精品解析：湖北省武汉市部分学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

2023-2024学年度下学期高一年级期末考试 数学试卷 考试时间：2024年6月28日14:30-16:30试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 两个单位向量一定相等 B. 物理学中的重力是向量 C. 若，，则 D. 长度相等的两个向量必相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量相关概念进行判断，得到答案 【详解】A选项，两个单位向量方向不同时，不相等，A错误； B选项，物理学中的重力既有大小，又有方向，是向量，B正确； C选项，若，则满足，，但不一定平行，C错误； D选项，长度相等，但方向不同的两个向量不相等，D错误. 故选：B 2. 已知复数，则Z的虚部为（ ） A. 1 B. i C. 2 D. 2i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出复数，即得其虚部. 【详解】， 则Z的虚部为1. 故选：A 3. 某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，每人被抽到的可能性都为0.3，则n等于（ ） A. 160 B. 200 C. 280 D. 300 【答案】D 【解析】 【分析】根据从总体中抽取样本的概率计算方法可得. 【详解】由题意,所以(人) 故选：D. 4. 若圆柱的底面半径为2，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，直接求出球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】因为圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，设球的半径为， 又圆柱的底面半径为2，母线长为2，则，所以该球的表面积为， 故选：D. 5. 如图，在立体图形中，若，，是的中点，则下列命题中一定正确的是（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】C 【解析】 【分析】利用垂直关系，结合面面垂直的判断定理，即可判断选项. 【详解】因为，且是的中点，所以BE⊥AC， 因为，且是的中点，所以DE⊥AC， 因为，平面， 所以平面，由于平面， 所以平面平面，C正确； 在平面内取点，作，，垂足分别为，，如图， 因为平面，由于平面， 所以平面平面，平面平面，平面，， 则平面，平面，所以， 若平面平面，同理可得，而，平面， 于是得平面，显然与平面不一定垂直，A不正确； 过A作边上的高，连，由得，是边上的高， 则是二面角的平面角，而不一定是直角，即平面与平面不一定垂直，B不正确； 因平面，则是二面角的平面角，不一定是直角， 平面与平面不一定垂直，D不正确. 故选：C 6. 已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用周期公式结合函数图象求出和的值，即，再找一点坐标代入函数解析式即可求值，再根据平移变换求出即可. 【详解】由函数图象可知，即，解得， 函数的最大值为，则， 所以函数解析式为， 将点代入解析式得，则, 解得， 又因为，所以时，， 所以函数解析式为， 将函数图象上所有点向左平移个单位长度， 得到函数. 故选：A 7. 在正方体中，若，，则BE与DF所成的角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设空间的一组基底，将直线BE与DF的方向向量用基底表示，再利用空间向量的夹角公式即可求得. 【详解】 如图，设正方体棱长为4，， 则，. 因， ， 则，故， ，故， 且， 则， 设BE与DF所成的角为，则. 故选：C. 8. 在正方体中，已知，点O在棱上，且，P为正方体表面上的动点，若，则点P的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，则点P会在4个面内有轨迹，且均是圆弧，分别计算半径和圆心角即可. 【详解】依题意，∵，，，∴，， 所以，所以，又因为，所以， 所以，即. 在平面内满足条件的点的轨迹为， 该轨迹是以5为半径的个圆周，所以长度为； 同理，在平面内满足条件的点轨迹长度为； 在平面内满足条件的点的轨迹为以为圆心， 为半径的圆弧，长度为； 同理，在平面ABCD内满足条件的点的轨迹为以A为圆心，AE为半径的圆弧，长度为. 故轨迹的总长度为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用平面向量的性质判断A，应用数量积公式计算判断B，应用向量加法计算判断C，应用数量积运算律及性质计算判断D. 【详解】因为向量不能比较大小，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项正确； ，D选项正确； 故选：BCD. 10. 在正方体中，，，过E，F的平面将正方体截成两部分，则所得几何体可能是（ ） A. 直三棱柱 B. 四棱柱 C. 五棱柱 D. 三棱台 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正方体的结构特征，结合平面图形的性质分别分析截面形状即可求出结果. 【详解】如图， 连接，，则平面可截得三棱锥， 如图，过作，过作， 则过，的平面可截得直三棱柱和直五棱柱 如图，延长至，连接，分别与交于两点，，则可得平面截得三棱台 将四边形分成一个三角形和一个五边形，所以不可能得到四棱柱. 故选：ACD 11. 已知函数与直线在第一象限内的交点的横坐标从小到大依次为，，，…，，…，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用辅助角公式得，利用图象平移，得其图象，结合图象及的性质，得，，再逐一分析选项，即可求解. 【详解】因为，其图象可由向右平移个单位得到，图象如图所示， 令，得到，令，得到， 由的性质，结合图象知，， 所以，，故A正确，B和C错误， 对于D，因为，则， 所以，则D正确， 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】将直观图还原为原图，如图所示，进而求解． 【详解】根据题意，直观图中，轴，轴，且， 由斜二测画法，将直观图还原为原图， 如图所示， 则是直角三角形，其中，， 故的面积为． 故答案为：4． 13. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理和平面向量数量积运算公式求解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以, 故答案为：. 14. 某政府准备在三个村之间修建一个物流中转站，若把村庄所在地视为点，已知，，.通过前期的勘测，中转站D选在B，C两村的连线上，且D到A，B两村之间的距离相等，则之间的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理求得，再结合正弦定理求得，在三角形中，由余弦定理即可求解. 【详解】 由余弦定理：， 即， 所以， 由正弦定理可得：， 可得：，即， 所以， 设， 由余弦定理可得， 解得：， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若，求x的值； （2）若向量，，求与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求，再由关系结合向量垂直的坐标表示列方程可求， （2）先求，再由条件结合向量平行的坐标表示列方程求，根据向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为，，， 所以， 所以， 所以x的值为， 【小问2详解】 因为，， 所以， 因为，，， 所以， 所以， 所以，又， 所以，，， 所以， 所以与的夹角的余弦值为. 16. 设的内角所对的边分别是，且向量与共线， （1）求； （2）若，，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示以及正弦定理求解； （2）利用余弦定理和面积公式求解. 【小问1详解】 因为向量与共线， 所以， 边化角可得，， 因为，所以，所以， 即， 因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，可得， 整理得，解得或（舍）， 所以， 即，解得. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面底面，且，设E，F分别为，的中点． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明：在△中，，， 由，可得， ． 由平面平面，平面平面， ，平面，可得平面， 又面，则， ． 又，，面， 则平面，又平面， 则平面⊥平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，由面面，可得，则有面，可证得平面⊥平面； （2）求点E到面的距离和的长，可直线与平面所成角的大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点S，中点T，连接，又E，F分别为的中点， 则，，，， 又，则， 则四边形为平行四边形，则， 连接，中，，则， 又面⊥面，面面，面， 则平面，则为点P到平面的距离， 又E为的中点，则点E到平面的距离为， 又△中，，，， 则，，则点E到面的距离为， 又， 设直线与平面所成角为，则， 又，则，则直线与平面所成角的大小为．． 18. 在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，，且，其中为坐标原点. （1）若，设为线段上的动点，求的最小值； （2）若，向量，向量，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出点坐标，求得的表达式，结合二次函数的性质求得最小值. （2）结合向量数量积的运算、三角恒等变换、三角函数最值的求法求得的最小值. 【小问1详解】 已知点的坐标为，为线段上的动点，设， 因为，且，， 则， 所以， 所以， 所以当时，最小，最小值为. 【小问2详解】 因为，且，的坐标为， 则，则， 又， 则， ， 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值1， 则取得最小值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面与相交于点，点在上，． （1）证明：平面； （2）若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，求． 【答案】（1） 底面是菱形，， 平面，且平面，. 又，平面,平面， 平面，，又，且平面，， 平面，平面，， ，，即，又平面， 且，平面． （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可证明平面； （2）建立空间直角坐标系，由（1）知平面，即可得，再求平面和平面的法向量即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，以为轴，为轴，过点且平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 ， ,,又, 在中由勾股定理得, 即,. ，， ，，平面， 与平面所成的角为，平面， 是平面的一个法向量，平面，平面， 平面平面，设，只需，则平面， 则， 令，则， ，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度下学期高一年级期末考试 数学试卷 考试时间：2024年6月28日14:30-16:30试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 两个单位向量一定相等 B. 物理学中的重力是向量 C. 若，，则 D. 长度相等的两个向量必相等 2. 已知复数，则Z的虚部为（ ） A. 1 B. i C. 2 D. 2i 3. 某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，每人被抽到的可能性都为0.3，则n等于（ ） A. 160 B. 200 C. 280 D. 300 4. 若圆柱的底面半径为2，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在立体图形中，若，，是的中点，则下列命题中一定正确的是（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 6. 已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 7. 在正方体中，若，，则BE与DF所成的角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，已知，点O在棱上，且，P为正方体表面上的动点，若，则点P的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. D. 10. 在正方体中，，，过E，F的平面将正方体截成两部分，则所得几何体可能是（ ） A. 直三棱柱 B. 四棱柱 C. 五棱柱 D. 三棱台 11. 已知函数与直线在第一象限内的交点的横坐标从小到大依次为，，，…，，…，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为__________． 13. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则__________. 14. 某政府准备在三个村之间修建一个物流中转站，若把村庄所在地视为点，已知，，.通过前期的勘测，中转站D选在B，C两村的连线上，且D到A，B两村之间的距离相等，则之间的距离为__________. 四、解答题：本题共5小题共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若，求x的值； （2）若向量，，求与的夹角的余弦值. 16. 设的内角所对的边分别是，且向量与共线， （1）求； （2）若，，求边上的高. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面底面，且，设E，F分别为，的中点． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 18. 在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，，且，其中为坐标原点. （1）若，设为线段上的动点，求的最小值； （2）若，向量，向量，求的最小值. 19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面与相交于点，点在上，． （1）证明：平面； （2）若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $