1.3.5 HL全等判定 专项练习 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦HL全等判定，通过选择、填空、解答题系统覆盖判定条件辨析、图形应用及综合证明，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|8题|HL条件直接应用、判定依据选择、多结论辨析|从HL概念到不同图形中直角边与斜边的对应关系| |填空|4题|全等依据填写、条件添加、性质应用|结合垂直条件强化直角三角形隐含条件挖掘| |解答|8题|全等证明、角平分线判定、实际应用|从基础证明到综合应用，体现推理能力与应用意识|

1.3.5HL全等判定专项练习答案解析 一、选择题 1、答案：C 解析： 已知∠C=90°，DE⊥AB，因此△BCD 和△BED 均为直角三角形。 在 Rt△BCD 和 Rt△BED 中，BE=BC，BD=BD（公共边），根据 HL 定理可得 Rt△BCD≌Rt△BED，因此CD=DE。 由此可得AD+DE=AD+CD=AC=8cm。 2、答案：D 解析： 已知 AE⊥BC，DF⊥BC，因此△ABE 和△DCF 均为直角三角形。 HL 定理要求直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，已知BE=CF（一组直角边相等），因此需要添加斜边相等的条件，即AB=DC，即可通过 HL 证明两个三角形全等。 其他选项中，A 选项可通过 SAS 证明全等，B、C 选项可通过 AAS 证明全等，均不符合 HL 的要求。 3、答案：C 解析： HL 定理的核心是直角三角形的斜边与一条直角边对应相等。 选项 C 中，AC＝A′C′（直角边对应相等），AB＝A′B′（斜边对应相等），完全符合 HL 的判定条件。 A 选项为 SAS 判定，B、D 选项为 AAS/ASA 判定，均不符合 HL 的要求。 4、答案：C 解析： 图中的全等直角三角形共有 3 对： Rt△ABE ≌ Rt△ACD：∠A 为公共角，∠AEB=∠ADC=90°，AB=AC，通过 AAS 可证全等。 Rt△BDO ≌ Rt△CEO：由上一对全等可得 BD=CE，结合对顶角与直角，通过 AAS 可证全等。 Rt△ADO ≌ Rt△AEO：由第一对全等可得 AD=AE，结合公共边 AO，通过 HL 可证全等。 注意：△ABO 与△ACO 并非直角三角形，不计入 “全等的直角三角形” 的统计中。 5、答案：D 解析： 要使用 HL 判定 Rt△ABC≌Rt△DEF，需要斜边 AC=DF，同时已有直角边 AB=DE。 选项 D 中，AD=CF，则AD+DC=CF+DC，即AC=DF，满足了斜边相等的条件，即可通过 HL 完成判定。 选项 A 可通过 SAS 判定，B 可通过 AAS 判定，C 仅能得到角相等，均不符合 HL 的要求。 6、答案：B 解析： 逐一分析选项： A：斜边和一锐角对应相等，结合直角相等，可通过 AAS 证明全等，说法正确。 B：对于直角三角形，若两边对应相等，无论这两边是两条直角边，还是一条直角边 + 斜边，都可以通过 SAS 或 HL 证明全等，因此 “有两边对应相等的两个直角三角形一定全等”，该选项的说法错误。 C：一直角边和一锐角对应相等，结合直角相等，可通过 AAS 证明全等，说法正确。 D：两个锐角相等仅能说明三角形相似，无法保证边长相等，因此不一定全等，说法正确。 7、答案：B 解析： 逐一分析： A：两角及夹边，符合 ASA，可唯一确定三角形。 B：∠A=30°，AB=5，BC=3，属于 SSA 的情况，且 30° 角的对边 BC=3 < 邻边 AB=5，此时可以画出两个不同的三角形，无法唯一确定。 C：两边及夹角，符合 SAS，可唯一确定三角形。 D：直角三角形的斜边和一条直角边，符合 HL，可唯一确定三角形。 8、答案：A 解析： 过 E 作 EF⊥AD 于 F： 因为 AE 平分∠BAD，AB⊥BC，根据角平分线的性质，BE=EF；又 E 是 BC 中点，BE=EC，因此EF=EC，可证 DE 平分∠ADC，即∠ADE=∠CDE，结论②成立。 由角平分线的性质，AB=AF，CD=DF，因此AD=AF+DF=AB+CD，结论④成立。 因为 AB∥CD，所以∠BAD+∠ADC=180°，因此∠EAD+∠EDA=90°，可得∠AED=90°，结论①成立。 四边形 ABCD 的面积等于△ABE、△CDE、△AED 的面积和，而△ABE≌△AFE，△CDE≌△DFE，因此总面积等于 2 倍的△AED 的面积。又因为∠AED=90°，△AED 的面积为(AE×DE)/2，因此四边形面积为AE×DE，结论③成立。 四个结论均成立。 二、填空题 9、答案：HL 解析： AD⊥BC，因此△BDF 和△ADC 均为直角三角形，已知BF＝AC（斜边对应相等），CD＝DF（直角边对应相等），符合 HL 的判定条件。 10、答案：BC=DC（或∠BAC=∠DAC，答案不唯一） 解析： 已知AB=AD，AC=AC（公共边），添加BC=DC可通过 SSS 证明全等；添加∠BAC=∠DAC可通过 SAS 证明全等；若添加∠B=∠D=90°，也可通过 HL 证明全等，任选其一即可。 11、答案：①②③ 解析：①一条直角边及其对角对应相等：结合直角，可通过 AAS 证明全等，符合条件。 ②斜边和一条直角边对应相等：即 HL 定理，符合条件。 ③斜边和一锐角对应相等：结合直角，可通过 AAS 证明全等，符合条件。 ④两个锐角对应相等：仅能说明相似，无法保证全等，不符合条件。 12、答案：∠ABC+∠DFE=90°（或互余） 解析： 由题意，滑梯长度相同，即BC=EF，且AC=DF，∠BAC=∠EDF=90°，因此 Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），可得∠ABC=∠DEF。 在 Rt△DEF 中，∠DEF+∠DFE=90°，因此∠ABC+∠DFE=90°，两个角互余。 三、解答题 13、证明： ∵ AC⊥BC，AD⊥BD， ∴ ∠C=∠D=90°，即△ACB 和△BDA 均为直角三角形。 在 Rt△ACB 和 Rt△BDA 中： ∴ Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）。 14、 证明： ∵ AC⊥BO，BD⊥AO， ∴ ∠ACB=∠BDA=90°， 即△ABC 和△BAD 均为直角三角形。 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中： ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）， ∴ ∠ABC=∠BAD， ∴ AE=BE（等角对等边）。 15、 证明： ∵ BF=DE， ∴ BF-EF=DE-EF，即 BE=DF。 ∵ AE⊥BD，CF⊥BD， ∴ ∠AEB=∠CFD=90°， 即△BAE 和△DCF 均为直角三角形。 在 Rt△BAE 和 Rt△DCF 中： ∴ Rt△BAE≌Rt△DCF（HL）。 16、 证明： ∵ DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ ∠DEB=∠DFC=90°，即△BDE 和△CDF 均为直角三角形。 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中： ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴ DE=DF。 又∵ DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ AD 平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）。 17、 证明： ① ∵ BE⊥CD， ∴ ∠BEC=∠DEA=90°，即△BEC 和△DEA 均为直角三角形。 在 Rt△BEC 和 Rt△DEA 中： ∴ Rt△BEC≌Rt△DEA（HL）。 ② 由①可知，∠B=∠D， ∵ 在 Rt△BEC 中，∠B+∠C=90°， ∴ ∠D+∠C=90°， ∴ ∠CFD=180°-(∠D+∠C)=90°， ∴ DF⊥BC。 18、证明： （1）∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDF=∠PEG=90°， 即△PFD 和△PGE 均为直角三角形。 在 Rt△PFD 和 Rt△PGE 中： ∴ Rt△PFD≌Rt△PGE（HL）。 （2）由（1）可知，PD=PE， 又∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ OC 是∠AOB 的角平分线（到角两边距离相等的点在角的平分线上）。 19、解： (1) CB 与 DA 相等，理由如下： ∵ 两人速度相同，同时出发同时到达， ∴ AC=BD。 ∵ CB⊥AB，DA⊥AB， ∴ ∠DAB=∠CBA=90°， 即△DAB 和△CBA 均为直角三角形。 在 Rt△DAB 和 Rt△CBA 中： ∴ Rt△DAB≌Rt△CBA（HL）， ∴ DA=CB。 (2) 由 (1) 的全等可知，∠DBA=∠CAB， ∵ ∠DAC=60°，∠DAB=90°， ∴ ∠CAB=∠DAB-∠DAC=30°， ∴ ∠DBA=30°。 20、 解： （1）证明： ∵ AE=CF， ∴ AE+EF=CF+EF，即 AF=CE。 ∵ DE⊥AC，BF⊥AC， ∴ ∠DEC=∠BFA=90°，即△ABF 和△CDE 均为直角三角形。 在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中： ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）， ∴ BF=DE。 在△DEG 和△BFG 中： ∴ △DEG≌△BFG（AAS）， ∴ EG=FG。 （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： ∵ AE=CF， ∴ AE-EF=CF-EF，即 AF=CE。 同理可证，Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），可得 BF=DE。 同理可证△DEG≌△BFG（AAS），因此 EG=FG，结论仍然成立。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3.5HL全等判定专项练习 一、选择题 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是 AC 上一点，DE⊥AB 于点 E，BE=BC，连接 BD，若 AC=8cm，则 AD+DE 等于（ ） A．6cm B．7cm C．8cm D．10cm 2、如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据 “HL” 证明 Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是 ( ) A. AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D. AB＝DC 3、如图，要用 “HL” 判定 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′全等的条件是（ ） A．AC＝A′C′，BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′ D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′ 4、如图，AB＝AC，CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E，BE 与 CD 相交于点 O，,连接 AO,则图中全等的直角三角形有 ( ) A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对 5、如图，已知点 A ､ D ､ C ､ F 在同一条直线上，∠B=∠E=90° , AB=DE , 若添加一个条件后，能用 "HL" 的方法判定 Rt△ABC≌Rt△DEF , 添加的条件可以是 ( ) A. BC=EF B. ∠BCA=∠F C. AB∥DE D. AD=CF 6、下列语句中不正确的是 ( ) A. 斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形一定全等 B. 有两边对应相等的两个直角三角形不一定全等 C. 有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形一定全等 D. 有两个锐角相等的两个直角三角形不一定全等 7、根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC 的是（ ） A.∠A=60°，∠B=45°，AB=4 B.∠A=30°，AB=5,BC=3 C.∠B=60°，AB=6,BC=10 D.∠C=90°，AB=5,AC=3 8、如图，点 E 是 BC 的中点，AB⊥BC , DC⊥BC，AE 平分 ∠BAD , 下列结论: (1) ∠AED=90° ;② ∠ADE=∠CDE ;③四边形 ABCD 的面积等于 AE ×DE ;④ AD=AB+CD . 四个结论中成立的是 A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.①② 二、填空题 9、如图，在 ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，BF＝AC，CD＝DF，证明图中两个直角三角形全等的依据是定理 ． 10、如图，已知AB=AD，要使△ABC≌△ADC，那么应添加的一个条件是 11、能使两个直角三角形全等的条件有 （填序号） ①一条直角边及其对角对应相等；②斜边和一条直角边对应相等；③斜边和一锐角对应相等；④两个锐角对应相等． 12、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的数量关系是 ． 三、解答题 13、已知：如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，求证：△ACB≌△BDA。 14、如图，AC⊥BO，BD⊥AO，CO=DO，AD=BC，求证：AE=BE。 15、已知 AB=CD , AE ⊥ BD , CF ⊥ BD , 垂足分别为 E ､ F , BF= DE . 求证: △BAE ≌ △DCF 16、如图，在△ABC 中，BD＝CD，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，若 BE＝CF. 求证：AD 平分∠BAC. 17、如图，BE⊥CD，BE=DE，BC=DA， 求证：①△BEC≌△DEA； ②DF⊥BC． 18、如图，P 是 OC 上一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，F，G 分别是 OA，OB 上的点，且 PF＝PG，DF＝EG． （1）求证：△PFD≌△PGE； （2）求证：OC 是∠AOB 的角平分线． 19、 如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点 A，B 出发，小明沿 AC 行走，小芳沿 BD 行走，两人分别同时到达，点 C，D，若 CB ⊥ AB，DA ⊥ AB． (1) CB 与 DA 相等吗？为什么？ (2) 若∠DAC = 60°，求∠DBA 的度数． 20、如图，A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB=CD. （1）如图①，若EF与BD相交于点G，求证：EG=FG. （2）如图②，若将△DEC的边EC沿AC方向移动至图中所示的位置，其余条件不变，则（1）中的结论是否还成立？请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $