第23讲 弧长和扇形面积（8类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第23讲弧长和扇形面积 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破一析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1利用弧长公式求弧长 题型2利用弧长公式求长度 题型3利用弧长公式求圆心角 题型4某点的弧形运动路径长度 题型5利用扇形面积公式求面积 题型6求弓形的面积 题型7求图形旋转后扫过的面积 题型8不规则图形的面积计算 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 掌握长计算公式1= 1. 180, 能根据已知条件计算弧长。 弧长、扇形面积、圆 掌握扇形面积计算公式S=”r号 2. 心角、半径、1= 360=2lr, 能灵活选用公式进行计算 nπr =nnr2 3.1 能运用弧长和扇形面积公式解决有关实际问题（如求阴影部分面积、圆锥 180、 S 360。 侧面展开图的相关计算)。 4.经历弧长和扇形面积公式的推导过程，体会从特殊到一般的数学思想，培 养类比迁移能力。 学习重点：弧长和扇形面积公式的推导与运用。 学习难点：灵活选择扇形面积公式（已知圆心角和半径用S= nnr2 360 已知弧长和半径用S=2 I),以及组合图形（如阴影部分面积）的割补与转化。 1/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 02 教材全解 ◇知|识1框引架 孤长公式 孤长公式中180与360混满 在半径为R的圆中，n圆心角所对弧长【=(mR)/80 高频易错点 圆锥母线、底面半径与扇形半径。弧长 在半径为R的圆中，n圆心角 扇形面积公式 所对扇形面积 s=(nπR2)/360 对应关系错误 用孤长表示扇形面积S=(R)/2 弧长和扇形面积 圆锥的侧面展开固是扇形 弧长与扇形面积计算 高频考点 圆锥母线等于扇形半径 圆锥侧面积展开图计算 圆锥的侧面积和全面积 圆锥底面周长等于扇形弧长 圆锥侧面积 S侧=（为母线长，为底面半径） 圆锥全面积 s全=πrl+r2 知1识I精1讲 知识点01弧长 弧长的计算 在半径为R的圆中，°的圆心角所对的弧长I的计算公式为：1=， 【易错提醒】弧长公式1=，为圆心角度数，R为半径。易错：计算时分清半径与直径，单 位统一，不可混用等圆之外的圆心角直接比较弧长 即时即练1.如图，扇形AOB是某种折扇的外轮廓图，已知扇形半径OA=15cm,∠AOB=120°，则AB 的长为( ) A.8π B.10元 C.12π D.14π 2.如图1是岳麓书院屋顶的图片，屋顶瓦片如图2，瓦片横截面如图3所示，AB是以点O为圆心，OA为 半径的弧，已知△ABO是边长为9cm的等边三角形，则AB的长是 _Cm.(结果保留π) 2/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 3.莱洛三角形也称圆弧三角形，在机械等方面应用广泛，如转子发动机（图1）等：如图2，△ABC为等 边三角形，分别以它的三个顶点为圆心，边长为半径作三段弧，由这三段圆弧组成的图形记为F,若 AB=3,则图形F的周长是 B 图1 图2 知识点02扇形的面租 与扇形有关的面积计算 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形(G孤长为D面积的计算公式为：S形=三 【易错提醒】扇形面积公式：S形=三R。易错：容易把直径当成半径代入计算，使用第二个公 式时分清弧长与半径 即时即练4，若扇形半径缩小为原来的3，圆心角扩大为原来的3倍，则面积为() A.和原来一样大B.原来的3 C.原来的2倍 D.原来的3倍 5.如图，⊙A,⊙B,⊙C,⊙D两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之 和为() 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D A 4 B.2 C. D.2π 6.随着我国电子技术的高速发展，360°全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶.如图是 搭载了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为3米，可视角度为160°的扇形，则该可视区域形 成的扇形面积为 平方米（结果保留兀）. 03 题型突破 题型1利用孤长公式求孤长 【例1】如图，若半径为3cm的定滑轮边缘上一点A绕中心O逆时针转动160°（绳索与滑轮之间没有滑 动)，则重物上升的高度为() LL/LLLLLLLLL 滑轮 重物口 8 A.5zcm B. 37cm C.m 5 D.6cm 【例2】如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得BC=40cm,并且AC⊥BC,则AB的长度为() 4/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.10xcm B.20πcm C.30πcm D.40πcm 【技巧归纳】 先找准弧对应的圆心角度数与半径，代入弧长公式计算；遇等弧可先等量转换圆心角，简化 数据再列式求解 【变式1-1】如图，在⊙0中，∠ABC=60°，半径AO=2cm,则∠AOC所对的AC长为cm B 【变式1-2】如图，正五边形ABCDE的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的周 长为 题型2利用弧长公式求长度 【例3】传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似 地看作扇形的一部分，其中AD的长度为3米，裙长AB=0.8米，圆心角∠4OD=∠BOC=60°，则OB的 长为() 图① 图② 5/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1米 B.1.8米 C.2米 D.2.2米 【例4】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0，若劣弧AB的长等于π，则正六边形的边长为() B A.5 B.