辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（八）

**基本信息** 涵盖高二数学核心知识，解答题融合数列综合、射击训练概率应用及导数综合问题，注重数学思维与推理能力考查，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、等差数列、函数性质|基础巩固，考查抽象能力与运算能力| |多选题|3/18|函数单调性、基本不等式|能力提升，需综合推理与判断| |填空题|3/15|等比数列、最值问题|聚焦关键技能，强调数学眼光| |解答题|5/77|数列求和、射击概率、导数应用|创新应用，如射击训练情境体现用数学语言表达现实世界，导数题考查逻辑推理与问题解决能力|

辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（八） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的共轭复数（    ） A． B． C． D． 2．是等差数列，，，则该数列的前13项和（    ） A．130 B．143 C．156 D．169 3．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 5．已知函数 在区间 上的大致图象如下，则 的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7.已知函数的图象在点处的切线与直线平行，设数列的前项和为，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数有两个极值点，若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设函数，则（   ） A．在区间上单调递增 B．直线是曲线的对称轴 C．直线是曲线的切线 D．有三个零点 10．若正实数满足 ，则（     ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 11．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递增 B．当时， C．函数的图象是中心对称图形 D．当且时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知实数，，成等比数列，则其公比是__________. 13．已知 ，且 ，则 的最小值为_____. 14．已知函数，若对于任意的，恒成立，则实数的值为__________. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的前项和为； (2)记，数列的前项和为，求，并证明． 16．（15分）男子10米气步枪是奥运会射击比赛项目，国家队在选拔运动员时，通常需要测试运动员在不同场景下的命中率．运动员小明为备战奥运会，到射击馆选择场景与场景进行相关训练，训练规则如下：若在某场景下命中目标，则下一轮继续在此场景下进行射击；若没有命中目标，则更换到另一场景下进行射击．已知小明在场景下命中率为，在场景下命中率为．训练时，每次射击命中目标记1分，未命中记0分，且第1次在场景下射击． (1)求小明在前3次射击得到1分的概率； (2)若小明在前3次射击得到2分，求这2分均在场景下获得的概率； (3)求小明第n次在场景下射击的概率． 17．（15分）已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 18．（17分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若对任意的，都有成立，求整数k的最大值． 19．（17分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意，都有，求的取值范围； (3)当时，设是函数的两个非0零点，且，证明：. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（八） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【详解】依题意，， 所以. 2．是等差数列，，，则该数列的前13项和（    ） A．130 B．143 C．156 D．169 【答案】C 【难度】0.72 【分析】利用等差数列的性质求出中间项，再由奇数项等差数列前项和的性质求． 【详解】因为，，所以． 又因为是等差数列，所以，所以，解得． 所以． 3．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.78 【分析】利用对数函数的单调性和对数换底公式化简比较求解. 【详解】当时，在上单调递增， 在上单调递减，所以，即， 因为， ，所以. 4．若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【难度】0.65 【分析】由幂函数、奇偶性的性质，根据条件间的推出关系确定条件间的关系. 【详解】当，则，显然函数为非奇非偶函数，充分性成立， 当幂函数，则， 即，得或， 若，即为非奇非偶函数，满足， 若，即为奇函数，不满足，所以，故必要性成立， 综上，p是q的充要条件. 5．已知函数 在区间 上的大致图象如下，则 的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】主要用排除法，通过奇偶性排除选项D，单调性排除选项A，特殊值排除选项B. 【详解】对选项D，图像关于原点对称，说明是奇函数，而选项D中， ，是偶函数，不符合，排除D； 对选项A，求导得恒成立， 说明在上单调递增，和图像中先增后减的特征矛盾，排除A； 对选项B，处的函数值， 但图像中处函数值大于0，不符合，排除B； 对选项C，是奇函数，符合对称性；时，故， 且，故选项C符合图像. 6．已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.62 【分析】应用导数及指数函数单调性得出两段函数的单调性，根据分段函数存在最小值建立不等式，解不等式即可得结论. 【详解】由题意， 令，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 令，，在上单调递减，且值域为， 分段函数存在最小值，则 ，所以. 综上，实数的取值范围为. 7.已知函数的图象在点处的切线与直线平行，设数列的前项和为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.61 【分析】根据导数的几何意义可得，利用裂项相消法可得，，即可得结果. 【详解】因为，则，可得， 由题意可知：在点处的切线斜率为，即， 则，可得， 则数列的前项和， 所以． 8．已知函数有两个极值点，若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.23 【分析】由题意可得有两个不等正根，即，设，则，求出的范围，求出，构造函数， 利用导数法得到的最大值，从而得到的范围，构造函数，利用导数法求出单调性从而得到，求出，由的最大值得到，通过求交集得到取值范围. 【详解】因为有两个极值点，且， 所以有两个不等正根， 即， 则，即， 设，则， 因为，所以， 则转化为，解得， 因为，所以， 因为，所以， 则， 令， ， 设， ， 当时，，在 单调递减， 则， 则，在单调递减， 当时（临界），取最大值为， 当，由洛必达法则可知， 综上可得， 令，， 当时，，在单调递增， 因为，所以 因为，所以， 因为在处取得最大值， 方程有两个正根的充要条件是， 因为， 所以. 则取值范围为，故选项B正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设函数，则（   ） A．在区间上单调递增 B．直线是曲线的对称轴 C．直线是曲线的切线 D．有三个零点 【答案】ACD 【难度】0.65 【分析】利用导数求解单调性判断A，利用函数对称性的性质判断B，利用斜率的几何意义并结合导数判断C，求解出零点判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以， 当时，恒成立，则在区间上单调递增，故A正确， 对于B，由题意得，， 得到，则直线不是曲线的对称轴，故B错误， 对于C，设切点为，令， 得到，解得，则切点为， 可得切线方程为，化简得， 得到直线是曲线的切线，故C正确， 对于D，令，则， 因式分解得，解得或或， 则有三个零点，故D正确. 10．若正实数满足 ，则（     ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BCD 【难度】0.65 【分析】根据“1”的变形技巧，基本不等式以及二次函数的性质逐项分析求解即可. 【详解】对于A，由， 则， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值是，故A错误； 对于B，由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值是，故B正确； 对于C，由， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以， 所以， 设， 由二次函数开口向上，对称轴为：， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故D正确. 11．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递增 B．当时， C．函数的图象是中心对称图形 D．当且时， 【答案】ACD 【难度】0.38 【分析】先确定函数定义域，再通过求导、因式分解分析导数符号，得到函数的单调区间，直接利用单调区间判断正误，判断选项A；举特殊值反例，结合单调性与自变量大小关系，判断不等式不恒成立，判断选项B；验证对称性，判断选项C；结合中心对称性质，通过条件转化自变量大小关系，利用单调性比较函数值判断选项D． 【详解】对于A：易知的定义域为， 求导得， 因，由可得，由可得或， 在上单调递增，在，上单调递减，故A正确； 对于B：因，当时，，即时，，故B错误； 对于C：注意到， ， 则图象关于中心对称，故C正确； 对于D：因，则，又，则， 从而， 又由A分析可得，在上单调递增，则， 从而，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知实数，，成等比数列，则其公比是__________. 【答案】 【难度】0.7 【详解】设数列的三项分别为，，， 设等比数列的公比为，则通项为，，， 所以,, 则. 13．已知 ，且 ，则 的最小值为_____. 【答案】 【难度】0.68 【详解】， 因为，所以， 所以，当且仅当， 即时取得等号， 所以 的最小值为. 14．已知函数，若对于任意的，恒成立，则实数的值为__________. 【答案】1 【难度】0.4 【分析】令，，分和两种情况，通过分析的取值，得到对于任意的，是否恒成立，求得的值. 【详解】函数的定义域为. 令，则恒成立， 所以是增函数. 又， 所以当时，；当时，. 令， 则，在上单调递减. 若，则恒成立，是增函数； 又， 所以当时，；当时，. 此时当时，；当时，. 因此要使对于任意的，恒成立，须和有相同的零点，即. 若，恒成立. 当时，，所以， 因此存在，使成立， 即存在，使成立，不合题意. 综上所述，. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的前项和为； (2)记，数列的前项和为，求，并证明． 【答案】(1) (2)由（1）知，，则， ， 又得证． 【难度】0.66 【分析】（1）首先求等差数列的通项公式和前项和公式，再去绝对值，分类讨论求； （2）首先利用裂项相消法求和，再分离常数证明不等式. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由已知，解得：， 所以，， 当时，，； 当时，， ． 综上：． （2）略 16．（15分）男子10米气步枪是奥运会射击比赛项目，国家队在选拔运动员时，通常需要测试运动员在不同场景下的命中率．运动员小明为备战奥运会，到射击馆选择场景与场景进行相关训练，训练规则如下：若在某场景下命中目标，则下一轮继续在此场景下进行射击；若没有命中目标，则更换到另一场景下进行射击．已知小明在场景下命中率为，在场景下命中率为．训练时，每次射击命中目标记1分，未命中记0分，且第1次在场景下射击． (1)求小明在前3次射击得到1分的概率； (2)若小明在前3次射击得到2分，求这2分均在场景下获得的概率； (3)求小明第n次在场景下射击的概率． 【答案】(1) (2) (3)（）． 【难度】0.55 【分析】（1）利用分类计算概率即可求解. （2）利用条件概率可解. （3）利用全概率公式算出与的关系，再利用数列的递推关系求通项公式即可解出. 【详解】（1）设事件“小明在前3次射击中得到1分”， 由题意得． （2）设事件“小明在前3次射击中得到2分”，“这2分均在场景B下获得”， 由题意得， ，． （3）设“小明第次在场景A下射击”，， 由题意得，且，，， 由全概率公式得， 即， ∵，且， ∴数列是以为首项、为公比的等比数列. ∴， ∴（）． 17．（15分）已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2)数列为单调递增数列，理由见解析 (3) 【难度】0.54 【分析】（1）利用递推公式先求数列的前几项，再求的前3项即可. （2）根据所给递推公式，判断数列的结构特征，再判断其单调性. （3）分别求出数列偶数项的和与奇数项的和，再相加即可. 【详解】（1）因为，， 所以，， ，， . 又， 所以，，. （2）因为， 且. 所以是以32为首项，4为公比的等比数列. 因为，公比， 所以数列为单调递增数列. （3）由（2）可知，，所以， 所以. 由， 所以. 所以. 18．（17分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若对任意的，都有成立，求整数k的最大值． 【答案】(1) (2)函数的零点个数为2．，理由如下： 因为，定义域是， 所以．当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，．     因为，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数的零点个数为2． (3)3 【难度】0.51 【分析】（1）利用导数的几何意义求解切线方程； （2）利用零点存在定理求解函数的零点个数； （3）将原不等式问题等价转化为，从而得到整数k的最大值. 【详解】（1）因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）略； （3）因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数k的最大值为3． 19．（17分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意，都有，求的取值范围； (3)当时，设是函数的两个非0零点，且，证明：. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，递减区间为，递增区间为 (2) (3)当时，，， 设，则， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为，， ，，，， 所以存在，使得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由于，所以的两个零点满足， 因为，所以， 因为，所以， 所以，得证． 【难度】0.42 【分析】（1）对函数求导可得 ，再对参数进行讨论，从而得到的单调性； （2）任意，都有即，即对任意均成立，构造函数，即，再对参数进行讨论，得到函数的单调性求得函数的最小值，进而求出的取值范围； （3）当时，，，讨论函数的单调性，得到两个非0零点的取值范围，再证明. 【详解】（1）对函数求导可得 ， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得．当时，单调递减； 当时，单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，递减区间为，递增区间为. （2）任意，都有即， 即对任意均成立， 设，则． ，设， 那么，所以在上单调递增， 当，即时，， 所以在上单调递增，，满足条件； 当时，， 所以存在，使得； 当时，单调递减，，不满足条件； 综上所述，的取值范围是． （3）略 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $