单元复习讲义：专题02 混合运算和数量关系（三）（考点梳理+例题讲解+举一反三+提升练习）-2026-2027学年数学六年级上册（苏教版·新教材）

该小学数学讲义通过框架式结构系统梳理混合运算和数量关系知识体系，将分数四则混合运算的运算顺序与技巧、估算策略、分数应用题数量关系模型、工程问题公式等考点按逻辑分层呈现，清晰展示知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“考点梳理-典例讲解-提升练习”的递进设计，如工程问题通过“独做-合作-中途离开”变式训练，培养运算能力与模型意识。提升练习涵盖选择、计算、解决问题等题型，基础题巩固方法，综合题发展推理意识，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习。

专题02 混合运算和数量关系（三） 内容导航 考点梳理 1 考点 1：分数四则混合运算 1 考点 2：用估算解决实际问题 2 考点 3：求一个量的几分之几的问题 2 考点 4：求比一个数多（或少）几分之几的应用题 3 考点 5：工程问题 4 例题讲解 5 题型一、分数四则混合运算 5 题型二、用估算解决实际问题 11 题型三、求一个量的几分之几的问题 14 题型四、求比一个数多（或少）几分之几的应用题 16 题型五、工程问题 18 提升练习 21 考点梳理 考点 1：分数四则混合运算 1. 运算顺序的核心规则 分数四则混合运算的顺序与整数、小数四则混合运算完全一致，这是进行正确计算的基础前提。 (1) 同级运算：如果算式中只含有加减法或只含有乘除法，应按照从左到右的顺序依次计算。 (2) 两级运算：如果算式中既含有加减法，又含有乘除法，应先算乘除法，后算加减法。 (3) 括号优先：如果算式中含有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 2. 运算定律在分数中的推广 整数的运算定律在分数运算中同样适用，灵活运用可简化计算过程。 (1) 加法交换律与结合律： ； 。适用于分母相同或易于通分的分数相加。 (2) 乘法交换律、结合律与分配律： 1　 2　 3　 4　 重点应用：乘法分配律是分数简便运算中最常用的技巧，特别是当括号外的因数与括号内的某一项分母存在倍数关系，或各项提取公因数后能凑整时。 3. 计算技巧与注意事项 (1) 约分先行：在连乘或乘除混合运算中，提倡先约分再计算，以减少数字大小，降低出错率。 (2) 除法转化：除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数。在混合运算中，通常先将所有除法转化为乘法，统一为乘法运算后再进行约分和计算。 (3) 带分数处理：在乘除运算中，通常将带分数化为假分数；在加减运算中，可将整数部分与分数部分分别计算，但需注意借位问题。 考点 2：用估算解决实际问题 1. 估算的意义与适用场景 估算并非粗略猜测，而是基于数感和对数量关系的理解，对结果范围进行合理判断。 (1) 快速判断合理性：在精确计算前或计算后，通过估算判断结果是否在合理范围内，用于检验计算错误。 (2) 解决无需精确值的问题：如购物预算是否充足、材料是否够用等实际生活场景。 2. 常用估算策略 (1) 取整法：将分数看作接近的整数或简单的分数（如 ）。例如， 可估算为 ， 可估算为 或 。 (2) 放缩法： 1　 往大估：将因数变大，若结果仍小于目标值，则原结果一定小于目标值。常用于判断“钱够不够”。 2　 往小估：将因数变小，若结果仍大于目标值，则原结果一定大于目标值。常用于判断“装得下吗”。 (3) 中间值参照：利用标准量（如单位“1”）作为参照，判断结果是大于1、小于1还是接近1。 3. 估算的思维要点 (1) 方向性明确：必须清楚估算结果是偏大还是偏小，这对于解决“够不够”类问题至关重要。 (2) 误差控制：根据题目精度要求选择合适的估算粒度，避免过度估算导致结论失效。 考点 3：求一个量的几分之几的问题 1. 基本数量关系模型 此类问题是分数乘法应用题的最基础形态，核心在于识别“单位1”和“分率”。 (1) 公式：单位“1”的量 对应分率 = 对应分量 (2) 关键特征：题目中通常出现“...的几分之几”字样，且“的”字前面的量即为单位“1”。 2. 解题步骤详解 (1) 找单位“1”：分析句子结构，确定哪个量是标准量（整体）。 (2) 定分率：找出所求量占单位“1”的几分之几。 (3) 列式计算：直接用乘法计算。若单位“1”已知，用乘法；若单位“1”未知，此模型通常不直接适用（需转为方程或除法，但本考点侧重已知单位1求部分）。 考点 4：求比一个数多（或少）几分之几的应用题 1. 数量关系解析 此类问题是在“求一个量的几分之几”基础上的延伸，关键在于理解“多/少几分之几”是相对于谁而言。 (1) 核心语义：“比A多 ”意味着 B = A + (A )；“比A少 ”意味着 B = A - (A )。 (2) 转化分率： 1　 比单位“1”多 ，则所求量相当于单位“1”的 。 2　 比单位“1”少 ，则所求量相当于单位“1”的 。 2. 两种解题思路 (1) 思路一：分步计算 1　 先求出多（或少）的具体数量：单位“1” 分率。 2　 再求最终结果：单位“1” 多（或少）的数量。 (2) 思路二：综合分率法（推荐） 1　 先求出所求量对应的总分率： 分率。 2　 直接相乘：单位“1” 分率 。 3. 易错点辨析 (1) 单位“1”的错位：务必确认“比”字后面的量是单位“1”。例如，“甲比乙多 ”，单位“1”是乙；若问“乙比甲少几分之几”，单位“1”变成了甲，分率不再是 ，而是 。 (2) 具体数量与分率的混淆：题目中若出现“多 米”与“多 ”，前者是具体数值，直接加减；后者是分率，需乘法运算。 考点 5：工程问题 1. 基本概念与假设 工程问题特指关于工作总量、工作效率和工作时间三者关系的应用题。 (1) 工作总量：通常没有具体数值，习惯上将工作总量看作单位“1”。 (2) 工作效率：指单位时间内完成的工作量。若单独完成需要 天，则工作效率为 。 (3) 工作时间：完成工作所需的时间。 2. 核心数量关系 (1) 基本公式： 1　 工作效率 工作时间 = 工作总量 2　 工作总量 工作效率 = 工作时间 3　 工作总量 工作时间 = 工作效率 (2) 合作问题公式： 1　 合作效率 = 甲效率 + 乙效率 + ... 2　 合作时间 = 工作总量（1） 合作效率 3. 常见题型与解题策略 (1) 多人合作： 1　 分别表示出各人的工作效率（ ...）。 2　 求出效率和。 3　 用 除以效率和得到合作时间。 (2) 中途加入或离开： 1　 分段考虑：将过程分为“独做阶段”和“合作阶段”。 2　 剩余工作量法：先计算已完成的工作量，用 减去已完成的，得到剩余工作量，再除以当前效率。 (3) 交替工作： 1　 寻找周期：确定一个完整循环（如甲做1天，乙做1天）完成的工作量。 2　 计算周期数：看总工作量包含多少个完整周期。 3　 处理余数：分析剩余工作量由谁完成，需多少时间。 例题讲解 题型一、分数四则混合运算 【典例例题】脱式计算，能简算的要简算。 （1）     （2） 【答案】（1）（2）3.5 【分析】有括号先算括号内，先小括号后中括号，括号外先乘除后加减。 第一题：小括号内包含分数和小数，先将小数统一转化为分数，先计算小括号内的减法；再计算中括号内的乘法；最后计算括号外的除法。 第二题：算式中两个乘法项有相同的因数3.5，可以利用乘法分配律进行简便计算，先合并两个分数的和，再与3.5相乘。 【详解】（1） （2） 举一反三 【变式训练1】用递等式计算。                              【答案】；17； 【分析】（1）运用乘法分配律的逆运算进行简算； （2）运用乘法分配律进行简算； （3）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算括号外面的乘法。 【详解】 ＝（0.38＋0.62）× ＝1× ＝ ＝48×－48× ＝30－13 ＝17 ＝ ＝ ＝ ＝×4 ＝ 【变式训练2】计算下面各题，能简算的用简便方法计算。                               3.45×7.6＋6.55×7.6                         【答案】；76； ；875 【分析】先算乘法，再根据减法的性质实现简算。 逆用乘法分配律将算式变形为（3.45＋6.55）×7.6，再按照先算括号里面的加法后算括号外面的乘法实现简算。 先通分算小括号减法，再算中括号除法，最后算括号外乘法。 交换中7和1的位置后算式变形为，再用乘法分配律的逆运算实现简算。 【详解】 3.45×7.6＋6.55×7.6 ＝（3.45＋6.55）×7.6 ＝10×7.6 ＝76 【变式训练3】下面各题怎样简便就怎样算。 2025＋8.05÷2.3        54×（＋）×17        ×37－2÷ 350＋495÷45×15      －（÷＋）        ÷[×（－）] 【答案】2028.5；88；20； 515；；3 【分析】计算2025＋8.05÷2.3时，先算除法，再算加法； 计算54×（＋）×17时，根据乘法分配律把式子转化为54××17＋54××17进行简便运算； 计算×37－2÷时，先把除法化成乘法，再根据乘法分配律把式子转化为×（37－2）进行简便运算； 计算350＋495÷45×15时，先算除法，再算乘法，最后算加法； 计算－（÷＋）时，先算括号里的除法，再算括号里的加法，最后根据减法的性质把式子转化为－－进行简便运算； 计算÷[×（－）]时，先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算中括号外的除法。 【详解】2025＋8.05÷2.3 ＝2025＋3.5 ＝2028.5 54×（＋）×17 ＝54××17＋54××17 ＝2×17＋54 ＝34＋54 ＝88 ×37－2÷ ＝×37－2× ＝×（37－2） ＝×35 ＝20 350＋495÷45×15 ＝350＋11×15 ＝350＋165 ＝515 －（÷＋） ＝－（×＋） ＝－（＋） ＝－－ ＝1－ ＝ ÷[×（－）] ＝÷[×（－）] ＝÷[×] ＝÷ ＝×20 ＝3 题型二、用估算解决实际问题 【典例例题】小明带100元去书店买书，他买了两本练习册，每本20.6元，又花了39.8元买了一本汉语词典；之后，小明还想买一本故事书，有两本故事书可供选择：薄本的13.7元，厚本的23.8元。请帮小明估算一下，这时他的钱够买哪一本？ 【答案】 薄本故事书 【分析】先确定已花费金额的估算方式，因为需要快速判断剩余钱数，所以可以对两本练习册的单价、汉语词典的价格取近似整数值计算总花费，再根据总金额元减去估算的总花费，得到估算的剩余金额，最后将两本故事书的价格分别与估算的剩余金额比较，如果故事书价格小于等于剩余金额，那么钱足够购买该本。 【详解】， （元）   （元） 答：这时他的钱够买元的薄本故事书。 举一反三 【变式训练1】妈妈在超市的会员卡中还剩300元，买了2桶洗衣液，每桶26.9元，又买了一套209.9元的衣服，妈妈还想买2个同款茶杯，有两种选择：A款：11.90元/个，B款21.90元/个。估一估，妈妈的钱够买哪一种茶杯？​ 【答案】A款茶杯 【分析】先根据单价×数量＝总价，把26.9看作30，把209.9元看作210元，用30×2列式估算出2桶洗衣液的钱数，再加上衣服的价钱210元，估算出妈妈已经花的钱数，再用300减去已经花的钱数，求出剩下的钱数。把11.9元看作12元，把21.9元看作22元，再根据单价×数量＝总价，代入数据分别估算出买2个A款、2个B款茶杯花的钱数，再和剩下的钱数进行比较可解答。 【详解】26.9×2＋209.9 ≈30×2＋210 ＝60＋210 ＝270（元） 300－270＝30（元） 11.9×2≈12×2＝24（元） 21.90×2≈22×2＝44（元） 24＜30＜44 答：妈妈的钱够买A款茶杯。 【变式训练2】妈妈带100元钱去超市购物。她买了2袋汤圆和0.8千克排骨。剩下的钱还够一箱46元的牛奶吗？如果让你来估算，你会怎样算？请写出你的思考过程。 汤圆：13.4元/袋 排骨：35.2元/千克 牛奶：46元/箱 【答案】不够 【分析】把汤圆每袋价格估小成13元，排骨每千克估小成35元，买三样商品就会超出100元，据此判断剩下的钱不够买一箱牛奶。 【详解】13.4≈13，35.2≈35 总价超过：13×2＋35×0.8＋46 ＝26＋28＋46 ＝100（元） 所以需要的钱数大于100元，因此是不够买一箱牛奶的。 答：剩下的钱不够一箱46元的牛奶。 【变式训练3】聪聪带30元钱去文具店，购买下面所有文具，钱够吗？用你喜欢的方式说明理由。 （1）聪聪带的钱够吗？（    ）（填“够”或“不够”） （2）理由： 【答案】（1）不够；（2）理由见详解 【分析】（1）先估算需要的钱数，与聪聪带的钱数相比较，即可解答。 （2）根据总价＝单价×数量，分别求出3支笔需要的钱数，5本练习册需要的钱数，1套三角板和量角器需要的钱数，再把它们的相加，求出总共需要的钱数，再和聪聪带的钱数相比较，即可解答。 【详解】（1），， ＝21＋9 （元） 因为把单价看小了，实际所需的钱数大于30元；所以聪聪带的钱不够。 （2） ＝22.1＋9.2 （元） ；所以聪聪带的钱不够。 题型三、求一个量的几分之几的问题 【典例例题】六年级三班有学生45人，其中男生占。这个班男生有( )人，女生( )人。 【答案】 24 21 【分析】已知六年级三班有学生45人，其中男生占，把全班总人数看作单位“1”，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法”，用全班总人数乘对应分率，求出男生的人数。再用总人数减去男生的人数，求出女生的人数。 【详解】45×＝24（人） 45－24＝21（人） 所以这个班男生有24人，女生21人。 举一反三 【变式训练1】庆祝“国庆节”，一年级小朋友一共做了120朵红花和黄花，其中红花朵数占总数的，黄花有( )朵。 【答案】45 【分析】把红花和黄花的总数看作单位“1”，红花朵数占总数的，单位“1”已知，用总数乘，求出红花的朵数；再用总数减去红花的朵数，求出黄花的朵数。 【详解】红花有：120×＝75（朵） 黄花有：120－75＝45（朵） 【变式训练2】在学校举行的“我是环保小卫士”活动中，全校学生一共捡了210千克垃圾，其中男生捡的垃圾质量占全校垃圾总质量的，则全校男生捡了多少千克垃圾？全校女生捡了多少千克垃圾？ 【答案】120千克；90千克 【分析】全校男生捡的垃圾质量占全校垃圾总质量的，那么把全校垃圾总质量看作单位“1”，求全校男生捡了多少千克垃圾，用全校垃圾总质量×可以求得；全校女生捡了多少千克，可以用全校垃圾总质量－全校男生捡的垃圾质量求得。 【详解】（千克） （千克） 答：全校男生捡了120千克垃圾，全校女生捡90千克垃圾。 【变式训练3】秦始皇兵马俑是我国享誉世界的珍贵历史文物。据统计，8000件兵马俑中，步兵俑占，步兵俑有多少件？其他俑有多少件？ 【答案】 步兵俑有3200件，其他俑有4800件。 【分析】已知8000件兵马俑中，步兵俑占，把兵马俑总件数看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出步兵俑的件数为8000×＝3200件；再用兵马俑总件数减去步兵俑的件数即可求出其他俑的件数。据此解答。 【详解】8000×＝3200（件） 8000－3200＝4800（件） 答：步兵俑有3200件，其他俑有4800件。 题型四、求比一个数多（或少）几分之几的应用题 【典例例题】每年5月20日为中国学生营养日。实验小学为保证学生各种营养摄入均衡，食堂每天购进新鲜食材，其中水果重196千克， 。每天购进蔬菜多少千克？ （1）根据下面的线段图，将题中信息补充完整。 （2）列式解答。 【答案】（1）见详解 （2）245千克 【分析】（1）根据线段图可知：把水果重196千克看作单位“1”，蔬菜质量比水果多，是缺少的条件。 （2）把水果重196千克看作单位“1”，蔬菜质量是水果的（1＋）。根据“求比一个数多几分之几的数是多少，求这个数用乘法计算”，用水果的质量×（1＋）即可解答。 【详解】（1）补充内容为，蔬菜质量比水果多。 （2）196×（1＋） ＝196× ＝245（千克） 答：每天购进蔬菜245千克。 举一反三 【变式训练1】报名体验拓片课程的有49人，报名体验布老虎课程的人数比报名体验拓片课程的少，报名体验布老虎课程的有多少人？（先画线段图，再列式解答） 【答案】图见详解；28人 【分析】把报名体验拓片课程的人数看作单位“1”，把单位“1”平均分成7份，报名体验布老虎课程的人数占其中的（7－3）份，据此画出线段图并标注已知条件和所求问题，报名体验布老虎课程的人数比报名体验拓片课程的少，报名体验布老虎课程的人数＝报名体验拓片课程的人数×（1－），据此解答。 【详解】分析可知： 49×（1－） ＝49× ＝28（人） 答：报名体验布老虎课程的有28人。 【变式训练2】近几年，我国大力发展新能源汽车产业。今年1月，某品牌新能源汽车销量约为15万辆，2月的销量比1月增长了。该品牌新能源汽车2月份销量是多少万辆？ (1)画出线段图分析数量关系。 (2)列式解答。 【答案】(1)；2月份汽车销量＝1月份汽车销量×（1） (2)15×（1＋）＝18万辆 【分析】将1月份汽车销量看作单位“1”，画一条线段表示1月份汽车销量，把这条线段平均分成5份，再对应这条线段下面画出等长的线段，再延长1份，表示2月份汽车销量。 把1月份汽车销量看作单位“1”，2月份汽车销量是1月份的（1＋），求2月份汽车销量，用1月份汽车销量×（1＋）解答。 【详解】（1）图略；数量关系略 （2）15×（1＋） ＝15× ＝18（万辆） 答：该品牌新能源汽车2月份销量是18万辆。 【变式训练3】趣探科学，魅寻真知。盐水能浮起鸡蛋，阳阳在做“让鸡蛋浮起来”的实验时，在杯子中倒入240克水，倒入盐的质量比水的质量少，倒入的盐的质量是多少克？ 【答案】40克 【分析】分析题目，把水的质量看作单位“1”，倒入的盐的质量相当于水的（1－），求一个数的几分之几是多少用乘法，据此列式计算。 【详解】240×（1－） ＝240× ＝40（克） 答：倒入的盐的质量是40克。 题型五、工程问题 【典例例题】某小学计划建设一个劳动实践基地，培育学生的劳动实践能力。已知甲施工队单独完成这项工程需要8天，乙施工队单独完成这项工程需要10天。现在两队合作，多少天能完成？ 【答案】天 【分析】把工作总量看作“1”，根据关系式：合作的时间＝工作总量÷工作效率之和，代入数据即可。 【详解】1÷8＝ 1÷10＝ 1÷（＋） ＝1÷ ＝（天） 答：现在两队合作，天能完成。 举一反三 【变式训练1】一项工程，甲队单独做需要15天完成，乙队单独做需要10天完成。两队合作，几天可以完成这项工程的？ 【答案】4天 【分析】先把这项工程的总工作量看作单位“”，因为工作效率＝工作总量÷工作时间，先分别计算甲队、乙队各自的工作效率，因为两队合作的工作效率是两队工作效率之和，所以求出两队合作的总效率，已知需要完成的工作量是，工作时间＝工作量÷工作效率，用需要完成的工作量除以两队合作的总效率，即可得到所需时间。 【详解】 （天） 答：天可以完成这项工程的。 【变式训练2】制作一批抚州市南丰县的非遗傩面具，甲单独做9天完成，乙单独做15天完成。甲先做3天，剩下的由乙单独做完，乙还需要多少天能全部完成？ 【答案】10天 【分析】根据题意可知，将这批傩面具的制作任务总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，求出甲、乙的工作效率分别为、。先求出甲3天完成的工作量，再用单位“1”减去甲完成的工作量得到剩下的工作量，最后根据工作时间＝工作总量÷工作效率，求出乙完成剩下工作所需的天数即可。 【详解】 （天） 答：乙还需要10天能全部完成。 【变式训练3】甲、乙、丙三个工程队修一条路，甲队单独做要8天完成，乙队单独做要12天完成，丙队每天能完成全部工程的。甲队先单独做3天，剩下的由乙、丙两队合作完成，还需要多少天？ 【答案】5天 【分析】把整项工程看作单位“1”，先根据“工作效率＝工作量÷工作时间”求出甲和乙的工作效率；根据“工作量＝工作效率×工作时间”计算出甲3天完成的工作量；剩余工作量＝1－甲3天完成的工作量；乙、丙合作时间＝剩余工作量÷乙、丙的合作效率和。 【详解】 （天） 答：还需要5天。 提升练习 1．某种松鼠的体长在20cm到28cm之间，它的尾巴约占体长的。下列不可能是这种松鼠的尾巴长度的是（    ）。 A．15cm B．20cm C．21cm D．24cm 【答案】D 【分析】把松鼠的体长看作单位“1”，分别用体长的最长值和最短值乘尾巴对应分率，就是这种松鼠的尾巴最长和最短长度，再选择即可。 【详解】（cm） （cm） 这种松鼠的尾巴长度最长是21cm，最短是15cm。 A．这种松鼠的尾巴长度最短是15cm，有可能； B．15＜20＜21，这种松鼠的尾巴长度有可能是20cm； C．这种松鼠的尾巴长度最长是21cm，有可能； D．24＞21，这种松鼠的尾巴长度不可能是24cm。 不可能是这种松鼠的尾巴长度的是24cm。 2．长江是我国最长的河流，约长6400km，______，黄河长多少千米？用“”表示黄河的长度，横线上应补充的条件是（    ）。 A．黄河长度是长江的 B．黄河长度比长江长 C．长江长度比黄河短 D．黄河长度比长江短 【答案】D 【分析】A．把长江长度看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算， 黄河长度＝长江长度×对应分率； B．把长江长度看作单位“1”，黄河长度是长江长度的，黄河长度＝长江长度×对应分率； C．把黄河长度看作单位“1”，长江长度是黄河长度的，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，黄河长度＝长江长度÷对应分率； D．把长江长度看作单位“1”，黄河长度是长江长度的，黄河长度＝长江长度×对应分率。 【详解】A．列式为：，不符合题意； B．列式为：，不符合题意； C．列式为：，不符合题意； D．列式为：，符合题意。 3．快递员李叔叔上午派送包裹的数量是下午的，这里把( )看作单位“1”，数量关系是：( )×＝( )。 【答案】 下午派送包裹的数量 下午派送包裹的数量 上午派送包裹的数量 【分析】关键字“是、占、比”后面的量就是单位“1”，据此可知“下午派送包裹的数量是单位“1”； 再根据“求一个数的几分之几是多少”用单位“1”的量×求出上午派送的数量。 【详解】把下午派送包裹的数量看作单位“1”；（表述不唯一，合理即可） 下午派送包裹的数量×＝上午派送包裹的数量；（等量关系形式多样，合理即可） 4．六（1）班有45人，其中男生占，男生有( )人，女生比男生少( )人。 【答案】 25 5 【分析】把总人数看作单位“1”，据此求出男生的人数；然后用总人数减去男生人数得到女生人数，最后用男生人数减去女生人数即可。 【详解】45×＝25（人） 25－（45－25） ＝25－20 ＝5（人） 5．六（1）班有30人报名参加研学活动，六（2）班比六（1）班少，六（2）班有( )人报名。 【答案】24 【分析】已知单位“1”是六（1）班人数30人。六（2）班比六（1）班少，即六（2）班人数是六（1）班人数的（）。求六（2）班人数，用单位“1”的量乘对应的分率。 【详解】（人） 6．妈妈带了100元钱买了2袋柚子干，0.8千克葡萄，一盒土鸡蛋，妈妈的钱( )（填“够”或“不够”）。 水果 柚子干 葡萄 鸡蛋 单价 30.6元/袋 26.5元/千克 20元/盒 【答案】不够 【分析】已知柚子干每袋30.6元，可以看作30元，买了2袋柚子干；葡萄每千克26.5元，看作25元，买了0.8千克；鸡蛋每盒20元，买了1盒；根据“总价＝单价×数量”，估算出买柚子干、葡萄、鸡蛋花的钱数，再相加，即是大约一共需花的钱数，与妈妈带的100元钱进行比较，如果估小了，需花的钱数大于或等于100元，那么实际花的钱数就大于100元，不够；反之，就够。 【详解】30.6×2＋26.5×0.8＋20×1 ≈30×2＋25×0.8＋20 ＝60＋20＋20 ＝100（元） 30.6＞30，26.5＞25，估小了正好是100元，那么实际花的钱数大于100元，所以不够。 妈妈的钱不够。 7．修一条公路，甲队要12天完成；乙队要15天可以完成。现在让甲、乙两队合修，应修( )天。 【答案】 【分析】把公路的长度看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间分别求出甲队、乙队的工作效率；再根据工作时间＝工作量÷工作效率，用1除以甲队与乙队的工作效率和，即可解答。 【详解】甲队工作效率：1÷12＝；乙队工作效率：1÷15＝。 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（天） 8．一件工程，甲独做需10天完成，乙独做需12天完成，丙独做需15天完成。三人一起合作，但甲中途因事停工了几天，结果6天完成工程，那么甲工作了( )天。 【答案】1 【分析】将工作总量看作单位“”，根据，结合甲、乙、丙单独完成所需的时间，分别求出它们的工作效率。已知乙和丙全程参与了天的工作，先求出乙和丙天完成的工作量之和，再用单位“”减去乙和丙完成的工作量，得到甲完成的工作量。最后用甲完成的工作量除以甲的工作效率，即可求出甲工作的天数。 【详解】 （天） 9．计算下面各题，能简算的要简算。            【答案】；560；13 【分析】（1）有括号，先算括号内的除法，再算括号内的减法，最后算括号外的乘法。 （2）将0.56和56统一，将 ，与 提取公因数56，用乘法分配律简算。 （3）把括号外面两个数看成一个整体，用乘法分配律，将括号内两个分数分别乘后面的数。 【详解】（1） （2） （3） 10．能简算的要简算。 0.08×（5.6＋4.8）÷1.3                                      【答案】0.64；； 5；3 【分析】根据小数四则运算法则：有括号先算括号里的，再算括号外的； 先将小数转化成分数，再根据分数四则运算法则，先算括号里的，再算括号外的； 根据乘法分配律简便运算； 根据分数四则运算法则，先算小括号里的，再算中括号里的，最后计算括号外的。 【详解】0.08×（5.6＋4.8）÷1.3 ＝0.08×10.4÷1.3 ＝0.832÷1.3 ＝0.64 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝26－21 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 11．看图列式或方程。 【答案】120×（1＋）＝144（人） 【分析】五年级有120人，六年级的人数比五年级多，求六年级人数。把五年级人数看作单位“1”，六年级人数是五年级人数的（1＋）。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法。用120乘（1＋）即可。 【详解】120×（1＋） ＝120× ＝144（人） 12．六（1）班有学生48人，其中女生人数占。男、女生各有多少人？ 【答案】男生28人，女生20人 【分析】把全班的人数看成单位“1”，女生占全班人数的，根据求一个数的几分之几用乘法，即用全班的人数乘就是女生的人数，再用全班的人数减去女生的人数就是男生的人数。 【详解】48×＝20（人） 48－20＝28（人） 答：男生28人，女生20人。 13．某图书馆科普书有560本，历史书的本数比科普书的本数少，该图书馆历史书有多少本？ 【答案】 350本 【分析】将科普书的本数看作单位“1”，则历史书的本数是科普书的，用科普书的本数乘即可求出历史书的本数。 【详解】 （本） 答：该图书馆历史书有350本。 14．《史记》，又称《太史公书》，是中国第一部纪传体通史，包括“本纪”“世家”“列传”“表”“书”共130篇。“本纪”占全书篇数的，“世家”占全书篇数的，那么“本纪”和“世家”一共有多少篇？ 【答案】42篇 【分析】将全书篇数看成单位“1”，用全书篇数×求出“本纪”有多少篇；用全书篇数×求出“世家”有多少篇；最后相加即可求出“本纪”和“世家”一共有多少篇。 【详解】（篇） （篇） 30＋12＝42（篇） 答：“本纪”和“世家”一共有42篇。 15．C919大型客机是中国首款完全按照最新国际适航标准研制的单通道大型干线客机，具有中国完全的自主知识产权。C919大型客机的翼展约36米，机身的长度比翼展长。C919大型客机的机身约长多少米？（先画线段图再解答） 【答案】线段图见详解；39米 【分析】把C919大型客机翼展的长度看作单位“1”，把单位“1”平均分成12份，机身的长度是（12＋1）份，由此画出线段图并在图上标出已知条件和所求问题，机身的长度比翼展长，则机身的长度是翼展长度的（1＋），机身的长度＝翼展的长度×（1＋）。 【详解】分析可知： 36×（1＋） ＝36× ＝39（米） 答：C919大型客机的机身约长39米。 