√6 C.3 D.2 【技巧归纳】 确定圆弧圆心角与半径，套用弧长公式计算曲线段长度，多条弧可分别求出弧长再求和或作 差得到总长度 【变式2-1】若90°圆心角所对的弧长是3πcm,则此弧所在圆的半径的长是 【变式22】如图，将矩形ABCD绕点B逆时针旋转30°得到矩形A'BC"D',点C的对应点C'恰好落在边 A--------- 题型3利用弧长公式求圆心角 【例5】如果一个扇形的半径为1，弧长是π，那么此扇形的圆心角的大小为() A.60° B.90° C.180 D.270° 【例6】一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为l12cm,当重物上升4πcm时，滑轮的一条半径OA按逆时针 方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）() 6/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.12° B 30° C.60° D.90° 【技巧归纳】把弧长、半径代入弧长公式变形求圆心角，理清公式各量关系，遇到等弧可先转 化等量条件再列式计算 【变式31】一个扇形的半径为4，面积为兀，则此扇形的圆心角为一度. 【变式32】折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为30cm,面积为 360cm2, 则此扇形的圆心角为. 度 题型4某点的弧形运动路径长度 【例】如图，半径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，则点O所对应的数是() A.2π+2 B.4π+2 C.3元 D.2π+4 【例8】直径为1个单位长度的圆上有一点A,现在将点A与数轴上表示V3的点重合，并将圆沿数轴无滑 动地向左滚动两周，如图，若点A到达数轴上的点B处，则点B表示的数是() -3-2-101A234 A.2π-V5 B.π-V5 C.√3-π D.V3-2π 【技巧归纳】 先确定动点旋转圆心、半径与旋转角度，套用弧长公式计算单段弧长：多段圆弧则分段求解 后相加，得到总运动路径长 【变式41】如图，将边长为lcm的等边三角形ABC沿直线I向右翻动（不滑动），点B从开始到结束，所 经过路径的长度为 7/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (B) B (C) (B) 【变式42】如图，将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB,在直线1上向右作无滑动的滚动至扇形 A'OB处，则顶点O经过的路线总长为 B 题型5利用扇形面积公式求面积 【例】如图，线段AB是⊙0的直径，点C,D是圆上两点，连接AC,BD,CD,若∠D=30°， AC=6,则阴影部分的面积为() B B.2r 3 x D.元 【例10】如图是一把折扇示意图，扇面ABCD是由两条弧(AD,BC)和两条线段(AB,CD)所组成的封闭图 形.己知OA=30cm,∠A0D=120°，AB=20B,则扇面ABCD的面积为() 800 100 B 3 3zcm2 C.300πcm2 D.100πcm2 【技巧归纳】 找准扇形圆心角和半径，选用对应扇形面积公式代入求值；遇到等弧转化条件，拆分拼接图 8/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 形间接求解面积 【变式51】家具厂利用如图所示的直径为1m的圆形材料加工成一种扇形家具部件.已知扇形的圆心角 ∠BAC=90°，则扇形部件的面积为一· 【变式52】如图，AB是⊙0的直径，0C=6,∠BAC=40°，则图中阴影部分的面积为 B 题型6 求弓形的面积 【例11】如图，点A,B,C在⊙0上，若∠BAC=45°，BC=4V2,则图中阴影部分的面积为() A.元-8 B.16m-8 C.4π-8 D.16m-4 【例12】如图，四边形ABCD内接于圆O,对角线AC是圆O的直径，DB平分∠ABC,AC长6cm,求阴 影部分的面积() D B 9 9 99 A. π+ 2 D.44 9/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【技巧归纳】 弓形面积用对应扇形面积加减三角形面积，分清优弧、劣弧弓形，先求圆心角与半径，代入 公式计算差值即可 【变式61】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验 公式是：弧田面积（弦×矢+失）.弧田是由圆弧和其所对的弦国成（如图中的阴影部分），公式中 “弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现已知弦AB=8米，半径等于5米的 弧田，按上述公式计算出弧田的面积为_平方米. B 【变式6-2】如图，已知△ABC在边长为1的小正方形的格点上，△ABC的外接圆的一部分和△ABC的边 AB、BC组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为一 B 题型7求图形旋转后扫过的面积 【例13】如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△AB'C,己知AC=10,BC=6,则线段AB扫过的图形面积 为() A B B) 10/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16 A.10元 B. 32 D.3π 【例14)如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△AB'C,已知AC=4,BC=3,则线段AB扫过的图 形（阴影部分）的面积为() B B 7 A. 32 2 B C. D.元 【技巧归纳】 先确定旋转中心、旋转半径与旋转角度，判断扫过区域为扇形或圆环部分，套用扇形面积公 式分段计算再求和或作差 【变式7-1】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，AC=2,将△ABC绕点C顺时针旋转到 Rt△AB'C时，线段AB扫过的面积为— B B 【变式7-2】甲乙两幅图中，正方形边长都相等，则甲乙阴影部分的面积（)· A,甲图阴影大 B.乙图阴影大 C.一样大 题型8不规则图形的面积计算 【例15】如图，AB是半圆O的直径，且AB=8,C为半圆上的一点，将此半圆沿BC所在直线折叠，若 BC恰好过圆心O,则图中阴影部分的面积为() 11/17 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 3交 A. 8 D. 【例16】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AC=2,以C为圆心，CA为半径作弧，与 BC交于点D,再以B为圆心，BD为半径作弧，与AB交于点E,则图中阴影部分的面积为() E D A.25-元 B.5-π C.25- 3 D.3_2r 3 【技巧归纳】 采用割补、平移、旋转法把不规则图形转化为扇形、三角形等规则图形，分别算出面积，再 通过相加或相减得出结果 【变式81)如图，在扇形AOB中，OA=2,∠A0B=90°，点C在AB上且CD垂直平分线段OA,D为垂 足，以O为圆心，OD为半径作弧交OB于点E,则阴影部分面积=一， B E D 【变式82】如图，在扇形0AB中，0B=V2,圆心角∠A0B=130°，C是AB上的点，∠CAB=20°，则 阴影部分的面积为一。 12117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 04 过关检测 一、单选题 1.(2026江苏扬州中考真题)“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术.拧拉时，手肘保持不动，手腕 绕手肘旋转划出一段圆弧.小明手腕到手肘的距离为20m，,某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为90°，小 明手腕的运动路线长为() A.5πcm B.10πcm C.20πcm D.40ncm 2.(2026广西玉林·一模)如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C', 点B经过的路径为弧BB',若∠BAC=60°，AC=1,则图中阴影部分的面积是 B B A.2 B.3 c.4 D.π 3.(2026江苏盐城模拟预测)如图1是盐城博物馆展出的战国时期的青铜剑，青铜剑被放置在一个弧形 剑架上.如图2所示，剑架的弧形部分可看作一段圆弧，AB所在圆的圆心为点O,弦AB的长为40m, 过点O作OC⊥AB,垂足为点C,且OC=AC,则AB的长为() 13117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 A.20W2πcm B.10W2πcm C.200zcm D.400πcm 4.(2026河南平顶山一模)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=4,以AB为直径的半 圆O交AC于点D,则BD的长为() 2 4π A.3 B.3 C.元 n.月 5.(2026云南楚雄·二模)中国饮食文化源远流长，其中过桥米线是云南的地方特色美食之一.如图是某 人吃完过桥米线准备喝汤的示意图，碗体部分为半圆，直径AB=20Cm.喝汤时，若∠CAB=60°，则弧 CB的长为() 0. 20 20 A. 10元 B.3 c. D. 3 二、填空题 6.(2026湖南中考真题)如图，⊙0的半径为6，若它的周长等于弧AB的长的6倍，则阴影部分的面积 为 7.(2026北京模拟预测)如图，△ABC内接于⊙O,∠A=60°，OD⊥BC于点D,若OD=3,则BC的 14117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 长为 ○ 8.(2026河南漯河模拟预测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，4C=4,以AC为直径作半圆交AB于点 P，若点P两侧的阴影部分的面积相等，则BC的长度为一· B C 9.(2026甘肃临夏模拟预测)设计一个商标图案如图中阴影部分，矩形ABCD中，AB=2BC,且 AB=8cm,以点A为圆心，AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F,则商标图案的面积等于 cm2. D A B 10.(2026四川内江中考真题)如图，圆锥的侧面展开图的弧长为10π，若该圆锥的高OA为12，则该圆 锥母线AB的长为 A 10元 12 0门- B 三、解答题 11.(2026浙江杭州一模)如图，△ABC中，∠A=20°，AB=2.将△ABC绕点B顺时针旋转至△EBD 位置，点A,B,D在同一直线上. 15117 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E (I)若BCDE,求证：AB=AC (2)在(1)的条件下，求点A经过的路径长 12.(2026江西上饶三模)如图，在△ABC中，AB=AC,点O在边AB上，且OB=2,以O为圆心， OB长为半径的半圆，交BC于点D,交AB于点F,与AC相切于点E,连接OD,OE. D E AF B (1)求证： ODIAC (2)若AB=BC,求EF的长， 13.(2026山西阳泉三模)如图，△ABC的顶点B,C在⊙0上，边AC经过圆心O,与⊙0交于点D, 边AB与OO相切于点B.若∠A=30°，CD=4,求BD的长.（结果保留π） 14.(2026河南驻马店·二模)【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的 三条弦相等，我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”· A D 【问题解决】如图，⊙O是△ABC的“等弦圆”，AD,AE,FG是⊙O截得的三条弦， (1)求证：AO平分∠BAC (②)若LBAC=90°，FG=4,求图中阴影部分的面积. 15.(2026安徽阜阳·三模)如图，⊙0是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC,点D是BC上一点，点 16117 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E是AC上一点，CEI‖AD,且∠DAE=∠BAC,连接BD,DC. A D D 图1 图2 (I)如图1，求∠BAC的度数. 2)如图2，当BD的长与DC的长之比为3：1时，若BD=V2,求BC的长. 17117 第23讲 弧长和扇形面积 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用弧长公式求弧长 题型2 利用弧长公式求长度 题型3 利用弧长公式求圆心角 题型4 某点的弧形运动路径长度 题型5 利用扇形面积公式求面积 题型6 求弓形的面积 题型7 求图形旋转后扫过的面积 题型8 不规则图形的面积计算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 弧长、扇形面积、圆心角、半径、l =、S =。 1. 掌握弧长计算公式l =，能根据已知条件计算弧长。 2. 掌握扇形面积计算公式S ==lr，能灵活选用公式进行计算。 3. 能运用弧长和扇形面积公式解决有关实际问题（如求阴影部分面积、圆锥侧面展开图的相关计算）。 4. 经历弧长和扇形面积公式的推导过程，体会从特殊到一般的数学思想，培养类比迁移能力。 学习重点：弧长和扇形面积公式的推导与运用。 学习难点：灵活选择扇形面积公式（已知圆心角和半径用S = ，已知弧长和半径用S =lr），以及组合图形（如阴影部分面积）的割补与转化。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 弧长 弧长的计算 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝． 【易错提醒】弧长公式l＝​，n 为圆心角度数，R 为半径。易错：计算时分清半径与直径，单位统一，不可混用等圆之外的圆心角直接比较弧长 即时即练1．如图，扇形是某种折扇的外轮廓图，已知扇形半径，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式求解即可． 【详解】解：根据题意，扇形的弧长为． 2．如图1是岳麓书院屋顶的图片，屋顶瓦片如图2，瓦片横截面如图3所示，是以点为圆心，为半径的弧，已知是边长为的等边三角形，则的长是_______．（结果保留） 【答案】 【分析】根据，得到为等边三角形，得到圆心角，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：， 为等边三角形， ∴， 的长． 3．莱洛三角形也称圆弧三角形，在机械等方面应用广泛，如转子发动机（图1）等；如图2，为等边三角形，分别以它的三个顶点为圆心，边长为半径作三段弧，由这三段圆弧组成的图形记为，若，则图形的周长是______． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质及弧长公式求解即可． 【详解】解：∵等边三角形的边长为3，， ∴， ∴该图形的周长． 知识点02 扇形的面积 与扇形有关的面积计算 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形(弧长为l)面积的计算公式为：S扇形＝＝lr 【易错提醒】扇形面积公式：S扇形＝＝lR。易错：容易把直径当成半径代入计算，使用第二个公式时分清弧长与半径 即时即练4．若扇形半径缩小为原来的，圆心角扩大为原来的3倍，则面积为（     ） A．和原来一样大 B．原来的 C．原来的2倍 D．原来的3倍 【答案】B 【分析】设出原扇形的半径和圆心角，根据扇形面积公式分别计算原面积和变化后的面积，再比较二者关系得出结论． 【详解】解：设原扇形的半径为，圆心角为， 根据扇形面积公式可得原面积 ， ∵半径缩小为原来的，圆心角扩大为原来的倍， ∴变化后扇形的半径为，圆心角为， 变化后的面积：， ∴变化后的面积是原来的． 5．如图，，，，两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形可知，四个阴影扇形的圆心角之和即为四边形的内角和，利用四边形内角和为及扇形面积公式即可求解． 【详解】解：四边形的内角和为， 四个扇形的圆心角之和为 四个圆的半径都是， 四个扇形的面积之和． 6．随着我国电子技术的高速发展，全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶．如图是搭载了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为3米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形面积为__________平方米（结果保留）． 【答案】 【详解】解：该可视区域形成的扇形面积为（平方米）． 题型1 利用弧长公式求弧长 【例1】如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式计算即可． 本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 【例2】如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得，并且，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式、圆的切线的性质、正方形的判定，关键是找到弧所对的圆心角及半径； 连接，可得是正方形，进而圆心角，半径为，则弧长可求． 【详解】解：连接，如下图， 由题意得：是的切线， ∴， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：B． 【技巧归纳】 先找准弧对应的圆心角度数与半径，代入弧长公式计算；遇等弧可先等量转换圆心角，简化数据再列式求解 【变式1-1】如图，在中，，半径，则所对的长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理、扇形弧长公式，熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解题的关键． 根据圆周角定理可得，利用扇形弧长公式求出长即可． 【详解】解：在中，， 则， 因此所对的长为：， 故答案为：． 【变式1-2】如图，正五边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正五边形的性质，正五边形内角的计算方法以及扇形周长的计算方法是正确解答的关键．根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据弧长的计算方法进行计算即可． 【详解】解：∵正五边形的边长为4， ∴，， ∴的长为， 阴影部分的周长为， 故答案为：． 题型2 利用弧长公式求长度 【例3】传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式．由题意知，，求得，得到米即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， ∵裙长为米， ∴米， 故选：B． 【例4】如图，正六边形内接于，若劣弧的长等于，则正六边形的边长为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆的性质，弧长公式，等边三角形的性质与判定．注意数形结合思想的应用．连接，，根据题意易得为等边三角形，结合劣弧的长即可求得的边长，从而得到正六边形的边长． 【详解】解：如图，连接，， 正六边形内接于， ， ， 为等边三角形，即正六边形的边长为的半径长， 劣弧的长等于， ， 正六边形的边长， 故选：C． 【技巧归纳】 确定圆弧圆心角与半径，套用弧长公式计算曲线段长度，多条弧可分别求出弧长再求和或作差得到总长度 【变式2-1】若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．设半径为，根据弧长公式得出，计算即可得到答案． 【详解】解：设半径为， 根据题意得， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点的对应点恰好落在边上，若的长为，则的长为 ． 【答案】2 【分析】连接，，由旋转可知，根据弧长公式得，得，在中，根据勾股定理得，即，即可求出． 【详解】解：如图，连接，， 由旋转可知 ∵的长为， ， ， 四边形是矩形， ，， ∴ ∴ 在中，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长的计算，矩形的性质和旋转的性质，熟记公式是解题的关键． 题型3 利用弧长公式求圆心角 【例5】如果一个扇形的半径为1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的有关计算． 根据弧长公式，即可求解． 【详解】∵弧长 ，其中 ，， ∴ ， 两边除以：， 即， 简化得， ∴ ． 故此扇形的圆心角为． 故选：C． 【例6】一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为，当重物上升时，滑轮的一条半径按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，解题的关键是理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算． 本题理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算，然后即可求解． 【详解】解：重物上升即是弧长， 所以根据弧长公式可求得旋转的度数， ， 解得． 故选：C． 【技巧归纳】把弧长、半径代入弧长公式变形求圆心角，理清公式各量关系，遇到等弧可先转化等量条件再列式计算 【变式3-1】一个扇形的半径为4，面积为，则此扇形的圆心角为 度． 【答案】22.5 【分析】本题考查扇形面积公式，直接代入扇形的面积公式求解即可． 【详解】假设扇形的圆心角为， 扇形的面积公式为 ，其中 ，， 代入得， 解得， 故答案为：22.5． 【变式3-2】折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为 度． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式，可得到一个关于n的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设圆心角为， ， 解得：， 故答案为：． 题型4 某点的弧形运动路径长度 【例7】如图，半径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，则点所对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的周长公式以及数轴的认识，关键是理解半圆滚动一周的长度等于半圆的周长．半圆从原点滚动一周，圆心走过的距离是半圆的弧长，等于圆周长的一半，根据圆的周长公式先求出半圆的弧长，除了半圆的弧长，点还经过了一段等于半圆直径的距离，此时半圆的直径为4，所以点对应的数是半圆弧长加上直径即为所求． 【详解】解：由题意知，的长度为半圆的弧长与半圆直径之和， 此时． 故选：D． 【例8】直径为1个单位长度的圆上有一点A，现在将点A与数轴上表示的点重合，并将圆沿数轴无滑动地向左滚动两周，如图，若点A到达数轴上的点B处，则点B表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴的特点及圆的周长公式，解题的关键是掌握圆的周长公式是：． 圆从原点沿数轴向左滚动两周，可知运动距离为，再根据数轴的特点即可解答． 【详解】解：直径为1个单位长度的圆从沿数轴向左滚动两周到达， ， 而点在数轴上表示的点， 点对应的数是． 故选：D 【技巧归纳】 先确定动点旋转圆心、半径与旋转角度，套用弧长公式计算单段弧长；多段圆弧则分段求解后相加，得到总运动路径长 【变式4-1】如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动不滑动，点从开始到结束，所经过路径的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为也考查了旋转的性质．点从开始到结束，所经过路径为两段弧，第一段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，第二段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，然后根据弧长公式计算． 【详解】解：为等边三角形， ， 每次旋转的度数为， 点从开始到结束，所经过路径的长度． 故答案为． 【变式4-2】如图，将半径为1、圆心角为的扇形纸片，在直线上向右作无滑动的滚动至扇形处，则顶点O经过的路线总长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是理解顶点O经过的路线可得，则顶点O经过的路线总长为三个扇形的弧长，难度一般．仔细观察顶点O经过的路线可得，顶点O经过的路线可以分为三段，分别求出三段的长，再求出其和即可． 【详解】解：顶点O经过的路线可以分为三段，当弧切直线l于点B时，有直线l，此时O点绕点B转过了； 第二段：直线l到直线l，O点绕动点转动，而这一过程中弧始终是切于直线l的，所以O与转动点的连线始终垂直直线l，所以O点在水平运动，此时O点经过的路线长为的弧长，即为的弧长； 第三段：直线l到O点落在直线l上，O点绕不动点A转过了； 所以，O点经过的路线总长； 故答案为 题型5 利用扇形面积公式求面积 【例9】如图，线段是的直径，点是圆上两点，连接，，，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由得到，，再由直径所对的圆周角是直角得到，在中，设，则，再由勾股定理列方程求解得到，再由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：， ，， 线段是的直径， ， 在中，设，则， 由于，根据勾股定理可得， ， 解得， 的半径为， 则阴影部分的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查求扇形面积，涉及圆周角定理、含的直角三角形性质、勾股定理及扇形面积公式，熟记圆周角定理、勾股定理及扇形面积公式是解决问题的关键． 【例10】如图是一把折扇示意图，扇面是由两条弧和两条线段所组成的封闭图形．已知，，，则扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积公式是解题的关键．先求出的长度，再利用扇形面积公式计算，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴扇面的面积为：； 故选：A． 【技巧归纳】 找准扇形圆心角和半径，选用对应扇形面积公式代入求值；遇到等弧转化条件，拆分拼接图形间接求解面积 【变式5-1】家具厂利用如图所示的直径为1m的圆形材料加工成一种扇形家具部件．已知扇形的圆心角，则扇形部件的面积为 ． 【答案】 【分析】先确定扇形的半径，再根据扇形面积公式进行面积计算． 【详解】解：①首先确定扇形的半径： 已知圆形材料的直径为，连接， ∵， ∴是圆的直径，即． 在中，，根据勾股定理， ∴，解得：，即扇形半径． ②计算扇形的面积： 已知圆心角，根据扇形面积公式得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算以及勾股定理的应用，解题关键是确定扇形的半径，熟练掌握扇形面积公式． 【变式5-2】如图，是的直径，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边之比”得，从而得，根据圆周角定理求出的度数，进而由扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵点O是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 题型6 求弓形的面积 【例11】如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，BC＝，则图中阴影部分的面积为(   ) A．π－8 B．16π－8 C．4π－8 D．16π－4 【答案】C 【分析】根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以得到∠BOC的值，然后根据勾股定理可以得到OB的长，由图可知S阴影＝S扇形BOC−S△BOC，然后代入数据计算即可． 【详解】解：∵∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝90°， ∵OB＝OC，OB2＋OC2＝BC2，BC＝4， ∴2OB2＝()2， 解得OB＝4， ∴S阴影＝S扇形BOC−S△BOC ＝ ＝4π−8． 故选：C． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、勾股定理、圆周角定理，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【例12】如图，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC是圆O的直径，DB平分，AC长6cm，求阴影部分的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接OD，求出，求出扇形ODC的面积，的面积，两者相减即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接OD， ∵直径AC长6cm， ∴半径为3cm，， ∵DB平分， ∴， ∴， ∴扇形ODC的面积为， 的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 【点睛】本题考查求弓形的面积，扇形面积，圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，解题的关键是求出，扇形ODC的面积，的面积． 【技巧归纳】 弓形面积用对应扇形面积加减三角形面积，分清优弧、劣弧弓形，先求圆心角与半径，代入公式计算差值即可 【变式6-1】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按上述公式计算出弧田的面积为 平方米．    【答案】10 【分析】由垂径定理知，再由勾股定理得到，求得，然后由弧田面积公式即可得出结果． 本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理解直角三角形，新定义——弧田面积公式，是解答本题的关键． 【详解】由题意得：于点D， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴弧田面积， ∴弧田的面积为10平方米． 故答案为：10． 【变式6-2】如图，已知在边长为1的小正方形的格点上，的外接圆的一部分和的边组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了网格知识，勾股定理，弓形面积的求解，取格点，则点为的外接圆的圆心，先求出，再根据求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解 ：取格点，则点为的外接圆的圆心，如图： 由网格可知，， ， ∵ ， 故答案为：． 题型7 求图形旋转后扫过的面积 【例13】如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算；旋转的性质．由于将绕点C旋转得到，可见，阴影部分面积为扇形减扇形，分别计算两扇形面积，再计算其差即可． 【详解】解：如图： ； ； 则． 故选：D． 【例14】如图，将绕点C顺时针旋转得到，已知，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形可以得出扫过的图形的面积，由旋转的性质就可以得出就可以得出扫过的图形的面积求出其值即可． 【详解】解：绕点旋转得到△， △， ，． 扫过的图形的面积， 扫过的图形的面积， 扫过的图形的面积． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键． 【技巧归纳】 先确定旋转中心、旋转半径与旋转角度，判断扫过区域为扇形或圆环部分，套用扇形面积公式分段计算再求和或作差 【变式7-1】在中，，，，将绕点C顺时针旋转到时，线段扫过的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，扇形面积，直角三角形的相关计算，找到旋转后线段扫过的图形是解题的关键．根据题意可知线段扫过的图形是由以点C为圆心的扇形面积去掉与的面积去掉以点C为圆心的扇形两部分组成，两者相加即可得解． 【详解】解：如图所示： 线段扫过的图形是由以点C为圆心的扇形面积去掉与的面积去掉以点C为圆心的扇形两部分组成， ，，， ，，， 由旋转的性质得：，，，， 设线段扫过的图形的面积为S， 则 ， 故答案为：． 【变式7-2】甲乙两幅图中，正方形边长都相等，则甲乙阴影部分的面积（    ）． A．甲图阴影大 B．乙图阴影大 C．一样大 【答案】C 【分析】本题考查不规则图形的面积，根据组合图形的关系，得出阴影部分的面积=正方形的面积－圆的面积是解决此题的关键． 甲图为正方形面积减去一个圆的面积；乙图为正方形的面积减去一个的圆和两个的圆的面积和，即减去一个圆的面积，即可解答． 【详解】解：图甲的阴影部分的面积为：正方形面积减去一个圆的面积； 图乙的阴影部分面积为：正方形的面积减去一个的圆和两个的圆的面积和，即减去一个圆的面积， 所以甲乙阴影部分的面积一样大， 故选：C． 题型8 不规则图形的面积计算 【例15】如图，是半圆O的直径，且，C为半圆上的一点，将此半圆沿所在直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，延长交于点，连接，，由折叠的性质可知，的对应点为，则，，推出，为等边三角形，再结合圆周角定理，推出，最后利用扇形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，连接，， 则， 由折叠的性质可知，的对应点为，则，， ， 是半圆O的直径，且， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 图中阴影部分的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，折叠的性质，等边三角形性质和判定，圆周角定理，扇形面积公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 【例16】如图，在中，，，，以 C 为圆心，为半径作弧，与交于点D，再以 B 为圆心，为半径作弧，与交于点E，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、扇形面积公式，由直角三角形的性质可得，求出，，再由题意可得，，再由计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∵以 C 为圆心，为半径作弧，与交于点D，再以 B 为圆心，为半径作弧，与交于点E， ∴，， ∴ ， 故选：A． 【技巧归纳】 采用割补、平移、旋转法把不规则图形转化为扇形、三角形等规则图形，分别算出面积，再通过相加或相减得出结果 【变式8-1】如图，在扇形中，，点C在上且垂直平分线段，D为垂足，以O为圆心，为半径作弧交于点E，则阴影部分面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，线段的中垂线，解直角三角形等知识，根据中垂线的性质以及解直角三角形可得，再根据扇形面积、三角形面积以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可，掌握扇形面积的计算方法以及线段中垂线的性质是正确解答的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∵是的中垂线， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【变式8-2】如图，在扇形中，，圆心角，是上的点，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理，扇形的面积，先根据圆周角定理求出，进而求出，利用阴影部分的面积等于求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积等于 ． 故答案为：． 一、单选题 1．（2026·江苏扬州·中考真题）“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定圆的半径和圆心角，利用弧长公式 进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧， 半径，圆心角， 手腕的运动路线长：． 2．（2026·广西玉林·一模）如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是 A． B． C． D．π 【答案】A 【分析】根据题意得，再由含30度角的直角三角形的性质得出．结合图形及题意得出，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵绕顶点A顺时针旋转度后得到， ∴． ∴． 3．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图1是盐城博物馆展出的战国时期的青铜剑，青铜剑被放置在一个弧形剑架上．如图2所示，剑架的弧形部分可看作一段圆弧，所在圆的圆心为点，弦的长为，过点作，垂足为点，且，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理得到，结合题意得到是等腰直角三角形，则，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：弦的长为，过点作，垂足为点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴ ． 4．（2026·河南平顶山·一模）如图，在中，，，，以为直径的半圆O交于点D，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用直角三角形的性质求出，由圆周角定理得到，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴的直径为， ∴，即的长为． 5．（2026·云南楚雄·二模）中国饮食文化源远流长，其中过桥米线是云南的地方特色美食之一．如图是某人吃完过桥米线准备喝汤的示意图，碗体部分为半圆，直径．喝汤时，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，，再根据弧长公式求解即可； 【详解】解：∵为的直径，且， ∴， ∵， ∴， ∴弧的长为． 二、填空题 6．（2026·湖南·中考真题）如图，的半径为，若它的周长等于弧的长的倍，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】根据圆的周长公式求出圆的周长，进而得到弧的长，最后利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴的周长为， ∵的周长等于弧的长的倍， ∴弧的长为， ∴阴影部分的面积． 7．（2026·北京·模拟预测）如图，内接于，，于点，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】连接，根据圆周角定理得出，利用等边对等角以及三角形内角和定理求出，利用含角的直角三角形的性质求出半径，最后利用弧长公式求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与所对的弧为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 8．（2026·河南漯河·模拟预测）如图，在中，，以为直径作半圆交于点，若点两侧的阴影部分的面积相等，则的长度为______． 【答案】 【分析】由于点两侧的阴影部分的面积相等，则它们分别加上空白部分的面积后的面积相等，即半圆的面积等于的面积，据此求解即可． 【详解】解：∵点两侧的阴影部分的面积相等， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（2026·甘肃临夏·模拟预测）设计一个商标图案如图中阴影部分，矩形中，，且，以点为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点，则商标图案的面积等于________． 【答案】 【分析】根据解答即可； 【详解】 解：在矩形中， 则， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点， ∴， ∴， ∴ ． 10．（2026·四川内江·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图的弧长为该圆锥的底面圆的周长，据此根据圆的周长公式求出的长，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：设， ∵圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴该圆锥的底面圆的周长为， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 三、解答题 11．（2026·浙江杭州·一模）如图，中，，．将绕点B顺时针旋转至位置，点A，B，D在同一直线上． (1)若，求证：． (2)在（1）的条件下，求点A经过的路径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质得，由平行线的性质得，等量代换得，进而可证； （2）先求出，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴点A经过的路径长为：． 12．（2026·江西上饶·三模）如图，在中，，点O在边上，且，以O为圆心，长为半径的半圆，交于点D，交于点F，与相切于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ∵， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，得到，证明； （2）可证明为等边三角形，则，由切于知，则可求，又已知，利用弧长公式可解题目． 【详解】（1）略 （2）解：，， ∴， 为等边三角形， ， ∵切于， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（2026·山西阳泉·三模）如图，的顶点B，C在上，边经过圆心O，与交于点D，边与相切于点B．若，，求的长．（结果保留） 【答案】 【分析】连接．根据切线的性质求得，再利用弧长公式计算即可求解． 【详解】解：如图，连接． ∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∴的长为． 14．（2026·河南驻马店·二模）【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”． 【问题解决】如图，是的“等弦圆”，是截得的三条弦． (1)求证：平分． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，由，，，可得，得出，即可得证； （2）连接，，由平分，可得，由可得，进而得出，从而得出是等腰直角三角形，可求出，最后由即可求出结果． 【详解】（1）证明：连接，，如图所示， ∵， 又，， ， ， 平分． （2）解：由（1）得平分， ∵ ， ， ， ， 连接，，如图所示， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ， ． 15．（2026·安徽阜阳·三模）如图，是等腰三角形的外接圆，，点D是上一点，点E是上一点，，且，连接． (1)如图1，求的度数． (2)如图2，当的长与的长之比为时，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平行线的性质得到，则，证明得到，则可证明得到，据此可证明是等边三角形，则．    （2）连接，设的半径为r．根据弧长公式可证明，由圆周角定理可得，则，由勾股定理可得，再由弧长公式可得答案． 【详解】（1）解：如图1，∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴．    ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． （2）解：如图2，连接，设的半径为r． ∵的长与的长之比为， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴的长为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $