专题1.2 一定是直角三角形吗（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本初中数学讲义聚焦勾股数判定与勾股定理逆定理，衔接勾股定理学习，构建“由数判形”知识脉络。通过定义解析、条件归纳、倍数规律总结及判定步骤梳理，搭配即学即练与分题型示例，搭建从基础到应用的学习支架。 资料以勾股树等情境案例激发探究兴趣，培养几何直观与创新意识，通过规范判定步骤强化推理能力，结合网格、实际应用题型渗透模型意识。课中助力教师分层教学，课后练习题覆盖不同难度，帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

专题1.2 一定是直角三角形吗 教学目标 1.牢记勾股数定义与两大判定条件，能快速辨别一组数是否为标准勾股数，记住勾股数倍数规律。 2.熟记勾股定理逆定理内容，掌握由边长判断直角、锐角、钝角三角形的完整判定步骤。 3.分清勾股定理与逆定理的区别，学会数形转化，利用边长数值判断三角形形状。 教学重难点 重点： 1.掌握勾股数的判定标准，熟练运用逆定理，通过三边平方关系判断直角三角形。 2.掌握判断三角形类型的流程，对比最长边平方，区分直角、锐角、钝角三角形。 难点： 1.判定三角形时容易忽略先找最长边，随意计算平方和，导致三角形类型判断出错。 2.区分不清勾股定理与逆定理的适用场景，做题时混淆二者的已知条件与结论。 知识点01勾股数 1.定义：能作为直角三角形三边的三个正整数叫做勾股数。 2.满足条件：1.三个数都是正整数；2.两小数平方和等于最大数平方。 3.拓展：一组勾股数同乘正整数，结果仍是勾股数。 【即学即练】 1．下列各组数据中，不是勾股数的是（     ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．8，15，16 D．6，8，10 【答案】C 【详解】解：A选项，，且三个数都是正整数，是勾股数， B选项，，且三个数都是正整数，是勾股数， C选项，，，，不满足勾股数的条件，不是勾股数， D选项，，且三个数都是正整数，是勾股数. 2．下列各数中，能与，组成一组勾股数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：，且， 不是一组勾股数，该选项不合题意； B选项：，且， 不是一组勾股数，该选项不合题意； C选项：，三个数均为正整数， 是一组勾股数，该选项符合题意； D选项：，且， 不是一组勾股数，该选项不合题意． 知识点02勾股定理的逆定理 1.定义：三角形三边满足，该三角形为直角三角形。 2.作用：依靠边长数值判断三角形形状，实现由数判形。 判定步骤：①找出三边里最长边；②计算短边平方和与最长边平方并对比； ③为直角三角形；小于则钝角；大于则锐角。 【即学即练】 3．小亮在某公园里，测得一个三角形花坛的三边长分别是，，，则该花坛的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ ， ∴ 该三角形是直角三角形，长为和的边为直角边， ∴ 该花坛的面积 ． 4．如图，在中，，垂足为D，，，，求证：是直角三角形． 【答案】证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴ ∴，即是直角三角形． 【分析】 【详解】略 题型01 勾股树（数）的判定 【例1】手工课上，同学们制作直角三角形书签，需要选择三条整数长度的纸条作为三边．下列四组纸条长度中，能构成直角三角形三边的勾股数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】解：对于选项A：，故A不满足勾股数的定义； 对于选项B：，故B不满足勾股数的定义； 对于选项C：，，都不是正整数，故C不满足勾股数的定义； 对于选项D：，且，，都是正整数，满足勾股数的定义，故D正确． 【例2】勾股树是一个可以无限生长的树形图形，既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中图（1）是正方形，图（2）是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到图（3），…，则图（6）中共有________个正方形． 【答案】 【详解】解：图（1）正方形个数为1个； 图（2）的正方形增加2个， 图（3）的正方形增加个， 图（4）的正方形增加个， 图（5）的正方形增加个， 图（6）的正方形增加个， 则图（6）中共有正方形的个数为（个）． 【变式1-1】你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是否见过如图所示的树呢？它是数学家毕达哥拉斯画出的一个可以无限重复的树形图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．下列古代数学成就中，与“毕达哥拉斯树”有关的是（     ） A．天元术 B．正负术 C．勾股定理 D．杨辉三角 【答案】C 【详解】解：此图形又称为“勾股树”，利用勾股定理绘制而成． 【变式1-2】勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 【答案】6560 【详解】解：观察表格中数据可得，表格中的勾股数均满足． 已知，由勾股定理，代入得： 展开得： 整理得： 解得，则． 因此． 【变式1-3】“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，∵重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第八代勾股树中正方形的个数为________ 【答案】511 【详解】解：第一代勾股树中正方形有（个）， 第二代勾股树中正方形有（个）， 第三代勾股树中正方形有（个）， ∴第n代勾股树中正方形有（个）， 第八代勾股树中正方形有（个）． 题型02 判断三边能否构成直角三角形 【例3】将下列长度的线段首尾依次相接，不能构成直角三角形的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【详解】解：选项A：最长边为，，，，能构成直角三角形，故A不符合题意； 选项B：最长边为，，，，能构成直角三角形，故B不符合题意； 选项C：最长边为，，，，能构成直角三角形，故C不符合题意； 选项D：最长边为，，，，不满足勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故D符合题意． 【例4】已知中，、、所对边长分别为、、，若、、三边满足，试判断的形状． 【答案】 是直角三角形 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 【变式2-1】将一个直角三角形的三条边长都扩大到原来的2022倍，得到的新三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不能确定 【答案】B 【详解】解：设原直角三角形的两直角边长为、，斜边长为， 由勾股定理得， 三边扩大到原来的2022倍后，新三角形三边长为、、， ， 新三角形满足勾股定理的逆定理，新三角形为直角三角形． 【变式2-2】数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴长度为7，24，25的三根小棒构成一个直角三角形，其中长度为25的小棒是斜边； 长度为15，20，25的三根小棒构成一个直角三角形，长度为25的小棒是斜边． 符合条件的图形为选项B． 【变式2-3】如果m表示大于1的整数，，求证：以a，b，c为边的是直角三角形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴以a，b，c为边的是直角三角形． 1.先找出三条边中数值最大的边，记为最长边c。 2.计算两条短边的平方和，再算出最长边平方。 3.两者相等即为直角三角形；不等则不是。 题型03 在网格中判断直角三角形 【例5】已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 【答案】7 【分析】 【详解】解：如下图， 当为斜边即点C为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且A点为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且B点为直角顶点，则第三个点C所在位置有：，，三个． ∴能作7个为边的直角三角形． 故答案为：7． 【例6】如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【答案】/45度 【详解】解：如图，将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至， 则点的对应点为点，点的对应点为，， ， ，，， ，， 为等腰直角三角形， ． 【变式3-1】如图，每个小正方形的边长都为，的位置如图所示． (1)在图中确定点，请你连接，使； (2)在完成（1）后，在图中确定点，请你连接，使，直接写出的长_________． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】 【详解】（1）解：如图， ∵ ∴ ∴，； 故点为所求作的图形； （2）解：∵，，可确定点位置如图， ∴在中，， 故答案为：． 【变式3-2】如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上． (1)求四边形的面积； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：四边形的面积为：． （2）证明：如图，连接． ∵， ， ∴， 是直角三角形，且． 【变式3-3】如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上，则以，为边的三角形的形状为____． 【答案】直角三角形 【详解】解：由网格可得：，， ， ， 以为边的三角形的形状为直角三角形， 故答案为：直角三角形． 题型04 利用勾股定理的逆定理求解 【例7】如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接, ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ． 【例8】如图，在四边形中，，，，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明：，，． 由勾股定理，得， ，， ， 为直角三角形， (2)36 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：． 【变式4-1】如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为_________． 【答案】 【详解】解：连接， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴. 【变式4-2】如图，在四边形中，，，，，，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【详解】解：，理由如下： ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，、， ， ， ， ． 【变式4-3】如图，在外，以为边作，若，，，，求阴影部分的面积． 【答案】26 【详解】解：在 中，， 由勾股定理得： ， 在中， ， ， ， 则 ． 1.设未知线段为x，结合图形线段和差，用含x的式子表示三角形三边。 2.找到可判定直角的条件，利用逆定理列出平方相等方程。 3.解方程后舍去负数解，得到线段长度。 题型05 勾股定理逆定理的实际应用 【例9】如图所示，某小区的两个喷泉，之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点到喷泉需要铺设的管道的长； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)供水点M到喷泉A需要铺设的管道的长为； (2)解：， 理由：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的长为，的长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：供水点M到喷泉A需要铺设的管道的长为； （2）略 【例10】如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且． 设点C到的距离是h， 根据题意，得， 即， 解得， 所以点C到的距离是． 【变式5-1】如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），，两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得，间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米． (1)判断的形状并证明； (2)计算点，之间的距离． 【答案】(1)解：为直角三角形，证明如下： 米，米，米， ∴在中，，即， 为直角三角形，； (2)、间的距离为18米． 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：在中，，由勾股定理，得， ， 米， （米）， 答：池塘两端、间的距离为18米． 【变式5-2】在一条东西走向的公路一侧有一个村庄D，公路边原有两个站点M，N，其中．由于道路施工，D到M的路被阻断，现决定在公路边新建一个站点P（M、N、P在同一直线上），并新建一条路．测得千米，千米，千米． (1)是不是从村庄D到公路的最近路？请通过计算加以说明； (2)新路比原路短多少千米？ 【答案】(1)是，理由如下： ，， ， 为直角三角形，即， ， ∴是D到公路的最近路． (2)新路比原路短1千米 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：设千米，则千米． 在中，， ， 解得， ， ， （千米）； 答：新路比原路短1千米． 【变式5-3】 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 1．在中，若，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ， ∴  ， 根据勾股定理的逆定理，可知为斜边，斜边所对的角为， ∴ ． 2．下列每组数分别表示三根木棍的长度，能将这三根木棍首尾连接摆成直角三角形的是（     ） A．1，2，3 B．3，4，6 C．3，3，5 D．5，12，13 【答案】D 【详解】解：A，最长边为，，，，不能构成直角三角形； B，最长边为，，，，不能构成直角三角形； C，最长边为，，，，不能构成直角三角形； D，最长边为，，故，能构成直角三角形． 3．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】 【详解】如图所示， ∴这样的点C共有5个． 故选：A． 4．如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 【答案】A 【分析】 【详解】解：如图所示： ，， ， 在中，，，，则，，， ， 即是直角三角形，且， 则， 在中，，，，则的面积为， 故选：A． 5．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵三角形三条边长之比为 ∴设三边长分别为，， ∵三角形周长为 ∴ 解得 ∴三角形三边长分别为，， ∵ ∴该三角形是直角三角形，两条直角边为和 ∴面积为． 6．如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， 为两个直角三角形的斜边， 故选：B． 7．如图，在的正方形网格中标出了和，则_____． 【答案】 【详解】解：如图所示，作，连接，    则， 设每个小正方形的边长为， 则，，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 8．已知中，，则最长边上的高为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴为直角三角形，且为斜边， 设边上的高为h，则， 即， 即最长边上的高为． 故答案为：． 9．如图，在四边形中，，．E是的中点，F是上一点，且，则________． 【答案】/90度 【详解】解：设． E是的中点，， ，，． 在中，由勾股定理可得． 同理可得，， ， 为直角三角形，． 故答案为： 10．如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为直角三角形，理由如下： 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴是直角三角形． 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴ 在中，， ∴ ∴的长为； （2）略 11．如图，在中，，D为上一点，连接，若，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积 【答案】(1)直角三角形；理由见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 在中，，， 则，即 因此是直角三角形； （2）解：由（1）可知 在中，， 根据勾股定理得， 即 解得 因此 答：的面积为． 12．如图，在四边形中，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)15 (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 13．如图，在中，，，，E为边上一点．把沿折叠，使落在直线上，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵把沿折叠，使落在直线上， ∴，，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 14．学习了勾股数后，我们知道，，，…都是勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：，；，；，；…分析其中的规律，解答下列问题． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________． (2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为（，且n为整数），另外两个数分别为__________，__________时，则这三个数为勾股数． 请你补充完整猜想并验证猜想． 【答案】(1)（10，24，26） (2)，， 证明：∵，， ∴， ∴是勾股数． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 15．直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中为斜边，为斜边上的高． (1)求证：以，，的长为边，构成的三角形是直角三角形； (2)求证： 【答案】(1)证明：∵，，h这三个数中一定最大，， 又∵ ，， ∴ ， ∴， 根据勾股定理的逆定理， 即以，，h的长为边的三条线段能组成直角三角形； (2)证明：∵直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中为斜边，为斜边上的高， ∴即，， ∵左边右边 ∴． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 16．如图，已知在四边形中，，．求出四边形的面积． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， ∵，且， ∴由勾股定理得， ∵，且， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积为． 17．如图，在四边形中，，则的度数为 ___________，四边形的面积为 ___________． 【答案】 / 【详解】解：连接， ∵， ∴，， 在中，， ，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴的度数为； 四边形的面积的面积的面积 ， ∴四边形的面积为． 故答案为：， 18．如图，某人从地到地共有三条路可选，第一条路是从到，为10米，第二条路是从经过到达地，为8米，为6米，第三条路是从经过地到地共行走26米，若、、刚好在一条直线上，求的长． 【答案】9 【详解】解：∵为10米，为8米，为6米， ∴， ∴， ∴， ∵第三条路是从经过地到地共行走26米， ∴，即， ∵在中，， ∴，即，解得：． ∴的长为9． 19．如图①，在中，为边上的高． (1)若，，，的形状为______． (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足时，是直角三角形，请你验证小明的发现是否正确？ (3)如图②是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图③所示的图形，已知斜梁．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁，请问该房梁是否安全？请直接写出答案． 【答案】(1)直角三角形 (2)正确 (3)不安全 【分析】 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：不安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ，， ， 不是直角三角形， ∴这个房梁不安全． 20．已知、、为直角三角形三边，且为斜边，为斜边上的高． (1)下列说法正确的是_________． A．、、能组成三角形；B．、、能组成直角三角形三边； C．、、能组成直角三角形三边；D．、、能组成直角三角形三边． (2)请选择一个正确选项进行证明． 【答案】(1)C； (2)见详解． 【分析】 【详解】（1）解：A、，不符合三角形的两边之和大于第三边； 不能组成三角形，错误； B 、，， 由题意得， 、、不能组成直角三角形三边，错误； C、、、为直角三角形三边，且为斜边，为斜边上的高， ，且， 又， 将，，代入得： ， 根据勾股定理逆定理，、、能组成直角三角形三边，正确； D、，，二者不相等， 同理证，，可知均不满足勾股定理逆定理， 、、不能组成直角三角形三边，错误； （2）证明C选项： 、、为直角三角形三边，且为斜边，为斜边上的高， ，且， 又， 将，，代入得：， 根据勾股定理逆定理，、、能组成直角三角形三边． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 一定是直角三角形吗 教学目标 1.牢记勾股数定义与两大判定条件，能快速辨别一组数是否为标准勾股数，记住勾股数倍数规律。 2.熟记勾股定理逆定理内容，掌握由边长判断直角、锐角、钝角三角形的完整判定步骤。 3.分清勾股定理与逆定理的区别，学会数形转化，利用边长数值判断三角形形状。 教学重难点 重点： 1.掌握勾股数的判定标准，熟练运用逆定理，通过三边平方关系判断直角三角形。 2.掌握判断三角形类型的流程，对比最长边平方，区分直角、锐角、钝角三角形。 难点： 1.判定三角形时容易忽略先找最长边，随意计算平方和，导致三角形类型判断出错。 2.区分不清勾股定理与逆定理的适用场景，做题时混淆二者的已知条件与结论。 知识点01勾股数 1.定义：能作为直角三角形三边的三个正整数叫做勾股数。 2.满足条件：1.三个数都是正整数；2.两小数平方和等于最大数平方。 3.拓展：一组勾股数同乘正整数，结果仍是勾股数。 【即学即练】 1．下列各组数据中，不是勾股数的是（     ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．8，15，16 D．6，8，10 2．下列各数中，能与，组成一组勾股数的是（     ） A． B． C． D． 知识点02勾股定理的逆定理 1.定义：三角形三边满足，该三角形为直角三角形。 2.作用：依靠边长数值判断三角形形状，实现由数判形。 判定步骤：①找出三边里最长边；②计算短边平方和与最长边平方并对比； ③为直角三角形；小于则钝角；大于则锐角。 【即学即练】 3．小亮在某公园里，测得一个三角形花坛的三边长分别是，，，则该花坛的面积是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，垂足为D，，，，求证：是直角三角形． 题型01 勾股树（数）的判定 【例1】手工课上，同学们制作直角三角形书签，需要选择三条整数长度的纸条作为三边．下列四组纸条长度中，能构成直角三角形三边的勾股数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例2】勾股树是一个可以无限生长的树形图形，既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中图（1）是正方形，图（2）是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到图（3），…，则图（6）中共有________个正方形． 【变式1-1】你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是否见过如图所示的树呢？它是数学家毕达哥拉斯画出的一个可以无限重复的树形图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．下列古代数学成就中，与“毕达哥拉斯树”有关的是（     ） A．天元术 B．正负术 C．勾股定理 D．杨辉三角 【变式1-2】勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 【变式1-3】“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，∵重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第八代勾股树中正方形的个数为________ 题型02 判断三边能否构成直角三角形 【例3】将下列长度的线段首尾依次相接，不能构成直角三角形的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【例4】已知中，、、所对边长分别为、、，若、、三边满足，试判断的形状． 【变式2-1】将一个直角三角形的三条边长都扩大到原来的2022倍，得到的新三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不能确定 【变式2-2】数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】如果m表示大于1的整数，，求证：以a，b，c为边的是直角三角形． 1.先找出三条边中数值最大的边，记为最长边c。 2.计算两条短边的平方和，再算出最长边平方。 3.两者相等即为直角三角形；不等则不是。 题型03 在网格中判断直角三角形 【例5】已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 【例6】如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【变式3-1】如图，每个小正方形的边长都为，的位置如图所示． (1)在图中确定点，请你连接，使； (2)在完成（1）后，在图中确定点，请你连接，使，直接写出的长_________． 【变式3-2】如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上． (1)求四边形的面积； (2)求证：． 【变式3-3】如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上，则以，为边的三角形的形状为____． 题型04 利用勾股定理的逆定理求解 【例7】如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（    ） A． B．8 C． D． 【例8】如图，在四边形中，，，，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【变式4-1】如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为_________． 【变式4-2】如图，在四边形中，，，，，，判断与的位置关系，并说明理由． 【变式4-3】如图，在外，以为边作，若，，，，求阴影部分的面积． 1.设未知线段为x，结合图形线段和差，用含x的式子表示三角形三边。 2.找到可判定直角的条件，利用逆定理列出平方相等方程。 3.解方程后舍去负数解，得到线段长度。 题型05 勾股定理逆定理的实际应用 【例9】如图所示，某小区的两个喷泉，之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点到喷泉需要铺设的管道的长； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【例10】如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（     ）． A． B． C． D． 【变式5-1】如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），，两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得，间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米． (1)判断的形状并证明； (2)计算点，之间的距离． 【变式5-2】在一条东西走向的公路一侧有一个村庄D，公路边原有两个站点M，N，其中．由于道路施工，D到M的路被阻断，现决定在公路边新建一个站点P（M、N、P在同一直线上），并新建一条路．测得千米，千米，千米． (1)是不是从村庄D到公路的最近路？请通过计算加以说明； (2)新路比原路短多少千米？ 【变式5-3】 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 1．在中，若，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列每组数分别表示三根木棍的长度，能将这三根木棍首尾连接摆成直角三角形的是（     ） A．1，2，3 B．3，4，6 C．3，3，5 D．5，12，13 3．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 5．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在的正方形网格中标出了和，则_____． 8．已知中，，则最长边上的高为______． 9．如图，在四边形中，，．E是的中点，F是上一点，且，则________． 10．如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 11．如图，在中，，D为上一点，连接，若，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积 12．如图，在四边形中，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 13．如图，在中，，，，E为边上一点．把沿折叠，使落在直线上，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 14．学习了勾股数后，我们知道，，，…都是勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：，；，；，；…分析其中的规律，解答下列问题． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________． (2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为（，且n为整数），另外两个数分别为__________，__________时，则这三个数为勾股数． 请你补充完整猜想并验证猜想． 15．直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中为斜边，为斜边上的高． (1)求证：以，，的长为边，构成的三角形是直角三角形； (2)求证： 16．如图，已知在四边形中，，．求出四边形的面积． 17．如图，在四边形中，，则的度数为 ___________，四边形的面积为 ___________． 18．如图，某人从地到地共有三条路可选，第一条路是从到，为10米，第二条路是从经过到达地，为8米，为6米，第三条路是从经过地到地共行走26米，若、、刚好在一条直线上，求的长． 19．如图①，在中，为边上的高． (1)若，，，的形状为______． (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足时，是直角三角形，请你验证小明的发现是否正确？ (3)如图②是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图③所示的图形，已知斜梁．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁，请问该房梁是否安全？请直接写出答案． 20．已知、、为直角三角形三边，且为斜边，为斜边上的高． (1)下列说法正确的是_________． A．、、能组成三角形；B．、、能组成直角三角形三边； C．、、能组成直角三角形三边；D．、、能组成直角三角形三边． (2)请选择一个正确选项进行证明． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $