 C.5-26 D.10+2W2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.有A,B,C三种个体按3：1：2的比例分层随机抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则 样本容量为30 B.数据0,1,2,2,3,4的极差与众数之和为6 C.一组数据5,6,4,2,8，在这组数据中插入一个数5，方差变大 D.数据1,3,5,6,8,9,11,16的上四分位数是10 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若A=30°，b=5,a=2,则△ABC有两解 C.若d=b+c3,则△ABC是锐角三角形 D.若a=b cosAcosBcosC,则A4BC一定是等边三角形 11.已知正三棱柱ABC-AB,C1的高为4，且有内切球O(球O位于三棱柱的内部且与各个面有 且只有一个公共点)，若过O,A,B三点的平面截该三棱柱所得截面为，则() A.AB=6 B.平面OAB⊥平面OAB1 C.截面是等腰梯形 D.该三棱柱被截面α分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为 4 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.如图，水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图为直角梯形OABC,已知 OA=2BC=6,OC=3,则原四边形OABC的面积为 A 13.己知函数f(x)=sin(r+p)(o∈N,0≤p<2π)，f(x)是奇函数且在0,5 单调递减，则 2 0= 14.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形 内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了 解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为 费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知 识解决下面问题：己知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 cos 2B+cos 2C-cos24=1,= ·若点P为△ABC的费马点，bc=12, 则PA.PB+PB.PC+PC.PA= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.(本小题13分) 某校A虹社团组织全校学生参加A虹伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习 人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的AI技术传播者，竞赛分为初赛和决赛两个环 节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按50,60)， [60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图. 频率阻距个 0.035 0.030 0.010 0.005- 0V3060708090100分数 (1)求图中的x值，并估计考核得分的第70百分位数： (2)己知落在[80,90]内的平均成绩是85分，方差是6，[90100]内的平均成绩是97分，方 差是4，求两组成绩合并后的平均数z和方差s2. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、s2；、x,、s,记两组 数据总体的样本平均数为p,则总体样本方差=心 m+n [+-可+区-] 第3页共4页 16.(本小题15分) 在复平面内，0是坐标原点，向量OZ,0Z)对应的复数分别为z1=1-V3i,z2-3+ai(a∈R). (I)互的对应点在第四象限，求实数a的取值范围； D (2)当OZ1OZ时，以分别为正四棱柱ABCD-AB,CD B D 底面棱长和侧棱长，E,F分别是BC,DC的中点，求异面直线AD与 EF所成角的余弦值. 17.(本小题15分) 行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是维空间中，一个线性变 换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等.把符 号 a b a b c d 称为二阶行列式，规定它的运算法则为 c d =ad-bc,己知函数 sinx sinx-cosx f(x)= sinx+cosx 2v3 cosx (1)当x∈[0，兀时，求f(x)的单调递增区间； (2)若对任意的x0引，[/(-2)-a=0部有解，求实数a的取值范围。 18.(本小题17分) 在△4BC中，角4B,C所对边分别为ab,c,且满足cos4-a sinB√3b (1)求角A的大小： (2)若D是线段BC的中点，且a=2,AD=√2，求S△4BC: (3》若△1BC为锐角三角形，4=2，求2-c的取值范围. 19.(本小题17分) 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，直线PC⊥平面ABC.其中 AB=4,PC=2,AC=23. (1)求证：BC⊥平面PAC; (2)求二面角B-PA-C的余弦值： (3)M为PC上的动点，以AM为直径作球O,设CM=x(0≤x≤2)， δ 若球O被平面PAB截得的截面圆的面积为S,求S的最小值. 第4页共4页高一数学参考答案 题号 1 3 3 4 5 6 > 8 9 10 11 答案 C 0 B C A 0 B BD ACD BCD 1.答案：C 【详解1生，故选c 2.答案：D 【详解】OP=5,sin a= 5,cosa=-3 sin 2u=2sin a.cosa- 24 25 3.答案：B 【详解】依据线线、线面、面面的平行与垂直判断 4.答案：C 【详解】r金×12x6+42+4x304m V杯=π×22×5=20mm3,304π÷20元=15.2故最多能倒满15杯. 5.答案：C 【详解】设顶点A的坐标为(xy),A正，Ac分别是(-1-x,3-),(3-x4-) 因为四边形ABCD为平行四边形，D的坐标是(2,2)， 所以AB=DC,即(-1-x,3-y)=(1,2), -1-x=1 所以 2x=-2 3-少=2·解得 y=1, 所以顶点A的坐标为(-2,1)所以A店=1,2)，AC=5,3), x+3-1+2 X=-2 (或者由AC与BD中点重合得 42解得) 2 2 -=2 所以AC在AB上的投影向量 c西西片×2)-（传号 AB 6.答案：A 【详解】方法一：函数y=sin cx与y=c0sox的周期T=2z 在同一个平面直角坐标系中作出正余弦函数的图象，结合图象可知 (写)（旷得72，a=灯放迹：A 第1页共8页 方法二：由sin=Cos OR,得tan an=lm=牙+kr,X=元+红kez 4 4040 取k=01得A 〔)+=得T=2,0=故选：A 7.答案：D 【详解】设OP=h,由在点A,B,C处分别测得塔顶P点的仰角为45°，60°，45°， 则oA=h,OB=V3h OC=h, 3 1h2+302-h2 在AOBC,由余弦定理知cos∠OBC= 2×30xh, 3 1h2+602-h2 在AOBA中，由余弦定理知cos∠OBA= 2x 60xh, 因为A,B,C三点共线.所以∠OBC+∠OBA=180°， R+302-1R+602-R 则 2x 3 一=0.解得h=30√5，故选D. ×30 :×60 3 √3 8.答案：B 【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P(x,), 则4ao,toq0}>o. 防-2-元-(2- PB.P元=4-2+1-=5-(2+k5-22, 当且仅当21-即1-5时等号成立.故之的最大值为5-2万放选B 2 9.答案：BD 【详解】A样本容量为9÷318，故A错误： 6 B.数据0,1,2,2,3,4的极差是4，众数是2，所以极差与众数之和为6，故B正确： 第2页共8页 C.这组数据，插入数据5前后平均数都是5 插入数据前 7-5-5P+6-5P+4-P+2-护+8-52-4 5 插入数据后，分子不变，分母变大方差变小，C错误 此时g2=55+6-5P+4-5P+2-5P+85P+5-9 6 过于D,8×75%=6,所以上四分位数为9十11=10，D正 10.答案：ACD 【详解】对于A,在△ABC中，若A>B,则a>b,结合正弦定理可得sinA>sinB,故A正确： m6m8-b如1-1， 对于B选项，根据正弦定理a=b」 a41 此时△ABC无解，故B选项错误： 对于C选项，若a=b+e3,所以a>b,a>c,所以0<b<1,0<￡<1， -6e年+可食-月伦月 即b+c2 a3>1, 整理得b2+c2>a2,所以cosA=+c2-a2 >0，可知A为锐角， 2bc 因为△ABC中，a为最大边，角A是最大角，所以△ABC是锐角三角形，故C正确. cosco8C,则oco8分C38,所以1mA=am8tmC,则 a b c sin A sin B sin C 对于D:若 A=B=C,故△ABC是等边三角形，故D正确. 11.答案：BCD 【详解】对于选项A,如图，取上底面，下底面的中心分别为O1,O2, 取AB,A1B1的中点M,,取MN中点I, 、0 于是四边形O1O3MN为矩形，则OO=OO,=OI=2, 于是0M=2,C1=6,则B=6÷545,A错关 第3页共8页 对于选项B,由于AB∥A1B1,且ABc平面OAB,AB1T平面OAB,则AB1∥平面OAB, 又因为A1B1C平面OA1B1,平面OA1B1∩平面OAB=1,则11∥AB∥A1B1, 如图，连接OM,ON由于OM⊥AB,ON⊥AB1,则1⊥OM,l⊥ON, 则∠MON为平面OAB与平面OA1B1所成的角的平面角， 由于OM=OW=2W2,MN=4,则oM2+ON2=MN2,∠MON= 于是平面OAB⊥平面OAB1,故B正确： 对于选项C,如图，连接MO,交NC1于H,过点H作AB的平行线交AC1,B1C1于E,F, 由于△HO1O∽MOO,则O1H=C1H=O1N=2,则H为C1N上靠近C1的三等分点， 于是EF=AB4V3 ,由于MH1AB,M为AB中点，H为EF中点， 33 则四边形ABFE为等腰梯形，故C正确： 对于选项D,由于正三角形△C1EF与正三角形△CAB相似，三条侧棱延长相交于一点计为点P, 1 于是CP=3CP=6,V2-caB=27WP-can=3×6xx4W3x6=24W3 2 26×245 VCBR-CAB= 26 V小 ×24v5 27 13 而三棱柱的体积y=4xx43x6=483，于是V大48526x2434 2 27 故D正确， 12.答案：27√2 2 ×22-275 【详解1方法一：S@ABc=2X3=2，.心OABC三X 方法二：利用斜二测画法还原平面图形，可得OB=3√2×2=6√2，BC=3,OA=6, 第4页共8页 3+6 :SOABC ×6W2=27W2 2 13.答案：1 【详解】由fx)=sin(ax+)为奇函数，f(0)=0,sinp=0,.p=kπ，k∈Z 又m∈N,0≤<2π所以p=0或π， π 当=0时，fd=s血x,在(02)不可能单调递减 当=天时，N=-mam若0=0在〔0到 不单调，若w=1符合，若0≥2,0∈Z,fx)=-sinm在 0,刀不单调0=1 ”2 14答案：2 -45 【详解】由cos2B+cos2C-cos2A=1得1-2sin2B+1-2sim2C-1+2sin2A=1 即sim2A=sin2B+sin2C,即a2=b2+c2,设PA=x,PB=y,PC=z e=%w+8ae+或g-侵+g小9-6，o+g+-5 2 2 2 即PA.PB+PB.PC+PC.PA=-4√5 15.【详解】(1)依题意10×(0.005+x+0.035+0.030+0.010)=1得x=0.020 2分 设第70百分位数为y,由于低于80分的频率为0.6，低于90分的频率为0.9， .80<y<90 3分 y=80+10× 07-0.6_250=83} 0.9-0.63 3 （或0.6+0.03×6y-80)=07,y=250) 注：结果写成y≈83.3不扣分 3 .6分 (2)[80,90]与[90,100]的频率之比为3：1 :5=3x85+97=88 9分 -5+6-5)]++o7-8]-3×15+85- 2 …13分 16【详解11)三-V53-m_自-6a65+a山 z23+m3-m) 3分 9+a 3-3a>0,得-33<a<5 则-3+ak0 .6分 (2)0z10z=3-V3a=0,a=V3,=2,2=2W3 8分 连接BD,B1D1,AB1,可得EF∥BD∥B1D1, 第5页共8页 .∠AD1B1为异面直线AD1与EF所成的角（或其补角） 10分 B=4D|=2144=213,4B1=4D=4.BD1=2V2 ∴cos∠AD,a=4+2-425 .14分 2×4×2W2 4 :异面直线AD,与Br所成的角的余弦值为 .15分 4 sinx 17.【详解】(1)fx)= sinx-cosx 2v3cosx =23cos xsinx-(sinx-cos x)(sin x+cosx) sinx+cosx 3 sin 2x+cos 2x-2sinx 3分 由-正+2kπ≤2x+严≤+2k元，-T+kr≤x≤+kr, 2 62 3 6 又：k小所以华词送期区同老0， 6分 (2)令1=f6-2sm2x+: 则-1≤t≤2， .7分 由xe[0引时，/-2f)-a=0有解，即有：-21=a在1]有解， 10分 因为t2-2t=t-1)2-1在[1,1]上单调递减，在1,2]上单调递增， 故当t=1时，t2-2t取最小值-1；当t=-1时，t2-2t取最大值3，即-1≤tP-2t≤3， 14分 因为-2t=a有解，所以实数a的取值范围为1,3 .15分 18.【详解】(1)由正弦定理0s4·- sin A simB√3b√3sinB .tan=3, 又0<A<元A= 3 4分 AB+AC (2)依题意AD 2 AB+AC 即2k2+bc+b2）-2. 化简得b2+bc+c2=8① 7分 又由余弦定理知b2+c2-bc=4② 第6页共8页 两式相减得bc=2, ..SMBC =bcsinAs V3 2 10分 3)解由正弦定理，如8snC{1-cs261-cos20 sin2A 2 6s20-628- os2B-cos 2B 0气3 2 3 .13分 0<B<交 2 0<2-B<5 2 .14分 3 2 2<2B+<4 33 即b2-c的取值范围是(1山) 17分 19.【详解】(1)因AB是圆O的直径，则BC⊥AC, 因PC⊥平面ABC,BCC平面ABC,则PC⊥BC, 又PC∩AC=C,ACC平面PAC,故BC⊥平面PAC. 4分 (2)过点C作CH⊥A于点H,连接BH, 5分 M 由(1)BC⊥平面PAC,Ac平面PAC,则BC⊥PA, 因BC∩CH=C,BC,CHc平面BCH,故PA⊥平面BCH, 又BHC平面BCH,则PA⊥BH, 即∠BHC即二面角B-A-C的平面角， 7分 因为BC=V42-23}=2,在R1CP中，2A=V22+25}=4,由面积相等可得 cH=2x25-5,则册=22+5d=万， 4 第7页共8页 则cos∠BHC= cH√3√21 BH√77 9分 所以二面角B-2A-C的余弦值为 个 .10分 (3)因CM=x(0≤x≤2)，则AM=√x2+12, 则球O1的半径为R= +12,设点O,到平面PAB的距离为d,则点M到平面PAB的距离为2d.1分 2 在△P1B中，AB=4,PA=4,PB=2,由余弦定理，cos∠P4B=16+16-8_3 2×4×44? 则m∠s-年，则方4492w5,w子2500-. 4 由阳=gw可得：x27×2d=×2x5-), 3 污功. 解得d= 14分 设球O1与平面PAB相交得到的截面圆半径为”， 则r2=0,M2-a2-412-3e-_42+12x+722+3x+18 428 28 则s=a2=62+3x+18), 18π 0≤x≤2，对称轴x=-<0,故当x三0时，Sm 7 .17分 第8页共8页高一数学参考答案 题号 1 3 4 6 7 P 9 10 11 答案 C D B C A D B BD ACD BCD 1.答案：C 【详解】，放选C 2.答案：D 【详解】0P=5血a=号cosu=号m2u=2 sin@.coa= 4 3 24 25 3.答案：B 【详解】依据线线、线面、面面的平行与垂直判断. 4.答案：C 【详解】金-有×12x6+4P+4xd小-301xm2 V杯=元×22×5=20mm3,304元÷20元=15.2故最多能倒满15杯. 5.答案：C 【详解】设顶点A的坐标为(xy),A正，A分别是(-1-x,3-y),(3-x,4-y) 因为四边形ABCD为平行四边形，D的坐标是(2,2)， 所以AB=DC,即(-1-x,3-y)=(1,2), [-1-x=1 x=-2 所以3-y-2,解得 y=1 所以顶点A的坐标为（-2,1)所以AB=1,2),AC=(5,3), x+3-1+2 (或者由AC与BD中点重合得{ 2 2 x=-2 y+43+2解得 y=1 2= 2 所以AC在正上的投影向量 号传别 AB 6.答案：A 【详解】方法一：函数y=sin ax与y=COS的周期T=2元 在同一个平面直角坐标系中作出正余弦函数的图象，结合图象可知 图)+6-k洞T=2w救途：A 第1页共8页 方法二：由s血a=c0sx,得tana饭=L低=正+kr,X=交+k红k∈Z 4o40 取k=0,1得A πV 4’2 （)+-,得T=2,m=x故选：A 7.答案：D 【详解】设OP=h,由在点A,B,C处分别测得塔顶P点的仰角为45°，60°，45°， 则oA=h,DB=y5,0C=h, 3 12+302-h2 在AOBC,由余弦定理知cos∠OBC= 2x30x h, 3 12+602-2 在AOBA中，由余弦定理知cos∠OBA= 2×60× h, 3 因为A,B,C三点共线.所以∠OBC+∠OBA=180°， R+302-2+602- 则 2 +31 h 一=0.解得h=30√3，故选D. -×30 2× -×60 3 8答案：B 【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P(x,y), 则4o,0.t,olc0}f>o,. P吸c=4-2-15-+大5-25. 当且仅当21-即？-5时等号成立.故B心的最大值为5-2万赦选B t 2 9答案：BD 【详解】A样本容量为9÷318，故A错误： 6 B.数据0,1,2,2,3,4的极差是4，众数是2，所以极差与众数之和为6，故B正确： 第2页共8页 C.这组数据，插入数据5前后平均数都是5 插入数据前 7=5-5P+6-52+4-52+2=5P+8-5 二4 5 插入数据后，分子不变，分母变大方差变小，C错误 此时255P+6-5P+4-5P+2-5P+8-5P+55》9 6 对于D,8×759%=6,所以上四分位数为9+11=10，D正确 2 10.答案：ACD 【详解】对于A,在△ABC中，若A>B,则a>b,结合正弦定理可得sinA>sinB,故A正确； mA6m8-b1-1, 对于B选项，根据正弦定理=b a4 此时△ABC无解，故B选项错误： b 对于C选项，若a3=b3+c3,所以a>b,a>c,所以0<6<1,0<<1， -6e导可日八目1伯食 即b2+c a? ->1, 整理得b+c2>a2,所以cosA=6+c2-a2 >0,可知A为锐角， 2bc 因为△ABC中，α为最大边，角A是最大角，所以△ABC是锐角三角形，故C正确. sin A sin B sin C 对于D:若 cosco8C,则6O18分0C,所以1m4m分=mC,则 a b A=B=C,故△ABC是等边三角形，故D正确. 11.答案：BCD 【详解】对于选项A,如图，取上底面，下底面的中心分别为O1,O2, 取AB,AB1的中点M,N,取MN中点I, N O B M 0---- 于是四边形O1O,MN为矩形，则OO=OO,=OI=2, 于是OM=2,CM=6,则AB=6÷%=4V3,A错误 第3页共8页 对于选项B,由于AB∥A1B1,且ABC平面OAB,A1B1文平面OAB,则A1B1∥平面OAB, 又因为AB1c平面OAB1,平面OA1B1∩平面OAB=1,则1∥AB∥A1B1, 如图，连接OM,ON,由于OM⊥AB,ON⊥A1B1,则1⊥OM,1⊥ON, 则∠MON为平面OAB与平面OA1B1所成的角的平面角， 由于OM=ON=2W2,MN=4,则oM2+ON2-N2,MOW= 于是平面OAB⊥平面OA1B1,故B正确： 对于选项C,如图，连接MO,交NC1于H,过点H作AB的平行线交A1C1,B1C1于E,F, 由于△HO10∽MO3O,则O1H=C1H=O1N=2,则H为C1N上靠近C1的三等分点， 于是B7=4B-45,由于MH上AB,M为AB中点，H为Br中点， 33 则四边形ABFE为等腰梯形，故C正确； 对于选项D,由于正三角形AC1EF与正三角形△CAB相似，三条侧棱延长相交于一点计为点P, 1 F是CPE3CP=6,RcB=27p-C8R3×6x,x43x6=243 26x24N5 VC.BR-CAB= V小= 26×24W3 2 13 而三棱柱的体积y=4×x43×6=85,于是安5一26x24W34一 2 27 故D正确 12.答案：27√2 【#解】方法：063号.9a-子25=25 2 方法二：利用斜二测画法还原平面图形，可得OB=3√2×2=6√2，BC=3,OA=6, 第4页共8页 :SOABC 2}=n5 13.答案：1 【详解】由f(c)=sin(ar+)为奇函数，f(0)=0,sinp=0,∴.p=kπ，keZ 又0∈N,0≤<2π所以p=0或π， 肖=0时，fW)=snr,在0】 不可能单调递减 当=天时，网=-sm做若0=0在0，到不单调，若0=1符合，若0220cZ,)-m你在 (0,不单调0=1 2 14容案：习 -4w3 【详解】由cos2B+cos2C-cos2A=1得1-2sin2B+1-2sim2C-1+2sin2A=1 即sim2A=sin2B+sim2C,即a2=b2+c2,设2A=x,PB=,PC=z 8e=ao-e-G如+*96，wtg+a-45 1 2 2 2 PA.PB+PB.PC+PC.PA=-43 15.【详解】(1)依题意10×(0.005+x+0.035+0.030+0.010)=1得x=0.020 2分 设第70百分位数为y,由于低于80分的频率为0.6，低于90分的频率为0.9， .80<y<90 3分 y=80+10×07-06-250-83 0.9-0.63 (或0.6+0.03×0-80)=0.7，y=250) 3 注：结果写成y≈83.3不扣分 6分 (2)[80,90]与[90,100]的频率之比为3：1 :=3×85+97=88 9分 2-6+8-8s)]+4+o7-8]-3x15+85- 4 .13分 16【i详解11)三--33-m)_B-5a65+a z2(3+m3-m) 3分 9+a 3-V5a>0 则 -33+ao ,得-33<a<5 6分 (2)0z10z=3-V3a=0,a=3,l=2,=23 8分 连接BD,B1D1,AB1,可得EFI∥BD∥B1D1, 第5页共8页 ∴∠ADB1为异面直线AD1与EF所成的角（或其补角） 10分 4B=4D=2.44=213,4B|=4D=4.BD=2V2 c0s∠AD1B1= 2+25-42V2 14分 2×4×2W2 4 异面直线A0,与即所成的角的余弦值为 .15分 sinx 17.【详解】(1)fx)= sinx-cosx 2v3 cosx =23 cos x sinx -(sinx-cosx)sin x+cosx) sinx+cosx -5am2x-c02x-2m2x+引 3分 由-T+2kπ≤2x+元s行+2kπ，-+k标5xs+kπ， 62 3 6 又e取小所8以单调地区阿足®[行 .6分 (2)令t=fw-22+君， 则-1≤t≤2， 2 。.7分 由xe0引时、F-2因-a=0有解，即有f-z=a在[L2有解， 10分 因为t2-2t=t-1)2-1在[11]上单调递减，在1,2]上单调递增， 故当t=1时，t2-2t取最小值-1：当t=-1时，t2-2t取最大值3，即-1≤t2-2t≤3， 14分 因为t2-2t=a有解，所以实数a的取值范围为1,3 15分 18【详解】(1)由正弦定理osA4-simA simB√3b√3sinB ..tan =3, 又0<A<元，A= 3 4分 (2)依题意AD AB+AC 2 即1k2+bc+b）=2, 化简得b?+bc+c2=8① 7分 又由余弦定理知b2+c2-bc=4② 第6页共8页 两式相减得bc=2, .SMBC =bcsin4-V3 10分 2 (3)解由正弦定理，mB-sim2C_41-c0s2B_1-cos2C sin?A 3 2 2 c9m-29m2+到 2 13分 0<B< 2 0<2红-B< E<B<I 6 2 .14分 3 2<2B+匹<4π 331 即b2-c 的取值范围是（1,1) 17分 19.【详解】(1)因AB是圆O的直径，则BC⊥AC, 因PC⊥平面ABC,BCC平面ABC,则PC⊥BC, 又PC∩AC=C,ACC平面PAC,故BC⊥平面PAC. 4分 (2)过点C作CH⊥PA于点H,连接BH, 5分 由(1)BC⊥平面PAC,PAC平面PAC,则BC⊥PA, 因BC∩CH=C,BC,CHC平面BCH,故PA⊥平面BCH, 又BHc平面BCH,则PA⊥BH, 即∠BHC即二面角B-PA-C的平面角， 7分 因为BC=V42-25}=2,在R4CP中，2A=V22+23}=4,由面积相等可得 CH=2x25-5,则朋=2+5=万， 4 第7页共8页 则cos∠BHC= CH 321 BH√77 .9分 所以二面角B-2A-C的余弦值为 10分 (3)因CM=x(0≤x≤2)，则AM=√x2+12, 则球O1的半径为R= V2+12, 设点O1到平面PAB的距离为d,则点M到平面PAB的距离为2d.…11分 2 在aPAB中，AB=4,PA=4,PB=2√2，由余弦定理，cs∠PHB=16+16-8_3 2×4×441 则血∠8-，则5m合44-25，w2取--5取-. 4 由wa=s-可得：×27x2a-×2x5配-x. 3 解得d=52-。 2W7 14分 设球O与平面PAB相交得到的截面圆半径为”， 则，2=0M2-d2=+1232-刘2=42+12x+72_+3x+18 428 28 则S=m2=(2+3x+18, 因0三x≤2，对称轴=子<0，放当=0时，及 18π 7 .17分 第8页共8页高一数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.若z(1+i)=i2(i为虚数单位)，则复数z的虚部是() A.-l+i 2 B. c 2.已知角a的终边过点P(-3,4),则sin2a=() 7 B.-25 7 A.25 c 24 25 D. 4 25 3.已知平面，B和直线，n,下列结论正确的是() A.a⊥B,c&,则⊥B B.a⊥B,m⊥B,文&，则m//a C.//n,/1,n/1B,则a/1B D.若n与是异面直线，nc,mcB,则a/IB 4.孝感红茶是国家地理标志产品，是全发酵工夫红茶.泡茶时讲 究高冲低斟、均分茶汤.茶壶聚香锁味，小杯小口品茶，一壶 分多杯是工夫茶“分茶奉客、礼敬宾朋”的习俗.如图，一把 圆台形茶壶，上口半径4cm,下口半径6cm,高12cm;配套 圆柱形品茗杯，底面半径2cm,高5cm.装满一壶茶水，最多 能倒满()杯 A.13 B.14 C.15 D.16 5.己知平行四边形ABCD的三个顶点B、C、D的坐标分别是(-1,3)、3,4)、(2,2).那么AC 在AB上的投影向量是() 5533 11V522W5 A. 34’34 55 D. 6. 已知o>0,在函数y=sinr与y=COS QX的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 √5，则ω的值为() A.兀 B. 2 C.2 D. 第1页共4页 7.享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地 处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名 闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度OP,他选取 459M 了与该楼底部O在同一水平面内三个共线的测量基点A, 602 85 B,C,分别测得塔顶P点的仰角为45°，60°，45°，且 AB=2BC=60m,示意图如图，则该楼高OP=() A.30v2m B.60m C.30m D.30v3m 8. 已知西上AC,网，aC}若点P是△4BC所在平面内一点，且亚=2西+C 则PB.PC的最大值为() A.13 B.5-2W2 C.5-2v6 D.10+2√2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列说法正确的是() A.有A,B,C三种个体按3：1：2的比例分层随机抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则 样本容量为30 B.数据0,1,2,2,3,4的极差与众数之和为6 C.一组数据5,6,4,2,8，在这组数据中插入一个数5，方差变大 D.数据1,3,5,6,8,9,11,16的上四分位数是10 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若A=30°，b=5,a=2,则△ABC有两解 C.若a=b3+c3,则△ABC是锐角三角形 D.若a=bc cosAcosBcosC,则AABC一定是等边三角形 11.已知正三棱柱ABC-AB,C1的高为4，且有内切球O(球O位于三棱柱的内部且与各个面有 且只有一个公共点)，若过O,A,B三点的平面截该三棱柱所得截面为，则() A.AB=6 B.平面OAB⊥平面OAB, C.截面a是等腰梯形 D.该三棱柱被截面α分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为 14 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.如图，水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图为直角梯形OAB'C,，已知 OA=2BC=6,OC=3,则原四边形OABC的面积为 A 13.己知函数f(x)=sin(ar+p)(oeN,0≤p<2π)，f(x)是奇函数且在 0, 单调递减，则 2 0= 14.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形 内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了 解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为 费马点：当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知 识解决下面问题：己知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 cos 2B+cos 2C-cos24=1,= 若点P为△ABC的费马点，bC=12, 则PA.PB+PB.PC+PC.PA= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分) 某校A虹社团组织全校学生参加A虹伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习 人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的AI技术传播者，竞赛分为初赛和决赛两个环 节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按50,60)， [60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图. 频率/组距 0.035 0.030 0.010 0.005 0V3060708090100分数 (1)求图中的x值，并估计考核得分的第70百分位数： (2)己知落在[80,90]内的平均成绩是85分，方差是6，[90100]内的平均成绩是97分，方 差是4，求两组成绩合并后的平均数z和方差s2. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为加、s;、x、s好，记两组 数据总体的样本平均数为P,则总体样本方差=川 m+n [+-]n+-月] 第3页共4页 16.(本小题15分) 在复平面内，O是坐标原点，向量OZ,OZ)对应的复数分别为z1=1-V3i,3=3+i(a∈R). (1)互的对应点在第四象限，求实数a的取值范围： D (2)当OZ1oZ时，以，国分别为正四棱柱ABCD-AB,CD :B ‘D 底面棱长和侧棱长，E,F分别是BC,DC的中点，求异面直线AD与 EF所成角的余弦值. 17.(本小题15分) 行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是维空间中，一个线性变 换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等.把符 号 a b a b c d 称为二阶行列式，规定它的运算法测为 c d =ad-bc.已知函数 sinx sinx-cosx f(x)= sinx+cosx 2√5cosx (1)当x∈[0，时，求f(x)的单调递增区间； (2)若对任意的xe0引，[了-2)-a=0都有解，求实数a的取值范围. 18.(本小题17分) 在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c，且满足 cosA a imB√3b' (1)求角A的大小： (2)若D是线段BC的中点，且a=2,AD=√2，求S△4BC: (3》若△ABC为能角三角形，4=2，求-=。的取值范围。 a 19.(本小题17分) 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，直线PC⊥平面ABC.其中 AB=4,PC=2,AC=2. (1)求证：BC⊥平面PAC: (2)求二面角B-PA-C的余弦值： (3)M为PC上的动点，以AM为直径作球O,设CM=x(0≤x≤2)， 若球O被平面PAB截得的截面圆的面积为S,求S的最小值. 第4页共4页高一数学参考答案 题号 1 3 4 6 7 P 9 10 11 答案 C D B C A D B BD ACD BCD 1.答案：C 【详解】，放选C 2.答案：D 【详解】0P=5血a=号cosu=号m2u=2 sin@.coa= 4 3 24 25 3.答案：B 【详解】依据线线、线面、面面的平行与垂直判断. 4.答案：C 【详解】金-有×12x6+4P+4xd小-301xm2 V杯=元×22×5=20mm3,304元÷20元=15.2故最多能倒满15杯. 5.答案：C 【详解】设顶点A的坐标为(xy),A正，A分别是(-1-x,3-y),(3-x,4-y) 因为四边形ABCD为平行四边形，D的坐标是(2,2)， 所以AB=DC,即(-1-x,3-y)=(1,2), [-1-x=1 x=-2 所以3-y-2,解得 y=1 所以顶点A的坐标为（-2,1)所以AB=1,2),AC=(5,3), x+3-1+2 (或者由AC与BD中点重合得{ 2 2 x=-2 y+43+2解得 y=1 2= 2 所以AC在正上的投影向量 号传别 AB 6.答案：A 【详解】方法一：函数y=sin ax与y=COS的周期T=2元 在同一个平面直角坐标系中作出正余弦函数的图象，结合图象可知 图)+6-k洞T=2w救途：A 第1页共8页 方法二：由s血a=c0sx,得tana饭=L低=正+kr,X=交+k红k∈Z 4o40 取k=0,1得A πV 4’2 （)+-,得T=2,m=x故选：A 7.答案：D 【详解】设OP=h,由在点A,B,C处分别测得塔顶P点的仰角为45°，60°，45°， 则oA=h,DB=y5,0C=h, 3 12+302-h2 在AOBC,由余弦定理知cos∠OBC= 2x30x h, 3 12+602-2 在AOBA中，由余弦定理知cos∠OBA= 2×60× h, 3 因为A,B,C三点共线.所以∠OBC+∠OBA=180°， R+302-2+602- 则 2 +31 h 一=0.解得h=30√3，故选D. -×30 2× -×60 3 8答案：B 【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P(x,y), 则4o,0.t,olc0}f>o,. P吸c=4-2-15-+大5-25. 当且仅当21-即？-5时等号成立.故B心的最大值为5-2万赦选B t 2 9答案：BD 【详解】A样本容量为9÷318，故A错误： 6 B.数据0,1,2,2,3,4的极差是4，众数是2，所以极差与众数之和为6，故B正确： 第2页共8页 C.这组数据，插入数据5前后平均数都是5 插入数据前 7=5-5P+6-52+4-52+2=5P+8-5 二4 5 插入数据后，分子不变，分母变大方差变小，C错误 此时255P+6-5P+4-5P+2-5P+8-5P+55》9 6 对于D,8×759%=6,所以上四分位数为9+11=10，D正确 2 10.答案：ACD 【详解】对于A,在△ABC中，若A>B,则a>b,结合正弦定理可得sinA>sinB,故A正确； mA6m8-b1-1, 对于B选项，根据正弦定理=b a4 此时△ABC无解，故B选项错误： b 对于C选项，若a3=b3+c3,所以a>b,a>c,所以0<6<1,0<<1， -6e导可日八目1伯食 即b2+c a? ->1, 整理得b+c2>a2,所以cosA=6+c2-a2 >0,可知A为锐角， 2bc 因为△ABC中，α为最大边，角A是最大角，所以△ABC是锐角三角形，故C正确. sin A sin B sin C 对于D:若 cosco8C,则6O18分0C,所以1m4m分=mC,则 a b A=B=C,故△ABC是等边三角形，故D正确. 11.答案：BCD 【详解】对于选项A,如图，取上底面，下底面的中心分别为O1,O2, 取AB,AB1的中点M,N,取MN中点I, N O B M 0---- 于是四边形O1O,MN为矩形，则OO=OO,=OI=2, 于是OM=2,CM=6,则AB=6÷%=4V3,A错误 第3页共8页 对于选项B,由于AB∥A1B1,且ABC平面OAB,A1B1文平面OAB,则A1B1∥平面OAB, 又因为AB1c平面OAB1,平面OA1B1∩平面OAB=1,则1∥AB∥A1B1, 如图，连接OM,ON,由于OM⊥AB,ON⊥A1B1,则1⊥OM,1⊥ON, 则∠MON为平面OAB与平面OA1B1所成的角的平面角， 由于OM=ON=2W2,MN=4,则oM2+ON2-N2,MOW= 于是平面OAB⊥平面OA1B1,故B正确： 对于选项C,如图，连接MO,交NC1于H,过点H作AB的平行线交A1C1,B1C1于E,F, 由于△HO10∽MO3O,则O1H=C1H=O1N=2,则H为C1N上靠近C1的三等分点， 于是B7=4B-45,由于MH上AB,M为AB中点，H为Br中点， 33 则四边形ABFE为等腰梯形，故C正确； 对于选项D,由于正三角形AC1EF与正三角形△CAB相似，三条侧棱延长相交于一点计为点P, 1 F是CPE3CP=6,RcB=27p-C8R3×6x,x43x6=243 26x24N5 VC.BR-CAB= V小= 26×24W3 2 13 而三棱柱的体积y=4×x43×6=85,于是安5一26x24W34一 2 27 故D正确 12.答案：27√2 【#解】方法：063号.9a-子25=25 2 方法二：利用斜二测画法还原平面图形，可得OB=3√2×2=6√2，BC=3,OA=6, 第4页共8页 :SOABC 2}=n5 13.答案：1 【详解】由f(c)=sin(ar+)为奇函数，f(0)=0,sinp=0,∴.p=kπ，keZ 又0∈N,0≤<2π所以p=0或π， 肖=0时，fW)=snr,在0】 不可能单调递减 当=天时，网=-sm做若0=0在0，到不单调，若0=1符合，若0220cZ,)-m你在 (0,不单调0=1 2 14容案：习 -4w3 【详解】由cos2B+cos2C-cos2A=1得1-2sin2B+1-2sim2C-1+2sin2A=1 即sim2A=sin2B+sim2C,即a2=b2+c2,设2A=x,PB=,PC=z 8e=ao-e-G如+*96，wtg+a-45 1 2 2 2 PA.PB+PB.PC+PC.PA=-43 15.【详解】(1)依题意10×(0.005+x+0.035+0.030+0.010)=1得x=0.020 2分 设第70百分位数为y,由于低于80分的频率为0.6，低于90分的频率为0.9， .80<y<90 3分 y=80+10×07-06-250-83 0.9-0.63 (或0.6+0.03×0-80)=0.7，y=250) 3 注：结果写成y≈83.3不扣分 6分 (2)[80,90]与[90,100]的频率之比为3：1 :=3×85+97=88 9分 2-6+8-8s)]+4+o7-8]-3x15+85- 4 .13分 16【i详解11)三--33-m)_B-5a65+a z2(3+m3-m) 3分 9+a 3-V5a>0 则 -33+ao ,得-33<a<5 6分 (2)0z10z=3-V3a=0,a=3,l=2,=23 8分 连接BD,B1D1,AB1,可得EFI∥BD∥B1D1, 第5页共8页 ∴∠ADB1为异面直线AD1与EF所成的角（或其补角） 10分 4B=4D=2.44=213,4B|=4D=4.BD=2V2 c0s∠AD1B1= 2+25-42V2 14分 2×4×2W2 4 异面直线A0,与即所成的角的余弦值为 .15分 sinx 17.【详解】(1)fx)= sinx-cosx 2v3 cosx =23 cos x sinx -(sinx-cosx)sin x+cosx) sinx+cosx -5am2x-c02x-2m2x+引 3分 由-T+2kπ≤2x+元s行+2kπ，-+k标5xs+kπ， 62 3 6 又e取小所8以单调地区阿足®[行 .6分 (2)令t=fw-22+君， 则-1≤t≤2， 2 。.7分 由xe0引时、F-2因-a=0有解，即有f-z=a在[L2有解， 10分 因为t2-2t=t-1)2-1在[11]上单调递减，在1,2]上单调递增， 故当t=1时，t2-2t取最小值-1：当t=-1时，t2-2t取最大值3，即-1≤t2-2t≤3， 14分 因为t2-2t=a有解，所以实数a的取值范围为1,3 15分 18【详解】(1)由正弦定理osA4-simA simB√3b√3sinB ..tan =3, 又0<A<元，A= 3 4分 (2)依题意AD AB+AC 2 即1k2+bc+b）=2, 化简得b?+bc+c2=8① 7分 又由余弦定理知b2+c2-bc=4② 第6页共8页 两式相减得bc=2, .SMBC =bcsin4-V3 10分 2 (3)解由正弦定理，mB-sim2C_41-c0s2B_1-cos2C sin?A 3 2 2 c9m-29m2+到 2 13分 0<B< 2 0<2红-B< E<B<I 6 2 .14分 3 2<2B+匹<4π 331 即b2-c 的取值范围是（1,1) 17分 19.【详解】(1)因AB是圆O的直径，则BC⊥AC, 因PC⊥平面ABC,BCC平面ABC,则PC⊥BC, 又PC∩AC=C,ACC平面PAC,故BC⊥平面PAC. 4分 (2)过点C作CH⊥PA于点H,连接BH, 5分 由(1)BC⊥平面PAC,PAC平面PAC,则BC⊥PA, 因BC∩CH=C,BC,CHC平面BCH,故PA⊥平面BCH, 又BHc平面BCH,则PA⊥BH, 即∠BHC即二面角B-PA-C的平面角， 7分 因为BC=V42-25}=2,在R4CP中，2A=V22+23}=4,由面积相等可得 CH=2x25-5,则朋=2+5=万， 4 第7页共8页 则cos∠BHC= CH 321 BH√77 .9分 所以二面角B-2A-C的余弦值为 10分 (3)因CM=x(0≤x≤2)，则AM=√x2+12, 则球O1的半径为R= V2+12, 设点O1到平面PAB的距离为d,则点M到平面PAB的距离为2d.…11分 2 在aPAB中，AB=4,PA=4,PB=2√2，由余弦定理，cs∠PHB=16+16-8_3 2×4×441 则血∠8-，则5m合44-25，w2取--5取-. 4 由wa=s-可得：×27x2a-×2x5配-x. 3 解得d=52-。 2W7 14分 设球O与平面PAB相交得到的截面圆半径为”， 则，2=0M2-d2=+1232-刘2=42+12x+72_+3x+18 428 28 则S=m2=(2+3x+18, 因0三x≤2，对称轴=子<0，放当=0时，及 18π 7 .17分 第8页共8页姓 贴条形码区 准考证号 填涂样例 贴缺考标识 正确填涂 考生禁填！由监考老师填写。☐ 注1，答题前，考生先将自已的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定的位置贴好条形码 意2，选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用签字笔或钢笔答题：字体工整、笔迹清楚。 事3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在试题卷，草稿纸上答题无效。 项4保特卡面清清，不要折叠，不要弄破。考试结束后，请将答题卡，试题卷一并上交. 选择题 1ABCD可 5A)B☐GD☐ 9AB☐CD回 2A)B☐C☒D 6AIB☐CD 10囚®C回 3AB D 7 [A][B [C][D 11 [A][B]C][D 4ABC D 8ABC☒D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 填空题 12. 13. 14 请勿在此区域内作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 解答题 15.(本小题13分) 频率组距 0.035 0.030 心 0.010 0.005 √506070800100分数 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 。 §乙a1丰mt2t 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题15分) D C A B F D C ② A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 一B 0.》” 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 S乙a2tmt2+ 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效高一数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.若z(1+i)=i2(i为虚数单位)，则复数z的虚部是() A.-l+i 2 B. c 2.已知角a的终边过点P(-3,4),则sin2a=() 7 B.-25 7 A.25 c 24 25 D. 4 25 3.已知平面，B和直线，n,下列结论正确的是() A.a⊥B,c&,则⊥B B.a⊥B,m⊥B,文&，则m//a C.//n,/1,n/1B,则a/1B D.若n与是异面直线，nc,mcB,则a/IB 4.孝感红茶是国家地理标志产品，是全发酵工夫红茶.泡茶时讲 究高冲低斟、均分茶汤.茶壶聚香锁味，小杯小口品茶，一壶 分多杯是工夫茶“分茶奉客、礼敬宾朋”的习俗.如图，一把 圆台形茶壶，上口半径4cm,下口半径6cm,高12cm;配套 圆柱形品茗杯，底面半径2cm,高5cm.装满一壶茶水，最多 能倒满()杯 A.13 B.14 C.15 D.16 5.己知平行四边形ABCD的三个顶点B、C、D的坐标分别是(-1,3)、3,4)、(2,2).那么AC 在AB上的投影向量是() 5533 11V522W5 A. 34’34 55 D. 6. 已知o>0,在函数y=sinr与y=COS QX的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 √5，则ω的值为() A.兀 B. 2 C.2 D. 第1页共4页 7.享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地 处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名 闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度OP,他选取 459M 了与该楼底部O在同一水平面内三个共线的测量基点A, 602 85 B,C,分别测得塔顶P点的仰角为45°，60°，45°，且 AB=2BC=60m,示意图如图，则该楼高OP=() A.30v2m B.60m C.30m D.30v3m 8. 已知西上AC,网，aC}若点P是△4BC所在平面内一点，且亚=2西+C 则PB.PC的最大值为() A.13 B.5-2W2 C.5-2v6 D.10+2√2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列说法正确的是() A.有A,B,C三种个体按3：1：2的比例分层随机抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则 样本容量为30 B.数据0,1,2,2,3,4的极差与众数之和为6 C.一组数据5,6,4,2,8，在这组数据中插入一个数5，方差变大 D.数据1,3,5,6,8,9,11,16的上四分位数是10 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若A=30°，b=5,a=2,则△ABC有两解 C.若a=b3+c3,则△ABC是锐角三角形 D.若a=bc cosAcosBcosC,则AABC一定是等边三角形 11.已知正三棱柱ABC-AB,C1的高为4，且有内切球O(球O位于三棱柱的内部且与各个面有 且只有一个公共点)，若过O,A,B三点的平面截该三棱柱所得截面为，则() A.AB=6 B.平面OAB⊥平面OAB, C.截面a是等腰梯形 D.该三棱柱被截面α分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为 14 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.如图，水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图为直角梯形OAB'C,，已知 OA=2BC=6,OC=3,则原四边形OABC的面积为 A 13.己知函数f(x)=sin(ar+p)(oeN,0≤p<2π)，f(x)是奇函数且在 0, 单调递减，则 2 0= 14.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形 内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了 解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为 费马点：当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知 识解决下面问题：己知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 cos 2B+cos 2C-cos24=1,= 若点P为△ABC的费马点，bC=12, 则PA.PB+PB.PC+PC.PA= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分) 某校A虹社团组织全校学生参加A虹伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习 人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的AI技术传播者，竞赛分为初赛和决赛两个环 节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按50,60)， [60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图. 频率/组距 0.035 0.030 0.010 0.005 0V3060708090100分数 (1)求图中的x值，并估计考核得分的第70百分位数： (2)己知落在[80,90]内的平均成绩是85分，方差是6，[90100]内的平均成绩是97分，方 差是4，求两组成绩合并后的平均数z和方差s2. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为加、s;、x、s好，记两组 数据总体的样本平均数为P,则总体样本方差=川 m+n [+-]n+-月] 第3页共4页 16.(本小题15分) 在复平面内，O是坐标原点，向量OZ,OZ)对应的复数分别为z1=1-V3i,3=3+i(a∈R). (1)互的对应点在第四象限，求实数a的取值范围： D (2)当OZ1oZ时，以，国分别为正四棱柱ABCD-AB,CD :B ‘D 底面棱长和侧棱长，E,F分别是BC,DC的中点，求异面直线AD与 EF所成角的余弦值. 17.(本小题15分) 行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是维空间中，一个线性变 换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等.把符 号 a b a b c d 称为二阶行列式，规定它的运算法测为 c d =ad-bc.已知函数 sinx sinx-cosx f(x)= sinx+cosx 2√5cosx (1)当x∈[0，时，求f(x)的单调递增区间； (2)若对任意的xe0引，[了-2)-a=0都有解，求实数a的取值范围. 18.(本小题17分) 在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c，且满足 cosA a imB√3b' (1)求角A的大小： (2)若D是线段BC的中点，且a=2,AD=√2，求S△4BC: (3》若△ABC为能角三角形，4=2，求-=。的取值范围。 a 19.(本小题17分) 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，直线PC⊥平面ABC.其中 AB=4,PC=2,AC=2. (1)求证：BC⊥平面PAC: (2)求二面角B-PA-C的余弦值： (3)M为PC上的动点，以AM为直径作球O,设CM=x(0≤x≤2)， 若球O被平面PAB截得的截面圆的面积为S,求S的最小值. 第4页共4页 高一数学参考答案 题号 1 3 3 4 5 6 > 8 9 10 11 答案 C 0 B C A 0 B BD ACD BCD 1.答案：C 【详解1生，故选c 2.答案：D 【详解】OP=5,sin a= 5,cosa=-3 sin 2u=2sin a.cosa- 24 25 3.答案：B 【详解】依据线线、线面、面面的平行与垂直判断 4.答案：C 【详解】r金×12x6+42+4x304m V杯=π×22×5=20mm3,304π÷20元=15.2故最多能倒满15杯. 5.答案：C 【详解】设顶点A的坐标为(xy),A正，Ac分别是(-1-x,3-),(3-x4-) 因为四边形ABCD为平行四边形，D的坐标是(2,2)， 所以AB=DC,即(-1-x,3-y)=(1,2), -1-x=1 所以 2x=-2 3-少=2·解得 y=1, 所以顶点A的坐标为(-2,1)所以A店=1,2)，AC=5,3), x+3-1+2 X=-2 (或者由AC与BD中点重合得 42解得) 2 2 -=2 所以AC在AB上的投影向量 c西西片×2)-（传号 AB 6.答案：A 【详解】方法一：函数y=sin cx与y=c0sox的周期T=2z 在同一个平面直角坐标系中作出正余弦函数的图象，结合图象可知 (写)（旷得72，a=灯放迹：A 第1页共8页 方法二：由sin=Cos OR,得tan an=lm=牙+kr,X=元+红kez 4 4040 取k=01得A 〔)+=得T=2,0=故选：A 7.答案：D 【详解】设OP=h,由在点A,B,C处分别测得塔顶P点的仰角为45°，60°，45°， 则oA=h,OB=V3h OC=h, 3 1h2+302-h2 在AOBC,由余弦定理知cos∠OBC= 2×30xh, 3 1h2+602-h2 在AOBA中，由余弦定理知cos∠OBA= 2x 60xh, 因为A,B,C三点共线.所以∠OBC+∠OBA=180°， R+302-1R+602-R 则 2x 3 一=0.解得h=30√5，故选D. ×30 :×60 3 √3 8.答案：B 【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P(x,), 则4ao,toq0}>o. 防-2-元-(2- PB.P元=4-2+1-=5-(2+k5-22, 当且仅当21-即1-5时等号成立.故之的最大值为5-2万放选B 2 9.答案：BD 【详解】A样本容量为9÷318，故A错误： 6 B.数据0,1,2,2,3,4的极差是4，众数是2，所以极差与众数之和为6，故B正确： 第2页共8页 C.这组数据，插入数据5前后平均数都是5 插入数据前 7-5-5P+6-5P+4-P+2-护+8-52-4 5 插入数据后，分子不变，分母变大方差变小，C错误 此时g2=55+6-5P+4-5P+2-5P+85P+5-9 6 过于D,8×75%=6,所以上四分位数为9十11=10，D正 10.答案：ACD 【详解】对于A,在△ABC中，若A>B,则a>b,结合正弦定理可得sinA>sinB,故A正确： m6m8-b如1-1， 对于B选项，根据正弦定理a=b」 a41 此时△ABC无解，故B选项错误： 对于C选项，若a=b+e3,所以a>b,a>c,所以0<b<1,0<￡<1， -6e年+可食-月伦月 即b+c2 a3>1, 整理得b2+c2>a2,所以cosA=+c2-a2 >0，可知A为锐角， 2bc 因为△ABC中，a为最大边，角A是最大角，所以△ABC是锐角三角形，故C正确. cosco8C,则oco8分C38,所以1mA=am8tmC,则 a b c sin A sin B sin C 对于D:若 A=B=C,故△ABC是等边三角形，故D正确. 11.答案：BCD 【详解】对于选项A,如图，取上底面，下底面的中心分别为O1,O2, 取AB,A1B1的中点M,,取MN中点I, 、0 于是四边形O1O3MN为矩形，则OO=OO,=OI=2, 于是0M=2,C1=6,则B=6÷545,A错关 第3页共8页 对于选项B,由于AB∥A1B1,且ABc平面OAB,AB1T平面OAB,则AB1∥平面OAB, 又因为A1B1C平面OA1B1,平面OA1B1∩平面OAB=1,则11∥AB∥A1B1, 如图，连接OM,ON由于OM⊥AB,ON⊥AB1,则1⊥OM,l⊥ON, 则∠MON为平面OAB与平面OA1B1所成的角的平面角， 由于OM=OW=2W2,MN=4,则oM2+ON2=MN2,∠MON= 于是平面OAB⊥平面OAB1,故B正确： 对于选项C,如图，连接MO,交NC1于H,过点H作AB的平行线交AC1,B1C1于E,F, 由于△HO1O∽MOO,则O1H=C1H=O1N=2,则H为C1N上靠近C1的三等分点， 于是EF=AB4V3 ,由于MH1AB,M为AB中点，H为EF中点， 33 则四边形ABFE为等腰梯形，故C正确： 对于选项D,由于正三角形△C1EF与正三角形△CAB相似，三条侧棱延长相交于一点计为点P, 1 于是CP=3CP=6,V2-caB=27WP-can=3×6xx4W3x6=24W3 2 26×245 VCBR-CAB= 26 V小 ×24v5 27 13 而三棱柱的体积y=4xx43x6=483，于是V大48526x2434 2 27 故D正确， 12.答案：27√2 2 ×22-275 【详解1方法一：S@ABc=2X3=2，.心OABC三X 方法二：利用斜二测画法还原平面图形，可得OB=3√2×2=6√2，BC=3,OA=6, 第4页共8页 3+6 :SOABC ×6W2=27W2 2 13.答案：1 【详解】由fx)=sin(ax+)为奇函数，f(0)=0,sinp=0,.p=kπ，k∈Z 又m∈N,0≤<2π所以p=0或π， π 当=0时，fd=s血x,在(02)不可能单调递减 当=天时，N=-mam若0=0在〔0到 不单调，若w=1符合，若0≥2,0∈Z,fx)=-sinm在 0,刀不单调0=1 ”2 14答案：2 -45 【详解】由cos2B+cos2C-cos2A=1得1-2sin2B+1-2sim2C-1+2sin2A=1 即sim2A=sin2B+sin2C,即a2=b2+c2,设PA=x,PB=y,PC=z e=%w+8ae+或g-侵+g小9-6，o+g+-5 2 2 2 即PA.PB+PB.PC+PC.PA=-4√5 15.【详解】(1)依题意10×(0.005+x+0.035+0.030+0.010)=1得x=0.020 2分 设第70百分位数为y,由于低于80分的频率为0.6，低于90分的频率为0.9， .80<y<90 3分 y=80+10× 07-0.6_250=83} 0.9-0.63 3 （或0.6+0.03×6y-80)=07,y=250) 注：结果写成y≈83.3不扣分 3 .6分 (2)[80,90]与[90,100]的频率之比为3：1 :5=3x85+97=88 9分 -5+6-5)]++o7-8]-3×15+85- 2 …13分 16【详解11)三-V53-m_自-6a65+a山 z23+m3-m) 3分 9+a 3-3a>0,得-33<a<5 则-3+ak0 .6分 (2)0z10z=3-V3a=0,a=V3,=2,2=2W3 8分 连接BD,B1D1,AB1,可得EF∥BD∥B1D1, 第5页共8页 .∠AD1B1为异面直线AD1与EF所成的角（或其补角） 10分 B=4D|=2144=213,4B1=4D=4.BD1=2V2 ∴cos∠AD,a=4+2-425 .14分 2×4×2W2 4 :异面直线AD,与Br所成的角的余弦值为 .15分 4 sinx 17.【详解】(1)fx)= sinx-cosx 2v3cosx =23cos xsinx-(sinx-cos x)(sin x+cosx) sinx+cosx 3 sin 2x+cos 2x-2sinx 3分 由-正+2kπ≤2x+严≤+2k元，-T+kr≤x≤+kr, 2 62 3 6 又：k小所以华词送期区同老0， 6分 (2)令1=f6-2sm2x+: 则-1≤t≤2， .7分 由xe[0引时，/-2f)-a=0有解，即有：-21=a在1]有解， 10分 因为t2-2t=t-1)2-1在[1,1]上单调递减，在1,2]上单调递增， 故当t=1时，t2-2t取最小值-1；当t=-1时，t2-2t取最大值3，即-1≤tP-2t≤3， 14分 因为-2t=a有解，所以实数a的取值范围为1,3 .15分 18.【详解】(1)由正弦定理0s4·- sin A simB√3b√3sinB .tan=3, 又0<A<元A= 3 4分 AB+AC (2)依题意AD 2 AB+AC 即2k2+bc+b2）-2. 化简得b2+bc+c2=8① 7分 又由余弦定理知b2+c2-bc=4② 第6页共8页 两式相减得bc=2, ..SMBC =bcsinAs V3 2 10分 3)解由正弦定理，如8snC{1-cs261-cos20 sin2A 2 6s20-628- os2B-cos 2B 0气3 2 3 .13分 0<B<交 2 0<2-B<5 2 .14分 3 2 2<2B+<4 33 即b2-c的取值范围是(1山) 17分 19.【详解】(1)因AB是圆O的直径，则BC⊥AC, 因PC⊥平面ABC,BCC平面ABC,则PC⊥BC, 又PC∩AC=C,ACC平面PAC,故BC⊥平面PAC. 4分 (2)过点C作CH⊥A于点H,连接BH, 5分 M 由(1)BC⊥平面PAC,Ac平面PAC,则BC⊥PA, 因BC∩CH=C,BC,CHc平面BCH,故PA⊥平面BCH, 又BHC平面BCH,则PA⊥BH, 即∠BHC即二面角B-A-C的平面角， 7分 因为BC=V42-23}=2,在R1CP中，2A=V22+25}=4,由面积相等可得 cH=2x25-5,则册=22+5d=万， 4 第7页共8页 则cos∠BHC= cH√3√21 BH√77 9分 所以二面角B-2A-C的余弦值为 个 .10分 (3)因CM=x(0≤x≤2)，则AM=√x2+12, 则球O1的半径为R= +12,设点O,到平面PAB的距离为d,则点M到平面PAB的距离为2d.1分 2 在△P1B中，AB=4,PA=4,PB=2,由余弦定理，cos∠P4B=16+16-8_3 2×4×44? 则m∠s-年，则方4492w5,w子2500-. 4 由阳=gw可得：x27×2d=×2x5-), 3 污功. 解得d= 14分 设球O1与平面PAB相交得到的截面圆半径为”， 则r2=0,M2-a2-412-3e-_42+12x+722+3x+18 428 28 则s=a2=62+3x+18), 18π 0≤x≤2，对称轴x=-<0,故当x三0时，Sm 7 .17分 第8页共8页高一数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.若z(1+i)=i2(i为虚数单位)，则复数z的虚部是() A.-l+i 2 B. c 2.已知角a的终边过点P(-3,4),则sin2a=() 7 B.-25 7 A.25 c 24 25 D. 4 25 3.已知平面，B和直线，n,下列结论正确的是() A.a⊥B,c&,则⊥B B.a⊥B,m⊥B,文&，则m//a C.//n,/1,n/1B,则a/1B D.若n与是异面直线，nc,mcB,则a/IB 4.孝感红茶是国家地理标志产品，是全发酵工夫红茶.泡茶时讲 究高冲低斟、均分茶汤.茶壶聚香锁味，小杯小口品茶，一壶 分多杯是工夫茶“分茶奉客、礼敬宾朋”的习俗.如图，一把 圆台形茶壶，上口半径4cm,下口半径6cm,高12cm;配套 圆柱形品茗杯，底面半径2cm,高5cm.装满一壶茶水，最多 能倒满()杯 A.13 B.14 C.15 D.16 5.己知平行四边形ABCD的三个顶点B、C、D的坐标分别是(-1,3)、3,4)、(2,2).那么AC 在AB上的投影向量是() 5533 11V522W5 A. 34’34 55 D. 6. 已知o>0,在函数y=sinr与y=COS QX的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 √5，则ω的值为() A.兀 B. 2 C.2 D. 第1页共4页 7.享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地 处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名 闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度OP,他选取 459M 了与该楼底部O在同一水平面内三个共线的测量基点A, 602 85 B,C,分别测得塔顶P点的仰角为45°，60°，45°，且 AB=2BC=60m,示意图如图，则该楼高OP=() A.30v2m B.60m C.30m D.30v3m 8. 已知西上AC,网，aC}若点P是△4BC所在平面内一点，且亚=2西+C 则PB.PC的最大值为() A.13 B.5-2W2 C.5-2v6 D.10+2√2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列说法正确的是() A.有A,B,C三种个体按3：1：2的比例分层随机抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则 样本容量为30 B.数据0,1,2,2,3,4的极差与众数之和为6 C.一组数据5,6,4,2,8，在这组数据中插入一个数5，方差变大 D.数据1,3,5,6,8,9,11,16的上四分位数是10 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若A=30°，b=5,a=2,则△ABC有两解 C.若a=b3+c3,则△ABC是锐角三角形 D.若a=bc cosAcosBcosC,则AABC一定是等边三角形 11.已知正三棱柱ABC-AB,C1的高为4，且有内切球O(球O位于三棱柱的内部且与各个面有 且只有一个公共点)，若过O,A,B三点的平面截该三棱柱所得截面为，则() A.AB=6 B.平面OAB⊥平面OAB, C.截面a是等腰梯形 D.该三棱柱被截面α分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为 14 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.如图，水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图为直角梯形OAB'C,，已知 OA=2BC=6,OC=3,则原四边形OABC的面积为 A 13.己知函数f(x)=sin(ar+p)(oeN,0≤p<2π)，f(x)是奇函数且在 0, 单调递减，则 2 0= 14.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形 内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了 解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为 费马点：当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知 识解决下面问题：己知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 cos 2B+cos 2C-cos24=1,= 若点P为△ABC的费马点，bC=12, 则PA.PB+PB.PC+PC.PA= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分) 某校A虹社团组织全校学生参加A虹伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习 人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的AI技术传播者，竞赛分为初赛和决赛两个环 节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按50,60)， [60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图. 频率/组距 0.035 0.030 0.010 0.005 0V3060708090100分数 (1)求图中的x值，并估计考核得分的第70百分位数： (2)己知落在[80,90]内的平均成绩是85分，方差是6，[90100]内的平均成绩是97分，方 差是4，求两组成绩合并后的平均数z和方差s2. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为加、s;、x、s好，记两组 数据总体的样本平均数为P,则总体样本方差=川 m+n [+-]n+-月] 第3页共4页 16.(本小题15分) 在复平面内，O是坐标原点，向量OZ,OZ)对应的复数分别为z1=1-V3i,3=3+i(a∈R). (1)互的对应点在第四象限，求实数a的取值范围： D (2)当OZ1oZ时，以，国分别为正四棱柱ABCD-AB,CD :B ‘D 底面棱长和侧棱长，E,F分别是BC,DC的中点，求异面直线AD与 EF所成角的余弦值. 17.(本小题15分) 行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是维空间中，一个线性变 换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等.把符 号 a b a b c d 称为二阶行列式，规定它的运算法测为 c d =ad-bc.已知函数 sinx sinx-cosx f(x)= sinx+cosx 2√5cosx (1)当x∈[0，时，求f(x)的单调递增区间； (2)若对任意的xe0引，[了-2)-a=0都有解，求实数a的取值范围. 18.(本小题17分) 在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c，且满足 cosA a imB√3b' (1)求角A的大小： (2)若D是线段BC的中点，且a=2,AD=√2，求S△4BC: (3》若△ABC为能角三角形，4=2，求-=。的取值范围。 a 19.(本小题17分) 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，直线PC⊥平面ABC.其中 AB=4,PC=2,AC=2. (1)求证：BC⊥平面PAC: (2)求二面角B-PA-C的余弦值： (3)M为PC上的动点，以AM为直径作球O,设CM=x(0≤x≤2)， 若球O被平面PAB截得的截面圆的面积为S,求S的最小值. 第4页共4页 姓 贴条形码区 准考证号 填涂样例 贴缺考标识 正确填涂 考生禁填！由监考老师填写。☐ 注1，答题前，考生先将自已的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定的位置贴好条形码 意2，选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用签字笔或钢笔答题：字体工整、笔迹清楚。 事3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在试题卷，草稿纸上答题无效。 项4保特卡面清清，不要折叠，不要弄破。考试结束后，请将答题卡，试题卷一并上交. 选择题 1ABCD可 5A)B☐GD☐ 9AB☐CD回 2A)B☐C☒D 6AIB☐CD 10囚®C回 3AB D 7 [A][B [C][D 11 [A][B]C][D 4ABC D 8ABC☒D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 填空题 12. 13. 14 请勿在此区域内作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 解答题 15.(本小题13分) 频率组距 0.035 0.030 心 0.010 0.005 √506070800100分数 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 。 §乙a1丰mt2t 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题15分) D C A B F D C ② A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 一B 0.》” 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 S乙a2tmt2+ 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高一数学参考答案 题号 1 3 3 4 5 6 > 8 9 10 11 答案 C 0 B C A 0 B BD ACD BCD 1.答案：C 【详解1生，故选c 2.答案：D 【详解】OP=5,sin a= 5,cosa=-3 sin 2u=2sin a.cosa- 24 25 3.答案：B 【详解】依据线线、线面、面面的平行与垂直判断 4.答案：C 【详解】r金×12x6+42+4x304m V杯=π×22×5=20mm3,304π÷20元=15.2故最多能倒满15杯. 5.答案：C 【详解】设顶点A的坐标为(xy),A正，Ac分别是(-1-x,3-),(3-x4-) 因为四边形ABCD为平行四边形，D的坐标是(2,2)， 所以AB=DC,即(-1-x,3-y)=(1,2), -1-x=1 所以 2x=-2 3-少=2·解得 y=1, 所以顶点A的坐标为(-2,1)所以A店=1,2)，AC=5,3), x+3-1+2 X=-2 (或者由AC与BD中点重合得 42解得) 2 2 -=2 所以AC在AB上的投影向量 c西西片×2)-（传号 AB 6.答案：A 【详解】方法一：函数y=sin cx与y=c0sox的周期T=2z 在同一个平面直角坐标系中作出正余弦函数的图象，结合图象可知 (写)（旷得72，a=灯放迹：A 第1页共8页 方法二：由sin=Cos OR,得tan an=lm=牙+kr,X=元+红kez 4 4040 取k=01得A 〔)+=得T=2,0=故选：A 7.答案：D 【详解】设OP=h,由在点A,B,C处分别测得塔顶P点的仰角为45°，60°，45°， 则oA=h,OB=V3h OC=h, 3 1h2+302-h2 在AOBC,由余弦定理知cos∠OBC= 2×30xh, 3 1h2+602-h2 在AOBA中，由余弦定理知cos∠OBA= 2x 60xh, 因为A,B,C三点共线.所以∠OBC+∠OBA=180°， R+302-1R+602-R 则 2x 3 一=0.解得h=30√5，故选D. ×30 :×60 3 √3 8.答案：B 【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P(x,), 则4ao,toq0}>o. 防-2-元-(2- PB.P元=4-2+1-=5-(2+k5-22, 当且仅当21-即1-5时等号成立.故之的最大值为5-2万放选B 2 9.答案：BD 【详解】A样本容量为9÷318，故A错误： 6 B.数据0,1,2,2,3,4的极差是4，众数是2，所以极差与众数之和为6，故B正确： 第2页共8页 C.这组数据，插入数据5前后平均数都是5 插入数据前 7-5-5P+6-5P+4-P+2-护+8-52-4 5 插入数据后，分子不变，分母变大方差变小，C错误 此时g2=55+6-5P+4-5P+2-5P+85P+5-9 6 过于D,8×75%=6,所以上四分位数为9十11=10，D正 10.答案：ACD 【详解】对于A,在△ABC中，若A>B,则a>b,结合正弦定理可得sinA>sinB,故A正确： m6m8-b如1-1， 对于B选项，根据正弦定理a=b」 a41 此时△ABC无解，故B选项错误： 对于C选项，若a=b+e3,所以a>b,a>c,所以0<b<1,0<￡<1， -6e年+可食-月伦月 即b+c2 a3>1, 整理得b2+c2>a2,所以cosA=+c2-a2 >0，可知A为锐角， 2bc 因为△ABC中，a为最大边，角A是最大角，所以△ABC是锐角三角形，故C正确. cosco8C,则oco8分C38,所以1mA=am8tmC,则 a b c sin A sin B sin C 对于D:若 A=B=C,故△ABC是等边三角形，故D正确. 11.答案：BCD 【详解】对于选项A,如图，取上底面，下底面的中心分别为O1,O2, 取AB,A1B1的中点M,,取MN中点I, 、0 于是四边形O1O3MN为矩形，则OO=OO,=OI=2, 于是0M=2,C1=6,则B=6÷545,A错关 第3页共8页 对于选项B,由于AB∥A1B1,且ABc平面OAB,AB1T平面OAB,则AB1∥平面OAB, 又因为A1B1C平面OA1B1,平面OA1B1∩平面OAB=1,则11∥AB∥A1B1, 如图，连接OM,ON由于OM⊥AB,ON⊥AB1,则1⊥OM,l⊥ON, 则∠MON为平面OAB与平面OA1B1所成的角的平面角， 由于OM=OW=2W2,MN=4,则oM2+ON2=MN2,∠MON= 于是平面OAB⊥平面OAB1,故B正确： 对于选项C,如图，连接MO,交NC1于H,过点H作AB的平行线交AC1,B1C1于E,F, 由于△HO1O∽MOO,则O1H=C1H=O1N=2,则H为C1N上靠近C1的三等分点， 于是EF=AB4V3 ,由于MH1AB,M为AB中点，H为EF中点， 33 则四边形ABFE为等腰梯形，故C正确： 对于选项D,由于正三角形△C1EF与正三角形△CAB相似，三条侧棱延长相交于一点计为点P, 1 于是CP=3CP=6,V2-caB=27WP-can=3×6xx4W3x6=24W3 2 26×245 VCBR-CAB= 26 V小 ×24v5 27 13 而三棱柱的体积y=4xx43x6=483，于是V大48526x2434 2 27 故D正确， 12.答案：27√2 2 ×22-275 【详解1方法一：S@ABc=2X3=2，.心OABC三X 方法二：利用斜二测画法还原平面图形，可得OB=3√2×2=6√2，BC=3,OA=6, 第4页共8页 3+6 :SOABC ×6W2=27W2 2 13.答案：1 【详解】由fx)=sin(ax+)为奇函数，f(0)=0,sinp=0,.p=kπ，k∈Z 又m∈N,0≤<2π所以p=0或π， π 当=0时，fd=s血x,在(02)不可能单调递减 当=天时，N=-mam若0=0在〔0到 不单调，若w=1符合，若0≥2,0∈Z,fx)=-sinm在 0,刀不单调0=1 ”2 14答案：2 -45 【详解】由cos2B+cos2C-cos2A=1得1-2sin2B+1-2sim2C-1+2sin2A=1 即sim2A=sin2B+sin2C,即a2=b2+c2,设PA=x,PB=y,PC=z e=%w+8ae+或g-侵+g小9-6，o+g+-5 2 2 2 即PA.PB+PB.PC+PC.PA=-4√5 15.【详解】(1)依题意10×(0.005+x+0.035+0.030+0.010)=1得x=0.020 2分 设第70百分位数为y,由于低于80分的频率为0.6，低于90分的频率为0.9， .80<y<90 3分 y=80+10× 07-0.6_250=83} 0.9-0.63 3 （或0.6+0.03×6y-80)=07,y=250) 注：结果写成y≈83.3不扣分 3 .6分 (2)[80,90]与[90,100]的频率之比为3：1 :5=3x85+97=88 9分 -5+6-5)]++o7-8]-3×15+85- 2 …13分 16【详解11)三-V53-m_自-6a65+a山 z23+m3-m) 3分 9+a 3-3a>0,得-33<a<5 则-3+ak0 .6分 (2)0z10z=3-V3a=0,a=V3,=2,2=2W3 8分 连接BD,B1D1,AB1,可得EF∥BD∥B1D1, 第5页共8页 .∠AD1B1为异面直线AD1与EF所成的角（或其补角） 10分 B=4D|=2144=213,4B1=4D=4.BD1=2V2 ∴cos∠AD,a=4+2-425 .14分 2×4×2W2 4 :异面直线AD,与Br所成的角的余弦值为 .15分 4 sinx 17.【详解】(1)fx)= sinx-cosx 2v3cosx =23cos xsinx-(sinx-cos x)(sin x+cosx) sinx+cosx 3 sin 2x+cos 2x-2sinx 3分 由-正+2kπ≤2x+严≤+2k元，-T+kr≤x≤+kr, 2 62 3 6 又：k小所以华词送期区同老0， 6分 (2)令1=f6-2sm2x+: 则-1≤t≤2， .7分 由xe[0引时，/-2f)-a=0有解，即有：-21=a在1]有解， 10分 因为t2-2t=t-1)2-1在[1,1]上单调递减，在1,2]上单调递增， 故当t=1时，t2-2t取最小值-1；当t=-1时，t2-2t取最大值3，即-1≤tP-2t≤3， 14分 因为-2t=a有解，所以实数a的取值范围为1,3 .15分 18.【详解】(1)由正弦定理0s4·- sin A simB√3b√3sinB .tan=3, 又0<A<元A= 3 4分 AB+AC (2)依题意AD 2 AB+AC 即2k2+bc+b2）-2. 化简得b2+bc+c2=8① 7分 又由余弦定理知b2+c2-bc=4② 第6页共8页 两式相减得bc=2, ..SMBC =bcsinAs V3 2 10分 3)解由正弦定理，如8snC{1-cs261-cos20 sin2A 2 6s20-628- os2B-cos 2B 0气3 2 3 .13分 0<B<交 2 0<2-B<5 2 .14分 3 2 2<2B+<4 33 即b2-c的取值范围是(1山) 17分 19.【详解】(1)因AB是圆O的直径，则BC⊥AC, 因PC⊥平面ABC,BCC平面ABC,则PC⊥BC, 又PC∩AC=C,ACC平面PAC,故BC⊥平面PAC. 4分 (2)过点C作CH⊥A于点H,连接BH, 5分 M 由(1)BC⊥平面PAC,Ac平面PAC,则BC⊥PA, 因BC∩CH=C,BC,CHc平面BCH,故PA⊥平面BCH, 又BHC平面BCH,则PA⊥BH, 即∠BHC即二面角B-A-C的平面角， 7分 因为BC=V42-23}=2,在R1CP中，2A=V22+25}=4,由面积相等可得 cH=2x25-5,则册=22+5d=万， 4 第7页共8页 则cos∠BHC= cH√3√21 BH√77 9分 所以二面角B-2A-C的余弦值为 个 .10分 (3)因CM=x(0≤x≤2)，则AM=√x2+12, 则球O1的半径为R= +12,设点O,到平面PAB的距离为d,则点M到平面PAB的距离为2d.1分 2 在△P1B中，AB=4,PA=4,PB=2,由余弦定理，cos∠P4B=16+16-8_3 2×4×44? 则m∠s-年，则方4492w5,w子2500-. 4 由阳=gw可得：x27×2d=×2x5-), 3 污功. 解得d= 14分 设球O1与平面PAB相交得到的截面圆半径为”， 则r2=0,M2-a2-412-3e-_42+12x+722+3x+18 428 28 则s=a2=62+3x+18), 18π 0≤x≤2，对称轴x=-<0,故当x三0时，Sm 7 .17分 第8页共8页高一数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.若z(1+i)=i2(i为虚数单位)，则复数z的虚部是() A.-l+i 2 B. c 2.已知角a的终边过点P(-3,4),则sin2a=() 7 B.-25 7 A.25 c 24 25 D. 4 25 3.已知平面，B和直线，n,下列结论正确的是() A.a⊥B,c&,则⊥B B.a⊥B,m⊥B,文&，则m//a C.//n,/1,n/1B,则a/1B D.若n与是异面直线，nc,mcB,则a/IB 4.孝感红茶是国家地理标志产品，是全发酵工夫红茶.泡茶时讲 究高冲低斟、均分茶汤.茶壶聚香锁味，小杯小口品茶，一壶 分多杯是工夫茶“分茶奉客、礼敬宾朋”的习俗.如图，一把 圆台形茶壶，上口半径4cm,下口半径6cm,高12cm;配套 圆柱形品茗杯，底面半径2cm,高5cm.装满一壶茶水，最多 能倒满()杯 A.13 B.14 C.15 D.16 5.己知平行四边形ABCD的三个顶点B、C、D的坐标分别是(-1,3)、3,4)、(2,2).那么AC 在AB上的投影向量是() 5533 11V522W5 A. 34’34 55 D. 6. 已知o>0,在函数y=sinr与y=COS QX的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 √5，则ω的值为() A.兀 B. 2 C.2 D. 第1页共4页 7.享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地 处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名 闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度OP,他选取 459M 了与该楼底部O在同一水平面内三个共线的测量基点A, 602 85 B,C,分别测得塔顶P点的仰角为45°，60°，45°，且 AB=2BC=60m,示意图如图，则该楼高OP=() A.30v2m B.60m C.30m D.30v3m 8. 已知西上AC,网，aC}若点P是△4BC所在平面内一点，且亚=2西+C 则PB.PC的最大值为() A.13 B.5-2W2 C.5-2v6 D.10+2√2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列说法正确的是() A.有A,B,C三种个体按3：1：2的比例分层随机抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则 样本容量为30 B.数据0,1,2,2,3,4的极差与众数之和为6 C.一组数据5,6,4,2,8，在这组数据中插入一个数5，方差变大 D.数据1,3,5,6,8,9,11,16的上四分位数是10 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若A=30°，b=5,a=2,则△ABC有两解 C.若a=b3+c3,则△ABC是锐角三角形 D.若a=bc cosAcosBcosC,则AABC一定是等边三角形 11.已知正三棱柱ABC-AB,C1的高为4，且有内切球O(球O位于三棱柱的内部且与各个面有 且只有一个公共点)，若过O,A,B三点的平面截该三棱柱所得截面为，则() A.AB=6 B.平面OAB⊥平面OAB, C.截面a是等腰梯形 D.该三棱柱被截面α分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为 14 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.如图，水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图为直角梯形OAB'C,，已知 OA=2BC=6,OC=3,则原四边形OABC的面积为 A 13.己知函数f(x)=sin(ar+p)(oeN,0≤p<2π)，f(x)是奇函数且在 0, 单调递减，则 2 0= 14.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形 内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了 解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为 费马点：当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知 识解决下面问题：己知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 cos 2B+cos 2C-cos24=1,= 若点P为△ABC的费马点，bC=12, 则PA.PB+PB.PC+PC.PA= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分) 某校A虹社团组织全校学生参加A虹伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习 人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的AI技术传播者，竞赛分为初赛和决赛两个环 节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按50,60)， [60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图. 频率/组距 0.035 0.030 0.010 0.005 0V3060708090100分数 (1)求图中的x值，并估计考核得分的第70百分位数： (2)己知落在[80,90]内的平均成绩是85分，方差是6，[90100]内的平均成绩是97分，方 差是4，求两组成绩合并后的平均数z和方差s2. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为加、s;、x、s好，记两组 数据总体的样本平均数为P,则总体样本方差=川 m+n [+-]n+-月] 第3页共4页 16.(本小题15分) 在复平面内，O是坐标原点，向量OZ,OZ)对应的复数分别为z1=1-V3i,3=3+i(a∈R). (1)互的对应点在第四象限，求实数a的取值范围： D (2)当OZ1oZ时，以，国分别为正四棱柱ABCD-AB,CD :B ‘D 底面棱长和侧棱长，E,F分别是BC,DC的中点，求异面直线AD与 EF所成角的余弦值. 17.(本小题15分) 行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是维空间中，一个线性变 换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等.把符 号 a b a b c d 称为二阶行列式，规定它的运算法测为 c d =ad-bc.已知函数 sinx sinx-cosx f(x)= sinx+cosx 2√5cosx (1)当x∈[0，时，求f(x)的单调递增区间； (2)若对任意的xe0引，[了-2)-a=0都有解，求实数a的取值范围. 18.(本小题17分) 在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c，且满足 cosA a imB√3b' (1)求角A的大小： (2)若D是线段BC的中点，且a=2,AD=√2，求S△4BC: (3》若△ABC为能角三角形，4=2，求-=。的取值范围。 a 19.(本小题17分) 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，直线PC⊥平面ABC.其中 AB=4,PC=2,AC=2. (1)求证：BC⊥平面PAC: (2)求二面角B-PA-C的余弦值： (3)M为PC上的动点，以AM为直径作球O,设CM=x(0≤x≤2)， 若球O被平面PAB截得的截面圆的面积为S,求S的最小值. 第4页共4页 姓 贴条形码区 准考证号 填涂样例 贴缺考标识 正确填涂 考生禁填！由监考老师填写。☐ 注1，答题前，考生先将自已的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定的位置贴好条形码 意2，选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用签字笔或钢笔答题：字体工整、笔迹清楚。 事3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在试题卷，草稿纸上答题无效。 项4保特卡面清清，不要折叠，不要弄破。考试结束后，请将答题卡，试题卷一并上交. 选择题 1ABCD可 5A)B☐GD☐ 9AB☐CD回 2A)B☐C☒D 6AIB☐CD 10囚®C回 3AB D 7 [A][B [C][D 11 [A][B]C][D 4ABC D 8ABC☒D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 填空题 12. 13. 14 请勿在此区域内作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 解答题 15.(本小题13分) 频率组距 0.035 0.030 心 0.010 0.005 √506070800100分数 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 。 §乙a1丰mt2t 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题15分) D C A B F D C ② A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 一B 0.》” 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 S乙a2tmt2+ 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效高一数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.若z(1+i)=i2(i为虚数单位)，则复数z的虚部是() A.1+i 2 B月 c D. 2.已知角a的终边过点P(-3,4),则sin2a=( 7 A.25 24 c. D.- 4 25 5 3.已知平面，B和直线L,n,下列结论正确的是() A.a⊥B,ca,则⊥B B.a⊥B,⊥B,m文a,则//a C./1n,/1a,n/1B,则a/1B D.若n与是异面直线，nc,cB,则a/1B 4.孝感红茶是国家地理标志产品，是全发酵工夫红茶，泡茶时讲 究高冲低斟、均分茶汤.茶壶聚香锁味，小杯小口品茶，一壶 分多杯是工夫茶“分茶奉客、礼敬宾朋”的习俗.如图，一把 圆台形茶壶，上口半径4cm,下口半径6cm,高12cm;配套 圆柱形品茗杯，底面半径2cm,高5cm.装满一壶茶水，最多 能倒满()杯. A.13 B.14 C.15 D.16 5.已知平行四边形ABCD的三个顶点B、C、D的坐标分别是(-1,3)、3,4)、(2,2).那么AC 在AB上的投影向量是( ) 5533 A. 3434 (n5 c(传 D. 6. 已知o>0,在函数y=sinr与y=cosr的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 √3，则w的值为() A.π B. 2 C.2 1 D. 第1页共4页 7.享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地 处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名 闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度OP,他选取 459A 了与该楼底部O在同一水平面内三个共线的测量基点A, B B,C,分别测得塔顶P点的仰角为45°，60°，45°，且 AB=2BC=60m,示意图如图，则该楼高OP=() A.30v2m B.60m C.30m D.303m AC 8. 已知店1c,园-t,C}若点P是△4BC所在平面内一点，且亚-2 AB AC 则PB.PC的最大值为() A.13 B.5-22 C.5-26 D.10+2W2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.有A,B,C三种个体按3：1：2的比例分层随机抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则 样本容量为30 B.数据0,1,2,2,3,4的极差与众数之和为6 C.一组数据5,6,4,2,8，在这组数据中插入一个数5，方差变大 D.数据1,3,5,6,8,9,11,16的上四分位数是10 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若A=30°，b=5,a=2,则△ABC有两解 C.若d=b+c3,则△ABC是锐角三角形 D.若a=b cosAcosBcosC,则A4BC一定是等边三角形 11.已知正三棱柱ABC-AB,C1的高为4，且有内切球O(球O位于三棱柱的内部且与各个面有 且只有一个公共点)，若过O,A,B三点的平面截该三棱柱所得截面为，则() A.AB=6 B.平面OAB⊥平面OAB1 C.截面是等腰梯形 D.该三棱柱被截面α分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为 4 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.如图，水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图为直角梯形OABC,已知 OA=2BC=6,OC=3,则原四边形OABC的面积为 A 13.己知函数f(x)=sin(r+p)(o∈N,0≤p<2π)，f(x)是奇函数且在0,5 单调递减，则 2 0= 14.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形 内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了 解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为 费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知 识解决下面问题：己知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 cos 2B+cos 2C-cos24=1,= ·若点P为△ABC的费马点，bc=12, 则PA.PB+PB.PC+PC.PA= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.(本小题13分) 某校A虹社团组织全校学生参加A虹伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习 人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的AI技术传播者，竞赛分为初赛和决赛两个环 节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按50,60)， [60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图. 频率阻距个 0.035 0.030 0.010 0.005- 0V3060708090100分数 (1)求图中的x值，并估计考核得分的第70百分位数： (2)己知落在[80,90]内的平均成绩是85分，方差是6，[90100]内的平均成绩是97分，方 差是4，求两组成绩合并后的平均数z和方差s2. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、s2；、x,、s,记两组 数据总体的样本平均数为p,则总体样本方差=心 m+n [+-可+区-] 第3页共4页 16.(本小题15分) 在复平面内，0是坐标原点，向量OZ,0Z)对应的复数分别为z1=1-V3i,z2-3+ai(a∈R). (I)互的对应点在第四象限，求实数a的取值范围； D (2)当OZ1OZ时，以分别为正四棱柱ABCD-AB,CD B D 底面棱长和侧棱长，E,F分别是BC,DC的中点，求异面直线AD与 EF所成角的余弦值. 17.(本小题15分) 行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是维空间中，一个线性变 换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等.把符 号 a b a b c d 称为二阶行列式，规定它的运算法则为 c d =ad-bc,己知函数 sinx sinx-cosx f(x)= sinx+cosx 2v3 cosx (1)当x∈[0，兀时，求f(x)的单调递增区间； (2)若对任意的x0引，[/(-2)-a=0部有解，求实数a的取值范围。 18.(本小题17分) 在△4BC中，角4B,C所对边分别为ab,c,且满足cos4-a sinB√3b (1)求角A的大小： (2)若D是线段BC的中点，且a=2,AD=√2，求S△4BC: (3》若△1BC为锐角三角形，4=2，求2-c的取值范围. 19.(本小题17分) 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，直线PC⊥平面ABC.其中 AB=4,PC=2,AC=23. (1)求证：BC⊥平面PAC; (2)求二面角B-PA-C的余弦值： (3)M为PC上的动点，以AM为直径作球O,设CM=x(0≤x≤2)， δ 若球O被平面PAB截得的截面圆的面积为S,求S的最小值. 第4页共4页 高一数学参考答案 题号 1 3 4 6 7 P 9 10 11 答案 C D B C A D B BD ACD BCD 1.答案：C 【详解】，放选C 2.答案：D 【详解】0P=5血a=号cosu=号m2u=2 sin@.coa= 4 3 24 25 3.答案：B 【详解】依据线线、线面、面面的平行与垂直判断. 4.答案：C 【详解】金-有×12x6+4P+4xd小-301xm2 V杯=元×22×5=20mm3,304元÷20元=15.2故最多能倒满15杯. 5.答案：C 【详解】设顶点A的坐标为(xy),A正，A分别是(-1-x,3-y),(3-x,4-y) 因为四边形ABCD为平行四边形，D的坐标是(2,2)， 所以AB=DC,即(-1-x,3-y)=(1,2), [-1-x=1 x=-2 所以3-y-2,解得 y=1 所以顶点A的坐标为（-2,1)所以AB=1,2),AC=(5,3), x+3-1+2 (或者由AC与BD中点重合得{ 2 2 x=-2 y+43+2解得 y=1 2= 2 所以AC在正上的投影向量 号传别 AB 6.答案：A 【详解】方法一：函数y=sin ax与y=COS的周期T=2元 在同一个平面直角坐标系中作出正余弦函数的图象，结合图象可知 图)+6-k洞T=2w救途：A 第1页共8页 方法二：由s血a=c0sx,得tana饭=L低=正+kr,X=交+k红k∈Z 4o40 取k=0,1得A πV 4’2 （)+-,得T=2,m=x故选：A 7.答案：D 【详解】设OP=h,由在点A,B,C处分别测得塔顶P点的仰角为45°，60°，45°， 则oA=h,DB=y5,0C=h, 3 12+302-h2 在AOBC,由余弦定理知cos∠OBC= 2x30x h, 3 12+602-2 在AOBA中，由余弦定理知cos∠OBA= 2×60× h, 3 因为A,B,C三点共线.所以∠OBC+∠OBA=180°， R+302-2+602- 则 2 +31 h 一=0.解得h=30√3，故选D. -×30 2× -×60 3 8答案：B 【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P(x,y), 则4o,0.t,olc0}f>o,. P吸c=4-2-15-+大5-25. 当且仅当21-即？-5时等号成立.故B心的最大值为5-2万赦选B t 2 9答案：BD 【详解】A样本容量为9÷318，故A错误： 6 B.数据0,1,2,2,3,4的极差是4，众数是2，所以极差与众数之和为6，故B正确： 第2页共8页 C.这组数据，插入数据5前后平均数都是5 插入数据前 7=5-5P+6-52+4-52+2=5P+8-5 二4 5 插入数据后，分子不变，分母变大方差变小，C错误 此时255P+6-5P+4-5P+2-5P+8-5P+55》9 6 对于D,8×759%=6,所以上四分位数为9+11=10，D正确 2 10.答案：ACD 【详解】对于A,在△ABC中，若A>B,则a>b,结合正弦定理可得sinA>sinB,故A正确； mA6m8-b1-1, 对于B选项，根据正弦定理=b a4 此时△ABC无解，故B选项错误： b 对于C选项，若a3=b3+c3,所以a>b,a>c,所以0<6<1,0<<1， -6e导可日八目1伯食 即b2+c a? ->1, 整理得b+c2>a2,所以cosA=6+c2-a2 >0,可知A为锐角， 2bc 因为△ABC中，α为最大边，角A是最大角，所以△ABC是锐角三角形，故C正确. sin A sin B sin C 对于D:若 cosco8C,则6O18分0C,所以1m4m分=mC,则 a b A=B=C,故△ABC是等边三角形，故D正确. 11.答案：BCD 【详解】对于选项A,如图，取上底面，下底面的中心分别为O1,O2, 取AB,AB1的中点M,N,取MN中点I, N O B M 0---- 于是四边形O1O,MN为矩形，则OO=OO,=OI=2, 于是OM=2,CM=6,则AB=6÷%=4V3,A错误 第3页共8页 对于选项B,由于AB∥A1B1,且ABC平面OAB,A1B1文平面OAB,则A1B1∥平面OAB, 又因为AB1c平面OAB1,平面OA1B1∩平面OAB=1,则1∥AB∥A1B1, 如图，连接OM,ON,由于OM⊥AB,ON⊥A1B1,则1⊥OM,1⊥ON, 则∠MON为平面OAB与平面OA1B1所成的角的平面角， 由于OM=ON=2W2,MN=4,则oM2+ON2-N2,MOW= 于是平面OAB⊥平面OA1B1,故B正确： 对于选项C,如图，连接MO,交NC1于H,过点H作AB的平行线交A1C1,B1C1于E,F, 由于△HO10∽MO3O,则O1H=C1H=O1N=2,则H为C1N上靠近C1的三等分点， 于是B7=4B-45,由于MH上AB,M为AB中点，H为Br中点， 33 则四边形ABFE为等腰梯形，故C正确； 对于选项D,由于正三角形AC1EF与正三角形△CAB相似，三条侧棱延长相交于一点计为点P, 1 F是CPE3CP=6,RcB=27p-C8R3×6x,x43x6=243 26x24N5 VC.BR-CAB= V小= 26×24W3 2 13 而三棱柱的体积y=4×x43×6=85,于是安5一26x24W34一 2 27 故D正确 12.答案：27√2 【#解】方法：063号.9a-子25=25 2 方法二：利用斜二测画法还原平面图形，可得OB=3√2×2=6√2，BC=3,OA=6, 第4页共8页 :SOABC 2}=n5 13.答案：1 【详解】由f(c)=sin(ar+)为奇函数，f(0)=0,sinp=0,∴.p=kπ，keZ 又0∈N,0≤<2π所以p=0或π， 肖=0时，fW)=snr,在0】 不可能单调递减 当=天时，网=-sm做若0=0在0，到不单调，若0=1符合，若0220cZ,)-m你在 (0,不单调0=1 2 14容案：习 -4w3 【详解】由cos2B+cos2C-cos2A=1得1-2sin2B+1-2sim2C-1+2sin2A=1 即sim2A=sin2B+sim2C,即a2=b2+c2,设2A=x,PB=,PC=z 8e=ao-e-G如+*96，wtg+a-45 1 2 2 2 PA.PB+PB.PC+PC.PA=-43 15.【详解】(1)依题意10×(0.005+x+0.035+0.030+0.010)=1得x=0.020 2分 设第70百分位数为y,由于低于80分的频率为0.6，低于90分的频率为0.9， .80<y<90 3分 y=80+10×07-06-250-83 0.9-0.63 (或0.6+0.03×0-80)=0.7，y=250) 3 注：结果写成y≈83.3不扣分 6分 (2)[80,90]与[90,100]的频率之比为3：1 :=3×85+97=88 9分 2-6+8-8s)]+4+o7-8]-3x15+85- 4 .13分 16【i详解11)三--33-m)_B-5a65+a z2(3+m3-m) 3分 9+a 3-V5a>0 则 -33+ao ,得-33<a<5 6分 (2)0z10z=3-V3a=0,a=3,l=2,=23 8分 连接BD,B1D1,AB1,可得EFI∥BD∥B1D1, 第5页共8页 ∴∠ADB1为异面直线AD1与EF所成的角（或其补角） 10分 4B=4D=2.44=213,4B|=4D=4.BD=2V2 c0s∠AD1B1= 2+25-42V2 14分 2×4×2W2 4 异面直线A0,与即所成的角的余弦值为 .15分 sinx 17.【详解】(1)fx)= sinx-cosx 2v3 cosx =23 cos x sinx -(sinx-cosx)sin x+cosx) sinx+cosx -5am2x-c02x-2m2x+引 3分 由-T+2kπ≤2x+元s行+2kπ，-+k标5xs+kπ， 62 3 6 又e取小所8以单调地区阿足®[行 .6分 (2)令t=fw-22+君， 则-1≤t≤2， 2 。.7分 由xe0引时、F-2因-a=0有解，即有f-z=a在[L2有解， 10分 因为t2-2t=t-1)2-1在[11]上单调递减，在1,2]上单调递增， 故当t=1时，t2-2t取最小值-1：当t=-1时，t2-2t取最大值3，即-1≤t2-2t≤3， 14分 因为t2-2t=a有解，所以实数a的取值范围为1,3 15分 18【详解】(1)由正弦定理osA4-simA simB√3b√3sinB ..tan =3, 又0<A<元，A= 3 4分 (2)依题意AD AB+AC 2 即1k2+bc+b）=2, 化简得b?+bc+c2=8① 7分 又由余弦定理知b2+c2-bc=4② 第6页共8页 两式相减得bc=2, .SMBC =bcsin4-V3 10分 2 (3)解由正弦定理，mB-sim2C_41-c0s2B_1-cos2C sin?A 3 2 2 c9m-29m2+到 2 13分 0<B< 2 0<2红-B< E<B<I 6 2 .14分 3 2<2B+匹<4π 331 即b2-c 的取值范围是（1,1) 17分 19.【详解】(1)因AB是圆O的直径，则BC⊥AC, 因PC⊥平面ABC,BCC平面ABC,则PC⊥BC, 又PC∩AC=C,ACC平面PAC,故BC⊥平面PAC. 4分 (2)过点C作CH⊥PA于点H,连接BH, 5分 由(1)BC⊥平面PAC,PAC平面PAC,则BC⊥PA, 因BC∩CH=C,BC,CHC平面BCH,故PA⊥平面BCH, 又BHc平面BCH,则PA⊥BH, 即∠BHC即二面角B-PA-C的平面角， 7分 因为BC=V42-25}=2,在R4CP中，2A=V22+23}=4,由面积相等可得 CH=2x25-5,则朋=2+5=万， 4 第7页共8页 则cos∠BHC= CH 321 BH√77 .9分 所以二面角B-2A-C的余弦值为 10分 (3)因CM=x(0≤x≤2)，则AM=√x2+12, 则球O1的半径为R= V2+12, 设点O1到平面PAB的距离为d,则点M到平面PAB的距离为2d.…11分 2 在aPAB中，AB=4,PA=4,PB=2√2，由余弦定理，cs∠PHB=16+16-8_3 2×4×441 则血∠8-，则5m合44-25，w2取--5取-. 4 由wa=s-可得：×27x2a-×2x5配-x. 3 解得d=52-。 2W7 14分 设球O与平面PAB相交得到的截面圆半径为”， 则，2=0M2-d2=+1232-刘2=42+12x+72_+3x+18 428 28 则S=m2=(2+3x+18, 因0三x≤2，对称轴=子<0，放当=0时，及 18π 7 .17分 第8页共8页高一数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.若z(1+i)=i2(i为虚数单位)，则复数z的虚部是() A.1+i 2 B月 c D. 2.已知角a的终边过点P(-3,4),则sin2a=( 7 A.25 24 c. D.- 4 25 5 3.已知平面，B和直线L,n,下列结论正确的是() A.a⊥B,ca,则⊥B B.a⊥B,⊥B,m文a,则//a C./1n,/1a,n/1B,则a/1B D.若n与是异面直线，nc,cB,则a/1B 4.孝感红茶是国家地理标志产品，是全发酵工夫红茶，泡茶时讲 究高冲低斟、均分茶汤.茶壶聚香锁味，小杯小口品茶，一壶 分多杯是工夫茶“分茶奉客、礼敬宾朋”的习俗.如图，一把 圆台形茶壶，上口半径4cm,下口半径6cm,高12cm;配套 圆柱形品茗杯，底面半径2cm,高5cm.装满一壶茶水，最多 能倒满()杯. A.13 B.14 C.15 D.16 5.已知平行四边形ABCD的三个顶点B、C、D的坐标分别是(-1,3)、3,4)、(2,2).那么AC 在AB上的投影向量是( ) 5533 A. 3434 (n5 c(传 D. 6. 已知o>0,在函数y=sinr与y=cosr的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 √3，则w的值为() A.π B. 2 C.2 1 D. 第1页共4页 7.享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地 处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名 闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度OP,他选取 459A 了与该楼底部O在同一水平面内三个共线的测量基点A, B B,C,分别测得塔顶P点的仰角为45°，60°，45°，且 AB=2BC=60m,示意图如图，则该楼高OP=() A.30v2m B.60m C.30m D.303m AC 8. 已知店1c,园-t,C}若点P是△4BC所在平面内一点，且亚-2 AB AC 则PB.PC的最大值为() A.13 B.5-22 C.5-26 D.10+2W2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.有A,B,C三种个体按3：1：2的比例分层随机抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则 样本容量为30 B.数据0,1,2,2,3,4的极差与众数之和为6 C.一组数据5,6,4,2,8，在这组数据中插入一个数5，方差变大 D.数据1,3,5,6,8,9,11,16的上四分位数是10 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若A=30°，b=5,a=2,则△ABC有两解 C.若d=b+c3,则△ABC是锐角三角形 D.若a=b cosAcosBcosC,则A4BC一定是等边三角形 11.已知正三棱柱ABC-AB,C1的高为4，且有内切球O(球O位于三棱柱的内部且与各个面有 且只有一个公共点)，若过O,A,B三点的平面截该三棱柱所得截面为，则() A.AB=6 B.平面OAB⊥平面OAB1 C.截面是等腰梯形 D.该三棱柱被截面α分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为 4 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.如图，水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图为直角梯形OABC,已知 OA=2BC=6,OC=3,则原四边形OABC的面积为 A 13.己知函数f(x)=sin(r+p)(o∈N,0≤p<2π)，f(x)是奇函数且在0,5 单调递减，则 2 0= 14.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形 内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了 解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为 费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知 识解决下面问题：己知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 cos 2B+cos 2C-cos24=1,= ·若点P为△ABC的费马点，bc=12, 则PA.PB+PB.PC+PC.PA= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.(本小题13分) 某校A虹社团组织全校学生参加A虹伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习 人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的AI技术传播者，竞赛分为初赛和决赛两个环 节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按50,60)， [60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图. 频率阻距个 0.035 0.030 0.010 0.005- 0V3060708090100分数 (1)求图中的x值，并估计考核得分的第70百分位数： (2)己知落在[80,90]内的平均成绩是85分，方差是6，[90100]内的平均成绩是97分，方 差是4，求两组成绩合并后的平均数z和方差s2. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、s2；、x,、s,记两组 数据总体的样本平均数为p,则总体样本方差=心 m+n [+-可+区-] 第3页共4页 16.(本小题15分) 在复平面内，0是坐标原点，向量OZ,0Z)对应的复数分别为z1=1-V3i,z2-3+ai(a∈R). (I)互的对应点在第四象限，求实数a的取值范围； D (2)当OZ1OZ时，以分别为正四棱柱ABCD-AB,CD B D 底面棱长和侧棱长，E,F分别是BC,DC的中点，求异面直线AD与 EF所成角的余弦值. 17.(本小题15分) 行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是维空间中，一个线性变 换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等.把符 号 a b a b c d 称为二阶行列式，规定它的运算法则为 c d =ad-bc,己知函数 sinx sinx-cosx f(x)= sinx+cosx 2v3 cosx (1)当x∈[0，兀时，求f(x)的单调递增区间； (2)若对任意的x0引，[/(-2)-a=0部有解，求实数a的取值范围。 18.(本小题17分) 在△4BC中，角4B,C所对边分别为ab,c,且满足cos4-a sinB√3b (1)求角A的大小： (2)若D是线段BC的中点，且a=2,AD=√2，求S△4BC: (3》若△1BC为锐角三角形，4=2，求2-c的取值范围. 19.(本小题17分) 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，直线PC⊥平面ABC.其中 AB=4,PC=2,AC=23. (1)求证：BC⊥平面PAC; (2)求二面角B-PA-C的余弦值： (3)M为PC上的动点，以AM为直径作球O,设CM=x(0≤x≤2)， δ 若球O被平面PAB截得的截面圆的面积为S,求S的最小值. 第4页共4页 晴作各题日的答题《域内件容，想出滥色师形边心限定人域的客案效 晴在各题H的答延区煤叫作青，超出黑色更孔边私限定《域的答素无效 §·i 解答题 16.(本小题15分) 15.(本小题13分) 顿率组距↑ D 0.033 贴条形码区 0.030 准考证号引 B 填涂样例 D 贴缺考标识 0.010 正崎璃涂■ 等生装填山脑考老地填型☐圆 0.005* 0和市090100分数 意土这样脑多源能用28阳笔精律：手海得超品润纯理部平笔填明笔齐影1字体丁数，笔诗请是； 事生请转里可响年直格到性的理低收内外特，国由游绿风或邦可的将重儿蜂：直该址食，争纳面上普雄L业 选择题 6灯面四四 3四国四回 7国国四回 11a回▣回 4四国四回 8国面四回 请在各日的风内作，出色形女限定区域的室无效 填空题 12. 13 请勿在此区域内作答 诗在各题日的容题区域内作爷，超出黑色卸形边框鬼定区线的容老无效 诗在各题日的答题区城内作答，细出黑色拒形边延服定区城的答案无效 诗在各赠目的答区城内作若，超出色矩形边限定区域的若案无效 ”S乙口1+t2t ■ 一B 0r□□ 情在各题日的格则⅓城内作爷，灿出里色郑形边版限定仪域的荐率无效 端在各题日的喜德K城内作荐：烟出黑色知形边板限定风域的将来九效 睛在各思目的答题K城内作将，型出型色郑形边配限定区城的答素大效 17.(本小题15分) 18.(本小题17分) 19.(本小题17分) M 请在各题目的若题区城内作容，超出盟色形边形定区域的答案无效 请在各题日的答题区城内作答，出黑色形边限定区城的答案无效 请在各题日的答题区城内作答，出色矩形边服定区城的答案无效 ■ ”Si▣2丰，↑2+ ■