精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

石嘴山市第一中学2025-2026学年第二学期高一年级期末考试 数学试题 （时间：120分钟 分数：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 年美加墨世界杯开赛前天，每天的进球数如下：，按从小到大的顺序将其排序为：，则这组数据的第百分位数和平均数分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】先根据百分位数的计算规则确定第百分位数的位置，结合排序后的数据计算，再计算所有数据的算术平均数即可得到结果． 【详解】样本容量，，第项为，第项为， 所以第百分位数为， 平均数为． 2. 若直线经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据垂直关系可知斜率乘积为，从而构造方程可求得结果. 【详解】由题意得，直线的斜率： ，解得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查利用直线垂直关系求解参数问题，关键是明确两条直线斜率乘积为时，两条直线垂直. 3. 若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由基底概念可知不共线，再由不能构成基底可得共面，由共面向量基本定理待定系数求解. 【详解】由题意，是空间的一个基底， ，所以不共线， 因为不能构成空间的一个基底，则共面， 所以存在使得， 即 所以，解得． 故选：A． 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 三个两两垂直的平面的交线也两两垂直 B. 共点的三条直线两两垂直，它们中每两条直线确定的平面也两两垂直 C. 两个平面垂直，过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 D. 两个平面垂直，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 【答案】C 【解析】 【分析】利用面面垂直的性质定理结合线面平行的性质定理可判断A选项的正误；利用线面垂直、面面垂直的判定定理可判断B选项的正误；设点在交线上，可判断C选项的正误；利用面面垂直、线面垂直的性质可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，如下图所示，设平面、、两两垂直，它们的交线分别为、、， 平面、内的直线、分别满足，， ，，，，，同理可得，， ，，，，，，， 、，，，同理可证，A选项正确； 对于B选项，如下图所示，已知、、两两垂直， ，，，，，，同理可证，， B选项正确； 对于C选项，若点在交线上，则过该点作两个平面交线的垂直，不一定与另一个平面垂直，C选项错误； 对于D选项，如下图所示： 若，交线为，，若平面内的直线，由面面垂直的性质定理可得， ，则，在平面内有无数条直线与平行，这些直线都与直线垂直， D选项正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳． 5. 从3名男生和2名女生中任选3人参加志愿者活动，则所选3人中既有男生又有女生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】从5人中任选3人有，全为男生的选法有， 所以所选3人全为男生的概率为， 所以所选3人中既有男生又有女生的概率为. 6. 将下面的展开图恢复成正方体后，的度数为（ ） A. 22.5° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】还原几何体，根据点的位置求解即可. 【详解】把图形复原如图， 连接，，三点恰好构成一个等边三角形， 所以为60°． 故选：C． 7. 已知都是锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系，结合角的范围求出，，最后根据及两角差的正弦公式计算可得. 【详解】因为角为锐角，且，所以， 因为，，所以， 又，所以， 所以 . 故选：A 8. 在平行四边形中，为的中点，点在上，且，设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，求得，，再由，结合，求得的值，即可求解. 【详解】由平行四边形中，为的中点，可得为的中点， 可得，所以， 又由，可得， 因为点在上，且，可得， 又因为，则， 所以， 因为，所以，所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知复数在复平面内对应的点分别为和，则（ ） A. B. 的虚部为1 C. 存在，使得 D. 在复平面内对应的点不可能在第四象限 【答案】AD 【解析】 【详解】由题设. 对于A，显然，于是，故A正确； 对于，其虚部为，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于， 若其在复平面内对应的点在第四象限，则,不等式组无解，故D正确． 10. 在中，三边长分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意得，结合边的关系即可判断A；根据边的关系及基本不等式即可判断BC；用边长为的三角形的周长判断D 【详解】对于A，，即，也就是， 另一方面，在中，，则成立，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，边长为的三角形，满足，但，故D错误． 故选：ABC． 11. 在棱长为1的正方体中，点，满足，，则（ ） A. 平面 B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 C. 当时，满足到直线与到平面的距离相等的点有两个 D. 当时，四面体外接球体积为 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A根据线面平行的判定定理证明即可；选项B先求出平面的法向量，再根据线面角求出和的关系，进而确定点的轨迹；选项C求出点到直线的距离与点到平面的距离，结合已知条件求解即可；选项D根据球心到已知点的距离等于球的半径列方程组求解即可. 【详解】选项A：，为中点. 连接，交于点，则为中点，所以. 又平面，平面，平面.故A正确. 选项B：以为原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 正方体中，易知平面的法向量为， 因为，，，， 所以，则，. 设与平面所成角为（）， 则，即， 又，，，， 所以，即. 因为，所以点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆在平面上四边形内的部分（含与四边形的交点），其长度为.故B错误. 选项C：由选项B知，点到直线的距离为1. 又，所以点到平面的距离为. 若点满足到直线与到平面的距离相等，则，即，此时，所以满足条件的点有1个（与点重合），故C错误. 选项D：当时，，又，，， 设四面体的外接球球心坐标为，半径为，则 ，解得. 所以外接球的体积为.故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知中，，，为边上的中线，若，则_________. 【答案】9 【解析】 【分析】由，利用向量数量积的运算求得，由余弦定理即可求得. 【详解】设，为边上的中线，有， 故可得， 代值可得，解得. 由余弦定理可得. 故答案为：9. 13. 若甲、乙、丙在10分钟之内独立复原魔方的概率分别0.7，0.6，0.5，则甲、乙、丙至少有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意利用独立事件和对事件的概率公式求解即可 【详解】记事件分别为甲、乙、丙在10分钟之内独立复原魔方，则 ， 所以甲、乙、丙至少有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为 ， 故答案为： 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角公式可得，即，根据角的范围可得，，，故.由正弦定理、同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得，换元，结合对勾函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，故， 即， 因为,所以， 因为，所以或， 即或，即或. 若，则，则无意义，故. 又，所以，即. 因为，所以,，， 所以，解得，故. 由正弦定理可得 ， 令，则. 设， 由对勾函数的性质可得在上单调递增， 所以，即. 故答案为:. 四、解答题：本题共77分. 15. 一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且. （1）求或的概率； （2）若从该条生产线上随机选取3个零件，设X表示零件尺寸小于232加或大于248的零件个数，求的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正态分布的对称性求解； （2）利用X服从二项分布求解. 【小问1详解】 因为零件尺寸z服从正态分布， 所以， 因为，所以. 故或的概率为. 【小问2详解】 依题意可得， 所以. 16. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明即可； （2）求出平面及平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算可得． 【小问1详解】 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， ， 设是平面的一个法向量， 则， 取，则，即， 因为，所以， 又平面，∴平面． 【小问2详解】 由（1）知是平面的一个法向量， 是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是的中点，，，． （1）求证：∥平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：连接交于，且连接，则为的中点． 因为是的中点，所以为的中位线，所以， 又因为面，面，所以面 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，且连接，即证，利用线面平行的判断定理即可求解； （2）先求点到平面的距离，再求底面面积，根据三棱锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，为的中点，所以， 又因为，所以， 因为，面，，所以面， 菱形中，，，所以，所以， 因为为的中点，所以点到面的距离为 又 所以 所以三棱锥的体积为． 18. 如图，正三角形的边长为6，，分别是边，上的点，且，，其中，为的中点． （1）若，求； （2）设为线段的中点，若，求的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】法一：基底法(1)选择向量为基底，利用线性运算表示相关向量，利用向量的数量积的运算求解即得.(2)用基底表示向量，利用平面向量的数量积的运算求得关于x的函数表达式，进而求最小值； 法二：建立适当的直角坐标系，利用坐标方法计算求解. 【详解】解：【法一（基底法）】 （1）当时，， ， ． （2），， 则， 则 ． 当时，的最小值为． 【法二（坐标法）】 以所在直线为轴，其中垂线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，， （1）由，得， 则，，． （2）∵，， ∴，， 为线段的中点，则， 则， 当时，的最小值为． 19. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 . 请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题： 条件：①；②. （1）证明：； （2）若的平分线交于，，，求的值； （3）求的取值范围. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）证明如下： 若选①：因为，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以， 所以，或（舍去），即； 若选②：由正弦定理及， 得， 所以， 所以， 因为，所以， 所以或（舍去）， 所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得证； （2）结合角分线的性质及三角形面积公式可得，即可得解； （3）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角函数性质及基本初等函数的单调性可得取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，为锐角， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以，； 【小问3详解】 由是锐角三角形，，，，可得， 所以， ， 令，则，在上单调递增， 而，， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2025-2026学年第二学期高一年级期末考试 数学试题 （时间：120分钟 分数：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 年美加墨世界杯开赛前天，每天的进球数如下：，按从小到大的顺序将其排序为：，则这组数据的第百分位数和平均数分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 若直线经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数的值为 A. B. C. D. 3. 若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. C. D. 0 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 三个两两垂直的平面的交线也两两垂直 B. 共点的三条直线两两垂直，它们中每两条直线确定的平面也两两垂直 C. 两个平面垂直，过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 D. 两个平面垂直，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 5. 从3名男生和2名女生中任选3人参加志愿者活动，则所选3人中既有男生又有女生的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 将下面的展开图恢复成正方体后，的度数为（ ） A. 22.5° B. 45° C. 60° D. 90° 7. 已知都是锐角，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在平行四边形中，为的中点，点在上，且，设，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知复数在复平面内对应的点分别为和，则（ ） A. B. 的虚部为1 C. 存在，使得 D. 在复平面内对应的点不可能在第四象限 10. 在中，三边长分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在棱长为1的正方体中，点，满足，，则（ ） A. 平面 B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 C. 当时，满足到直线与到平面的距离相等的点有两个 D. 当时，四面体外接球体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知中，，，为边上的中线，若，则_________. 13. 若甲、乙、丙在10分钟之内独立复原魔方的概率分别0.7，0.6，0.5，则甲、乙、丙至少有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为______. 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共77分. 15. 一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且. （1）求或的概率； （2）若从该条生产线上随机选取3个零件，设X表示零件尺寸小于232加或大于248的零件个数，求的概率. 16. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是的中点，，，． （1）求证：∥平面； （2）求三棱锥的体积． 18. 如图，正三角形的边长为6，，分别是边，上的点，且，，其中，为的中点． （1）若，求； （2）设为线段的中点，若，求的最小值． 19. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 . 请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题： 条件：①；②. （1）证明：； （2）若的平分线交于，，，求的值； （3）求的取值范围. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $