广东广雅中学2025-2026学年第二学期高一数学期末质量检测试卷

2025学年第二学期高一级数学期末质量检测 命题人：荔湾校区高一数学备课组 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内； 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案； 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 2．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ） A． B． C． D． 3．已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4．已知，，为不同的直线，，，为不同的平面，则下列说法错误的是（ ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，，则，至少有一条与直线垂直 5．某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为4的直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 6．设一组样本数据，，…，的极差为1，方差为0.1，若数据，，…，的极差为2，则数据，，…，的方差为（ ） A．0.02 B．0.04 C．0.2 D．0.4 7．在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，若平面，则三棱锥与三棱柱的体积之比为（ ） A． B． C． D． 8．已知为的外心，为锐角且，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分． 9．一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球．设事件为“第一次摸出球的编号为奇数”，事件为“摸出的两个球的编号之和为5”，则（ ） A．事件与事件为互斥事件 B．事件与事件为独立事件 C． D． 10．已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若面积为，，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为直角三角形 11．正方体的棱长为2，为空间内一动点，则下列说法正确的是（ ） A．当在线段上时，三棱锥的体积为定值 B．当为中点时，过，，三点作正方体的截面，则截面的面积为5 C．当在底面内（包括边界），满足直线与面所成角为60°的点的轨迹长度为 D．若，当三棱锥体积最大时，该三棱锥外接球的表面积是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12．从小到大排列的5个数分别是1，，4，7，11，它们的40%分位数是3，则它们的平均数是______． 13．在梯形中，，，，，若在线段上运动，且，则的最小值为______． 14．如图，在中，，，，，，分别为三边中点，将，，分别沿，，向上折起，使，，重合为点，设三棱锥的外接球为球，为中点，则过点的平面被球所截得的截面面积最小值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 如图，平行四边形中，与相交于点，设向量，，且，． （1）用，表示，，． （2）若，，，求与的夹角的余弦值． 16．（本小题满分15分） 某中学举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取300人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计该校学生数学文化素养知识初赛成绩的中位数（结果保留整数）（2）若甲、乙两位同学组队进入复赛闯关，复赛共两轮答题，每轮每人各答1题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，甲、乙每轮是否答对互不影响，甲乙两轮共答对至少3题则组队闯关成功，求甲乙组队闯关成功的概率． 17．（本小题满分15分）如图1所示，在中，，，点，分别在线段，上，且，．如图2所示，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为60°，连接，． （1）求证：面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（本小题满分17分）在中，角，，的对边分别为，，，已知，为边上一点． （1）求； （2）若是的平分线，，的周长为15，求的长度； （3）若，设，求的取值范围． 19．（本小题满分17分）阅读数学材料：“离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中（）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．” 已知平面多边形的外接圆圆心为与的交点，如图①，且，将沿翻折到如图②，连接，． （1）求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）已知直线与直线所成角的余弦值为． ①求四棱锥在顶点处的离散曲率； ②设为线段上的动点（不包括端点），与平面所成角为，二面角的平面角为，其中，，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $