精品解析：湖北某地区2025-2026学年下学期期末质量监测高一数学试题

2026年春季学期期末质量监测 高一数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在高一下学期期中考试后，数学老师随机抽取了6名同学第19题的得分情况如下：3，10，5，6，4，2，则这组数据的平均数和极差分别为（ ） A. 5，8 B. 6，8 C. 5，7 D. 6，7 2. 在中，，，，则（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 3. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，且m，，则 B. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（ ） A. 13 B. 34 C. 20 D. 25 5. 已知圆台上下底面半径分别为1，2，圆台的母线与底面所成的角为60°，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在棱长为1的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 设、、、是同一个半径为5的球的球面上四点，为等腰直角三角形且面积为16，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，所对的边分别为，，，已知且，若面积为2，则（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. 最大值为2 B. 的图象关于对称 C. 函数为偶函数 D. 函数在上单调递增 10. 一组样本有互不相等的5个数据，平均数记为，方差记为，下列说法错误的是（ ） A. 去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于 B. 去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于 C. 去掉样本数据中的最小值后得到一组新数据，其方差小于 D. 去掉样本数据中的中位数后得到一组新数据，其方差小于 11. 已知三棱锥，为在底面的射影，下列说法正确的是（ ） A. 若三条侧棱，，与底面所成角均相等，则为的外心 B. 若，，，垂足为，则为的垂心 C. 若，则为的内心 D. 若三组相对棱的中点间的距离相等，则三组相对的棱也互相垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 我市某所高中，其中一、二、三年级的人数比为，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则应抽取一年级的人数为__________． 13. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，则的面积的最大值为__________． 14. 设正方体的棱长为2，点在正方体的表面上运动，且满足与平面成的角，则点轨迹的长度为__________． 四、本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演绎步骤． 15. 复数的共轭复数为，为虚数单位． （1）若是关于的实系数一元二次方程的一根，求实数，的值； （2）若，求复数． 16. 单位向量，满足． （1）求与夹角的余弦值； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 17. 为增强中学生国防观念，提升青少年爱国情怀与国防素养，某市高中举办了“青春筑国防”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取200份作为样本数据，将样本答卷中分数分成六组：，…，，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本数据的第50百分位数； （3）已知落在内样本数据的平均数是55，方差是6；落在内样本数据的平均数是64，方差是，且这两组数据的总方差是22，求落在内样本数据的方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，和，，，记总体的样本平均数为，样本方差为，则 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求角和； （2）已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且． ①若，求的周长； ②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 19. 如图，在底面为菱形的直四棱柱中，M、N是直四棱柱上底面内相异的两点且． （1）若M为上底面的中心且，求异面直线与所成角的余弦值； （2）恰好是二面角的平面角，证明：点M在定直线上； （3）在（2）的条件下若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期期末质量监测 高一数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在高一下学期期中考试后，数学老师随机抽取了6名同学第19题的得分情况如下：3，10，5，6，4，2，则这组数据的平均数和极差分别为（ ） A. 5，8 B. 6，8 C. 5，7 D. 6，7 【答案】A 【解析】 【详解】这6个数据的平均数为； 这6个数据的最大值为10，最小值为2，所以这组数据的极差为. 2. 在中，，，，则（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以. 3. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，且m，，则 B. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由线面，面面关系判断各选项即可. 【详解】对于A，注意到当m，n平行时，直线l不垂直于平面，故A错误； 对于B，当这三点有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧时，平面与平面不平行，故B错误； 对于C，若，则直线不平行于平面，故C错误； 对于D，因，则在平面内的任意直线均与直线n垂直，又， 则在平面内的任意直线均与直线m垂直，由直线与平面垂直定义可知，故D正确. 故选：D 4. 如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（ ） A. 13 B. 34 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】根据为边的中点，得，从而，分别求和的值，代入即可. 【详解】因为为边的中点，根据向量的平行四边形法则可知，， 所以. 取边中点，连接，则，所以. 所以 . 同理可得， 50. 所以 . 5. 已知圆台上下底面半径分别为1，2，圆台的母线与底面所成的角为60°，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设上下底面圆半径分别为和，母线为. 因为，所以 ，所以. 所以. 6. 如图，在棱长为1的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接MD，取其中点Q，连接，由得到是直线AM和CN的夹角或补角，接着在中由余弦定理求出即可求解. 【详解】连接MD，取其中点Q，连接， 由题意可得， ，且， 所以是直线AM和CN的夹角或补角，， 所以. 所以，即直线AM和CN夹角的正弦值为. 故选：C 7. 设、、、是同一个半径为5的球的球面上四点，为等腰直角三角形且面积为16，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得外接圆半径，进而可得球心到平面的距离，结合球的性质可知三棱锥的高的最大值，即可得结果． 【详解】不妨设，设，则，所以， 设的外接圆的圆心为，半径为，则， 则球心到平面的距离， 当、、共线且在线段上时，三棱锥的高最大为， 此时三棱锥的体积也最大，最大值为. 8. 在中，，，所对的边分别为，，，已知且，若面积为2，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合三角变换和正弦定理，可求边，再结合三角形的面积公式和余弦定理，可求，再利用二倍角公式，可求. 【详解】因为. 所以 所以 所以. 由正弦定理可得：，又，所以. 因为面积为2，所以，.① 由余弦定理可得：, 所以： ② ①②可得：，即. 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. 最大值为2 B. 的图象关于对称 C. 函数为偶函数 D. 函数在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出的解析式，结合三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为， 利用伸缩变换得到，再逐项判断： 则的最大值为2，故A正确； 因为， 所以的图象不关于对称，故B错误； 因为 所以函数为偶函数，故C正确； 因为， 所以， 又因为在上单调递增， 所以在上单调递增，故D正确. 10. 一组样本有互不相等的5个数据，平均数记为，方差记为，下列说法错误的是（ ） A. 去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于 B. 去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于 C. 去掉样本数据中的最小值后得到一组新数据，其方差小于 D. 去掉样本数据中的中位数后得到一组新数据，其方差小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】AC选项，可举出实例；B选项，由方差的意义可得；D选项，当平均数和中位数相等时，掉样本数据中的中位数后，其方差为，D错误. 【详解】对于 A，设这5个互不相等的数据为， 则它们的平均数为， 去掉最大值和最小值后，新数据为，其平均数为， 一般情况下， 例如数据，其平均数为， 去掉1和10后，新数据的平均数为，不相等，故A选项错误； 对于B，方差反映数据的离散程度，原数据中最大值和最小值会使数据的离散程度较大， 去掉最大值和最小值后，数据相对更加集中，根据方差的意义，新数据的方差会小于原方差，故B选项正确； 对于C，去掉最小值后，新数据的方差不一定小于原方差，故C选项错误， 下面举出例子，设这5个互不相等的数据为0,0.1,0.2,0.3,4， 则它们的平均数为， 方差为， 去掉最小值0后，新数据为0.1,0.2,0.3,4，其平均数为， 其方差为， ，C错误； 对于 D，设这5个互不相等的数据为， 则它们的平均数为， 方差为， 中位数是将数据排序后位于中间位置的数，当去掉中位数后， 剩下的4个数其平均数为， 所以当时，其方差为， 其方差会大于原方差，故D错误. 故选：ACD 11. 已知三棱锥，为在底面的射影，下列说法正确的是（ ） A. 若三条侧棱，，与底面所成角均相等，则为的外心 B. 若，，，垂足为，则为的垂心 C. 若，则为的内心 D. 若三组相对棱的中点间的距离相等，则三组相对的棱也互相垂直 【答案】ABD 【解析】 【分析】对 A，利用线面角相等结合直角三角形全等推导出，依据外心定义判定是外心；对 B，先由三条侧棱两两垂直证侧棱垂直底面一边，再结合射影垂直推出底面三条高线交于，依据垂心定义判定是垂心；对 C，由侧棱相等结合直角三角形全等得，应为外心而非内心，直接判定错误；对 D，取各棱中点构造平行四边形，由对角线相等推出邻边垂直，进而反证三组对棱互相垂直. 【详解】因为为在底面的射影，所以平面， 所以与底面所成的角为，与底面所成的角为， 与底面所成的角为， 因为平面，平面，所以，，， 所以都是直角三角形， 对于A，由已知可得，，， 所以，所以，同理可证，所以， 所以为的外心，A正确； 对于B，因为，，，平面， 所以平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以，又，平面， 所以平面，平面，所以，同理可证，， 所以为的垂心，B 正确； 对于C，因为都是直角三角形，又，， 所以，所以，同理可证，所以， 所以为的外心，C错误； 对于D，设棱的中点分别为，则，，，， 所以，，所以四边形为平行四边形，又， 所以四边形为矩形，所以， 因为点为的中点，点为的中点，所以，又， 所以，同理可证，，所以三棱锥三组相对的棱互相垂直，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 我市某所高中，其中一、二、三年级的人数比为，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则应抽取一年级的人数为__________． 【答案】150 【解析】 【分析】利用分层抽样的抽样比计算求解. 【详解】由题意可得应抽取一年级的人数为. 13. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，则的面积的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角恒等变换求出，再由余弦定理及三角形面积公式求解. 【详解】由， 即，，故. 根据余弦定理：，即 . 当时等号成立，故. 14. 设正方体的棱长为2，点在正方体的表面上运动，且满足与平面成的角，则点轨迹的长度为__________． 【答案】 【解析】 【详解】 因为与平面成的角， 故在以为对称轴且轴截面顶角的一半为的圆锥面上（除去）， 而在正方体表面上且由正方体的性质有， 故的轨迹为线段和个圆（）， 故点轨迹的长度为. 四、本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演绎步骤． 15. 复数的共轭复数为，为虚数单位． （1）若是关于的实系数一元二次方程的一根，求实数，的值； （2）若，求复数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一：利用韦达定理求解即可； 法二：将代入求解即可； （2）设，求得，代入求解即可. 【小问1详解】 法一：由已知有方程的两根为 由根与系数的关系得 解得. 法二：由已知有， ， 由复数的相等得， 解得. 【小问2详解】 设， 则， 所以， 由复数的相等有， 所以，故， 所以或（舍去） 所以. 16. 单位向量，满足． （1）求与夹角的余弦值； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的运算法则求得，再由模长与数量积求得与夹角的余弦值； （2）由题意得且与不共线，从而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【小问1详解】 （1）因为，， 所以，即，则， 所以，即与夹角的余弦值为. 【小问2详解】 （2）因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线， 当与共线时，有，即， 由（1）知与不共线，所以，解得， 所以当与不共线时，， 由，得， 即，解得， 所以且，即实数的取值范围为. 17. 为增强中学生国防观念，提升青少年爱国情怀与国防素养，某市高中举办了“青春筑国防”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取200份作为样本数据，将样本答卷中分数分成六组：，…，，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本数据的第50百分位数； （3）已知落在内样本数据的平均数是55，方差是6；落在内样本数据的平均数是64，方差是，且这两组数据的总方差是22，求落在内样本数据的方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，和，，，记总体的样本平均数为，样本方差为，则 【答案】（1） （2）75 （3）3 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1，即可求得的值； （2）先计算各组的频率，判断第50百分位数所在的组，然后根据第50百分位数前的频率为0.5计算. （3）先计算样本数据在区间和区间上的个数，再计算总体样本平均数为，代入样本方差计算公式求解. 【小问1详解】 根据频率分布直方图的性质，可得， 解得. 【小问2详解】 由频率分布直方图得，前3组数的频率为， 前4组数的频率为， 因此第50百分位数在第4组即区间上， 设第50百分位数为m，则满足，解得. 【小问3详解】 样本数据在区间的个数为，在区间上的个数为， 所以两组数据的总平均数， 又由，解得． 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求角和； （2）已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且． ①若，求的周长； ②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】（1）， （2）①；②当，的面积取最小值 【解析】 【分析】（1）先用正弦定理把边化为角，求出，得到角，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简后利用特殊角即可求出角； （2）①先利用第一问结论确定三边长度，在中用余弦定理判定出直角关系，再借助，求出三边长度，从而得到周长； ②设，分别在两个三角形里用正弦定理表示出，代入面积公式化简为关于的三角函数，利用正弦函数的最值条件即可求出面积的最小值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 又，所以，则， 又，所以； 因为，由余弦定理可得, 即，由正弦定理可得， 所以， 则， 所以， 即，即，即， 又，所以，所以，则. 【小问2详解】 ①由（1）可知， 因为，由正弦定理，即， 所以，， 在中，由余弦定理可得 ，则， 因为，所以， 因为，所以，， 所以的周长为. ②设， 在中，， 由正弦定理，得， 又在中，由正弦定理可得，得， 所以 ，因为，所以， 所以当且仅当，即时，的面积取到最小值为. 19. 如图，在底面为菱形的直四棱柱中，M、N是直四棱柱上底面内相异的两点且． （1）若M为上底面的中心且，求异面直线与所成角的余弦值； （2）恰好是二面角的平面角，证明：点M在定直线上； （3）在（2）的条件下若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1） （2）证明：由于是二面角的平面角，则， 因为，平面，平面，所以面， 又因为面，以， 因为直四棱柱，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 又因为在直四棱柱中，可得平面， 因为面，则， 又因为，且平面，所以面， 由平面且平面， 又由平面与面有公共直线，可得平面与面重合， 所以点M在面内，又点M在面内，所以面， 所以点M在上． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得直四棱柱的底面为正方形，结合异面直线的定义，得到为异面直线与所成角，利用，即可求解； （2）根据题意，得到，证得面，得到，进而得到，证得面，得到平面与面重合，即可得到答案； （3）根据题意，证得点M为上底面中心，过M作交于K，交于L，作交于P点，证得，进而得到平面，得到直线与平面所成角，结合和基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为在底面为菱形直四棱柱中， 可得且平面，平面， 所以且， 又因为，所以， 由直四棱柱的底面为菱形，所以底面为正方形， 因为，所以为正方体，可得， 所以为异面直线与所成角， 又因为为上底面的中心，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，由（1）知底面为正方形且为长方体， 又因为，所以，所以， 因为点M在上，故点M为的中点，所以点M为上底面中心， 过M作交于K，交于L，则K为的中点，L为的中点， 作交于P点， 因为面且面，则， 又因为，平面，平面，所以平面， 则直线与平面所成角 设，则 因为，所以 所以， 当且仅当时，等号成立， 故直线与平面所成角的正弦值的最大值是． 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $