专题6.3 正弦定理、余弦定理之解三角形拓展2（中线定理、射影定理、阿氏圆）讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦解三角形拓展核心考点，涵盖中线定理、射影定理及阿氏圆，按“定义推导-例题解析-分层练习”逻辑架构知识体系，通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题技巧，真题训练强化应用能力，助力学生突破解三角形综合问题难点。 资料突出“推导-应用-提升”三阶教学法，如中线定理推导培养推理意识，阿氏圆结合正弦定理转化提升抽象能力，设置基础到综合分层练习即时巩固。有效培养数学思维与应用意识，帮助学生高效掌握解题策略，为教师精准把控复习节奏提供实用教学资源。

专题6.3 正弦定理、余弦定理之解三角形拓展2 6.3.1 中线定理 在中，若为边上的中线，则有如下结论： 1.若已知三边长，则有或者. 2.若已知两边长及夹角，则有. 结论1推导： 如图所示，，从而有. 在，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得： 于是有. 因为为中点，所以. 化简可得：. 则 结论2推导：因为点为中点，则有， 所以 ∴. 例1.在中，已知，设的中点为，则  . 解：由中线长定理可知，，将代入， .故答案为：. 例2.记的内角的对边分别为，满足. （1）求角； （2）若是中线，求的长. 解：(1)因为，由正弦定理可知： 由，故， ， ， ，又，所以. （2）根据数量积的定义，由，得， 又，在中由余弦定理得， ，， 所以. 例3.在中，内角的对边分别为，且. （1）求角的正弦值； （2）若，求边上的中线的最大值. 解：（1）， . ，又，. （2）由余弦定理得. 因为，所以(当且仅当时取等号). , . ，即的最大值为. 1.（多选）在中，，为中点，下列说法正确的是（ ） A.若，则 B.取值范围为 C.若，则 D. 解：A：，，正确； B：由三边关系，，，故，正确； C：，，错误； D：，正确. 故选：. 2.在中，，，，是边上中线，则= . 解：由中线定理得：，所以.故答案为：. 3.中，，，边上中线，则边长为 . 解：由中线定理得：，则， 解得：.故答案为：. 4.记内角对边为，已知，边上中线，则= . 解：由中线定理得：，则， 解得：.故答案为：. 5.已知中，内角对边，，是中线，.则边长为 . 解：，则，解得：. 故答案为：. 6.为中中点，，，，则长度为 . 解：根据中点向量公式变形：，可得； 则，可得 代入中线向量平方公式求AC边长：，得： ，解得：.故答案为：. 7.的内角所对的边分别是，且，若的面积为，是边上的中线，则的最小值为 . 解：方法1：由面积为，得，解得. 延长中线到点，连接，则四边形是平行四边形， ，. 在中，由余弦定理得. 当且仅当时取等号，因此，即.所以的最小值为. 方法2：由中线长定理：. 又由面积为，得，解得. ，，所以的最小值为.故答案为：. 8.在中，内角所对边的长分别为，且满足. （1）求； （2）若,,是的中线，求的长. 解：（1），所以， 由正弦定理得，， ，又， 得，即. （2），得， 由余弦定理得， 由于是的中线，所以， ，所以. 9.已知的内角的对边分别为，. （1）求； （2）若，求边上的中线的最大值. 解：（1）因为，由正弦定理可得 所以, 所以, 所以,又, 所以,即,因为,所以. （2）在中,, 由余弦定理,即, 又,所以,当且仅当时取等号, 因为, 所以 ,当且仅当时取等号, 所以,即的最大值为. 10.的内角的对边分别为,且. （1）求; （2）已知,的平分线交于点,,边上的中线,求. 解：（1）由及正弦定理，得. 因为,所以.于是有, 即,即.又, 所以.而,所以. （2）由题意，,即, 即.又,所以①， 由是边上的中线，得， . 又，故有②， 由②，得，由①得， 所以，，解得或(舍去)， 所以由，解得. 由余弦定理，，所以. 6.3.2 射影定理 1.初中学的射影定理：如图所示，在中，，是斜边上的高，则有：①；②；③. 2.高中阶段的射影定理：如图所示，在任意三角形中，设的对边分别为，则有：①；②；③. 推导：，根据正弦定理. 例1.在中，角的对边分别为.若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 解：所以.故选：A. 例2.在中，三个内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 解：方法1：，由正弦定理可得， 又，，即：，为三角形内角，，可得，.故选：D. 方法2：，所以，，故选：D. 例3.的内角的对边分别为.已知. （1）求角； （2）若，，求的周长. 解：(1)由已知可得：， ∴. （2）， 又， ，， 的周长为 1.在中，角所对的边是，已知，则等于（ ） A. B. C. D. 解：方法1：在中，由正弦定理可得：， ，∴.故选：D. 方法2：.故选：D. 2.中角所对边分别为,若,则面积的最大值为( ) A. B. C. D. 解：方法1:在中,，由正弦定理得， 又，,又， ∴,又,∴;由余弦定理得, 即， 整理得;又(当且仅当取等号), ,即,的面积为,面积的最大值为.故选：A. 方法2:,所以,剩余过程同上.故选：A. 3.在中，内角的对边分别为.若，且，则（ ） A. B. C. D. 解：边换角后约去，得，所以，但非最大角，所以. 故选：A. 4.在中，角的对边分别为,若且,则的面积( ) A. B. C. D. 解：方法1:在中，角的对边分别为, ;由余弦定理可得,即, 为直角三角形，为直角;,可得, 由正弦定理,即,解得. 故选：D. 方法2:,所以,.故选：D. 5.在中，角所对应的边分别为，已知，则 . 解：，由边角互化得，即，即，所以.故答案为：2. 6.的内角的对边分别为，若，则 . 解：解法一：由及正弦定理，得..又，..又，.. 解法二：在中，，条件等式变为，.又，.故答案为：. 7.已知为的三个内角的对边，向量，.若，且，则 . 解：根据题意，， 由正弦定理可得，则所以答案为. 8.在中，的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若，求边的值. 解：（1）由， 由正弦定理得： 及：所以. （2）由，由得： ，正弦定理：. 6.3.3 阿氏圆 1.定义：平面内两定点、，动点满足（常数，），则动点的轨迹为阿氏圆. （1）：轨迹为线段的垂直平分线，不是圆； （2）：定点在圆内，定点在圆外； （3）：交换线段，令再代入公式计算. 2.核心公式（设两定点间距） （1）阿氏圆半径：. （2）内定点到圆心的距离：. （3）几何特征：、、三点共线；动点到定直线的最大距离等于半径. 解三角形核心结论 若中，为定底边，动点在阿氏圆上，则三角形面积最大值：. 正弦定理转化技巧（三角题型必考）：. 由直接推出边长比例，构造阿氏圆比值. 例1.在中，，，则的最大值为 . 解：设，则，已知， 余弦定理：，则， 所以三角形面积：， 化简：，令，， 二次函数开口向下，取最大值：. .故答案为：. 例2.，原点，定点，在圆上，则最小值为 . 解：取，，.故答案为：7. 例3.中，点在边上且，则的最大值为( ) A. B. C. D. 解：法一：设，，由得：. 因为，，所以，. 且、为锐角，可得. 在、中由余弦定理可得：， 即，解得 ， 所以， 所以， 所以. 当且仅当 即 时等号成立.故选：C. 法二：阿氏圆：，，以， ，，， ，.故选：C. 1.在中，，，求顶点轨迹圆的面积. 解：由正弦定理：，两定点间距， 半径，圆面积. 2.顶点，，求动点轨迹圆的圆心、半径. 解：正弦定理得，定长，，圆心；半径，所以轨迹方程：. 3.中定点，动点满足，求轨迹圆心横坐标. 解：比值，两定点间距，内定点为，， 圆心在延长线上，所以圆心的横坐标为：. 4.中，，，求三角形面积最大值. 解：比值，，. 5.中，，求最大值. 解：比值，，. 6.中，，求最大值. 解：比值，，. 7.，原点，定点，动点在圆上，求最小值. 解：在上取定点，由相似，即， . ∴的最小值为5. 8.正方形边长为，以为圆心、为半径作圆，为圆上动点，求最小值. 解：在上取，.由勾股定理：. 故最小值为. 9.（多选）中，，关于动点轨迹说法正确的是（ ） A.轨迹圆半径 B.圆心在线段延长线靠近一侧 C.最大值为 D.最小值为 解：，A对；圆心靠近，B对；，C对；，D错.答案：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题6.3正弦定理、余弦定理之解三角形拓展2 6.3.1中线定理 窗知识点梳理 在△ABC中，若AD为BC边上的中线，则有如下结论： 1.若己知三边长，则有AD=2AB+2AC-BC或者AD=2b+2c-a 2 2.若已知两边长及夹角，则有AD2=（b2+c2+2 bccosA 结论1推导： 如图所示，∠ADB+∠ADC=π，从而有COs∠ADB=-CoS∠ADC 在△ADB,由余弦定理得：cOs∠ADB=BD+AD2-AB 2BD·AD 在△ADC中，由余弦定理得：coS∠ADC=-CD+AD-AC 2CD·AD 于是有BD+AD-AB-CD2+AD-AC 2BD·AD 2CD·AD 因为D为BC中点，所以BD=CD=1BC. 化 简 可 得 2AD-AB+AC2-2BD'-AB+AC2-2x-BC2-AB+AC2-1BC2. 则AD=2AB+2AC2-BC 2 结论2推导：因为D点为BC中点，则有办=恋+A花)， 所以AD2=1(A2+AC2+2AB·AC.cosA)=4b+c2+2bcc0sA .AD2bA) ®典型例题 例1.在△ABC中，已知AB=2,BC=3,AC=4,设BC的中点为M,则AM= 例2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2c+b-2 a cos B=0. (1)求角A: (2)若a=23,脐·花=号AD是△ABC中线，求AD的K 例3.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且3 cos BcosC 1 +1=tan Btan C. (1)求角A的正弦值； (2)若a=6,求BC边上的中线AD的最大值. 2 课后练习-巩固加强 1.(多选)在△ABC中，AB=3,AC=4,D为BC中点，下列说法正确的是() A若∠B4C=90:则AD=号 BAD独茶国行：引 C若BC=/0,则AD=326 2 DD-BC-号 2.在△ABC中，AB=3,AC=5,∠BAC=60°，AD是BC边上中线，则AD= 3△ABC中，AB=5'AC=7'BC边上中线AD=3:则BC边长为 4i记△ABC内角A,B,C对边为a,b,c已知b=-2,c=3,BC边上中线AD= 之则 cos A= 5.己知△ABC中，内角A,B,C对边a,b,C,b=4,c=2,AD是BC中线，AD=V7.则边 长a为 6D为△ABC中BC中点：AB=5'AD=4'店AD=6:则AC长度为 AABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且A=3,若△ABC的面积为33 2 AD是BC边上的中线，则AD的最小值为 8.在△ABC中，内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且满足b sin A=acos A+C 2 (1)求B: (2)若b=2V5,BA·CB=3,BD是△ABC的中线，求BD的长. 9已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为ab,CC=acs B+5 bsin A. (1)求A; (2)若a=V3,求BC边上的中线AM的最大值. 10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC+ c=b. 2 (1)求A; （2》已知b<C,<BAC的分线交BC于点DAD-4号，边上的中线AE=97求0，b.C 6.3.2射影定理 知识点梳理 1.初中学的射影定理：如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上 的高，则有：①BD=AD·CD;②AB=AC·AD:③BC=CD·AC D 2.高中阶段的射影定理：如图所示，在任意三角形△ABC中，设∠A,∠B,∠C的 对边分别为a,b,C,则有：①a=bcosC+ccos B;②b=ccosA+a cos C:③ c=acos B+bcos A. 又 D 推导：sinA=sin(B+C)=sin BcosC+cos BsinC,根据正弦定理a=bcosC+ccos B. 典型例题 例1.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形，且满足 sinB1+2cosC)=2 sin AcosC+cos A sinC,则下列等式成立的是() A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 例2.在△ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=bcosC+3 csin B,则 B=（) A2四 “3 DI 3 6 例3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2cosC(acos B+bcos A)=c (1)求角C: 3V3 (2)若c=RV7,SaAc=2, 求△ABC的周长. 课后练习-巩固加强 1在△ABC中，角A,B,C所对的边是a,b,c:已知a=2则bcosC+c cos B等于（ ) A.1 B.V2 c.4 D.2 2.△ABC中角A,B,C所对边分别为a,b,c,若a=bcosC+csin B,b=2,则△ABC面积的 最大值为() AV2+1 B22+1 C.e3+1 Dg3-1 5 3.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若@sinBcosC+csin BcosA=b,且 a>b,则B=() A.I 6 B c2n D.5n 3 6 4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=bcosC且c=6,A=,则△ABC的 6 面积() A23 B33 C43 D·63 5.在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,C,已知bc0sC+ccos B=2b,则二= b 6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2 b cos B=acosC+ccos A,则B= 7.已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边，向量im=(3,-1), n=(cosA,sinA).若i⊥n,且a cos B+b cos A=csinC,则B= 8.在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3 a cos A=c cos B+bcosC. (1)求CosA的值： 2)）若0=1，osB+cosC-2,末边c的 6.3.3阿氏圆 窗知识点梳理 1.定义：平面内两定点B、C,动点A满足 AB=k(常数，k>0,k≠1)，则动点A的轨 ACI 迹为阿氏圆. (1)k=1:轨迹为线段BC的垂直平分线，不是圆； (2)k>1:定点C在圆内，定点B在圆外： (3)0<k<1:交换线段，令K=>1再代入公式计算 2核心公式（设两定点间距BC1=a,AB1=k>1) ACI (1)阿氏圆半径：r=,k k2-1 (2)内定点C到圆心0的距离：1CO= 2-1 (3)几何特征：B、C、O三点共线：动点A到定直线BC的最大距离等于半径r 3.解三角形核心结论 若△ABC中，BC=a为定底边，动点A在阿氏圆上，则三角形面积最大值： 1 SA ABCmax ·ar 2 4.正弦定理转化技巧（三角题型必考）：AB=BC=AC=2R sinC sin A sin B 由sinx=msin y直接推出边长比例，构造阿氏圆比值k. 典型例题 例1.在△ABC中，AB=2,AC=2BC,则S△ABc的最大值为 例2△PCB,原点C,定点B(8,0,P在圆C:X+y=9上，则PB+PC最小值为 例3.△ABC中BC=6,AB=2AC,点D在边BC上且CD=2BD,则tan∠ADC的最大值 为() 2V5 B. 0 课后练习-巩固加强 1.在△ABC中，A(-2,0),B(2,0),sinC=只2sinA,求顶点C轨迹圆的面积. 2△ABC顶点B(-3,0),C(0,0y2sinC=sinB求动点A轨迹圆的圆心、半径 3△ABC中定点A1,0,B(4,0动点C满足1AC1=3引BC: 求轨迹圆心横坐标. 4△PAB中，AB=2'PA=2PB求三角形面积最大值 5△PAB中AB=3'BA=RSPB求SA最大值 6r△ABC中AC=5'BC=2AB求S6A最大值 7△0AP,原点O,定点A(6,0,动点P在圆O:X+y=4上，求PA+PO|最小值 8正方形ABCD边长为6，以B为圆心、3为半径作圆，P为圆上动点，求PD+引PC|最 小值 9.(多选)△PAB中AB=4,=3,关于动点P轨迹说法正确的是(） PB A.轨迹圆半径2V3 B.圆心在线段AB延长线靠近B一侧 CS。最大值为43 DP4最小值为23-2