16．妈妈带100元去超市购物。她买了3包饼干，2.9千克香蕉，请你估一估剩下的钱还够买一箱纯牛奶的吗？ 【答案】够 【分析】根据题意，要判断剩下的钱是否够买一箱纯牛奶，需要先估算购买饼干和香蕉的总花费，再用100元减去总花费，与纯牛奶的价格52元比较。估算时可将小数适当放大或取整，方便计算。据此解答。 【详解】估算饼干的花费：7.8×3≈8×3＝24（元） 估算香蕉的花费：2.9×7≈3×7＝21（元） 购买饼干和香蕉的总估算花费：24＋21＝45（元） 剩余的钱：100－45＝55（元），因为55＞52 答：剩下的钱够买一箱纯牛奶。 17．中秋节到来之际，聪聪想用自己的500元零花钱买一些特产（如图）寄给外地的哥哥。500元够买这些特产吗？下面是聪聪的估算过程。 （1）你认为聪聪的估算合理吗？为什么？ （2）如果让你来估算，你会怎样估算？请写出你的估算过程。 【答案】（1）不合理，因为聪聪把所有商品的单价都估小了，最后估得的总价是490元，仅比500元少10元，而3盒光饼少估的钱数就比10元多，所以不合理。 （2）22.8≈23 50.8≈51 64.8≈65 5×23＋4×51＋3×65＝514（元） 514＞500，所以500元不够买这些特产。 【分析】（1）估算的数值尽量接近实际的单价，这样估算的总价才会更准确，为了确保钱足够，通常可以把商品单价往大了估算； （2）不能把所有物品的单价均估小，尽可能把商品的价格往大了估算。 【详解】（1）不合理，理由略。 （2）22.8≈23 50.8≈51 64.8≈65 5×23＋4×51＋3×65 ＝115＋204＋195 ＝319＋195 ＝514（元） 514＞500，所以500元不够买这些特产。 18．一项工程，小李单独完成需要25天，小张单独完成需要20天，如果两人合作，几天可以完成这项工程的？ 【答案】天 【分析】把这项工程看作单位，根据工作效率工作总量工作时间，分别表示出小李和小张的工作效率，进而求出两人的工作效率之和。再根据工作时间工作总量工作效率之和，列式计算完成这项工程的所需的时间。 【详解】 （天） 答：天可以完成这项工程的。 19．一项工程，甲单独做要30天，乙单独做的时间比甲少10天。现在两人合作，最后几天乙没有参加，结果用了18天才完成任务。乙工作了多少天？休息了多少天？ 【答案】8天；10天 【分析】把这项工程总量看作单位“1”。首先用甲单独做要的天数减去乙单独做的时间比甲少的天数，求出乙单独做需要的天数，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别算出甲和乙的工作效率，因为现在两人合作，最后几天乙没有参加，则甲全程均有参与，用甲的工作效率×工作时间，求出甲的工作量。再用这项工程总量减去甲的工作量，求出乙的工作量，接着用乙的工作量除以乙的工作效率，求出乙的工作时间，最后用总的工作时间减去乙的工作时间，求出乙的休息天数。据此解答。 【详解】30－10＝20（天） 1÷30＝ 1÷20＝ （1－18×）÷ ＝（1－）÷ ＝÷ ＝×20 ＝8（天） 18－8＝10（天） 答：乙工作了8天，休息了10天。 20．东湖景区计划清理淤泥。有甲乙两艘清淤船，如果甲船单独工作，10天可以完成全部清淤任务；如果乙船单独工作，需要15天完成。两船合作3天后，乙船因故障离开，剩下的由甲船单独完成。从开始到完工一共用了多少天？ 【答案】8天 【分析】将工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作量÷工作时间”分别求出甲和乙的工作效率，再根据“工作量＝工作效率之和×工作时间”求出甲乙合作3天的工作量，用工作总量减去甲乙合作3天的工作量即为剩余工作量，根据“工作时间＝工作量÷工作效率”求出剩余工作量甲单独清淤的工作天数，最后加上甲乙合作的3天即是所求。 【详解】[1－（）×3]3 ＝[13]3 ＝[1]3 3 ＝5＋3 ＝8（天） 答：从开始到完工一共用了8天。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 混合运算和数量关系（三） 内容导航 考点梳理 1 考点 1：分数四则混合运算 1 考点 2：用估算解决实际问题 2 考点 3：求一个量的几分之几的问题 2 考点 4：求比一个数多（或少）几分之几的应用题 3 考点 5：工程问题 4 例题讲解 5 题型一、分数四则混合运算 5 题型二、用估算解决实际问题 6 题型三、求一个量的几分之几的问题 7 题型四、求比一个数多（或少）几分之几的应用题 8 题型五、工程问题 10 提升练习 11 考点梳理 考点 1：分数四则混合运算 1. 运算顺序的核心规则 分数四则混合运算的顺序与整数、小数四则混合运算完全一致，这是进行正确计算的基础前提。 (1) 同级运算：如果算式中只含有加减法或只含有乘除法，应按照从左到右的顺序依次计算。 (2) 两级运算：如果算式中既含有加减法，又含有乘除法，应先算乘除法，后算加减法。 (3) 括号优先：如果算式中含有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 2. 运算定律在分数中的推广 整数的运算定律在分数运算中同样适用，灵活运用可简化计算过程。 (1) 加法交换律与结合律： ； 。适用于分母相同或易于通分的分数相加。 (2) 乘法交换律、结合律与分配律： 1　 2　 3　 4　 重点应用：乘法分配律是分数简便运算中最常用的技巧，特别是当括号外的因数与括号内的某一项分母存在倍数关系，或各项提取公因数后能凑整时。 3. 计算技巧与注意事项 (1) 约分先行：在连乘或乘除混合运算中，提倡先约分再计算，以减少数字大小，降低出错率。 (2) 除法转化：除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数。在混合运算中，通常先将所有除法转化为乘法，统一为乘法运算后再进行约分和计算。 (3) 带分数处理：在乘除运算中，通常将带分数化为假分数；在加减运算中，可将整数部分与分数部分分别计算，但需注意借位问题。 考点 2：用估算解决实际问题 1. 估算的意义与适用场景 估算并非粗略猜测，而是基于数感和对数量关系的理解，对结果范围进行合理判断。 (1) 快速判断合理性：在精确计算前或计算后，通过估算判断结果是否在合理范围内，用于检验计算错误。 (2) 解决无需精确值的问题：如购物预算是否充足、材料是否够用等实际生活场景。 2. 常用估算策略 (1) 取整法：将分数看作接近的整数或简单的分数（如 ）。例如， 可估算为 ， 可估算为 或 。 (2) 放缩法： 1　 往大估：将因数变大，若结果仍小于目标值，则原结果一定小于目标值。常用于判断“钱够不够”。 2　 往小估：将因数变小，若结果仍大于目标值，则原结果一定大于目标值。常用于判断“装得下吗”。 (3) 中间值参照：利用标准量（如单位“1”）作为参照，判断结果是大于1、小于1还是接近1。 3. 估算的思维要点 (1) 方向性明确：必须清楚估算结果是偏大还是偏小，这对于解决“够不够”类问题至关重要。 (2) 误差控制：根据题目精度要求选择合适的估算粒度，避免过度估算导致结论失效。 考点 3：求一个量的几分之几的问题 1. 基本数量关系模型 此类问题是分数乘法应用题的最基础形态，核心在于识别“单位1”和“分率”。 (1) 公式：单位“1”的量 对应分率 = 对应分量 (2) 关键特征：题目中通常出现“...的几分之几”字样，且“的”字前面的量即为单位“1”。 2. 解题步骤详解 (1) 找单位“1”：分析句子结构，确定哪个量是标准量（整体）。 (2) 定分率：找出所求量占单位“1”的几分之几。 (3) 列式计算：直接用乘法计算。若单位“1”已知，用乘法；若单位“1”未知，此模型通常不直接适用（需转为方程或除法，但本考点侧重已知单位1求部分）。 考点 4：求比一个数多（或少）几分之几的应用题 1. 数量关系解析 此类问题是在“求一个量的几分之几”基础上的延伸，关键在于理解“多/少几分之几”是相对于谁而言。 (1) 核心语义：“比A多 ”意味着 B = A + (A )；“比A少 ”意味着 B = A - (A )。 (2) 转化分率： 1　 比单位“1”多 ，则所求量相当于单位“1”的 。 2　 比单位“1”少 ，则所求量相当于单位“1”的 。 2. 两种解题思路 (1) 思路一：分步计算 1　 先求出多（或少）的具体数量：单位“1” 分率。 2　 再求最终结果：单位“1” 多（或少）的数量。 (2) 思路二：综合分率法（推荐） 1　 先求出所求量对应的总分率： 分率。 2　 直接相乘：单位“1” 分率 。 3. 易错点辨析 (1) 单位“1”的错位：务必确认“比”字后面的量是单位“1”。例如，“甲比乙多 ”，单位“1”是乙；若问“乙比甲少几分之几”，单位“1”变成了甲，分率不再是 ，而是 。 (2) 具体数量与分率的混淆：题目中若出现“多 米”与“多 ”，前者是具体数值，直接加减；后者是分率，需乘法运算。 考点 5：工程问题 1. 基本概念与假设 工程问题特指关于工作总量、工作效率和工作时间三者关系的应用题。 (1) 工作总量：通常没有具体数值，习惯上将工作总量看作单位“1”。 (2) 工作效率：指单位时间内完成的工作量。若单独完成需要 天，则工作效率为 。 (3) 工作时间：完成工作所需的时间。 2. 核心数量关系 (1) 基本公式： 1　 工作效率 工作时间 = 工作总量 2　 工作总量 工作效率 = 工作时间 3　 工作总量 工作时间 = 工作效率 (2) 合作问题公式： 1　 合作效率 = 甲效率 + 乙效率 + ... 2　 合作时间 = 工作总量（1） 合作效率 3. 常见题型与解题策略 (1) 多人合作： 1　 分别表示出各人的工作效率（ ...）。 2　 求出效率和。 3　 用 除以效率和得到合作时间。 (2) 中途加入或离开： 1　 分段考虑：将过程分为“独做阶段”和“合作阶段”。 2　 剩余工作量法：先计算已完成的工作量，用 减去已完成的，得到剩余工作量，再除以当前效率。 (3) 交替工作： 1　 寻找周期：确定一个完整循环（如甲做1天，乙做1天）完成的工作量。 2　 计算周期数：看总工作量包含多少个完整周期。 3　 处理余数：分析剩余工作量由谁完成，需多少时间。 例题讲解 题型一、分数四则混合运算 【典例例题】脱式计算，能简算的要简算。 （1）     （2） 举一反三 【变式训练1】用递等式计算。                              【变式训练2】计算下面各题，能简算的用简便方法计算。                               3.45×7.6＋6.55×7.6                         【变式训练3】下面各题怎样简便就怎样算。 2025＋8.05÷2.3        54×（＋）×17        ×37－2÷ 350＋495÷45×15      －（÷＋）        ÷[×（－）] 题型二、用估算解决实际问题 【典例例题】小明带100元去书店买书，他买了两本练习册，每本20.6元，又花了39.8元买了一本汉语词典；之后，小明还想买一本故事书，有两本故事书可供选择：薄本的13.7元，厚本的23.8元。请帮小明估算一下，这时他的钱够买哪一本？ 举一反三 【变式训练1】妈妈在超市的会员卡中还剩300元，买了2桶洗衣液，每桶26.9元，又买了一套209.9元的衣服，妈妈还想买2个同款茶杯，有两种选择：A款：11.90元/个，B款21.90元/个。估一估，妈妈的钱够买哪一种茶杯？​ 【变式训练2】妈妈带100元钱去超市购物。她买了2袋汤圆和0.8千克排骨。剩下的钱还够一箱46元的牛奶吗？如果让你来估算，你会怎样算？请写出你的思考过程。 汤圆：13.4元/袋 排骨：35.2元/千克 牛奶：46元/箱 【变式训练3】聪聪带30元钱去文具店，购买下面所有文具，钱够吗？用你喜欢的方式说明理由。 （1）聪聪带的钱够吗？（    ）（填“够”或“不够”） （2）理由： 题型三、求一个量的几分之几的问题 【典例例题】六年级三班有学生45人，其中男生占。这个班男生有( )人，女生( )人。 举一反三 【变式训练1】庆祝“国庆节”，一年级小朋友一共做了120朵红花和黄花，其中红花朵数占总数的，黄花有( )朵。 【变式训练2】在学校举行的“我是环保小卫士”活动中，全校学生一共捡了210千克垃圾，其中男生捡的垃圾质量占全校垃圾总质量的，则全校男生捡了多少千克垃圾？全校女生捡了多少千克垃圾？ 【变式训练3】秦始皇兵马俑是我国享誉世界的珍贵历史文物。据统计，8000件兵马俑中，步兵俑占，步兵俑有多少件？其他俑有多少件？ 题型四、求比一个数多（或少）几分之几的应用题 【典例例题】每年5月20日为中国学生营养日。实验小学为保证学生各种营养摄入均衡，食堂每天购进新鲜食材，其中水果重196千克， 。每天购进蔬菜多少千克？ （1）根据下面的线段图，将题中信息补充完整。 （2）列式解答。 举一反三 【变式训练1】报名体验拓片课程的有49人，报名体验布老虎课程的人数比报名体验拓片课程的少，报名体验布老虎课程的有多少人？（先画线段图，再列式解答） 【变式训练2】近几年，我国大力发展新能源汽车产业。今年1月，某品牌新能源汽车销量约为15万辆，2月的销量比1月增长了。该品牌新能源汽车2月份销量是多少万辆？ (1)画出线段图分析数量关系。 (2)列式解答。 【变式训练3】趣探科学，魅寻真知。盐水能浮起鸡蛋，阳阳在做“让鸡蛋浮起来”的实验时，在杯子中倒入240克水，倒入盐的质量比水的质量少，倒入的盐的质量是多少克？ 题型五、工程问题 【典例例题】某小学计划建设一个劳动实践基地，培育学生的劳动实践能力。已知甲施工队单独完成这项工程需要8天，乙施工队单独完成这项工程需要10天。现在两队合作，多少天能完成？ 举一反三 【变式训练1】一项工程，甲队单独做需要15天完成，乙队单独做需要10天完成。两队合作，几天可以完成这项工程的？ 【变式训练2】制作一批抚州市南丰县的非遗傩面具，甲单独做9天完成，乙单独做15天完成。甲先做3天，剩下的由乙单独做完，乙还需要多少天能全部完成？ 【变式训练3】甲、乙、丙三个工程队修一条路，甲队单独做要8天完成，乙队单独做要12天完成，丙队每天能完成全部工程的。甲队先单独做3天，剩下的由乙、丙两队合作完成，还需要多少天？ 提升练习 1．某种松鼠的体长在20cm到28cm之间，它的尾巴约占体长的。下列不可能是这种松鼠的尾巴长度的是（    ）。 A．15cm B．20cm C．21cm D．24cm 2．长江是我国最长的河流，约长6400km，______，黄河长多少千米？用“”表示黄河的长度，横线上应补充的条件是（    ）。 A．黄河长度是长江的 B．黄河长度比长江长 C．长江长度比黄河短 D．黄河长度比长江短 3．快递员李叔叔上午派送包裹的数量是下午的，这里把( )看作单位“1”，数量关系是：( )×＝( )。 4．六（1）班有45人，其中男生占，男生有( )人，女生比男生少( )人。 5．六（1）班有30人报名参加研学活动，六（2）班比六（1）班少，六（2）班有( )人报名。 6．妈妈带了100元钱买了2袋柚子干，0.8千克葡萄，一盒土鸡蛋，妈妈的钱( )（填“够”或“不够”）。 水果 柚子干 葡萄 鸡蛋 单价 30.6元/袋 26.5元/千克 20元/盒 7．修一条公路，甲队要12天完成；乙队要15天可以完成。现在让甲、乙两队合修，应修( )天。 8．一件工程，甲独做需10天完成，乙独做需12天完成，丙独做需15天完成。三人一起合作，但甲中途因事停工了几天，结果6天完成工程，那么甲工作了( )天。 9．计算下面各题，能简算的要简算。            10．能简算的要简算。 0.08×（5.6＋4.8）÷1.3                                      11．看图列式或方程。 12．六（1）班有学生48人，其中女生人数占。男、女生各有多少人？ 13．某图书馆科普书有560本，历史书的本数比科普书的本数少，该图书馆历史书有多少本？ 14．《史记》，又称《太史公书》，是中国第一部纪传体通史，包括“本纪”“世家”“列传”“表”“书”共130篇。“本纪”占全书篇数的，“世家”占全书篇数的，那么“本纪”和“世家”一共有多少篇？ 15．C919大型客机是中国首款完全按照最新国际适航标准研制的单通道大型干线客机，具有中国完全的自主知识产权。C919大型客机的翼展约36米，机身的长度比翼展长。C919大型客机的机身约长多少米？（先画线段图再解答） 16．妈妈带100元去超市购物。她买了3包饼干，2.9千克香蕉，请你估一估剩下的钱还够买一箱纯牛奶的吗？ 17．中秋节到来之际，聪聪想用自己的500元零花钱买一些特产（如图）寄给外地的哥哥。500元够买这些特产吗？下面是聪聪的估算过程。 （1）你认为聪聪的估算合理吗？为什么？ （2）如果让你来估算，你会怎样估算？请写出你的估算过程。 18．一项工程，小李单独完成需要25天，小张单独完成需要20天，如果两人合作，几天可以完成这项工程的？ 19．一项工程，甲单独做要30天，乙单独做的时间比甲少10天。现在两人合作，最后几天乙没有参加，结果用了18天才完成任务。乙工作了多少天？休息了多少天？ 20．东湖景区计划清理淤泥。有甲乙两艘清淤船，如果甲船单独工作，10天可以完成全部清淤任务；如果乙船单独工作，需要15天完成。两船合作3天后，乙船因故障离开，剩下的由甲船单独完成。从开始到完工一共用了多少天？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $