单元复习讲义：专题11 ☆ 钉子板上的多边形（考点梳理+例题讲解+举一反三+提升练习）-2026-2027学年数学五年级上册（苏教版·新教材）

该小学数学讲义以“钉子板上的多边形”为专题，通过“核心概念-规律探究-通用公式”的递进框架梳理知识，明确面积、内部点数、边界点数定义，从特殊（n=0,n=1）到一般（n≥2）推导规律，用“内点加半界减一”口诀呈现通用公式，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，如变式训练“边上12枚钉子、中间1枚，求面积”考查公式应用，逆向题型培养推理意识，注意事项强调点数统计准确性，助学生建立几何直观。基础题巩固公式，提升题综合应用，支持教师分层教学与学生自主复习。

专题11 ☆ 钉子板上的多边形 内容导航 考点梳理 1 考点一、核心概念定义 1 考点二、核心规律探究 1 考点三、通用公式总结 2 考点四、考点注意事项与易错点 2 例题讲解 2 题型一、钉子板上的多边形 3 提升练习 3 考点梳理 考点一、核心概念定义 1. 面积（S）：多边形所占据的方格单位数量。通常假设相邻两个钉子之间的距离为1个单位长度，则每个小方格的面积为1个单位面积。 2. 内部点数（n）：位于多边形内部的钉子数量（不含边界上的钉子）。 3. 边界点数（b）：位于多边形边界线上的钉子数量（包含顶点）。 考点二、核心规律探究 1. 内部没有钉子（n = 0） 当多边形内部没有钉子时，面积与边界点数的关系为： (1) 公式： (2) 表述：面积等于边界点数除以2，再减去1。 (3) 验证示例：若边界上有4个钉子（如一个单位正方形）， 。 2. 内部有1个钉子（n = 1） 当多边形内部只有1个钉子时，面积与边界点数的关系为： (1) 公式： (2) 表述：面积等于边界点数除以2。 (3) 对比：相比 的情况，内部增加1个点，面积增加1个单位。 3. 内部有2个及以上钉子（n ≥ 2） 当多边形内部有 个钉子时，通用规律为： (1) 公式： (2) 表述：面积等于边界点数除以2，加上内部点数，再减去1。 (3) 逻辑推导： 1　 基准状态是 时， 。 2　 每增加1个内部点，面积相应增加1个单位。 3　 因此，对于 个内部点，需在 的基础上加上 。 考点三、通用公式总结 将上述三种情况统一，得到钉子板上多边形面积的通用计算公式： 或者写作： 记忆口诀： 内点加半界，减一得面积。 （即：内部点数 + 边界点数的一半 - 1 = 面积） 考点四、考点注意事项与易错点 1. 点数统计准确性： (1) 边界点数（b）：必须仔细数清多边形每条边上的所有钉子，包括顶点。顶点既属于这条边，也属于那条边，但只能计数一次。 (2) 内部点数（n）：严格限定在多边形轮廓线内部的钉子，压在边线上的不算内部点。 2. 适用前提： (1) 多边形的顶点必须都在钉子上（格点多边形）。 (2) 多边形必须是简单多边形（边不自交）。 (3) 网格必须是正方形网格，且相邻钉子间距视为单位1。 3. 逆向思维应用： (1) 已知面积 和内部点数 ，求边界点数 ： 。 (2) 已知面积 和边界点数 ，求内部点数 ： 。 例题讲解 题型一、钉子板上的多边形 【典例例题】下图钉子板中多边形的面积是( )平方厘米，如果在这个钉子板上围出一个内部3枚钉子，边上有9枚钉子的多边形，这个多边形的面积是( )平方厘米。 举一反三 【变式训练1】在钉子板上围一个多边形，如果多边形边上的钉子共12枚，多边形中间的钉子是1枚，围成的多边形面积是（    ）平方厘米。（每相邻两枚钉子之间是1厘米） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练2】小明在钉子板上围了一个多边形（每两枚钉子之间距离是1厘米），多边形的内部有3枚钉子，边上有6枚钉子，这个多边形的面积是( )平方厘米。 【变式训练3】下图中每两枚钉子之间的距离表示1厘米。 (1)以上四个图形内部都有( )枚钉子。 (2)图①的面积是( )平方厘米，图①边上的钉子数是( )枚。 (3)图②的面积是( )平方厘米，图②边上的钉子数是( )枚。 (4)当多边形内有2枚钉子时，用n表示多边形边上的钉子数，用S表示多边形的面积。那么( )。 提升练习 1．在钉子板上围一个多边形，如果多边形边上的钉子共10枚，多边形中间的钉子是2枚，围成的这个多边形的面积是（    ）平方厘米。（每相邻两枚钉子之间是1厘米） A．5 B．6 C．7 D．8 2．鹏鹏用橡皮筋在钉子板上围出了4个图形，如图4个图形中，面积最大的是（    ），面积最小的是（    ）。 A．A；D B．A；B C．B；C D．D；C 3．如图，在钉子板上围多边形，如果多边形内有2枚钉子，用n表示多边形边上的钉子数，用S表示多边形的面积，那么S＝（    ）。 A． B． C． D． 4．下图中，钉子板上四边形的面积是（    ）平方厘米。 A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 5．钉子板又叫几何平板。它是用一块正方形的木板或塑料制成。正面等分成若干个边长为1厘米的小正方形，每一个小正方形的每个顶点都钉着一个钉子。可以用皮筋圈在钉子上围成各种图形，下图钉子板上这个三角形的面积是( )平方厘米。 6．在钉子板上，每相邻两枚钉子的距离是1厘米，围出的多边形边上有13枚钉子，多边形内有2枚钉子，这个多边形的面积是( )平方厘米。 7．下图钉子板中多边形的面积是( )平方厘米。如果在这个钉子板上围出一个内部有2枚钉子，边上有9枚钉子的多边形，这个多边形的面积是( )平方厘米。 8．如图，钉子板（每个小方格边长1厘米）中多边形的面积是( )平方厘米；如果在这个钉子板上围出一个内部有5枚钉子，边上有10枚钉子的多边形，这个多边形的面积是( )平方厘米。 9．如图，钉子板上围出的多边形的面积是( )平方厘米。 10．在钉子板上围成的多边形的面积S，与它边上的钉子数n，以及内部钉子数b的关系是：当多边形内只有1枚钉子时，S＝( )；当多边形内有2枚钉子时，S＝( )。 11．根据钉子板上的图形完成下表（每小格表示1平方厘米）。 长方形 平行四边形 三角形 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚 用n表示多边形边上的钉子数，当多边形内有2枚钉子时，多边形面积S＝（     ）。 12．钉子板上多边形边上的钉子数是a，多边形内的钉子数是b。 （1）用含有字母的式子表示钉子板上多边形的面积。 （2）求图中钉子板上多边形的面积。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 ☆ 钉子板上的多边形 内容导航 考点梳理 1 考点一、核心概念定义 1 考点二、核心规律探究 1 考点三、通用公式总结 2 考点四、考点注意事项与易错点 2 例题讲解 2 题型一、钉子板上的多边形 3 提升练习 5 考点梳理 考点一、核心概念定义 1. 面积（S）：多边形所占据的方格单位数量。通常假设相邻两个钉子之间的距离为1个单位长度，则每个小方格的面积为1个单位面积。 2. 内部点数（n）：位于多边形内部的钉子数量（不含边界上的钉子）。 3. 边界点数（b）：位于多边形边界线上的钉子数量（包含顶点）。 考点二、核心规律探究 1. 内部没有钉子（n = 0） 当多边形内部没有钉子时，面积与边界点数的关系为： (1) 公式： (2) 表述：面积等于边界点数除以2，再减去1。 (3) 验证示例：若边界上有4个钉子（如一个单位正方形）， 。 2. 内部有1个钉子（n = 1） 当多边形内部只有1个钉子时，面积与边界点数的关系为： (1) 公式： (2) 表述：面积等于边界点数除以2。 (3) 对比：相比 的情况，内部增加1个点，面积增加1个单位。 3. 内部有2个及以上钉子（n ≥ 2） 当多边形内部有 个钉子时，通用规律为： (1) 公式： (2) 表述：面积等于边界点数除以2，加上内部点数，再减去1。 (3) 逻辑推导： 1　 基准状态是 时， 。 2　 每增加1个内部点，面积相应增加1个单位。 3　 因此，对于 个内部点，需在 的基础上加上 。 考点三、通用公式总结 将上述三种情况统一，得到钉子板上多边形面积的通用计算公式： 或者写作： 记忆口诀： 内点加半界，减一得面积。 （即：内部点数 + 边界点数的一半 - 1 = 面积） 考点四、考点注意事项与易错点 1. 点数统计准确性： (1) 边界点数（b）：必须仔细数清多边形每条边上的所有钉子，包括顶点。顶点既属于这条边，也属于那条边，但只能计数一次。 (2) 内部点数（n）：严格限定在多边形轮廓线内部的钉子，压在边线上的不算内部点。 2. 适用前提： (1) 多边形的顶点必须都在钉子上（格点多边形）。 (2) 多边形必须是简单多边形（边不自交）。 (3) 网格必须是正方形网格，且相邻钉子间距视为单位1。 3. 逆向思维应用： (1) 已知面积 和内部点数 ，求边界点数 ： 。 (2) 已知面积 和边界点数 ，求内部点数 ： 。 例题讲解 题型一、钉子板上的多边形 【典例例题】下图钉子板中多边形的面积是( )平方厘米，如果在这个钉子板上围出一个内部3枚钉子，边上有9枚钉子的多边形，这个多边形的面积是( )平方厘米。 【答案】 3.5 6.5 【分析】图中的多边形内部有1个钉子，边上有7个钉子；根据公式：钉子板上多边形的面积＝边上钉子数÷2＋内部钉子数－1，把数代入即可求解。 【详解】7÷2＋1－1 ＝3.5＋1－1 ＝3.5（平方厘米） 9÷2＋3－1 ＝4.5＋3－1 ＝7.5－1 ＝6.5（平方厘米） 下图钉子板中多边形的面积是3.5平方厘米，如果在这个钉子板上围出一个内部3枚钉子，边上有9枚钉子的多边形，这个多边形的面积是6.5平方厘米。 【点睛】本题主要考查钉子板上多边形面积公式，熟练掌握它的面积公式并灵活运用。 举一反三 【变式训练1】在钉子板上围一个多边形，如果多边形边上的钉子共12枚，多边形中间的钉子是1枚，围成的多边形面积是（    ）平方厘米。（每相邻两枚钉子之间是1厘米） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】钉子板上多边形的面积与多边形边上的钉子数及内部的钉子数存在数量关系，规律为：面积＝边上钉子数÷2＋内部钉子数－1。据此代入已知数据即可求解。 【详解】12÷2＋1－1 ＝6＋1－1 ＝7－1 ＝6（平方厘米） 所以围成的多边形面积是6平方厘米。 【变式训练2】小明在钉子板上围了一个多边形（每两枚钉子之间距离是1厘米），多边形的内部有3枚钉子，边上有6枚钉子，这个多边形的面积是( )平方厘米。 【答案】5 【分析】根据钉子板上多边形面积计算方法：多边形面积＝边上钉子数÷2＋（内部钉子数－1），把数据代入公式，即可求得这个多边形的面积。 【详解】6÷2＋（3－1） ＝3＋2 ＝5（平方厘米） 这个多边形的面积是5平方厘米。 【点睛】掌握钉子板上多边形面积计算方法是解答此题的关键。 【变式训练3】下图中每两枚钉子之间的距离表示1厘米。 (1)以上四个图形内部都有( )枚钉子。 (2)图①的面积是( )平方厘米，图①边上的钉子数是( )枚。 (3)图②的面积是( )平方厘米，图②边上的钉子数是( )枚。 (4)当多边形内有2枚钉子时，用n表示多边形边上的钉子数，用S表示多边形的面积。那么( )。 【答案】(1)2 (2) 4 6 (3) 5 8 (4) 【分析】（1）观察4个图形，通过数一数即可确定四个图形内部都有2枚钉子。 （2）每两枚钉子之间的距离表示1厘米，图①是一个上底为1厘米，下底为3厘米，高为2厘米的梯形，利用梯形的面积公式即可求出图①的面积；通过数一数即可确定图①边上的钉子数量。 （3）图②是一个上底为2厘米，下底为3厘米，高为2厘米的梯形，利用梯形的面积公式即可求出图②的面积；通过数一数即可确定图②边上的钉子数量。 （4）根据公式：钉子板上多边形的面积＝边上钉子数÷2＋内部钉子数－1，如果n表示钉子数，内部有2枚钉子，把数和n带入公式，由此即可解答。 【详解】（1）以上四个图形内部都有2枚钉子。 （2）（1＋3）×2÷2 ＝4×2÷2 ＝4（平方厘米） 图①的面积是4平方厘米，图①边上的钉子数是6枚。 （3）（2＋3）×2÷2 ＝5×2÷2 ＝5（平方厘米） 图②的面积是5平方厘米，图②边上的钉子数是8枚。 （4）S＝（n÷2）＋（2－1） ＝ n÷2＋1 当多边形内有2枚钉子时，用n表示多边形边上的钉子数，用S表示多边形的面积。那么S＝ n÷2＋1。 【点睛】本题主要考查钉子板上多边形面积公式，熟练掌握它的面积公式并灵活运用。 提升练习 1．在钉子板上围一个多边形，如果多边形边上的钉子共10枚，多边形中间的钉子是2枚，围成的这个多边形的面积是（    ）平方厘米。（每相邻两枚钉子之间是1厘米） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】钉子板多边形面积公式（皮克定理）：面积＝内部钉子数＋边上钉子数÷2−1。本题每相邻钉子间距为1厘米，符合公式适用条件。 【详解】面积：2＋10÷21 ＝2＋51 ＝71 ＝6（平方厘米） 2．鹏鹏用橡皮筋在钉子板上围出了4个图形，如图4个图形中，面积最大的是（    ），面积最小的是（    ）。 A．A；D B．A；B C．B；C D．D；C 【答案】D 【分析】钉子板上的多边形的面积公式：S＝n÷2＋（a－1），其中n为多边形边上的钉子数量，a为多边形内部的钉子数量，将数据代入公式求出各图形的面积，最后比较大小，据此解答。 【详解】A．10÷2＋（2－1） ＝10÷2＋1 ＝5＋1 ＝6（平方厘米） B．10÷2＋（2－1） ＝10÷2＋1 ＝5＋1 ＝6（平方厘米） C．9÷2＋（2－1） ＝9÷2＋1 ＝4.5＋1 ＝5.5（平方厘米） D．10÷2＋（3－1） ＝10÷2＋2 ＝5＋2 ＝7（平方厘米） 因为5.5平方厘米＜6平方厘米＜7平方厘米，所以C的面积＜A和B的面积＜D的面积，即面积最大的是D，面积最小的是C。 故答案为：D 3．如图，在钉子板上围多边形，如果多边形内有2枚钉子，用n表示多边形边上的钉子数，用S表示多边形的面积，那么S＝（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】钉子板上的多边形的面积S＝n÷2＋（a－1），其中n为多边形边上钉子数，a为多边形内部钉子数，把数据代入计算即可。 【详解】S＝n÷2＋（2－1） ＝n÷2＋1 如图，在钉子板上围多边形，如果多边形内有2枚钉子，用n表示多边形边上的钉子数，用S表示多边形的面积，那么S＝n÷2＋1。 故答案为：C 4．下图中，钉子板上四边形的面积是（    ）平方厘米。 A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 【答案】B 【分析】钉子板上的多边形的面积＝n÷2＋（a－1），其中n为多边形边上钉子数，a为多边形内部钉子数。此四边形边上钉子数是9，内部钉子数是5，把数据代入计算即可。 【详解】9÷2＋（5－1） ＝4.5＋4 ＝8.5（平方厘米） 钉子板上四边形的面积是8.5平方厘米。 故答案为：B 5．钉子板又叫几何平板。它是用一块正方形的木板或塑料制成。正面等分成若干个边长为1厘米的小正方形，每一个小正方形的每个顶点都钉着一个钉子。可以用皮筋圈在钉子上围成各种图形，下图钉子板上这个三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】2 【分析】钉子板上的多边形的面积公式：S＝n÷2＋（a－1），其中n为多边形边上钉子数，a为多边形内部钉子数。此三角形边上钉子数是4，内部钉子数是1，把数据代入计算即可。 【详解】4÷2＋（1－1） ＝2＋0 ＝2（平方厘米） 这个三角形的面积是2平方厘米。 6．在钉子板上，每相邻两枚钉子的距离是1厘米，围出的多边形边上有13枚钉子，多边形内有2枚钉子，这个多边形的面积是( )平方厘米。 【答案】7.5 【分析】根据在钉子板上，，其中为多边形边上钉子数，为多边形内部钉子数，把数据代入计算即可。 【详解】 （平方厘米） 所以这个多边形的面积是7.5平方厘米。 【点睛】，其中为多边形边上钉子数，为多边形内部钉子数。 7．下图钉子板中多边形的面积是( )平方厘米。如果在这个钉子板上围出一个内部有2枚钉子，边上有9枚钉子的多边形，这个多边形的面积是( )平方厘米。 【答案】 3.5 5.5 【分析】钉子板上的多边形的面积，其中n为多边形边上钉子数，a为多边形内部钉子数。把数据代入计算即可。 【详解】 （平方厘米） 所以图中多边形的面积是平方厘米。 （平方厘米） 所以第二空是平方厘米。 8．如图，钉子板（每个小方格边长1厘米）中多边形的面积是( )平方厘米；如果在这个钉子板上围出一个内部有5枚钉子，边上有10枚钉子的多边形，这个多边形的面积是( )平方厘米。 【答案】 4 9 【分析】钉子板上多边形面积与钉子数量之间的关系为：S＝b÷2＋a－1（a是多边形内部的钉子数，b是多边形边上的钉子数），称作皮克定理，根据定理代入数据进行解答。 【详解】（1）图中多边形内部格点为2个，边上格点为6个，根据皮克定理可得： ＝6÷2＋2－1 ＝3＋2－1 ＝4（平方厘米） （2）一个多边形内部有5枚钉子，边上有10枚钉子，根据皮克定理可得： ＝10÷2＋5－1 ＝5＋5－1 ＝9（平方厘米） 9．如图，钉子板上围出的多边形的面积是( )平方厘米。 【答案】5.5 【分析】钉子板上的多边形的面积＝n÷2＋（a－1），其中n为多边形边上钉子数，a为多边形内部钉子数。此多边形边上钉子数是5，内部钉子数是4，把数据代入计算即可。 【详解】5÷2＋（4－1） ＝2.5＋3 ＝5.5（平方厘米） 钉子板上围出的多边形的面积是5.5平方厘米。 10．在钉子板上围成的多边形的面积S，与它边上的钉子数n，以及内部钉子数b的关系是：当多边形内只有1枚钉子时，S＝( )；当多边形内有2枚钉子时，S＝( )。 【答案】 n÷2 n÷2＋1 【分析】钉子板上的多边形的面积公式是：S＝（n÷2）＋（b－1），其中n为多边形边上钉子数，b为多边形内部钉子数。把数据代入计算即可。 【详解】（n÷2）＋（1－1）＝n÷2 （n÷2）＋（2－1）＝n÷2＋1 在钉子板上围成的多边形的面积S，与它边上的钉子数n，以及内部钉子数b的关系是：当多边形内只有1枚钉子时，S＝n÷2；当多边形内有2枚钉子时，S＝n÷2＋1。 11．根据钉子板上的图形完成下表（每小格表示1平方厘米）。 长方形 平行四边形 三角形 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚 用n表示多边形边上的钉子数，当多边形内有2枚钉子时，多边形面积S＝（    ）。 【答案】表格见详解；n÷2＋1 【分析】先分别通过长方形面积＝长×宽，平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2求出三个图形的面积，再数边上的钉子数，填写多边形边上的钉子数，进行推导出当多边形内有2枚钉子时，它的面积的表达式。 【详解】长方形的长为3厘米，宽为2厘米，面积为3×2＝6（平方厘米），边上钉子数为10枚； 平行四边形的底为2厘米，高为2厘米，面积为2×2＝4（平方厘米），边上钉子数为6枚； 三角形的底为5厘米，高为2厘米，面积为5×2÷2＝5（平方厘米），边上钉子数为8枚。 据此填表如下： 长方形 平行四边形 三角形 多边形的面积/平方厘米 6 4 5 多边形边上的钉子数/枚 10 6 8 长方形的面积为6平方厘米，边上钉子数为10枚，内部钉子数有2枚，而6＝10÷2＋1； 平行四边形的面积为4平方厘米，边上钉子数为6枚，内部钉子数有2枚，而4＝6÷2＋1； 三角形的面积为5平方厘米，边上钉子数为8枚，内部钉子数有2枚，而5＝8÷2＋1。 因此，当多边形内有2枚钉子时，多边形面积S＝多边形边上的钉子数÷2＋1。 所以，用n表示多边形边上的钉子数，当多边形内有2枚钉子时，多边形面积S＝n÷2＋1。 12．钉子板上多边形边上的钉子数是a，多边形内的钉子数是b。 （1）用含有字母的式子表示钉子板上多边形的面积。 （2）求图中钉子板上多边形的面积。 【答案】（1）S＝a÷2＋b－1 （2）10.5平方厘米 【分析】（1）根据公式：钉子板上多边形的面积＝边上钉子数÷2＋内部钉子数－1，如果a表示钉子数，内部有b枚钉子，代入公式，即可解答。 （2）数出多边形边上的钉子的数，多边形内部钉子的数，代入公式，即可求出多边形的面积，据此解答。 【详解】（1）S＝a÷2＋b－1 （2）7÷2＋8－1 ＝3.5＋8－1 ＝11.5－1 ＝10.5（平方厘米） 答：图中钉子板上多边形面积是10.5平方厘米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $