单元复习讲义：专题05 混合运算与数量关系（二）（考点梳理+例题讲解+举一反三+提升练习）-2026-2027学年数学四年级上册（苏教版·新教材）

该小学数学讲义通过层级递进的框架梳理混合运算与数量关系知识，从无括号到带小括号再到中括号的运算顺序分层讲解，结合关键注意点和易错点表格呈现，数量关系部分整合价格、行程等模型，形成清晰知识脉络。 讲义亮点在于“情境化变式训练”设计，如以奥运阅读、火灾志愿者等实际问题为例题，培养应用意识和模型意识，提升练习涵盖选择、解决问题等题型，基础题巩固运算能力，综合题发展推理意识，助力教师分层教学，支持学生自主复习。

专题05 混合运算与数量关系（二） 内容导航 考点梳理 1 考点一、无括号的运算顺序 1 考点二、带有小括号的混合运算 2 考点三、带有中括号的混合运算 2 考点四、数量关系与综合应用逻辑 3 例题讲解 3 题型一、无括号的运算顺序 4 题型二、带有小括号的混合运算 6 题型三、带有中括号的混合运算 8 提升练习 10 考点梳理 考点一、无括号的运算顺序 1. 基本运算规则 (1) 同级运算：在一个算式中，如果只含有加、减法，或者只含有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。 (2) 两级运算：在一个算式中，如果既含有加、减法，又含有乘、除法，要先算乘、除法，后算加、减法。简记为：“先乘除，后加减”。 2. 关键注意点 (1) 看清符号：计算前需先观察算式中包含哪些运算符号，确定运算级别。 (2) 脱式规范： 1　 等号要对齐，写在算式左侧。 2　 未参与当前步骤计算的数字和符号要原样抄写下来，位置保持不变。 3　 每一步只计算一个运算过程，避免跳步导致错误。 3. 常见易错点 (1) 误将“先乘除”理解为“先乘后除”或“先除后乘”，实际上乘除是同级，应从左往右。 (2) 在加减混合或乘除混合中，随意改变运算顺序（如看到好算的先算），导致结果错误。 考点二、带有小括号的混合运算 1. 基本运算规则 (1) 优先级最高：算式里有小括号 ()，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。 (2) 括号内遵循基本规则：小括号内部若包含多级运算，仍需遵循“先乘除，后加减”或“从左往右”的原则。 2. 小括号的作用 (1) 改变运算顺序：当需要优先计算加法或减法时，必须使用小括号。 1　 示例逻辑：若要计算 的和再乘以 ，必须写成 ，否则会变成 。 (2) 明确数量关系：在解决实际问题时，小括号用于表示“整体”概念，如“总价÷(单价+单价)”表示先求数量和或单价和。 3. 关键注意点 (1) 去括号时机：只有当小括号内的算式完全计算出结果后，才能去掉小括号，继续计算外部运算。 (2) 符号保留：抄写下一步算式时，小括号外的运算符号和数字不能遗漏或错位。 考点三、带有中括号的混合运算 1. 基本运算规则 (1) 层级顺序：算式里既有小括号 ()，又有中括号 []，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。 (2) 顺序口诀：小括号 中括号 括号外。 2. 中括号的作用 (1) 嵌套需求：当小括号已经使用，但仍需改变后续运算顺序时，引入中括号。 (2) 简化表达：避免多层小括号造成的视觉混淆，使算式结构更清晰。 1　 格式规范：中括号 [ 和 ] 必须成对出现。 3. 计算步骤详解 (1) 第一步：计算小括号 () 内的表达式，得出结果。 (2) 第二步：将小括号替换为计算结果，此时原小括号部分变为中括号 [] 内部的一部分，接着计算中括号内的剩余运算。 (3) 第三步：中括号内计算出最终数值后，去掉中括号，执行最后的外部运算。 4. 关键注意点 (1) 括号匹配：严禁出现只有左括号没有右括号，或括号层级混乱的情况。 (2) 书写规范：在脱式计算中，中括号通常在小括号计算完成后自然显现，无需刻意提前写出，而是随着计算进程逐步处理。 (3) 易错警示：学生常犯错误是跳过小括号直接算中括号，或在小括号算完后忘记调整中括号内的运算顺序。 考点四、数量关系与综合应用逻辑 1. 核心数量关系模型 (1) 价格问题： 1　 总价 = 单价 数量 2　 单价 = 总价 数量 3　 数量 = 总价 单价 (2) 行程问题： 1　 路程 = 速度 时间 2　 速度 = 路程 时间 3　 时间 = 路程 速度 (3) 工作问题：工作总量 = 工作效率 工作时间 2. 列综合算式的策略 (1) 逆向推导法：从问题出发，寻找求解所需的两个条件，若其中一个条件未知，则继续向前推导，直至所有条件均为已知数。 (2) 括号判定法： 1　 若最后一步是乘法或除法，而其中一个因数或被除数/除数需要先通过加减法求得，则该加减法部分需加括号。 2　 若涉及两层优先级的改变，依次使用小括号和中括号。 3. 检验方法 (1) 代入验算：将计算结果代入原题情境，看是否符合逻辑。 (2) 逆运算检验：利用加减互逆、乘除互逆的关系反向推导。 (3) 估算判断：通过取整估算，判断结果的数量级是否合理，排除明显错误。 例题讲解 题型一、无括号的运算顺序 【典例例题】先说说运算顺序，再计算。 24×6－17×7        540－720÷80×30        78÷6＋144÷12        366＋42×5－76 【答案】25；270；25；500 【分析】不含括号，既有乘、除法，又有加、减法的混合运算，先算乘、除法，再算加、减法。 只有乘、除法或只有加、减法的混合运算，按从左往右的顺序计算。 （1）同时计算两个乘法，再算减法。 （2）先算除法，再算乘法，最后算减法。 （3）同时计算两个除法，再算加法。 （4）先算乘法，再算加法，最后算减法。 【详解】（1）同时计算两个乘法，再算减法。 （2）先算除法，再算乘法，最后算减法。 （3）同时计算两个除法，再算加法。 （4）先算乘法，再算加法，最后算减法。 举一反三 【变式训练1】先说说运算顺序，再计算。 240÷3－32×2         24×3＋96÷4 160÷5×4－28         84－60÷4＋16 【答案】16；96； 100；85 【分析】第一小题，先同时计算除法和乘法，再计算减法即可； 第二小题，先同时计算乘法和除法，再计算加法即可； 第三小题，先算除法，再算乘法，最后计算减法； 第四小题，先算除法，再算减法，最后计算加法。 【详解】240÷3－32×2 ＝80－64 ＝16 24×3＋96÷4 ＝72＋24 ＝96 160÷5×4－28 ＝32×4－28 ＝128－28 ＝100 84－60÷4＋16 ＝84－15＋16 ＝69＋16 ＝85 【变式训练2】看着谷爱凌在赛场上奋勇拼搏，乐乐对奥运会产生了浓厚的兴趣，为全面了解奥运会，乐乐计划16天阅读一本224页的《奥运简史》，实际14天看完。实际平均每天比计划多看多少页？ 【答案】2页 【分析】本题考查整数四则混合运算解决实际问题的能力。根据题意，总页数不变，先分别利用除法求出计划平均每天看的页数和实际平均每天看的页数，再用减法求出两者的差。 【详解】 （页） 答：实际平均每天比计划多看2页。 【变式训练3】香港大埔火灾后，志愿者为临时安置点准备了750箱矿泉水，准备的方便食品的数量是矿泉水的2倍。准备的保暖毛毯比矿泉水和方便食品的总和多50条，志愿者一共准备了多少条保暖毛毯？ 【答案】2300条 【分析】先根据矿泉水的数量和倍数关系，用乘法计算出方便食品的数量；然后将矿泉水和方便食品的数量相加，求出两者的总和；最后用矿泉水和方便食品的数量总和加50得到保暖毛毯的数量。 【详解】750＋750×2＋50 ＝750＋1500＋50 ＝2250＋50 ＝2300（条） 答：志愿者一共准备了2300条保暖毛毯。 题型二、带有小括号的混合运算 【典例例题】混合运算。 850÷（22＋45÷15）                        279－17×（8÷2） 【答案】34：211 【分析】850÷（22＋45÷15）先算小括号里面的除法，再算小括号里面的加法，最后算括号外面的除法； 279－17×（8÷2）先算小括号里面的除法，再算小括号外面乘法，最后算减法。 【详解】850÷（22＋45÷15） ＝850÷（22＋3） ＝850÷25 ＝34 279－17×（8÷2） ＝279－17×4 ＝279－68 ＝211 举一反三 【变式训练1】脱式计算。 420－120÷6×5         （360＋240）÷（15×4）         75＋25×（40－36）         900－（120＋280）÷8 【答案】 320；10； 175；850 【分析】（1）先算除法，再算乘法，最后算减法； （2）先同时计算两个括号里面的加法和乘法，最后算括号外的除法； （3）先算括号里面的减法，再算括号外的乘法，最后算加法； （4）先算括号里面的加法，再算括号外的除法，最后算减法。 【详解】420－120÷6×5 ＝420－20×5 ＝420－100 ＝320 （360＋240）÷（15×4） ＝600÷60 ＝10 75＋25×（40－36） ＝75＋25×4 ＝75＋100 ＝175 900－（120＋280）÷8 ＝900－400÷8 ＝900－50 ＝850 【变式训练2】李想看一本288页的故事书，前4天平均每天看18页，剩下的准备18天看完，平均每天要看多少页？ 【答案】12页 【分析】根据题意，先利用乘法求出前4天看的总页数，再用故事书的总页数减去前4天看的页数，求出剩下的页数，最后用剩下的页数除以剩下的天数，列综合算式计算即可求出平均每天要看的页数。 【详解】（288－18×4）÷18 ＝（288－72）÷18 ＝216÷18 ＝12（页） 答：平均每天要看12页。 【变式训练3】某小区原有一个宽30米的长方形停车场。后来因物业绿化要求，停车场的宽减少了12米，长不变，这样停车场的面积就减少了600平方米。现在停车场的面积是多少平方米？ 【答案】 900 平方米 【分析】根据题意，停车场长不变，宽减少导致面积减少，减少部分的面积是一个长方形，长方形面积＝长×宽，用减少的面积÷减少的宽＝原停车场的长，宽＝原来的宽－减少的宽，最后根据长方形面积公式计算现在的面积。 【详解】600÷12×（30－12） ＝600÷12×18 ＝50×18 ＝900（平方米） 答：现在停车场的面积是900平方米。 题型三、带有中括号的混合运算 【典例例题】计算下面各题。 504÷（52－38）×21                                75×[132÷（80－69）] 【答案】756；900 【分析】（1）算式中有小括号，先算小括号里的减法，再算除法，最后算乘法。 （2）算式中有中括号、小括号，先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算乘法。 【详解】504÷（52－38）×21 ＝504÷14×21 ＝36×21 ＝756 75×[132÷（80－69）] ＝75×（132÷11） ＝75×12 ＝900 举一反三 【变式训练1】脱式计算。 （1）    （2） 【答案】90；200 【分析】（1）先计算小括号内的加法，得到和之后因为是同级的除法和乘法运算，所以从左到右先算除法、再算乘法； （2）先计算小括号内的减法，得到差之后计算中括号内的乘法，最后计算中括号外的除法。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝200 【变式训练2】“知行书苑”为助力书香社区活动，推出童话书“买五送二”的优惠活动。每本童话书售价15元，学校想给四年级组的同学购买77本童话书，至少需要花多少钱？ 【答案】825元 【分析】“买五送二”的优惠，即每购买本实际上可以得到7本，这本为一组，每组只需付本的钱。先计算本里面包含多少个本，确定需要购买的组数，再求出实际需要付款的本数，最后根据总价单价数量计算总费用。 【详解】15×[77÷（5＋2）×5] ＝15×（77÷7×5） ＝15×（11×5） ＝15×55 ＝825（元） 答：至少需要花825元。 【变式训练3】四（1）班举行“财富小舵手”财商启航活动，有25名男生和23名女生共同参与，每支财富小队由6位成员携手合作。老师计划把280枚货币平均分给这些财富小队，每队分得多少枚货币？ 【答案】35枚 【分析】首先要计算出财富小队的数量，这需要先求出班级的总人数，即男生人数加女生人数，再除以每个小队的人数；然后用货币的总数除以小队的数量，就能得到每队分得的货币数； 计算时要注意运算顺序，需要先算加法，再算小队数量，最后算每队分得的货币数，因此需要使用中括号。 【详解】280÷[（25＋23）÷6] ＝280÷[48÷6] ＝280÷8 ＝35（枚） 答：每队分得 35 枚货币。 提升练习 1．（    ）的运算顺序是“加→乘→除”。 A．15＋15×2÷6 B．2100÷15＋15×2 C． D． 【答案】D 【分析】四则混合运算法则：在没有括号的算式里，先算乘除法，后算加减法；在有括号的算式里，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 【详解】A：15＋15×2÷6，运算顺序是：乘→除→加，不符合题意； B：2100÷15＋15×2，运算顺序是：除→乘→加，不符合题意； C：2100÷（15＋15）×2，运算顺序是：加→除→乘，不符合题意； D：2100÷[（15＋15）×2]，运算顺序是：加→乘→除，符合题意。 2．根据，，，写成综合算式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四则混合运算的运算顺序，先算乘除后算加减。若要先算加法和减法，必须使用小括号改变运算顺序。理清运算顺序，最后一步计算是乘法，两个乘数分别是前两步算式的结果。为了确保先算加法和减法，需要给它们加上小括号。 【详解】根据分步算式的计算顺序：先算25＋73＝98，再算53－43＝10，最后算两个结果的乘积98×10＝980。 （25＋73）×（53－43） ＝98×10 ＝980 写成综合算式是 （25＋73）×（53－43）。 3．如果要把算式60＋240÷15×6的运算顺序改写成“先算除法，再算加法，最后算乘法”，那么该算式应改为（    ）。 A．（60＋240）÷15×6 B．（60＋240÷15）×6 C．60＋（240÷15）×6 D．（60＋240）÷（15×6） 【答案】B 【分析】四则混合运算运算顺序：同级运算，从左到右依次计算；既有乘除又有加减的，先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号里面的：有多层括号时，先算小括号里的，再算中括号里面的，分析出各选项运算顺序即可。 【详解】A．（60＋240）÷15×6，运算顺序是先算加法，再算除法，最后算乘法，与题意不符； B．（60＋240÷15）×6，运算顺序是先算括号里面的除法，再算括号里面的加法，最后算括号外面的乘法，符合题意； C．60＋（240÷15）×6，运算顺序是先算除法，再算乘法，最后算加法，与题意不符； D．（60＋240）÷（15×6），运算顺序是先算加法和乘法，最后算除法，与题意不符。 4．李老师用200元购买了10本《昆虫记》，还剩50元。乐乐列式为“50÷[（200－50）÷10]”，他要解决的问题是（    ）。 A．《昆虫记》每本多少钱？ B．买10本《昆虫记》需要多少钱？ C．剩下的钱还能买多少本《昆虫记》？ D．200元一共能买多少本《昆虫记》？ 【答案】C 【分析】首先根据总钱数和剩余钱数求出花费的钱数，再除以购买数量求出单价，最后用剩余钱数除以单价即可得到剩余钱数能购买的数量。 【详解】A．求《昆虫记》每本多少钱，列式应为 ； B．求买10本《昆虫记》需要多少钱，列式应为； C．求剩下的钱还能买多少本《昆虫记》，列式为 ； D．求200元一共能买多少本《昆虫记》，列式应为。 5．计算96÷[（12＋4）×2]时，先算( )法，再算( )法，最后算( )法，结果是( )。 【答案】 加 乘 除 3 【分析】根据四则混合运算顺序，带有中括号的混合运算，先算小括号内的算式，再算中括号内的算式，最后计算中括号外的算式。 【详解】96÷[（12＋4）×2] =96÷[16×2] =96÷32 =3 计算96÷[（12＋4）×2]时，先算小括号里的加法，再算中括号里的乘法，最后算中括号外的除法，结果是3。 6．5名学生参观南昌海昏侯国遗址博物馆，共付学生门票150元，每人乘车花了15元，悦悦根据信息列了一个算式：（150＋15×5）÷5＝45（元）。她的算式第一步是求( )，第二步是求( )，第三步是求( )。 【答案】 5名学生乘车一共花了多少钱 5名学生乘车和门票一共要花多少钱 参观博物馆平均每人要花多少钱 【分析】四则运算先算括号内乘法，再算括号内加法，最后算括号外除法。 【详解】算式（150＋15×5）÷5 ①第一步：15×5，求5名学生乘车一共花多少钱 ②第二步：150＋15×5，求5名学生门票和乘车总共花费的钱数 ③第三步：（150＋15×5）÷5，求参观博物馆平均每人要花多少钱 7．根据指定的运算顺序，给720÷4＋4×5加上括号，不计算结果。 先算加法，再算乘法，最后算除法，算式：________________________。 【答案】 【分析】有括号的运算中，先算小括号里的，后算中括号里的，最后算括号外的，据此给算式按运算顺序加上括号。 【详解】720÷4＋4×5第一步先算加法，把4＋4用小括号括起来，变为720÷（4＋4）×5，第二步要算乘法，再用中括号把（4＋4）×5括起来，最终是：。 8．跳绳被称为“运动之王”。琳琳想让自己三次跳绳的平均个数至少达到158个，她第一次跳了154个，第二次跳了164个，那么她第三次至少要跳( )个。 【答案】 156 【分析】根据数量关系“总数平均数次数”，先求出三次跳绳的总个数，再减去前两次跳绳的个数和，即为第三次至少要跳的个数。 【详解】 （个） 9．电影院共有甲票座位40个，乙票座位80个。其中甲票30元/张，乙票20元/张，本场电影票房收入为1800元。本场观众最少有( )人。 【答案】70 【分析】本场观众最少有多少人，因为甲级座的票价贵，就要使甲级座位满座，用总钱数减去甲级座收入的钱数，再除以乙级座每位的钱数，就是乙级座上的人数，然后甲座加乙座即可解答。 【详解】假设甲级座位满座列式计算乙座如下： （1800－40×30）÷20 ＝（1800－1200）÷20 ＝600÷20 ＝30（人） 甲座和乙座共：40＋30＝70（人） 本场观众最少有70人。 10．培文小学开展以“阅读伴我成长”为主题的读书节活动。辰辰读一本408页的科普书，前6天平均每天读了26页，如果他想按计划读完这本书，那么剩下的天数他平均每天要读( )页。 【答案】28 【分析】根据题意，已知辰辰读一本408页的科普书，前6天平均每天读了26页，先用26乘6，求出已经看的页数，用408减去已经看的页数，求出剩下的总页数，用15减去6，求出剩下看的天数，最后用剩下的总页数除以剩下看的天数，就是剩下的天数他平均每天要读的页数，列式计算即可。 【详解】（408－26×6）÷（15－6） ＝（408－156）÷9 ＝252÷9 ＝28（页） 剩下的天数他平均每天要读28页。 11．计算下面各题。 30×17－800÷16    （69＋18）×（550÷11）    576÷[18×（96÷24）] 【答案】460；4350；8 【分析】先同时计算两边的乘法和除法，再算减法； 有小括号，先同时计算两边的小括号的加法和除法，再算括号外乘法； 先小括号、再中括号，最后算括号外除法。 【详解】 12．按照指定的运算顺序，给下面算式添上合适的小括号或中括号，并计算。 （1）加法→除法→减法         610－265＋265÷5 （2）加法→减法→除法 610－265＋265÷5 【答案】（1）；504 （2）；16 【分析】（1）先算加法，再算除法，最后算减法，因此需要给加法运算添加小括号，使加法优先于除法和减法计算，以此改变原算式的运算顺序。 （2）先算加法，再算减法，最后算除法，因此先用小括号保证加法优先计算，再用中括号将减法运算整体括起，使减法在除法之前计算，符合指定的运算顺序。 【详解】（1）要先算加法265＋265，再用和除以5，最后用610减去得到的商。 原算式610－265＋265÷5没有括号时，会先算除法，不符合要求，因此需要给加法部分加小括号，改变运算顺序。即610－（265＋265）÷5。 610－（265＋265）÷5 ＝610－530÷5 ＝610－106 ＝504 （2）要先算加法265＋265，再用610减去两数的和，最后除以5得到商。 原算式610－265＋265÷5没有括号时，会先算除法，不符合要求，因此需要给加法部分加小括号，改变运算顺序，再加中括号再次改变运算顺序，即。 ＝ ＝80÷5 ＝16 13．在下列式子中填上运算符号和小括号，使等式成立。 （1）3（    ）3（    ）3（    ）3＝7 （2）1（    ）2（    ）3（    ）4＝1 【答案】（1）3＋3＋3÷3＝7 （2）1×（2＋3）－4＝1 【分析】（1）可以考虑6＋1＝7，算式前面两个3可以通过加法组成3＋3＝6，后面两个3可以通过除法组成3÷3＝1；算式可以写为3＋3＋3÷3＝7；方法不唯一； （2）可以考虑5－4＝1；也就是前面三个数1、2、3要通过添加运算符号和小括号结果等于5；可以是1×（2＋3），也可以是1×2＋3；所以最终的算式算式可以写成：1×2＋3－4＝1或1×（2＋3）－4＝1；方法不唯一。 【详解】根据分析： （1）3＋3＋3÷3 ＝3＋3＋1 ＝7 （2）1×（2＋3）－4 ＝1×5－4 ＝1 （答案不唯一） 14．綦江的农民版画是重庆市非物质文化遗产之一。师徒二人需印138幅版画作品，师父先印了18幅，剩下的两人一起完成，师父每周印25幅，徒弟每周印15幅，剩下的还需要几周印完？ 【答案】3 周 【分析】先求出剩下的工作量，即总数量减去师父先印的数量；再求出师徒二人的工作效率和，即师父每周印的数量加上徒弟每周印的数量；最后根据数量关系：，列出综合算式。 【详解】 答：剩下的还需要 3 周印完。 15．滕王阁位于江西省南昌市，因唐代诗人王勃所作的《滕王阁序》而闻名于世。天气逐渐炎热，滕王阁景区旁边的商店以批发价购进了7箱文创雪糕，每箱50支。如果按照零售价全部卖完，可以赚多少钱？ 文创雪糕 批发价：每箱200元 零售价：每支5元 【答案】 350元 【分析】“赚的钱”即利润，利润 ＝总零售价 － 总批发价。需要先根据箱数和每箱支数求出雪糕的总支数，再乘每支零售价求出总零售价；同时根据箱数和每箱批发价求出总批发价；最后将总零售价减去总批发价即可求出利润。 【详解】 （元） 答：可以赚元。 16．化肥厂一月生产化肥320吨，二月生产化肥340吨，三月比一月少生产5吨。第一季度平均每月生产化肥多少吨？ 【答案】325吨 【分析】根据“平均数＝总数量÷总份数”，第一季度包括一月、二月、三月3个月份，先求出三月生产化肥的数量，再求出第一季度生产化肥的总吨数，最后除以月份数，即可解答。 【详解】320－5＝315（吨） （320＋340＋315）÷3 ＝（660＋315）÷3 ＝975÷3 ＝325（吨） 答：第一季度平均每月生产化肥325吨。 17．某社区举办”文化传承”手工制作活动，四（3）班有18名男生和24名女生报名参加，每6位同学组成一个手工小组。社区准备了210份手工材料，要平均分给这些手工小组，每个小组分得多少份手工材料？ 【答案】30份 【分析】首先要算出四（3）班参加活动的总人数，用男生人数加上女生人数。然后用总人数除以每个小组的人数，得到手工小组的数量。最后用手工材料的总数除以手工小组的数量，就可以得出每个小组分得的手工材料份数。 【详解】210÷[（18＋24）÷6] ＝210÷[42÷6] ＝210÷7 ＝30（份） 答：每个小组分得30份手工材料。 18．去年冬季供暖期，某热力公司践行“绿色节能”理念，对供暖系统进行节能改造后，买来360吨清洁煤，计划用12天，______（填序号），实际用了多少天？ 请在下面的三个条件中，选择一个将序号填在题中横线上，使本题成为一道混合运算问题，列式并解答。 ①实际每天比计划节约用煤6吨。 ②实际每天用40吨。 ③前年用煤380吨。 【答案】 ①；15 天 【分析】求实际用了多少天，数量关系式为：实际天数＝总煤量÷实际每天用煤量。已知总煤量为360吨，若选择条件①，需先求出计划每天用煤量，再求出实际每天用煤量，最后求实际天数，涉及除法和减法，符合混合运算的要求。若选择条件②，只需一步除法计算。若选择条件③，条件与本题无关。因此选择条件①。 【详解】选择①实际每天比计划节约用煤6吨。   360÷（360÷12－6） ＝360÷（30－6） ＝360÷24 ＝15（天） 答：实际用了15天。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 混合运算与数量关系（二） 内容导航 考点梳理 1 考点一、无括号的运算顺序 1 考点二、带有小括号的混合运算 2 考点三、带有中括号的混合运算 2 考点四、数量关系与综合应用逻辑 3 例题讲解 3 题型一、无括号的运算顺序 4 题型二、带有小括号的混合运算 5 题型三、带有中括号的混合运算 6 提升练习 7 考点梳理 考点一、无括号的运算顺序 1. 基本运算规则 (1) 同级运算：在一个算式中，如果只含有加、减法，或者只含有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。 (2) 两级运算：在一个算式中，如果既含有加、减法，又含有乘、除法，要先算乘、除法，后算加、减法。简记为：“先乘除，后加减”。 2. 关键注意点 (1) 看清符号：计算前需先观察算式中包含哪些运算符号，确定运算级别。 (2) 脱式规范： 1　 等号要对齐，写在算式左侧。 2　 未参与当前步骤计算的数字和符号要原样抄写下来，位置保持不变。 3　 每一步只计算一个运算过程，避免跳步导致错误。 3. 常见易错点 (1) 误将“先乘除”理解为“先乘后除”或“先除后乘”，实际上乘除是同级，应从左往右。 (2) 在加减混合或乘除混合中，随意改变运算顺序（如看到好算的先算），导致结果错误。 考点二、带有小括号的混合运算 1. 基本运算规则 (1) 优先级最高：算式里有小括号 ()，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。 (2) 括号内遵循基本规则：小括号内部若包含多级运算，仍需遵循“先乘除，后加减”或“从左往右”的原则。 2. 小括号的作用 (1) 改变运算顺序：当需要优先计算加法或减法时，必须使用小括号。 1　 示例逻辑：若要计算 的和再乘以 ，必须写成 ，否则会变成 。 (2) 明确数量关系：在解决实际问题时，小括号用于表示“整体”概念，如“总价÷(单价+单价)”表示先求数量和或单价和。 3. 关键注意点 (1) 去括号时机：只有当小括号内的算式完全计算出结果后，才能去掉小括号，继续计算外部运算。 (2) 符号保留：抄写下一步算式时，小括号外的运算符号和数字不能遗漏或错位。 考点三、带有中括号的混合运算 1. 基本运算规则 (1) 层级顺序：算式里既有小括号 ()，又有中括号 []，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。 (2) 顺序口诀：小括号 中括号 括号外。 2. 中括号的作用 (1) 嵌套需求：当小括号已经使用，但仍需改变后续运算顺序时，引入中括号。 (2) 简化表达：避免多层小括号造成的视觉混淆，使算式结构更清晰。 1　 格式规范：中括号 [ 和 ] 必须成对出现。 3. 计算步骤详解 (1) 第一步：计算小括号 () 内的表达式，得出结果。 (2) 第二步：将小括号替换为计算结果，此时原小括号部分变为中括号 [] 内部的一部分，接着计算中括号内的剩余运算。 (3) 第三步：中括号内计算出最终数值后，去掉中括号，执行最后的外部运算。 4. 关键注意点 (1) 括号匹配：严禁出现只有左括号没有右括号，或括号层级混乱的情况。 (2) 书写规范：在脱式计算中，中括号通常在小括号计算完成后自然显现，无需刻意提前写出，而是随着计算进程逐步处理。 (3) 易错警示：学生常犯错误是跳过小括号直接算中括号，或在小括号算完后忘记调整中括号内的运算顺序。 考点四、数量关系与综合应用逻辑 1. 核心数量关系模型 (1) 价格问题： 1　 总价 = 单价 数量 2　 单价 = 总价 数量 3　 数量 = 总价 单价 (2) 行程问题： 1　 路程 = 速度 时间 2　 速度 = 路程 时间 3　 时间 = 路程 速度 (3) 工作问题：工作总量 = 工作效率 工作时间 2. 列综合算式的策略 (1) 逆向推导法：从问题出发，寻找求解所需的两个条件，若其中一个条件未知，则继续向前推导，直至所有条件均为已知数。 (2) 括号判定法： 1　 若最后一步是乘法或除法，而其中一个因数或被除数/除数需要先通过加减法求得，则该加减法部分需加括号。 2　 若涉及两层优先级的改变，依次使用小括号和中括号。 3. 检验方法 (1) 代入验算：将计算结果代入原题情境，看是否符合逻辑。 (2) 逆运算检验：利用加减互逆、乘除互逆的关系反向推导。 (3) 估算判断：通过取整估算，判断结果的数量级是否合理，排除明显错误。 例题讲解 题型一、无括号的运算顺序 【典例例题】先说说运算顺序，再计算。 24×6－17×7        540－720÷80×30        78÷6＋144÷12        366＋42×5－76 举一反三 【变式训练1】先说说运算顺序，再计算。 240÷3－32×2         24×3＋96÷4 160÷5×4－28         84－60÷4＋16 【变式训练2】看着谷爱凌在赛场上奋勇拼搏，乐乐对奥运会产生了浓厚的兴趣，为全面了解奥运会，乐乐计划16天阅读一本224页的《奥运简史》，实际14天看完。实际平均每天比计划多看多少页？ 【变式训练3】香港大埔火灾后，志愿者为临时安置点准备了750箱矿泉水，准备的方便食品的数量是矿泉水的2倍。准备的保暖毛毯比矿泉水和方便食品的总和多50条，志愿者一共准备了多少条保暖毛毯？ 题型二、带有小括号的混合运算 【典例例题】混合运算。 850÷（22＋45÷15）                        279－17×（8÷2） 举一反三 【变式训练1】脱式计算。 420－120÷6×5         （360＋240）÷（15×4）         75＋25×（40－36）         900－（120＋280）÷8 【变式训练2】李想看一本288页的故事书，前4天平均每天看18页，剩下的准备18天看完，平均每天要看多少页？ 【变式训练3】某小区原有一个宽30米的长方形停车场。后来因物业绿化要求，停车场的宽减少了12米，长不变，这样停车场的面积就减少了600平方米。现在停车场的面积是多少平方米？ 题型三、带有中括号的混合运算 【典例例题】计算下面各题。 504÷（52－38）×21                                75×[132÷（80－69）] 举一反三 【变式训练1】脱式计算。 （1）    （2） 【变式训练2】“知行书苑”为助力书香社区活动，推出童话书“买五送二”的优惠活动。每本童话书售价15元，学校想给四年级组的同学购买77本童话书，至少需要花多少钱？ 【变式训练3】四（1）班举行“财富小舵手”财商启航活动，有25名男生和23名女生共同参与，每支财富小队由6位成员携手合作。老师计划把280枚货币平均分给这些财富小队，每队分得多少枚货币？ 提升练习 1．（    ）的运算顺序是“加→乘→除”。 A．15＋15×2÷6 B．2100÷15＋15×2 C． D． 2．根据，，，写成综合算式是（    ）。 A． B． C． D． 3．如果要把算式60＋240÷15×6的运算顺序改写成“先算除法，再算加法，最后算乘法”，那么该算式应改为（    ）。 A．（60＋240）÷15×6 B．（60＋240÷15）×6 C．60＋（240÷15）×6 D．（60＋240）÷（15×6） 4．李老师用200元购买了10本《昆虫记》，还剩50元。乐乐列式为“50÷[（200－50）÷10]”，他要解决的问题是（    ）。 A．《昆虫记》每本多少钱？ B．买10本《昆虫记》需要多少钱？ C．剩下的钱还能买多少本《昆虫记》？ D．200元一共能买多少本《昆虫记》？ 5．计算96÷[（12＋4）×2]时，先算( )法，再算( )法，最后算( )法，结果是( )。 6．5名学生参观南昌海昏侯国遗址博物馆，共付学生门票150元，每人乘车花了15元，悦悦根据信息列了一个算式：（150＋15×5）÷5＝45（元）。她的算式第一步是求( )，第二步是求( )，第三步是求( )。 7．根据指定的运算顺序，给720÷4＋4×5加上括号，不计算结果。 先算加法，再算乘法，最后算除法，算式：________________________。 8．跳绳被称为“运动之王”。琳琳想让自己三次跳绳的平均个数至少达到158个，她第一次跳了154个，第二次跳了164个，那么她第三次至少要跳( )个。 9．电影院共有甲票座位40个，乙票座位80个。其中甲票30元/张，乙票20元/张，本场电影票房收入为1800元。本场观众最少有( )人。 10．培文小学开展以“阅读伴我成长”为主题的读书节活动。辰辰读一本408页的科普书，前6天平均每天读了26页，如果他想按计划读完这本书，那么剩下的天数他平均每天要读( )页。 11．计算下面各题。 30×17－800÷16    （69＋18）×（550÷11）    576÷[18×（96÷24）] 12．按照指定的运算顺序，给下面算式添上合适的小括号或中括号，并计算。 （1）加法→除法→减法         610－265＋265÷5 （2）加法→减法→除法 610－265＋265÷5 13．在下列式子中填上运算符号和小括号，使等式成立。 （1）3（    ）3（    ）3（    ）3＝7 （2）1（    ）2（    ）3（    ）4＝1 14．綦江的农民版画是重庆市非物质文化遗产之一。师徒二人需印138幅版画作品，师父先印了18幅，剩下的两人一起完成，师父每周印25幅，徒弟每周印15幅，剩下的还需要几周印完？ 15．滕王阁位于江西省南昌市，因唐代诗人王勃所作的《滕王阁序》而闻名于世。天气逐渐炎热，滕王阁景区旁边的商店以批发价购进了7箱文创雪糕，每箱50支。如果按照零售价全部卖完，可以赚多少钱？ 文创雪糕 批发价：每箱200元 零售价：每支5元 16．化肥厂一月生产化肥320吨，二月生产化肥340吨，三月比一月少生产5吨。第一季度平均每月生产化肥多少吨？ 17．某社区举办”文化传承”手工制作活动，四（3）班有18名男生和24名女生报名参加，每6位同学组成一个手工小组。社区准备了210份手工材料，要平均分给这些手工小组，每个小组分得多少份手工材料？ 18．去年冬季供暖期，某热力公司践行“绿色节能”理念，对供暖系统进行节能改造后，买来360吨清洁煤，计划用12天，______（填序号），实际用了多少天？ 请在下面的三个条件中，选择一个将序号填在题中横线上，使本题成为一道混合运算问题，列式并解答。 ①实际每天比计划节约用煤6吨。 ②实际每天用40吨。 ③前年用煤380吨。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $