山东省烟台市芝罘区2025-2026学年七年级下学期期末数学试卷（五四制）

**基本信息** 2025-2026学年烟台芝罘区七年级（下）期末数学试卷，以《孙子算经》古文应用题、大樱桃销售等生活情境为载体，融合几何推理与动态问题，体现文化传承与跨学科应用，考查数学眼光、思维与语言核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|二元一次方程组、随机事件、平行线判定|第8题以《孙子算经》“三人共车”问题考查方程建模| |填空题|8/24|全等三角形、折叠问题、函数图像|第17题七巧板飞镖靶盘结合几何概率，体现数学眼光| |解答题|5/42|不等式组应用、几何证明、动态几何|第27题综合全等判定与角平分线证明，考查逻辑推理能力|

2025-2026学年山东省烟台市芝罘区七年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程组中，是二元一次方程组的是(    ) A. B. C. D. 2.下列事件中，是随机事件的是(    ) A. 从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王 B. 三角形内角和等于 C. 将花生油滴入水中，油会浮在水面上 D. 一周有7天 3.如图，某行李箱的齿轮密码是一个三位数，每一位数都是中的一个数字，开箱时发现忘记密码的中间一位，则能一次成功打开该行李箱的概率是(    ) A. B. C. D. 4.如图，下列推理正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5.若，则下列不等式成立的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，C是的边OA上一点，OC的垂直平分线交OB于点D，垂足为E，以点C为圆心，CD为半径画弧交OB于点若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 7.一个小长方体木块静止在斜面OA上，其受力分析如图，重力G的方向与水平地面OB垂直，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直.若斜面的坡角，则支持力与重力G方向的夹角的度数是(    ) A. B. C. D. 8.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为(    ) A. B. C. D. 9.数学课上，老师与同学们做“掷骰子”试验，并依次记录了不同试验次数时某事件发生的频率，绘制了如下统计图.下列选项可能是这个事件的是(    ) A. 朝上点数小于3 B. 朝上点数小于2 C. 朝上点数是奇数 D. 朝上点数不小于3 10.如图，在中，，，点D在边BC上，E在边AC上，，当时，AE的长度是(    ) A. B. C. D. 11.若关于x的一元一次不等式组有且只有2个整数解，关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数m的和是(    ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12.如图，中，D是BC中点，点E在BA的延长线上，过点D作BC的垂线与的平分线交于点F，与AC交于点G，，垂足是下列说法正确的是(    ) A. B. FH是AG的垂直平分线 C. 当时， D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 13.若是二元一次方程的一个解，则a的值是        . 14.如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使≌，这个条件是        写出一个即可 15.如图，把一条长方形纸带进行两次折叠井压平，折痕分别为AB和若，，则的度数是        . 16.如图，中，，，CD是斜边AB上的高，若，则______. 17.如图是一个七巧板形状的飞镖靶盘，将一支飞镖任意投掷在靶盘上，恰好落在阴影部分的概率是        . 18.函数与为常数，的图象在同一平面直角坐标系中的位置如图，则关于x的一元一次不等式的解集是        . 19.弹簧的“弹性限度”是指弹簧能恢复原状的最大形变长度.如图1是一支弹簧秤的示意图，当弹簧所挂物体质量使弹簧达到弹性限度时，弹簧会被卡板挡住不再继续形变.某物理实验小组观察并记录了一支弹簧秤的弹簧长度与所挂物体质量的变化情况如图根据图象信息，可知该弹簧秤的“弹性限度”是        . 20.如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是直线AB上一动点，连接OC，以OC为一边向逆时针方向作，，点P在y轴上，坐标为，连接PD，当线段PD的长度最短时，点C的坐标是        . 三、计算题：本大题共2小题，共18分。 21.解方程组：； 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来. 22.烟台大樱桃享誉全国，6月前后正是烟台大樱桃大量上市时间，某水果商店购进“红灯”和“水晶”两种大樱桃进行销售.已知3千克红灯大樱桃和1千克水晶大樱桃的进货价共70元，2千克红灯大樱桃和3千克水晶大樱桃的进货价共98元. 求这两种大樱桃每千克的进货价各是多少元？ 该水果店准备购进这两种大樱桃共90千克，且水晶品种的数量不少于红灯品种数量的一半，请设计出最省钱的进货方案，并求出最少进货费用. 四、解答题：本题共5小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 23.本小题6分 如图，中，AD是角平分线，E是BD上一点，过点E的直线与AB交于点F，与CA的延长线交于点G，且求证： 24.本小题6分 在一个不透明的袋子中装有18个红球和12个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球.请解答下列问题： 求摸出的球是红球的概率； 现再向袋子里放进红、黄两种颜色的球共12个并摇匀，这些球的大小、材质与原来袋子中的球完全一样，从中随机摸出一球，若摸出红球的概率是摸出黄球概率的2倍，请求出这12个球中红球和黄球的数量分别是多少？ 25.本小题8分 如图，四边形ABCD是长方形，AC是对角线.请解答下列问题： 将绕点A旋转后，点B的对应点为E，点C的对应点为F，且点E在线段AC上，请用尺规作出旋转后的图形保留作图痕迹，不写作法； 在的条件下，若，EF与AD交于点G，求证： 26.本小题10分 如图，一次函数的图象与坐标轴交于A，B两点，与正比例函数的图象交于点， 求一次函数的表达式及的面积； 在线段OA上求作点P，使是等腰三角形尺规作图，保宙作图痕迹，不写作法，并求出点P的坐标. 27.本小题12分 如图，在和中，，，，BD和CE交于点F，连接 求证：≌； 求证：AF平分； 若BD平分，判断AF和CF的数量关系，并证明. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：A中xy的次数是2，不符合题意， B符合二元一次方程组定义，符合题意， C中含有3个未知数，不符合题意， D中不是整式，不符合题意， 故选： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，据此进行判断即可． 本题考查二元一次方程组的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2.【答案】A  【解析】解：A、从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王是随机事件，符合题意； B、三角形内角和等于是不可能事件，不符合题意； C、将花生油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，不符合题意； D、一周有7天是必然事件，不符合题意； 故选： 根据确定事件，不确定事件的定义进行解题即可． 本题考查随机事件、三角形内角和定理，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 3.【答案】C  【解析】解：共有10个数字，一共有10种等可能的选择， 一次成功打开该行李箱只有1种情况， 一次成功打开该行李箱的概率为 故选： 中间一位数字可能是中任一个，总共有十种情况，其中开锁只有一种情况，利用概率公式进行计算即可． 此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 4.【答案】A  【解析】解：， 同位角相等，两直线平行，故本选项正确； B.，从图形来看，和既不是同位角、内错角，也不是同旁内角， 仅凭无法判定， 故本选项错误； C、， 内错角相等，两直线平行，不是， 故本选项错误； D、和是对角，不是同旁内角， 和，不能判定，故本选项错误； 故选： 根据平行线的判定定理进行判断． 本题考查平行线的判定定理，根据是判断哪两个角是由哪两条直线被哪一条第三直线所截而成的，从而确定推导出哪两条直线平行． 5.【答案】C  【解析】解：若， 两边同时减去5得，则A不符合题意， 两边同时乘以得，则B不符合题意， 两边同时乘以再同时加上1得，则C符合题意， 两边同时减去m再同时乘以2得，则D不符合题意， 故选： 利用不等式的性质逐项判断即可． 本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：由作法得，， ， 的垂直平分线交OB于点D，垂足为E， ， ， ， 故选： 由作法得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到，根据线段垂直平分线的性质得，根据三角形外角的性质求解即可． 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，掌握这些性质是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：如图，重力G的方向竖直向下，， ， ， 摩擦力的方向与斜面平行， ， 支持力的方向与斜面垂直， ， 故选： 根据题意，结合图形，由重力向下垂直，得到的度数，利用对顶角相等得到的度数，结合摩擦力与斜面平行，得到，利用周角概念，得到结果． 本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，角的计算，正确理解题意，熟练进行角的计算是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：依题意，得： 故选： 根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9.【答案】A  【解析】解：由表格可得频率在左右，那么利用频率估计概率可知该事件的概率为， 朝上点数小于3的概率为，则A符合题意， 朝上点数小于2的概率为，则B不符合题意， 朝上点数是奇数的概率为，则C不符合题意， 朝上点数不小于3的概率为，则D不符合题意， 故选： 分别求得各事件的概率后进行判断即可． 本题考查利用频率估计概率，熟练掌握频率估计概率的实质是解题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：，， ， ， ， ， ， ， 又，， ≌， ，， ， ， ， 故选： 根据等腰直角三角形的性质及角的等量代换证明≌，利用勾股定理求出BC，即可解答． 本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，掌握以上知识点是解题的关键． 11.【答案】C  【解析】解：解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， 原不等式组有且只有2个整数解， 这2个整数解必然为2，1， ， 解得：， 解关于y的一元一次方程得， 该方程的解为非正数， ， 解得：， 则整数m的值为2，3， 那么， 故选： 解不等式组得出对应的解集，然后根据题意求得m的取值范围，再解一元一次方程并根据题意确定m的取值范围，然后得出m的整数解，最后将它们相加并计算即可． 本题考查解一元一次不等式组，解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 12.【答案】D  【解析】解：对于A，由题意得，，， ⟹， 无法推出，故，A错误； 对于B，，无法证明，B错误； 对于C，当时，平分外角， ，， 无推导能证明，无法证，C错误； 对于D，过F作于K，连接BF，CF， 是BC的中点，， 平分，，， ，， ， 易得， ，， ，故D正确． 故选： 依据题意，根据角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质逐个选项判断可以得解． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，解题时要熟练掌握并能灵活运用全等三角形的判定与性质是关键． 13.【答案】  【解析】解：若是二元一次方程的一个解， 则， 解得：， 故答案为： 将已知解代入方程中解得a的值即可． 本题考查二元一次方程的解，熟练掌握其解的意义是解题的关键． 14.【答案】答案不唯一  【解析】解：， ，即 添加， 由， ≌答案不唯一 故答案为：答案不唯一 根据已知，，利用，得出，结合已知，添加，利用SSS可证明≌添加，利用SAS可证明≌ 本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：如图所示， ， ， ， ， ， 由折叠可知，， ， 故答案为： 根据平行线的性质进行计算即可． 本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 16.【答案】6  【解析】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 求出，求出，根据含30度角的直角三角形性质求出，，求出AB即可． 本题主要考查的是含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出， 17.【答案】  【解析】解：设总面积为16， 则阴影部分面积为， 恰好落在阴影部分的概率是 故答案为： 根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 本题考查了七巧板，几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：将代入，得 解得 所以函数与为常数，的图象交点坐标是 由，得， 根据函数图象知，当时，， 关于x的一元一次不等式的解集是故答案为： 直接根据两函数图象的交点写成不等式解集的取值范围即可． 本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 19.【答案】4cm  【解析】解：当时，设一次函数解析式为， 把，代入中得：， 解得：， ， 当时，， 当时，， ， 该弹簧秤的“弹性限度”是4cm， 故答案为： 先利用待定系数法求出当时的一次函数解析式，然后进行计算即可解答． 本题考查了一次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20.【答案】  【解析】解：由得，， 所以点A坐标为 当时，， 所以点B坐标为， 则， 所以三角形AOB是等腰直角三角形， 所以 因为， 所以 又因为，， 所以≌， 所以， 则点D在y轴左侧且与BO夹角为的方向线上运动． 过点P作该直线的垂线，当点D在垂足处时，PD取得最小值． 因为点P坐标为，点B坐标为， 所以， 则 由全等三角形的性质可知，， 所以， 则， 所以点的坐标为， 即线段PD的长度最短时，点C的坐标是 故答案为： 根据题意，求出点D的轨迹，再结合垂线段最短进行计算即可． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及等腰直角三角形，熟知一次函数的图象与性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 21.【答案】  ，  【解析】解：， 化简，得， ①+②，得：， 解得， 将代入①，得：， 原方程组的解是； ， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集为， 其解集在数轴上表示如下， . 先化简方程组，然后根据加减消元法可以解答此方程； 先求出每个不等式，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 本题考查解一元一次不等式组、解二元一次方程组，解答本题的关键是明确解方程组的方法和解一元一次不等式的方法． 22.【答案】每千克红灯大樱桃的进货价是16元，每千克水晶大樱桃的进货价是22元  当购进60千克红灯大樱桃，30千克水晶大樱桃时，进货费用最少，最少费用为1620元  【解析】解：设每千克红灯大樱桃的进货价是x元，每千克水晶大樱桃的进货价是y元， 根据题意得：， 解得： 答：每千克红灯大樱桃的进货价是16元，每千克水晶大樱桃的进货价是22元； 设购进m千克红灯大樱桃，进货费用为w元，则购进千克水晶大樱桃， 根据题意得：， 即， ， 随m的增大而减小， 购进水晶品种的数量不少于红灯品种数量的一半， ， 解得：， 当时，w取得最小值，最小值为，此时 答：当购进60千克红灯大樱桃，30千克水晶大樱桃时，进货费用最少，最少费用为1620元． 设每千克红灯大樱桃的进货价是x元，每千克水晶大樱桃的进货价是y元，根据“3千克红灯大樱桃和1千克水晶大樱桃的进货价共70元，2千克红灯大樱桃和3千克水晶大樱桃的进货价共98元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设购进m千克红灯大樱桃，进货费用为w元，则购进千克水晶大樱桃，利用总价=单价数量，可找出w关于m的函数关系式，由购进水晶品种的数量不少于红灯品种数量的一半，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 23.【答案】证明：平分， ， 是的外角， ， ，， ， ，   【解析】证明：平分， ， 是的外角， ， ，， ， ， 根据角平分线的性质和三角形的外角性质得，再根据平行线的判定定理可得 本题考查平行线的判定定理，掌握内错角相等，两直线平行是关键． 24.【答案】  10个和2个  【解析】解：袋子中装有18个红球和12个黄球，这些球除颜色外都相同， 摸出每一球的可能性相同， 随机摸出一球，摸出的球是红球的概率是； 设红球x个，则黄球为个， 由题意得：， 解得：， ， 答：这12个球中红球和黄球的数量分别是10个和2个． 直接由概率公式求解即可； 设红球x个，则黄球为个，根据摸出红球的概率是摸出黄球概率的2倍，列出方程，解方程即可． 本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 25.【答案】  证明：连接CG， 四边形ABCD是长方形， ， 由旋转得，，， ， ， ， 在和中， ， ，   【解析】解：如图，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AC于点E，再以点E为圆心，BC的长为半径画弧，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，两弧相交于点F，连接AF，EF， 则即为所求． 证明：连接CG， 四边形ABCD是长方形， ， 由旋转得，，， ， ， ， 在和中， ， ， 以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AC于点E，再以点E为圆心，BC的长为半径画弧，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，两弧相交于点F，连接AF，EF即可． 连接CG，由题意可得，，，，可得，证明，则可得 本题考查作图-旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 26.【答案】一次函数的表达式为，  如图，点P即为所求．   【解析】解：在上， ，， 得， ， 将，分别代入得： ， 解得， 所以一次函数的表达式为， 把代入可得， ， 把代入可得： ， ； 如图，点P即为所求． 设，则有， 解得， ， 根据求出A坐标，把A、C坐标代入即可求出解析式，然后把代入求出点B坐标，最后根据三角形面积公式求出面积； 作线段AB的垂直平分线交OA于点P，连接PB即可． 本题考查作图-复杂作图，一次函数的性质，待定系数法确定函数解析式，勾股定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 27.【答案】具体答案看解答  具体答案看解答  具体答案看解答  【解析】解：，， 即， 在和中， ， ≌； 如图，作于M，作于N， ≌， ，， ，， 点A在平分线上， 平分； 设，则 ， 由得 ， 又F在BD上，F在CE上， ，， 在中，， ， 由知AF平分， ， 又， 在中， ， ， 第问直接利用两边夹角证明全等； 第问用面积法证明角平分线，避免使用圆的性质，通过全等三角形面积相等及底边相等，得出点到角两边距离相等； 第问结合角平分条件，设参数推导角度关系，最终在中利用等角对等边得到线段相等． 本意主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的判定到角两边距离相等、面积法以及等角对等边．解题的关键是第问中创造性使用面积法得到角平分线，第问中准确设置角度并利用图形位置关系确定角的大小，避免了对圆知识的依赖．本题综合性强，对学生的逻辑推理和图形分析能力要求较高． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $