单元复习讲义：专题10 放大与缩小（考点梳理+例题讲解+举一反三+提升练习）-2026-2027学年数学六年级上册（苏教版·新教材）

该小学数学讲义以“放大与缩小”为核心，通过考点分层梳理构建知识体系，用框架图呈现图形放大缩小的概念、关键特征及常见误区，清晰展示比例尺意义、应用与画图的内在逻辑，突出相似性、单位换算等重难点。 讲义亮点在于“题型+变式”练习设计，如按1:2缩小长方形、用比例尺算无人机航路实际长度，培养几何直观与运算能力。通过面积比误区辨析和单位换算口诀，帮助学生掌握方法，支持分层复习，助力教师精准教学。

专题10 放大与缩小 内容导航 考点梳理 1 考点 1：图形的放大与缩小 1 考点 2：比例尺的意义 2 考点 3：比例尺应用 3 考点 4：应用比例尺画图 4 例题讲解 5 题型一、图形的放大与缩小 5 题型二、比例尺的意义 5 题型三、比例尺应用 6 题型四、应用比例尺画图 7 提升练习 8 考点梳理 考点 1：图形的放大与缩小 1. 核心概念界定 (1) 定义：把图形的各边按相同的比扩大或缩小，所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。 (2) 关键特征： 1　 对应角相等：放大或缩小后的图形，其角度保持不变。 2　 对应边成比例：所有对应边的长度比值相等，这个比值即为放大或缩小的比。 3　 相似性：在几何学中，放大与缩小后的图形与原图形互为“相似图形”。 2. “比”的理解与表述 (1) 前项与后项的含义： 1　 通常表述为“按 放大/缩小”。 2　 前项 ( )：表示变化后图形的边长。 3　 后项 ( )：表示原图形的边长。 (2) 判断放大还是缩小: 1　 若 （即比值 ），则为放大。例如：按 放大，意味着新图形边长是原图形的2倍。 2　 若 （即比值 ），则为缩小。例如：按 缩小，意味着新图形边长是原图形的 。 3　 若 （即比值 ），则图形大小不变。 3. 常见误区与考点辨析 (1) 误区一：只改变一边。 考点：必须所有对应边同时按相同的比变化。如果长扩大2倍，宽扩大3倍，图形会变形，不属于数学意义上的“放大”。 (2) 误区二：面积比等于边长比。 考点：若边长按 放大，则面积按 扩大；若边长按 缩小，则面积按 缩小。这是高频难点，需重点记忆。 示例：按 放大，周长变为原来的2倍，面积变为原来的4倍。 (3) 误区三：角度发生变化。 考点：无论放大多少倍，三角形、矩形等图形内的角度度数永远不变。 考点 2：比例尺的意义 1. 定义与公式 (1) 定义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 (2) 基本公式： 或者表示为： 2. 比例尺的分类 (1) 数值比例尺： 1　 用数字比的形式表示，如 或 。 2　 含义：图上1个单位长度代表实际1000个相同单位长度。 3　 特点：前项通常为1（缩小比例尺）或后项为1（放大比例尺，如精密零件图纸）。 (2) 线段比例尺： 1　 在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离。 2　 转换考点：需熟练掌握将线段比例尺转化为数值比例尺。 3　 示例：线段标有“0—50km”，表示图上1cm代表实际50km。转化为数值比例尺时，需统一单位： 。 3. 比例尺的本质属性 (1) 是一个“比”：比例尺没有单位，它是一个比值。 (2) 前项与后项单位必须统一：在计算或化简比例尺时，图上距离和实际距离的单位必须一致（通常化为厘米 cm）。 (3) 标准形式：为了便于计算，通常将比例尺化简为前项是1（缩小）或后项是1（放大）的最简整数比。 考点 3：比例尺应用 1. 三大基本数量关系 根据比例尺公式，衍生出三个核心计算模型，是解决应用题的基础： (1) 求图上距离： (2) 求实际距离： (3) 求比例尺： 2. 单位换算考点（核心易错点） 在涉及比例尺的计算中，单位换算是失分重灾区。需熟记以下进率： (1) (2) (3) 口诀： 1　 千米变厘米，去掉5个0（或小数点左移5位）。 2　 厘米变千米，加上5个0（或小数点右移5位）。 3. 典型应用场景解析 (1) 场景一：地图阅读 1　 已知：地图比例尺 ，图上两地距离 3cm。 2　 思路：求实际距离。 。 3　 转化： 。 (2) 场景二：精密零件绘图（放大比例尺） 1　 已知：零件实际长 2mm，图纸上画成 4cm。 2　 思路：求比例尺。先统一单位， 。 3　 计算： 。注意此处前项大于后项，表示放大。 (3) 场景三：面积的实际推算 1　 考点：不能直接用图上面积乘以比例尺。 2　 正确步骤：先分别求出实际的长和宽，再计算实际面积；或者利用“面积比等于比例尺平方”的性质进行推导（高阶考点）。 考点 4：应用比例尺画图 1. 画图的一般步骤 (1) 审题与确定比例尺：明确题目给定的比例尺，判断是放大还是缩小。 (2) 单位统一：将实际距离的单位统一换算为厘米（cm），以便与图纸上的刻度匹配。 (3) 计算图上距离： 1　 利用公式 计算出各边在图纸上应画的长度。 (4) 绘制图形： 1　 根据计算出的图上距离，使用直尺、量角器等工具准确作图。 2　 注意保持图形的形状特征（如直角、平行关系）。 (5) 标注： 1　 在图上标明比例尺。 2　 必要时标注图上距离或关键数据。 2. 操作规范与细节 (1) 精度要求：画图时线条要平直，交点要清晰。对于非整数厘米的长度，需使用毫米刻度进行估读或精确测量。 (2) 布局合理：在画图前，需预估图形在纸张上的大小，确保图形完整且位置居中，避免画出纸外或过于偏僻。 (3) 方向一致性：除非题目特别说明，否则图形的方向（上下左右）应与原物体或原图保持一致。 3. 逆向思维考点 (1) 根据图上距离反推实际尺寸：有时题目给出画好的图和比例尺，要求验证画图是否正确，或计算原物体的实际规格。此时需运用 进行逆向检验。 (2) 选择合适比例尺：在开放性问题中，可能要求根据纸张大小和实际物体大小，自行选择一个合适的比例尺。 例题讲解 题型一、图形的放大与缩小 【典例例题】按1∶2的比例画出长方形缩小后的图形，按3∶1的比例画出三角形放大后的图形。 举一反三 【变式训练1】一个图形放大或缩小后得到的图形与原图形相比，( )变了，( )没变。 【变式训练2】将一个长是10cm、宽是6cm的长方形按1∶2的比缩小后，长是( )cm，宽是( )cm；如果按3∶1的比放大，那么放大后的面积是( )cm2. 【变式训练3】按要求画一画。 （1）按1∶3的比画出长方形缩小后的图形。 （2）按2∶1的比画出梯形放大后的图形。 题型二、比例尺的意义 【典例例题】甲、乙两地的实际距离是240千米，在一幅地图上量得的距离是3厘米，这幅地图的比例尺是（    ）。 A．1∶80 B．1∶800 C．1∶8000 D．1∶8000000 举一反三 【变式训练1】沙湖景区游船码头到鸟岛的航线长8千米，在景区示意图上量得长4厘米。示意图比例尺是( )。 【变式训练2】( )比例尺和( )比例尺是比例尺的两种形式。 【变式训练3】把数值比例尺1∶6000000改写成线段比例尺是( )，如果实际距离是480千米，那么图上距离是( )厘米。 题型三、比例尺应用 【典例例题】在比例尺为1∶500000的郑州低空经济规划图上，郑州首条城镇无人机物流航路长3.2厘米，这条航路实际长多少千米？ 举一反三 【变式训练1】港珠澳大桥全长55km，是目前世界上最长的跨海大桥。将它绘制在比例尺为1∶1000000的图纸上，应画( )cm。 【变式训练2】小明在一幅比例尺是1∶100的图纸上量得一个圆形花坛的直径是6厘米，这个花坛的实际面积是多少平方米？ 【变式训练3】在比例尺是1∶6000000的地图上，AB两地的距离是12厘米。甲乙两车分别从AB两地同时出发，相向而行，4小时相遇，已知甲乙两车的速度比是3∶2，那么甲车每小时行驶多少千米？ 题型四、应用比例尺画图 【典例例题】国家游泳中心，别名“水立方”“冰立方”，位于北京奥林匹克公园内。作为“双奥”场馆，“冰立方”是冬奥会历史上体量最大的冰壶场馆，它在水、冰自由转换之间，体现了建筑与技术的高质量发展，也充分彰显了北京冬奥会可持续发展的理念，是绿色奥运和科技奥运结合的典范。国家游泳中心的地面主题建筑为长方体，地面为边长约180米的正方形，高30米。 请按照1∶6000的比例尺在下图中画出从上面看国家游泳中心的平面图。（先计算再画图） 举一反三 【变式训练1】明明家在学校正西方向，距学校300米；亮亮家在明明家正东方向，距明明家800米；兰兰家在学校正北方向，距学校350米。 (1)请你算一算明明、亮亮、兰兰家距学校的图上距离。（比例尺1∶10000）。 (2)在下图中画出他们三家和学校的位置平面图。 【变式训练2】小丽家正南方向400米是电影院，电影院正东方向600米是图书馆，图书馆北偏东30°方向300米是学校。先选择一个合适的比例尺填在括号里，再在图中分别标出电影院、图书馆和学校的位置。 【变式训练3】如图，花店在小玉家正西方向，实际距离是120米，图上距离是2cm。 (1)这幅图的比例尺是( )。超市到小玉家的图上距离是2.5厘米，实际距离是( )米。 (2)博物馆在超市南偏东方向180米，在图中标出博物馆的位置。 提升练习 1．一个零件长0.5cm，画在图纸上长1dm，图纸上的比例尺是（    ）。 A．1∶20 B．20∶1 C．2∶1 D．1∶2 2．把一个长12cm、宽8cm的长方形按1∶2缩小后，所画的新长方形面积是（    ）cm2。 A．96 B．48 C．24 D．6 3．武汉轨道交通某线路一期全长约27km，现需要将这幅图画在长30cm、宽20cm的长方形纸上，你认为比例尺选（    ）最合适。 A．1∶100 B．1∶10000 C．1∶100000 D．1∶1000000 4．美术课上，老师展示了两个相似的几何图形，让同学们观察它们的缩放关系。图形1按（    ）的比缩小后可以得到图形2。 A．1∶3 B．1∶4 C．3∶1 D．4∶1 5．亚洲陆上最深油气井位于我国塔里木盆地。在一张比例尺为1∶80000的图纸上，这个水平井的深为8.5cm，在比例尺为1∶100000的图纸上，它的深度是（    ）cm。 A．6.8 B．0.85 C．8.5 D．10.625 6．如下图，将左边的三角形按( )的比放大，可以得到右边的三角形，放大后的三角形与原来三角形的面积比是( )。 7．一个长方形的长是8cm，宽是6cm，把它按3∶1放大后得到一个新长方形，新长方形与原长方形的周长之比是( )，面积之比是( )。 8．图中有两个平行四边形，把其中的小平行四边形按( )的比放大可以得到大平行四边形。如果小平行四边形的面积是5平方厘米，那么空白部分的面积是( )平方厘米。 9．将线段比例尺改写成数值比例尺是( )，在这幅地图上量得郑州到北京的距离约是17.5厘米，郑州到北京的实际距离约是( )千米。 10．在比例尺是1∶400000的地图上，量得甲、乙两地的距离是6厘米。甲、乙两地的实际距离是( )千米。如果改用比例尺为1∶250000的地图，甲、乙两地的图上距离是( )厘米。 11．一家面包加工企业捐助一批面包发往某地灾区，在一幅标有的地图上，量得两地的距离是2.7厘米，两地间的实际距离是( )千米；一辆大货车载着捐助的面包于上午11时出发，以90千米/时的速度开往某地，( )时可以抵达。 12．下面是张青坐出租车从家出发经过小小商店去电影城的路线图。已知出租车3千米以内（含3千米）按起步价6元收费；以后每增加1千米，收费1.5元。（不足1千米，按1千米计算）请按路线图中提供的信息算一算，张青一共要付费( )元。 13．在左下图中，先按把梯形放大，再按把平行四边形缩小。 14．小明所在学校操场的长是500m，宽是350m，小明想把学校的操场画在白纸上介绍给他的朋友。以下3种比例尺，选（    ）合适，然后在下面的框里画出操场的平面图。 A．    B．    C． 15．豆豆从家出发，先往正东方向走600米到达市民中心，再往东偏北30°方向走500米到达体育中心，最后往西北方向走400米到达学校。 请在如图的方框中画出豆豆行走的路线示意图，并标注线段比例尺。 16．先按4∶1的比将下面的圆放大，画出放大后的图形，再分别算出两个圆的半径比和面积比。你有什么发现？ 17．在一幅地图上，量得A、B两城市间的距离是6厘米，实际相距90千米。如果B、C两城市间的图上距离是3.6厘米，那么实际相距多少千米？（列方程解答） 18．学了李白的《早发白帝城》后，典典打算让他爸爸利用五一小长假带他到巫山小三峡游玩，他们在一幅比例尺为1∶6000000的地图上，量得所在地区与小三峡之间相距8厘米。他们自驾前往目的地，每小时行驶100千米，5小时能到达吗？ 19．小明步行从家出发，先要经过书店再到学校，线路按一定的比例画在下图中。已知小明家到书店的距离是800米。请结合测量数据（取整厘米数）和以上信息解答下列问题。 (1)这幅图的比例尺是多少？ (2)小明按照此路线步行从家出发到学校，实际走了大约多少米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 放大与缩小 内容导航 考点梳理 1 考点 1：图形的放大与缩小 1 考点 2：比例尺的意义 2 考点 3：比例尺应用 3 考点 4：应用比例尺画图 4 例题讲解 5 题型一、图形的放大与缩小 5 题型二、比例尺的意义 7 题型三、比例尺应用 9 题型四、应用比例尺画图 11 提升练习 16 考点梳理 考点 1：图形的放大与缩小 1. 核心概念界定 (1) 定义：把图形的各边按相同的比扩大或缩小，所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。 (2) 关键特征： 1　 对应角相等：放大或缩小后的图形，其角度保持不变。 2　 对应边成比例：所有对应边的长度比值相等，这个比值即为放大或缩小的比。 3　 相似性：在几何学中，放大与缩小后的图形与原图形互为“相似图形”。 2. “比”的理解与表述 (1) 前项与后项的含义： 1　 通常表述为“按 放大/缩小”。 2　 前项 ( )：表示变化后图形的边长。 3　 后项 ( )：表示原图形的边长。 (2) 判断放大还是缩小: 1　 若 （即比值 ），则为放大。例如：按 放大，意味着新图形边长是原图形的2倍。 2　 若 （即比值 ），则为缩小。例如：按 缩小，意味着新图形边长是原图形的 。 3　 若 （即比值 ），则图形大小不变。 3. 常见误区与考点辨析 (1) 误区一：只改变一边。 考点：必须所有对应边同时按相同的比变化。如果长扩大2倍，宽扩大3倍，图形会变形，不属于数学意义上的“放大”。 (2) 误区二：面积比等于边长比。 考点：若边长按 放大，则面积按 扩大；若边长按 缩小，则面积按 缩小。这是高频难点，需重点记忆。 示例：按 放大，周长变为原来的2倍，面积变为原来的4倍。 (3) 误区三：角度发生变化。 考点：无论放大多少倍，三角形、矩形等图形内的角度度数永远不变。 考点 2：比例尺的意义 1. 定义与公式 (1) 定义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 (2) 基本公式： 或者表示为： 2. 比例尺的分类 (1) 数值比例尺： 1　 用数字比的形式表示，如 或 。 2　 含义：图上1个单位长度代表实际1000个相同单位长度。 3　 特点：前项通常为1（缩小比例尺）或后项为1（放大比例尺，如精密零件图纸）。 (2) 线段比例尺： 1　 在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离。 2　 转换考点：需熟练掌握将线段比例尺转化为数值比例尺。 3　 示例：线段标有“0—50km”，表示图上1cm代表实际50km。转化为数值比例尺时，需统一单位： 。 3. 比例尺的本质属性 (1) 是一个“比”：比例尺没有单位，它是一个比值。 (2) 前项与后项单位必须统一：在计算或化简比例尺时，图上距离和实际距离的单位必须一致（通常化为厘米 cm）。 (3) 标准形式：为了便于计算，通常将比例尺化简为前项是1（缩小）或后项是1（放大）的最简整数比。 考点 3：比例尺应用 1. 三大基本数量关系 根据比例尺公式，衍生出三个核心计算模型，是解决应用题的基础： (1) 求图上距离： (2) 求实际距离： (3) 求比例尺： 2. 单位换算考点（核心易错点） 在涉及比例尺的计算中，单位换算是失分重灾区。需熟记以下进率： (1) (2) (3) 口诀： 1　 千米变厘米，去掉5个0（或小数点左移5位）。 2　 厘米变千米，加上5个0（或小数点右移5位）。 3. 典型应用场景解析 (1) 场景一：地图阅读 1　 已知：地图比例尺 ，图上两地距离 3cm。 2　 思路：求实际距离。 。 3　 转化： 。 (2) 场景二：精密零件绘图（放大比例尺） 1　 已知：零件实际长 2mm，图纸上画成 4cm。 2　 思路：求比例尺。先统一单位， 。 3　 计算： 。注意此处前项大于后项，表示放大。 (3) 场景三：面积的实际推算 1　 考点：不能直接用图上面积乘以比例尺。 2　 正确步骤：先分别求出实际的长和宽，再计算实际面积；或者利用“面积比等于比例尺平方”的性质进行推导（高阶考点）。 考点 4：应用比例尺画图 1. 画图的一般步骤 (1) 审题与确定比例尺：明确题目给定的比例尺，判断是放大还是缩小。 (2) 单位统一：将实际距离的单位统一换算为厘米（cm），以便与图纸上的刻度匹配。 (3) 计算图上距离： 1　 利用公式 计算出各边在图纸上应画的长度。 (4) 绘制图形： 1　 根据计算出的图上距离，使用直尺、量角器等工具准确作图。 2　 注意保持图形的形状特征（如直角、平行关系）。 (5) 标注： 1　 在图上标明比例尺。 2　 必要时标注图上距离或关键数据。 2. 操作规范与细节 (1) 精度要求：画图时线条要平直，交点要清晰。对于非整数厘米的长度，需使用毫米刻度进行估读或精确测量。 (2) 布局合理：在画图前，需预估图形在纸张上的大小，确保图形完整且位置居中，避免画出纸外或过于偏僻。 (3) 方向一致性：除非题目特别说明，否则图形的方向（上下左右）应与原物体或原图保持一致。 3. 逆向思维考点 (1) 根据图上距离反推实际尺寸：有时题目给出画好的图和比例尺，要求验证画图是否正确，或计算原物体的实际规格。此时需运用 进行逆向检验。 (2) 选择合适比例尺：在开放性问题中，可能要求根据纸张大小和实际物体大小，自行选择一个合适的比例尺。 例题讲解 题型一、图形的放大与缩小 【典例例题】按1∶2的比例画出长方形缩小后的图形，按3∶1的比例画出三角形放大后的图形。 【答案】 【分析】图形缩小的比例为1∶2，即缩小后的边长是原边长的。观察原长方形，其长占6格，宽占4格，先计算出缩小后的长方形的长和宽的占格数，保持长方形的形状不变，以缩小后的长和宽画出长方形。 图形放大的比例为3∶1，即放大后的边长是原边长的3倍。观察原三角形，其底边占3格，高占2格，先计算出放大后的三角形的底和高的占格数，保持三角形的形状不变，以放大后的底和高画出三角形。 【详解】缩小后的长：6×＝3（格） 缩小后的宽：4×＝2（格） 画出长占3格，宽占2格，形状不变的长方形即可；画图略。 放大后的底：3×3＝9（格） 放大后的高：2×3＝6（格） 画出底占9格，高占6格，形状不变的三角形即可；画图略。 举一反三 【变式训练1】一个图形放大或缩小后得到的图形与原图形相比，( )变了，( )没变。 【答案】 大小 形状 【分析】图形的放大或缩小，是按照一定的比例改变图形的每条边的长度，但是图形的对应角的大小不变，对应边的长度比不变。也就是说，当图形的边长按比例变化后，图形的大小会改变，但是形状不变。 【详解】根据分析，一个图形放大或缩小后得到的图形与原图形相比，大小变了，形状没变。 【变式训练2】将一个长是10cm、宽是6cm的长方形按1∶2的比缩小后，长是( )cm，宽是( )cm；如果按3∶1的比放大，那么放大后的面积是( )cm2. 【答案】 5 3 540 【分析】将长方形按1：2的比缩小，那么长和宽缩小到实际长、实际宽的一半； 将长方形按3：1的比放大，那么长和宽放大到实际长、实际宽的3倍，求出放大后的长和宽，再求放大后的面积，据此解答。 【详解】（1）将长方形按1：2的比缩小， 长：（cm） 宽：（cm） （2）将长方形按3：1的比放大， 长：（cm） 宽：（cm） 面积：（cm2） 所以，将长方形按1：2的比缩小后，长是5cm，宽是3cm；将长方形按3：1的比放大，那么放大后的面积是540cm2。 【变式训练3】按要求画一画。 （1）按1∶3的比画出长方形缩小后的图形。 （2）按2∶1的比画出梯形放大后的图形。 【答案】 【分析】（1）按1：3的比例画出长方形缩小后的图形，就是把原长方形的长和宽都缩小到原来的，原长方形的长和宽分别是6格和3格，缩小后的长方形的长和宽分别是2格和1格。（2）按2：1的比例画出梯形放大后的图形，就是把原梯形的上下底和高分别扩大到原来的2倍，原梯形的上底、下底、高分别是2格、3格、3格，扩大后的梯形的上底、下底、高分别是4格、6格、6格。 题型二、比例尺的意义 【典例例题】甲、乙两地的实际距离是240千米，在一幅地图上量得的距离是3厘米，这幅地图的比例尺是（    ）。 A．1∶80 B．1∶800 C．1∶8000 D．1∶8000000 【答案】D 【分析】比例尺是指图上距离与实际距离的比，先统一单位，将实际距离千米换算成厘米，再根据公式比例尺＝图上距离∶实际距离，写出比并化简，1千米＝100000厘米。 【详解】240×100000＝24000000（厘米），240千米＝24000000厘米。 3∶24000000 ＝（3÷3）∶（24000000÷3） ＝1∶8000000 比例尺是1∶8000000。 举一反三 【变式训练1】沙湖景区游船码头到鸟岛的航线长8千米，在景区示意图上量得长4厘米。示意图比例尺是( )。 【答案】1∶200000 【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，据此解答，注意单位换算。 【详解】8千米＝800000厘米 4∶800000 ＝（4÷4）∶（800000÷4） ＝1∶200000 【变式训练2】( )比例尺和( )比例尺是比例尺的两种形式。 【答案】 数值 线段 【详解】 数值比例尺和线段比例尺是比例尺的两种形式。如数值比例尺：1∶1000000；线段比例尺：。 【变式训练3】把数值比例尺1∶6000000改写成线段比例尺是( )，如果实际距离是480千米，那么图上距离是( )厘米。 【答案】 8 【分析】（1）数值比例尺是图上距离与实际距离的比，线段比例尺是用一条标注有数量的线段来表示图上距离所对应的地面上的实际距离。所以把数值比例尺改写成线段比例尺，先把6000000厘米换算成千米作单位的数，然后画一条1厘米长的线段，在线段两端标注相应的数据即可； （2）根据图上距离＝实际距离×比例尺，计算480千米所对应的图上距离。 【详解】（1）画出一条1厘米的线段，一端标注“0”，一端标注“60千米”，画出的线段比例尺如下： （2）480千米＝48000000厘米 48000000×＝8（厘米） 所以如果实际距离是480千米，那么图上距离是8厘米。 题型三、比例尺应用 【典例例题】在比例尺为1∶500000的郑州低空经济规划图上，郑州首条城镇无人机物流航路长3.2厘米，这条航路实际长多少千米？ 【答案】千米 【分析】根据比例尺图上距离实际距离，可知实际距离图上距离比例尺。据此先求出实际距离的厘米数，再根据1千米＝1000米＝100000厘米，除以进率进行单位换算。 【详解】 （厘米） ÷100000（千米） 答：这条航路实际长千米。 举一反三 【变式训练1】港珠澳大桥全长55km，是目前世界上最长的跨海大桥。将它绘制在比例尺为1∶1000000的图纸上，应画( )cm。 【答案】 5.5 【分析】根据公式：图上距离＝实际距离×比例尺，先进行单位换算，再代入数据解答即可。 【详解】55km＝5500000cm 5500000×＝5.5（cm） 【变式训练2】小明在一幅比例尺是1∶100的图纸上量得一个圆形花坛的直径是6厘米，这个花坛的实际面积是多少平方米？ 【答案】28.26平方米 【分析】根据比例尺的意义，利用“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出花坛的实际直径，再将长度单位换算成米，求出实际半径，最后根据圆的面积公式计算实际面积。 【详解】实际直径： ＝6×100 ＝600（厘米） 600厘米＝6米 实际半径：6÷2＝3（米） 实际面积： （平方米） 答：这个花坛的实际面积是28.26平方米。 【变式训练3】在比例尺是1∶6000000的地图上，AB两地的距离是12厘米。甲乙两车分别从AB两地同时出发，相向而行，4小时相遇，已知甲乙两车的速度比是3∶2，那么甲车每小时行驶多少千米？ 【答案】108千米 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺求出两地的实际距离，并将单位换算为千米。然后根据速度和＝总路程÷相遇时间求出甲、乙两车的速度和。已知甲、乙两车的速度比，利用按比分配的方法，求出甲车的速度。 【详解】 （厘米） 厘米千米 （千米/时） （千米/时） 答：甲车每小时行驶108千米。 题型四、应用比例尺画图 【典例例题】国家游泳中心，别名“水立方”“冰立方”，位于北京奥林匹克公园内。作为“双奥”场馆，“冰立方”是冬奥会历史上体量最大的冰壶场馆，它在水、冰自由转换之间，体现了建筑与技术的高质量发展，也充分彰显了北京冬奥会可持续发展的理念，是绿色奥运和科技奥运结合的典范。国家游泳中心的地面主题建筑为长方体，地面为边长约180米的正方形，高30米。 请按照1∶6000的比例尺在下图中画出从上面看国家游泳中心的平面图。（先计算再画图） 【答案】图上正方形边长3厘米； 【分析】由题意可知，从上面看国家游泳中心是边长为180米的正方形，先把数值比例尺转化为线段比例尺，图上1厘米代表实际距离6000厘米，即60米，再求出180米对应的图上距离3厘米，最后在地图上画出一个边长为3厘米的正方形。 【详解】比例尺1∶6000表示图上1厘米代表实际距离6000厘米。 6000厘米＝60米 180÷60＝3（厘米） 画图略。 举一反三 【变式训练1】明明家在学校正西方向，距学校300米；亮亮家在明明家正东方向，距明明家800米；兰兰家在学校正北方向，距学校350米。 (1)请你算一算明明、亮亮、兰兰家距学校的图上距离。（比例尺1∶10000）。 (2)在下图中画出他们三家和学校的位置平面图。 【答案】(1)明明家3厘米；亮亮家5厘米；兰兰家3.5厘米 (2) 【分析】（1）已知平面图的比例尺和明明、亮亮、兰兰家距学校的实际距离，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”以及进率“1米＝100厘米”，求出明明、亮亮、兰兰家距学校的图上距离。 （2）以图上的“上北下南，左西右东”为准，以学校为观测点，结合上一题三家与学校的图上距离，画出他们三家和学校的位置平面图。 【详解】（1）明明家离学校的图上距离： 300米＝30000厘米 30000×＝3（厘米） 亮亮家离学校的图上距离： 800－300＝500（米） 500×＝5（厘米） 兰兰家离学校的图上距离： 350米＝35000厘米 35000×＝3.5（厘米） 答：明明家距学校的图上距离是3厘米，亮亮家距学校的图上距离是5厘米，兰兰家距学校的图上距离是3.5厘米。 （2）明明家在学校正西方向距学校300米，即在学校的正西方向上画3厘米长的线段，即是明明家； 亮亮家在明明家正东方向距明明家800米，即距离学校500米，在学校的正东方向上画5厘米长的线段，即是亮亮家； 兰兰家在学校正北方向距学校350米，即在学校的正北方向上画3.5厘米长的线段，即是兰兰家。 【变式训练2】小丽家正南方向400米是电影院，电影院正东方向600米是图书馆，图书馆北偏东30°方向300米是学校。先选择一个合适的比例尺填在括号里，再在图中分别标出电影院、图书馆和学校的位置。 【答案】见详解 【分析】选择比例尺，即图上1厘米代表实际100米。那么电影院就是（厘米），图书馆就是（厘米），学校则是（厘米）。根据上北下南左西右东作图。画电影院时应该以小丽家为起点，画图书馆就要以电影院为起点，然后要从图书馆为起点在北偏东30°方向画学校。 【详解】 【变式训练3】如图，花店在小玉家正西方向，实际距离是120米，图上距离是2cm。 (1)这幅图的比例尺是( )。超市到小玉家的图上距离是2.5厘米，实际距离是( )米。 (2)博物馆在超市南偏东方向180米，在图中标出博物馆的位置。 【答案】(1) 1∶6000 150 (2) 【分析】（1）根据比例尺的意义，比例尺＝图上距离 实际距离。已知花店到小玉家的图上距离是2厘米，实际距离是120米，先统一单位，再化简比即可求出比例尺。已知超市到小玉家的图上距离是2.5厘米，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，即可求出实际距离； （2）确定博物馆的位置，需要知道方向和距离。以超市为观测点，博物馆在南偏东45°方向。根据求出的比例尺，计算出博物馆到超市的图上距离，然后在图上标出即可。 【详解】（1）120米＝12000厘米，2厘米÷12000厘米＝1∶6000；2.5÷＝2.5×6000＝15000（厘米），15000厘米＝150米； （2）180米＝18000厘米，18000×＝3（厘米）；以超市为观测点，画出正南方向。以正南方向为起始边，向东量出45°角，画出射线；在射线上量出3厘米的长度，标出点，并写上博物馆。 提升练习 1．一个零件长0.5cm，画在图纸上长1dm，图纸上的比例尺是（    ）。 A．1∶20 B．20∶1 C．2∶1 D．1∶2 【答案】B 【分析】先统一图上距离与实际距离的单位，再根据比例尺的意义：比例尺是图上距离与实际距离的比，写出比例尺，最后根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变）化简即可解答。 【详解】1dm＝10cm 10:0.5 ＝（10×10）:（0.5×10） ＝100:5 ＝（100÷5）:（5÷5） ＝20:1 2．把一个长12cm、宽8cm的长方形按1∶2缩小后，所画的新长方形面积是（    ）cm2。 A．96 B．48 C．24 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，按1∶2缩小，说明缩小后的长和宽是原来的长和宽的。用12、8分别乘计算缩小后长方形的长和宽是多少，再利用长方形的面积＝长×宽求出得到新长方形的面积。据此解答。 【详解】（12）×（8） ＝6×4 ＝24（cm2） 所以，所画的新长方形面积是24cm2。 3．武汉轨道交通某线路一期全长约27km，现需要将这幅图画在长30cm、宽20cm的长方形纸上，你认为比例尺选（    ）最合适。 A．1∶100 B．1∶10000 C．1∶100000 D．1∶1000000 【答案】C 【分析】首先统一单位，将实际距离换算成厘米。然后根据“图上距离 = 实际距离 × 比例尺”计算出各选项对应的图上距离，最后与纸张的长30厘米和宽20厘米进行比较，既要能画下，又要大小合适。 【详解】A．图上距离为 ，远大于纸张长度，此选项错误； B．图上距离为 ，大于纸张长度，此选项错误； C．图上距离为 ，小于纸张长度30厘米且大小合适，此选项正确； D．图上距离为 ，虽能画下但图形过小，不合适，此选项错误。 现需要将这幅图画在长30厘米、宽20厘米的长方形纸上，我认为比例尺选1∶100000最合适。 4．美术课上，老师展示了两个相似的几何图形，让同学们观察它们的缩放关系。图形1按（    ）的比缩小后可以得到图形2。 A．1∶3 B．1∶4 C．3∶1 D．4∶1 【答案】A 【分析】把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n。 【详解】4∶12＝4÷12＝＝ 2∶6＝2÷6＝＝ 将图形1的底和高都缩小到原来的得到图形2，因此图形1按1∶3的比缩小后可以得到图形2。 5．亚洲陆上最深油气井位于我国塔里木盆地。在一张比例尺为1∶80000的图纸上，这个水平井的深为8.5cm，在比例尺为1∶100000的图纸上，它的深度是（    ）cm。 A．6.8 B．0.85 C．8.5 D．10.625 【答案】A 【分析】先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出水平井的实际深度；再根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出再另一幅图纸上水平井的图上深度。据此解答。 【详解】8.5÷ ＝8.5×80000 ＝680000（cm） 680000×＝6.8（cm） 所以，在比例尺为1∶100000的图纸上，它的深度是6.8cm。 6．如下图，将左边的三角形按( )的比放大，可以得到右边的三角形，放大后的三角形与原来三角形的面积比是( )。 【答案】 3∶1 9∶1 【分析】根据对应边的长度关系，即用右边三角形的底边长除以左边三角形的底边长，确定放大比例；再根据三角形面积公式（三角形面积＝底×高÷2），求出放大前后的面积，再用放大后的面积比原来的面积，并将结果化成最简整数比。 【详解】因为12÷4＝3，所以将左边的三角形按3∶1的比放大，可以得到右边的三角形。 原来的面积： 4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（cm2） 放大后的面积： 12×9÷2 ＝108÷2 ＝54（cm2） 放大后的面积∶原来的面积 ＝54∶6 ＝（54÷6）∶（6÷6） ＝9∶1 7．一个长方形的长是8cm，宽是6cm，把它按3∶1放大后得到一个新长方形，新长方形与原长方形的周长之比是( )，面积之比是( )。 【答案】 【分析】根据题意，放大后的长方形的长是原来的3倍，宽是原来的3倍；算出放大后的长和宽，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，算出原来和放大后的周长，写出它们的比，再化简；根据长方形的面积＝长×宽，算出原来和放大后的面积，写出它们的比，再化简。 【详解】放大后的长：8×3＝24（cm） 放大后的宽：6×3＝18（cm） 放大后的周长：（24＋18）×2＝42×2＝84（cm） 原来的周长：（8＋6）×2＝14×2＝28（cm） 周长比：84∶28＝（84÷28）∶（28÷28）＝3∶1 面积比：（24×18）∶（8×6）＝432∶48＝（432÷48）∶（48÷48）＝9∶1 8．图中有两个平行四边形，把其中的小平行四边形按( )的比放大可以得到大平行四边形。如果小平行四边形的面积是5平方厘米，那么空白部分的面积是( )平方厘米。 【答案】 3∶1 40 【分析】从图中可知，小平行四边形的底边长为1，大平行四边形的底边长为3，据此可得出小平行四边形按3∶1放大得到大平行四边形； 根据平行四边形的面积＝底×高，小平行四边形的底、高都按3∶1放大，即底、高分别乘3，据此得出大平行四边形与小平行四边形的面积比为9∶1；然后用小平行四边形的面积乘9，即可求出大平行四边形的面积； 最后用大平行四边形的面积减去小平行四边形的面积，求出空白部分的面积。 【详解】图中有两个平行四边形，把其中的小平行四边形按（3∶1）的比放大可以得到大平行四边形。 大平行四边形的面积∶小平行四边形的面积＝（3×3）∶（1×1）＝9∶1 大平行四边形的面积：5×9＝45（平方厘米） 空白部分的面积是：45－5＝40（平方厘米） 9．将线段比例尺改写成数值比例尺是( )，在这幅地图上量得郑州到北京的距离约是17.5厘米，郑州到北京的实际距离约是( )千米。 【答案】 1∶4000000 700 【分析】线段比例尺1厘米代表实际40千米，先把千米换算成厘米写出数值比例尺，再用图上距离乘每厘米对应的实际距离算出总路程。 【详解】1千米＝100000厘米 40千米＝4000000厘米 比例尺是1∶4000000 17.5×40＝700（千米） 10．在比例尺是1∶400000的地图上，量得甲、乙两地的距离是6厘米。甲、乙两地的实际距离是( )千米。如果改用比例尺为1∶250000的地图，甲、乙两地的图上距离是( )厘米。 【答案】 24 9.6 【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，那么实际距离＝图上距离÷比例尺，据此求出甲、乙两地的实际距离；然后根据：实际距离×比例尺＝图上距离，单位换算时，1千米＝100000厘米，由此解答即可。 【详解】6÷ ＝6×400000 ＝2400000（厘米） 2400000厘米＝24千米 2400000×＝9.6（厘米） 即甲、乙两地的实际距离是24千米。如果改用比例尺为1∶250000的地图，甲、乙两地的图上距离是9.6厘米。 11．一家面包加工企业捐助一批面包发往某地灾区，在一幅标有的地图上，量得两地的距离是2.7厘米，两地间的实际距离是( )千米；一辆大货车载着捐助的面包于上午11时出发，以90千米/时的速度开往某地，( )时可以抵达。 【答案】 270 14 【分析】根据比例尺可知，1厘米表示100千米，用2.7×100，求出两地间的实际距离，再根据时间＝路程÷速度，求出经过的时间，再用出发时间加上经过时间，求出几时可以抵达。 【详解】2.7×100＝270（千米） 270÷90＝3（小时） 上午11时＋3小时＝下午2时 下午2时＝14时 所以14时可以抵达。 12．下面是张青坐出租车从家出发经过小小商店去电影城的路线图。已知出租车3千米以内（含3千米）按起步价6元收费；以后每增加1千米，收费1.5元。（不足1千米，按1千米计算）请按路线图中提供的信息算一算，张青一共要付费( )元。 【答案】12 【分析】张青家到小小商店的图上距离为3厘米，小小商店到电影城的距离为1.1厘米，两者相加即可求得总图上距离；根据比例尺1∶150000，即可求得实际距离，然后换算成千米；起步里程为3千米，先计算超出3千米的部分，以后每增加1千米，收费1.5元，不足1千米，按1千米计算，然后计算总费用。 【详解】3＋1.1＝4.1（厘米） 4.1×150000＝615000（厘米） 615000厘米＝6.15千米 6.15－3＝3.15（千米） 超出部分按4千米计算； 超出部分费用：4×1.5＝6（元） 总费用：6＋6＝12（元） 因此，张青一共要付费12元。 13．在左下图中，先按把梯形放大，再按把平行四边形缩小。 【答案】 【分析】图形放大缩小只改变边长，形状不变。按2∶1放大梯形，把梯形上底、下底、高的方格长度都乘2，据此画出放大后的图形；按1∶2缩小平行四边形，把平行四边形的底和高的方格长度都除以2，据此画出缩小后的图形。 【详解】放大后的上底：2×2＝4 放大后的下底：3×2＝6 放大后的高：2×2＝4 缩小后的底：4÷2＝2 缩小后的高：2÷2＝1 画图略。 14．小明所在学校操场的长是500m，宽是350m，小明想把学校的操场画在白纸上介绍给他的朋友。以下3种比例尺，选（    ）合适，然后在下面的框里画出操场的平面图。 A．    B．    C． 【答案】 B 图见详解 【分析】根据比例尺的意义，图上距离＝实际距离×比例尺。需要先将实际距离的单位换算成厘米，再分别计算出各选项比例尺对应的图上距离，结合普通白纸的大小（一般长宽约为20cm至30cm）来判断哪个比例尺合适。 【详解】已知操场实际长500m，宽350m。 500m＝50000cm，350m＝35000cm 根据公式：图上距离＝实际距离×比例尺，逐项分析如下： A．比例尺为1∶1000000的图上长：50000×＝0.05cm，图上宽：35000×＝0.035cm，图上距离太小，无法清晰画出，此选项错误； B．比例尺为1∶10000的图上长：50000×＝5cm，图上宽：35000×＝3.5cm，图上距离大小适中，适合画在白纸上，此选项正确； C．比例尺为1∶100的图上长：50000×＝500cm，图上宽：35000×＝350cm，图上距离太大，白纸无法容纳，此选项错误。 综上所述，选择比例尺1∶10000合适。 15．豆豆从家出发，先往正东方向走600米到达市民中心，再往东偏北30°方向走500米到达体育中心，最后往西北方向走400米到达学校。 请在如图的方框中画出豆豆行走的路线示意图，并标注线段比例尺。 【答案】 【分析】先确定比例尺并计算各段路线的图上距离。 设定比例尺为：图上1厘米代表实际距离100米。分别求出图上距离。 再利用平面图上方向规定：上北下南左西右东的方向，和各路段距离画出路线示意图。 【详解】豆豆家到市民中心：实际距离600米，图上距离为600÷100＝6（厘米）。 市民中心到体育中心：实际距离500 米，图上距离为500÷100＝5（厘米）。 体育中心到学校：实际距离400 米，图上距离为400÷100＝4（厘米）。 起点：从“豆豆家”出发，向正东方向（水平向右）画一条6厘米长的线段，终点标为“市民中心”。接着以市民中心为观测点，向东偏北30°方向（即正东方向逆时针旋转30°）画一条5 厘米长的线段，终点标为“体育中心”。然后以体育中心为观测点，向西北方向（即北偏西45°）画一条4厘米长的线段，终点标为“学校”。（答案不唯一） 作图略。 16．先按4∶1的比将下面的圆放大，画出放大后的图形，再分别算出两个圆的半径比和面积比。你有什么发现？ 【答案】图见详解；4∶1；16∶1；放大后的图形与原图形的面积比等于半径的平方比 【分析】按4∶1放大就是把圆的半径扩大到原来的4倍，测量可知，原来圆的半径为1厘米，放大后圆的半径为1×4＝4厘米，根据“”表示出原来和放大后圆的面积，最后求出它们的面积比，据此解答。 【详解】作图如下： 分析可知，放大后的图形与原图形的半径比是4∶1。 1×4＝4（厘米） （×42）∶（×12） ＝42∶12 ＝16∶1 所以，放大后的图形与原图形的面积比是16∶1。 由上可知，放大后的图形与原图形的面积比等于半径的平方比。 17．在一幅地图上，量得A、B两城市间的距离是6厘米，实际相距90千米。如果B、C两城市间的图上距离是3.6厘米，那么实际相距多少千米？（列方程解答） 【答案】 54千米 【分析】在同一幅地图上，比例尺是一定的，即图上距离与实际距离的比值一定。设 B、C 两城市间的实际距离为千米，根据比例尺一定列出比例方程为。将比例转化为方程，先化简，再求出的值即可解答。 【详解】解：设 B、C 两城市间的实际距离是千米。 答：B、C 两城市间的实际距离是54千米。 18．学了李白的《早发白帝城》后，典典打算让他爸爸利用五一小长假带他到巫山小三峡游玩，他们在一幅比例尺为1∶6000000的地图上，量得所在地区与小三峡之间相距8厘米。他们自驾前往目的地，每小时行驶100千米，5小时能到达吗？ 【答案】能到达 【分析】先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出两地的实际距离（单位为厘米）；再将这个实际距离的单位换算成千米；再根据“路程＝速度×时间”，求出5小时自驾能行驶的路程；最后把实际距离和行驶路程进行比较，判断5小时能否到达。 【详解】8÷ ＝8×6000000 ＝48000000（厘米） 48000000厘米＝480千米 100×5＝500（千米） 480＜500 答：5小时能到达。 19．小明步行从家出发，先要经过书店再到学校，线路按一定的比例画在下图中。已知小明家到书店的距离是800米。请结合测量数据（取整厘米数）和以上信息解答下列问题。 (1)这幅图的比例尺是多少？ (2)小明按照此路线步行从家出发到学校，实际走了大约多少米？ 【答案】(1)1∶40000 (2)2000米 【分析】（1）量得小明家到书店的图上距离大约是2厘米，根据比例尺＝图上距离∶实际距离，即可解答； （2）量得书店再到学校的图上距离大约是3厘米，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际距离，再加上800，即可解答。 【详解】（1）经测量，小明家到书店的图上距离约为2厘米。 2厘米∶800米＝2厘米∶80000厘米＝2∶80000＝1∶40000 答：这幅图的比例尺是1∶40000。 （2）经测量，书店到学校的图上距离约为3厘米。 3÷＝3×40000＝120000（厘米）＝1200米 1200＋800＝2000（米） 答：实际走了大约2000米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $