专题1.2 一定是直角三角形吗（举一反三讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦直角三角形的判别条件及勾股数核心知识点，系统梳理从定义（三边平方关系）到判定方法（角度互余、边长平方和），再到勾股数识别与规律，延伸至网格、代数关系等情境应用，构建完整学习支架。 资料亮点在于11种题型分层设计，结合网格计算、实际零件判定等实例，通过变式训练培养推理能力与几何直观，课中辅助教师精准教学，课后助力学生强化练习，提升应用意识与问题解决能力。

专题1.2 一定是直角三角形吗（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 已知三边长判定直角三角形】 1 【题型2 已知三边比例关系判定直角三角形】 3 【题型3 判断一组数是否为勾股数】 5 【题型4 利用勾股数规律求未知数】 7 【题型5 网格中计算边长并判定直角】 10 【题型6 网格中找点构成直角三角形】 14 【题型8 勾股定理及其逆定理的综合判定零件或实际图形的角度】 22 【题型9 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 26 【题型10 已知边的代数关系判定直角】 32 【题型11 结合非负数性质求边并判定直角】 33 考点1 直角三角形的判别条件 知识点1 直角三角形的判别条件 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 【题型1 已知三边长判定直角三角形】 【例1】（25-26八年级下·吉林松原·期中）以下列各组数为三边长的三角形是直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．5，12，15 【答案】C 【分析】本题利用勾股定理的逆定理判断，分别计算每组中两短边的平方和，与最长边的平方比较，若相等则可构成直角三角形． 【详解】解：A ， ，不能构成直角三角形，不符合题意； B ， ，不能构成直角三角形，不符合题意； C ， ，能构成直角三角形，符合题意； D ， ，不能构成直角三角形，不符合题意． 【变式1-1】（25-26八年级下·新疆阿克苏·期中）一个三角形的三边长分别是厘米，厘米，厘米，这个三角形___________（填“是”或“不是”）直角三角形． 【答案】不是 【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，否则不是直角三角形，验证三边长是否满足该关系，即可判断． 【详解】解：由题意可知三角形三边长分别为厘米，厘米，厘米，其中最长边为厘米， 计算两条较短边的平方和：， 最长边的平方为：， ∵， 即， 故这个三角形不是直角三角形． 【变式1-2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）在中，，则的度数为____． 【答案】/90度 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，算术平方根，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【变式1-3】（25-26八年级下·山东日照·期中）若的三边长分别是a，b，c，则下列条件中能判定不是直角三角形的个数有（） ①；②，，；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，对四个条件逐一判断即可得到结果． 【详解】解：①∵，， ，得，因此是直角三角形． ②，， ，符合勾股定理逆定理，因此是直角三角形． ③，设三个角分别为，，， 则，解得， 因此三个角分别为，，，无直角，因此不是直角三角形． ④，整理得， 符合勾股定理逆定理，因此是直角三角形． 综上，能判定不是直角三角形的个数为个． 【题型2 已知三边比例关系判定直角三角形】 【例2】满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（    ） A．三内角之比为 B．三边长的比例为 C．三边长的平方的比例为 D．三内角之比为 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，根据三角形内角和定理即可判断A、D；若三角形中，两较小边的长的平方和等于最长边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断B、C． 【详解】解：∵三内角之比为，三内角之和为， ∴三内角为，，，则该三角形是直角三角形，故A不符合要求； 不妨设三边长分别为x，，， ∴， ∴边长的比例为的三角形是直角三角形，故B不符合要求； ∵三边长的平方之比为，则设三边长的平方分别为， ∵， ∴三边长的平方的比例为的三角形是直角三角形，故C不符合要求； ∵三内角之比为，三内角之和为， ∴三内角为，，，三角形不是直角三角形，故D符合要求； 故选：D． 【变式2-1】一个三角形三边长的比是，这个三角形_____________（填“是”或“不是”）直角三角形． 【答案】是 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理进行解答即可． 【详解】解：∵三角形三边长的比是， ∴设三角形三边长分别为，，，， 又∵， ∴此三角形是直角三角形． 故答案为：是． 【变式2-2】（2024·福建南平·模拟预测）一个三角形三边的比是，那么这个三角形是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆运用，根据三边之比，设三边长分别为：，通过计算可得，即可得出这个三角形为直角三角形． 【详解】解：设三边长分别为：， 这个三角形是直角三角形， 故选：C． 【变式2-3】如果线段能构成直角三角形，则它的比可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理，得：要能够组成一个直角三角形，则三边应满足：两条较小边的平方和等于最大边的平方． 【详解】解：A、12＋22＝5≠42，故不是直角三角形．故选项错误； B、52＋122＝169＝132，故是直角三角形，故选项正确； C、12＋32＝10≠52，故不是直角三角形．故选项错误； D、32＋42＝9＋16＝25≠72，故不是直角三角形．故选项错误． 故选：B． 【点睛】考查了勾股定理的逆定理，要求能够熟练运用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是否为直角三角形． 考点2 勾股数的概念与识别 知识点2 勾股数 1. 勾股数 定义 满足的三个正整数，称为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数 ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 常见形式 ①，，（大于1的全部数）； ②，，（n为正整数）等 2. 判断勾股数的方法步骤: (1)确定三个是正整数； (2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和； (3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是． 【题型3 判断一组数是否为勾股数】 【例3】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A． B． C．、、 D．、、 【答案】A 【分析】勾股数需满足两个条件：一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：、，且，，均为正整数，这组数是勾股数，符合题意； 、，这组数不是勾股数，不符合题意； 、不是正整数，不满足勾股数定义，这组数不是勾股数，不符合题意； 、，，都不是正整数，不满足勾股数定义，这组数不是勾股数，不符合题意． 【变式3-1】（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 【答案】25 【分析】分两种情况讨论，为最长边和为最长边，结合勾股定理计算后筛选符合条件的的值． 【详解】解：勾股数是满足勾股定理的三个正整数，分两种情况讨论： 当为最长边时，根据勾股定理得： 由，得 ，是正整数，符合要求； 当为最长边时，根据勾股定理得： 因为不是完全平方数，不是正整数，不符合勾股数定义，舍去． 【变式3-2】（25-26七年级上·山东东营·期中）下列各组数中：①6，8，；②；③1，2，3；④；是勾股数的有__________．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查勾股数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此判断即可． 【详解】解：①，是勾股数，符合题意； ②，是勾股数，符合题意； ③，不是勾股数，不符合题意； ④不是正整数，不是勾股数，不符合题意； 故答案为：①②． 【变式3-3】（25-26八年级下·广西百色·期中）如图是数学交流群中的一个截图片段，则回答正确的是（    ） A．嘉嘉 B．琪琪 C．亮亮 D．明明 【答案】C 【分析】利用勾股定理逐一判断即可． 【详解】解：A：，不是勾股数，不符合题意； B：，不是勾股数，不符合题意； C：，是勾股数，符合题意； D：，不是勾股数，不符合题意； 【题型4 利用勾股数规律求未知数】 【例4】《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（　　） A．16 B．17 C．25 D．64 【答案】B 【分析】直接根据题意分别得出由8生成的勾股数”的“弦数”进而得出答案． 【详解】解：∵由8生成的勾股数”的“弦数”记为A， ∴（）2＝16，16﹣1＝15，16+1＝17， 故A＝17， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股数问题．能理解题中的计算方式，并能依此计算是解决此题的关键．需注意在计算“由 m 生成的勾股数”时，m分奇偶计算方式不同． 【变式4-1】如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（    ） a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 24 10 26 … … … x 14 y A．67 B．34 C．98 D．73 【答案】C 【分析】依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值． 【详解】解：由题可得，，，， ，，，（且n为正整数） 当时， 解得：， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数． 【变式4-2】勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为_____. 【答案】（11，60，61） 【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，进而得出（11，60，61）． 【详解】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），可得 第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）； 第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61）． 故答案为：（11，60，61）． 【点睛】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理． 【变式4-3】（24-25八年级上·江苏常州·期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________； (2)若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________． 【答案】(1)11，60，61 (2)和 【分析】此题考查了勾股数之间的关系，解题的关键是根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可． （1）分析所给四组的勾股数∶3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41，可得下一组勾股数：11、60、61； （2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一． 【详解】（1）解：∵， ∴下一组勾股数为：11、60、61； 故答案为：11，60，61． （2）后两个数表示为和， ∵， ， ∴， 又∵，且为奇数， ∴由n，，三个数组成的数是勾股数． 故答案为：和． 考点3 网格中的直角三角形判定 【题型5 网格中计算边长并判定直角】 【例5】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则____________． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出各边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而求出的度数． 【详解】解：连接，如图． 由题意得，，， ，． 是等腰直角三角形． ． 【点睛】本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的判定，解题关键是通过勾股定理求出三角形三边长度，结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，进而得出角的度数． 【变式5-1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在的正方形网格中标出了和，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可得，然后利用平行线的性质可得，，从而利用等量代换可得，即可解答． 【详解】解：如图：连接CE， 由图可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式5-2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握两个定理． 利用勾股定理求出每条边的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：如图，连接， 借助网格和勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∴直角三角形有3个， 故选：B． 【变式5-3】（24-25八年级上·北京·期末）数学小组开展了“在正方形网格中画三角形”的探究活动．具体要求如下：已知，，，点、、都在网格的格点上，，，都不在网格线上． (1)在图、图的正方形网格中分别画出符合题意的（所画的两个三角形不全等）； (2)说明图所画为什么是直角三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． （1）利用网格特征画出图形即可； （2）设小正方形的边长为，利用网格特征，根据勾股定理分别求出，，的长，利用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：设小正方形的边长为， 如图中，，，， ∴， ∴是直角三角形； 如图中，，，， ∴， ∴是直角三角形． 【题型6 网格中找点构成直角三角形】 【例6】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全面是解题的关键． 分别以中A，B，C三个点为直角三角形的直角顶点，分三种情况分别讨论即可． 【详解】解：如下图， 当为斜边即点C为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且A点为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且B点为直角顶点，则第三个点C所在位置有：，，三个． ∴能作7个为边的直角三角形． 故答案为：7． 【变式6-1】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）在下列网格中，小正方形的边长为1，仅有无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图（1）网格中，以为斜边，作等腰直角三角形，且顶点在格点上． (2)在图（2）网格中，作等腰直角三角形，使得，且顶点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）取格点，连接即可，由勾股定理可求，则，则，故为所求；同理为所求； （2）取格点，连接即可，由勾股定理可求，则，则，故为所求；同理为所求． 【详解】（1）解：如图所示，为所求， （2）解：如图所示，为所求， ． 【变式6-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点是格点． (1)在网格中找一格点E，使得； (2)作格点，使得，； (3)在（2）的条件下，_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据勾股定理求出距离点为的格点即可； （2）根据勾股定理求出距离点为且该点距离点为的格点即可； （3）连接，由网格特点可得，由勾股定理可得，证明为等腰直角三角形，得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图：点、、即为所求， ； （2）解：如图：即为所求， ； （3）解：如图：连接， ， 由网格特点可得：， 由勾股定理可得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【变式6-3】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，在每个边长都为1的小正方形组成的网格中，点A、B、P均为网格的格点． (1)线段的长度等于__________； (2)以点A、B、P为顶点的面积为__________； (3)仅用无刻度直尺在线段上作一个点Q，使得点Q满足． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，网格中求三角形面积，熟知勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用割补法求解即可； （3）取格点C、D，连接交于Q，点Q即为所求． 【详解】（1）解：由网格的特点和勾股定理可得； （2）解：； （3）解：如图所示，取格点C、D，连接交于Q，点Q即为所求； 可证明是等腰直角三角形，则， 可证明，则可证明． 【题型7 勾股定理及其逆定理的综合求不规则四边形的面积】考点4 勾股定理及其逆定理的综合应用 【例7】如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和． 【详解】解：连接，如图， ， ， 米，米， 米， 米，米， ， 为直角三角形， 这块草坪的面积， 故选：A． 【变式7-1】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，，，，，，则四边形的面积是______． 【答案】24 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据四边形的面积求解即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ， 是直角三角形，且， 四边形的面积． 【变式7-2】学校有一块四边形的空地，之间有一条垂直于的小路，如图． 学校计划在这块空地上种植花卉． 已知：米，米，米，米．    (1)这块空地的面积是多少平方米？（小路的面积忽略不计） (2)顶点到小路的距离是多少米？ 【答案】(1)36平方米 (2)2.4米 【分析】(1)先由勾股定理求出米，再用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后用空地的面积计算即可； (2) 过点D作于E，利用等积法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ 由勾股定理，得(米)， ∵米，米 ∴ ∵ ∴ ∴，即是直角三角形， ∴空地的面积 （平方米）， 答：空地的面积为36平方米． （2）解：如图，过点D作于E，    由（1）知是直角三角形， ∴， ∴(米)， 答：顶点到小路的距离是2.4米 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，三角形的面积，点到直线的距离，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【变式7-3】（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，． 问题解决： (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m； (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求． 【答案】(1)15 (2)设计方案不符合规划要求 【分析】（1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理逆定理可得，可求出绿化区的面积，即可求解． 【详解】（1）解：因为，，， 所以． 答：这条直道的长度为． （2）解：因为，，， 所以． 所以． 所以绿化区的面积为． ． 因为， 所以设计方案不符合规划要求． 【题型8 勾股定理及其逆定理的综合判定零件或实际图形的角度】 【例8】（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中和都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：）如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 【答案】这个零件不符合要求，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断、的形状，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 【详解】解：这个零件不符合要求，理由如下： 由图可知：，，，，， ，， 不是直角三角形、是直角三角形， ，， 故这个零件不符合要求． 【变式8-1】如图为甲工厂生产的某零件结构简化示意图．在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D，E，．根据安全标准，该零件需满足． (1)请判断该零件是否符合标准，并说明理由： (2)若测量出，求的长． 【答案】(1)该零件符合安全标准 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理的应用，线段垂直平分线的性质，灵活应用勾股定理及逆定理是解决问题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，结合已知条件得到，根据勾股定理的逆定理即可证得结论； （2）在中，根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：该零件符合安全标准，理由如下： 连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴该零件符合安全标准； （2）解：在中，， ∴， 解得：． 【变式8-2】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）图是某品牌婴儿车，图为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】符合安全标准，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． 通过勾股定理求出的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直即可． 【详解】解：该婴儿车符合安全标准，理由： ∵， ∴在中，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：该车是否符合安全标准． 【变式8-3】公元3世纪，古人就通过拼图验证了勾股定理：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式，还探索验证了勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足，则这个三角形是直角三角形． (1)小明发现证明勾股定理的新方法：如图1，在正方形边上取点B，连接，得到，三边分别为a，b，c，剪下把它拼接到的位置，如图2所示，请利用面积不变证明勾股定理． (2)一个零件的形状如3，按规定这个零件中和都应是直角，小明测得这个零件各边尺寸（单位：）如图③所示，这个零件符合要求吗？ 【答案】(1)见解析； (2)这个零件不符合要求． 【分析】本题考查勾股定理的证明、勾股定理的逆定理的应用，利用等面积法证明勾股定理是解答的关键． （1）连接，由题意可得 ，，证明为等腰直角三角形，得到四边形的面积，由正方形的面积与四边形的面积相等得到，进而整理可得结论； （2）连接，由已知推导出，根据勾股定理逆定理得到和不可能都是直角，进而可得结论． 【详解】（1）解：如图2，连接， ∵， ∴正方形的面积为， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴四边形的面积为：， ∵正方形的面积与四边形的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：这个零件不符合要求． 理由如下：连接，如图， 由勾股定理逆定理知，只有当时，和都是直角， ∵，，， ∴， 所以和不可能都是直角． 因此，这个零件不符合要求． 【题型9 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例9】如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动_____秒时，与的边垂直． 【答案】或或． 【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可． 【详解】解：设运动时间为 则， 当时，如图1所示， 过点作于点 ， 中有， ， 中，， 中，， ， ， 解得：； 当时，如图2所示， 由可知， 又 ； 当时，如图3所示， 过点作于点 由知， 中有， 中有， ， 又 当点移动秒或秒或秒时，与边垂直． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键． 【变式9-1】如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________． 【答案】7或17 【分析】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可． 【详解】解：当E在线段AD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF， ∵∠AEF=90°， ∴∠AEC=∠FEC==135°， ∴∠CED=45°， ∴CD=ED=5， ∴AE=AD-ED=12-5=7； 当E在线段BD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF， ∵∠AEF=90°， ∴∠CEF=∠CEA=45°， ∴ED=CD=5， ∴AE=AD+DE=17， 故答案为：7或17． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题． 【变式9-2】如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°时，分别画出符合条件的图形，即可解答． 【详解】解：分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°如图 符合条件的格点C的个数是6个 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90°等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式9-3】如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形． 【答案】 或5 4或10 【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可． 【详解】解：如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得：t=10． 故答案为：或5；4或10． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 考点5 利用代数式或方程判定直角三角形 【题型10 已知边的代数关系判定直角】 【例10】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）已知a，b，c是的三边长，且满足关系，则的形状是______． 【答案】 等腰直角三角形 【分析】本题考查了绝对值非负性，利用算术平方根的非负性解题，判断三边能否构成直角三角形，等腰三角形的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据非负数的性质，两个非负数的和为零，则每个部分都为零，得出三边关系，再作出判断． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵a，b，c是的三边长， ∴满足勾股定理且有两边相等， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形． 【变式10-1】一个三角形三边满足，则这个三角形是______三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，完全平方公式． 先根据完全平方公式将原式化为，进而根据勾股定理的逆定理作答即可． 【详解】∵ ∴， 即， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 【变式10-2】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在中，，如果满足，则的形状是_______． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由，推出，根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：， ， 即， 是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【变式10-3】（24-25八年级上·四川内江·期末）若三角形的三边长、、满足，则这个三角形的面积是__________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：， ， ， 三角形是直角三角形． ∵， ∴， ∴这个三角形的面积是， 故答案为：． 【题型11 结合非负数性质求边并判定直角】 【例11】（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）已知的三边分别为a，b，c．且a，b满足，．则______． 【答案】84 【分析】本题考查了二次根式的非负性，勾股定理的逆定理，先根据二次根式的非负性得，，再结合，得出是直角三角形，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 则， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：84 【变式11-1】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）若的三边长为、、，并且满足，则的形状是______． 【答案】直角三角形 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了非负数的性质，解本题的关键是求出的值． 根据非负数的性质解得各边的长，再根据勾股定理的逆定理判定是否直角三角形． 【详解】解：为直角三角形，理由如下： 由题意得， 所以， 因为， 所以， ∴为直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【变式11-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知三角形三边长为a，b，c，如果，则是______三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了算术平方根、绝对值的非负性，勾股逆定理，先分别化简，得出，结合，得出是直角三角形，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， 即， ∴是直角三角形． 故答案为：直角 【变式11-3】（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若且，则面积为_____． 【答案】 【分析】先用配方法对变形配方，从而求得b，c的值，再将其代入，求出a，再由勾股定理的判定定理得出为直角三角形，进而求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ 解得， ∵， ∴， 解得或（舍去） ∵， ∴， ∴是以1和为直角边的直角三角形， ∴的面积为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 一定是直角三角形吗（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 已知三边长判定直角三角形】 1 【题型2 已知三边比例关系判定直角三角形】 2 【题型3 判断一组数是否为勾股数】 3 【题型4 利用勾股数规律求未知数】 3 【题型5 网格中计算边长并判定直角】 4 【题型6 网格中找点构成直角三角形】 6 【题型8 勾股定理及其逆定理的综合判定零件或实际图形的角度】 8 【题型9 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 9 【题型10 已知边的代数关系判定直角】 10 【题型11 结合非负数性质求边并判定直角】 11 知识点1 直角三角形的判别条件考点1 直角三角形的判别条件 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 【题型1 已知三边长判定直角三角形】 【例1】（25-26八年级下·吉林松原·期中）以下列各组数为三边长的三角形是直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．5，12，15 【变式1-1】（25-26八年级下·新疆阿克苏·期中）一个三角形的三边长分别是厘米，厘米，厘米，这个三角形___________（填“是”或“不是”）直角三角形． 【变式1-2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）在中，，则的度数为____． 【变式1-3】（25-26八年级下·山东日照·期中）若的三边长分别是a，b，c，则下列条件中能判定不是直角三角形的个数有（） ①；②，，；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 已知三边比例关系判定直角三角形】 【例2】满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（    ） A．三内角之比为 B．三边长的比例为 C．三边长的平方的比例为 D．三内角之比为 【变式2-1】一个三角形三边长的比是，这个三角形_____________（填“是”或“不是”）直角三角形． 【变式2-2】（2024·福建南平·模拟预测）一个三角形三边的比是，那么这个三角形是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【变式2-3】如果线段能构成直角三角形，则它的比可能是（   ） A． B． C． D． 考点2 勾股数的概念与识别 知识点2 勾股数 1. 勾股数 定义 满足的三个正整数，称为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数 ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 常见形式 ①，，（大于1的全部数）； ②，，（n为正整数）等 2. 判断勾股数的方法步骤: (1)确定三个是正整数； (2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和； (3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是． 【题型3 判断一组数是否为勾股数】 【例3】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A． B． C．、、 D．、、 【变式3-1】（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 【变式3-2】（25-26七年级上·山东东营·期中）下列各组数中：①6，8，；②；③1，2，3；④；是勾股数的有__________．（填序号） 【变式3-3】（25-26八年级下·广西百色·期中）如图是数学交流群中的一个截图片段，则回答正确的是（    ） A．嘉嘉 B．琪琪 C．亮亮 D．明明 【题型4 利用勾股数规律求未知数】 【例4】《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（　　） A．16 B．17 C．25 D．64 【变式4-1】如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（    ） a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 24 10 26 … … … x 14 y A．67 B．34 C．98 D．73 【变式4-2】勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为_____. 【变式4-3】（24-25八年级上·江苏常州·期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________； (2)若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________． 考点3 网格中的直角三角形判定 【题型5 网格中计算边长并判定直角】 【例5】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则____________． 【变式5-1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在的正方形网格中标出了和，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式5-3】（24-25八年级上·北京·期末）数学小组开展了“在正方形网格中画三角形”的探究活动．具体要求如下：已知，，，点、、都在网格的格点上，，，都不在网格线上． (1)在图、图的正方形网格中分别画出符合题意的（所画的两个三角形不全等）； (2)说明图所画为什么是直角三角形？ 【题型6 网格中找点构成直角三角形】 【例6】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 【变式6-1】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）在下列网格中，小正方形的边长为1，仅有无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图（1）网格中，以为斜边，作等腰直角三角形，且顶点在格点上． (2)在图（2）网格中，作等腰直角三角形，使得，且顶点在格点上． 【变式6-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点是格点． (1)在网格中找一格点E，使得； (2)作格点，使得，； (3)在（2）的条件下，_______． 【变式6-3】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，在每个边长都为1的小正方形组成的网格中，点A、B、P均为网格的格点． (1)线段的长度等于__________； (2)以点A、B、P为顶点的面积为__________； (3)仅用无刻度直尺在线段上作一个点Q，使得点Q满足． 【题型7 勾股定理及其逆定理的综合求不规则四边形的面积】考点4 勾股定理及其逆定理的综合应用 【例7】如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，，，，，，则四边形的面积是______． 【变式7-2】学校有一块四边形的空地，之间有一条垂直于的小路，如图． 学校计划在这块空地上种植花卉． 已知：米，米，米，米．    (1)这块空地的面积是多少平方米？（小路的面积忽略不计） (2)顶点到小路的距离是多少米？ 【变式7-3】（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，． 问题解决： (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m； (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求． 【题型8 勾股定理及其逆定理的综合判定零件或实际图形的角度】 【例8】（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中和都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：）如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 【变式8-1】如图为甲工厂生产的某零件结构简化示意图．在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D，E，．根据安全标准，该零件需满足． (1)请判断该零件是否符合标准，并说明理由： (2)若测量出，求的长． 【变式8-2】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）图是某品牌婴儿车，图为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 【变式8-3】公元3世纪，古人就通过拼图验证了勾股定理：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式，还探索验证了勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足，则这个三角形是直角三角形． (1)小明发现证明勾股定理的新方法：如图1，在正方形边上取点B，连接，得到，三边分别为a，b，c，剪下把它拼接到的位置，如图2所示，请利用面积不变证明勾股定理． (2)一个零件的形状如3，按规定这个零件中和都应是直角，小明测得这个零件各边尺寸（单位：）如图③所示，这个零件符合要求吗？ 【题型9 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例9】如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动_____秒时，与的边垂直． 【变式9-1】如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________． 【变式9-2】如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式9-3】如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形． 考点5 利用代数式或方程判定直角三角形 【题型10 已知边的代数关系判定直角】 【例10】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）已知a，b，c是的三边长，且满足关系，则的形状是______． 【变式10-1】一个三角形三边满足，则这个三角形是______三角形． 【变式10-2】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在中，，如果满足，则的形状是_______． 【变式10-3】（24-25八年级上·四川内江·期末）若三角形的三边长、、满足，则这个三角形的面积是__________． 【题型11 结合非负数性质求边并判定直角】 【例11】（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）已知的三边分别为a，b，c．且a，b满足，．则______． 【变式11-1】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）若的三边长为、、，并且满足，则的形状是______． 【变式11-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知三角形三边长为a，b，c，如果，则是______三角形． 【变式11-3】（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若且，则面积为_____． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $