重难点02 角平分线问题（暑假预习讲义）新八年级数学新教材人教版

重难点02 角平分线问题 内容导航 01 技巧总结→ 定类型·抓技巧：精准定向 02 题型分类→ 梳理题型，归类破题提效 题型1 角度计算问题 题型2 线段相等证明 题型3 构造全等/等腰三角形求边长 Ⅰ:角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， Ⅱ：角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。 但同学们也需要注意，在解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全等来得到结论。 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 Ⅲ：角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 题型1 角度计算问题 1．如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的角度为（　　） A． B． C． D． 2．如图，点E在延长线上，交于点F，且，，比的余角小，P为线段上的一动点，Q为上一点，且满足，为的平分线，则下列结论： ①；②平分；③；④的角度为定值，其中正确的结论有________． 3．阅读以下材料，并解决问题 定义：如图1，射线OC在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． (1)以下说法正确的是____________：（请填出所有正确的序号） ①一个角的平分线是这个角的“巧分线”； ②一个角的“巧分线”是这个角的平分线； ③一个角的“巧分线”的个数不唯一． (2)如图2，已知，射线是的“巧分线”，且．求作的巧分线（不与重合），并直接用含a的代数式表示．（要求：尺规作图，保留作图痕迹．不写作法）． 4．已知：如图，在中，，．        (1)求作的平分线，交于点P．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的角度？ 5．在人教版八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述：在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图1． (1)知识应用：小风想要做一个如图2所示的“筝形”的风筝，他想先固定中间的“十字架”，再确定四周． ①从数学的角度看，小风确定“十字架”和时应满足的条件是 ②借助图2以及①中所写条件，证明四边形是个“筝形” (2)知识拓展：如图3所示，如果D为内一点，平分，且，试证明：． 6．如图，，M是平面内一点，连接，的平分线与的平分线交于点N．若，则的度数为（     ） A．50° B．60° C．65° D．70° 7．如图，已知中，平分是边上的高，相交于点，求的度数． 8．如图，在中，，于点D，平分，相交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：． 9．如图，在中，，点在右侧，连接、，设，过作于点，点在内部，且平分，延长至点，使，则可表示为（     ） A． B． C． D． 10．如图，，分别是的高和角平分线． (1)若，，求和的度数； (2)若，，且，直接写出和的度数（用含，的代数式表示）． 题型2 利用三角形的高求解 11．如图，在中，是的角平分线，是的中线，过点分别作，，垂足分别为点，，若的面积为，的长为，则的长为___________． 12．以下是小明证明“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的过程．请按照要求补全图形和证明过程． 已知：如图，是边上一点，过点作的垂线． (1)尺规作图：在上截取；作的平分线交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)补全以下证明过程． 证明：， ． 平分， ① ． 在和中， ． ③ ，． 所以，点到，的距离相等． 13．人教版教材八年级数学上册给出了作一个角的角平分线的方法，内容如下： 已知：． 求作的平分线． 作法：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点． （3）画射线，射线即为所求． 根据以上作图过程，我们来证明射线是的平分线． 证明：根据已知条件和作图过程可知，在和中， ，（推理依据：②） ，（推理依据：③） 射线即为的平分线． 由以上的作图和证明过程，回答下列问题： 问题一：证明过程中的①处应填_____； 问题二：证明过程中的②处应选（    ）； ．．．． 问题三：证明过程中的③处应填_____． 14．小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形”并给出了如下证明．   已知：如图，在中，平分   求证：是等腰三角形．   证明：…… (1)请完成证明过程； (2)小明继续研究，将猜想中的“高线”换成_______，发现命题的结论也正确，请完成填空，并对小明继续研究得到的结论给予证明． 15．证明命题：等腰三角形两个底角的角平分线相等． （根据命题，写出已知、求证，并完成证明过程） 已知： 求证： 证明： 16．已知，如图，在中，D、E分别是边、延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 要求：在横线“______”上填证明步骤，在括号“（    ）”中填证明依据 证明：过点P分别作，，． ∵平分 （已知），且，， ∴______（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分，且______， ∴， ∴______（等量代换）． 又∵，， ∴点P在的平分线上（    ） ∴平分． 17．阅读以下材料，并完成相应的任务： 角平分线分线段成比例定理的认识定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，即：如图①，在中，平分，则 综合与实践课上，“奋斗”小组利用不同的方法验证出该定理的正确性． 方法一：证明：如图②，过点作，交线段于点      （依据1） 平分     （依据2）     即     方法二：证明：如图③，过点作，交的延长线于点……．    任务： (1)填空：方法1中的依据1指的是______________，依据2指的是______________ (2)“方法二”给出了这个定理的部分证明过程，请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分； (3)如图④，已知在中，，，，平分，请你直接写出线段的长． 18． （1）【感知】：如图1，点P是角平分线上一点，过点P作于点C，于点D，证明（不需要证明）． （2）【探究】如图2，在中，，是的平分线，点E在边上，． ①证明：； ②请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，的外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请直接写出的度数． 19．如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； 小明是这样思考的：过点作于点，作于点，四边形中两对角为90°，则另外两对角互补，则可证明，从而得证，即可得证结论．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 20．问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图①，中，平分，垂直平分．试判断与的数量关系； 探究展示：智慧小组发现，与互为补角，并展示了如下的证明方法： 证明：如图②，作交的延长线于点F，于点G， 平分，，（依据1） 垂直平分，，（依据2） ……    反思交流： (1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ (2)请按照上面的证明思路，完整写出该题证明过程． 题型3 利用三角形的角平分线求解 21．如图，D、E、F分别是三边上的点，平分，，，E是的中点，若的面积为，则的面积为_____； 22．如图，在中，，在和上分别截取，使，分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于点．若，则的面积为（   ）． A．10 B．9 C．8 D．7 23．如图，是的一条角平分线，，垂足为．是上一点，且．若，则的长为________． 24．如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D； (2)应用与计算：若，，，求点D到的距离． 25．如图，已知，． (1)尺规作图：作的平分线，交于D．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在第（1）题的前提下，若，，求的长． 26．如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是__________． 27．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的面积为___________． 28．如图，在中，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点P，射线交于点D，若，，则的面积为 _____ ． 29．如图，是的平分线，点在上，于点，且，点是射线上的一个动点，则线段的最小值是______． 30．如图，在中，和的平分线相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点02 角平分线问题 内容导航 01 技巧总结→ 定类型·抓技巧：精准定向 02 题型分类→ 梳理题型，归类破题提效 题型1 角度计算问题 题型2 线段相等证明 题型3 构造全等/等腰三角形求边长 Ⅰ:角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。 但同学们也需要注意，在解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全等来得到结论。 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 题型1 角度计算问题 1．如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的角度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ， 根据尺规作图过程，可知为的角平分线， ， 故， 故选：A． 2．如图，点E在延长线上，交于点F，且，，比的余角小，P为线段上的一动点，Q为上一点，且满足，为的平分线，则下列结论： ①；②平分；③；④的角度为定值，其中正确的结论有________． 【答案】①②③④ 【详解】解：①∵， ∴， ， ∵， , ∴， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴ ∵， ∴， ∴平分， 故②正确，符合题意； ③∵， ， ∵比的余角小， 则， ， ， ∴, 故③正确，符合题意； ④∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； 故答案为：①②③④． 3．阅读以下材料，并解决问题 定义：如图1，射线OC在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． (1)以下说法正确的是____________：（请填出所有正确的序号） ①一个角的平分线是这个角的“巧分线”； ②一个角的“巧分线”是这个角的平分线； ③一个角的“巧分线”的个数不唯一． (2)如图2，已知，射线是的“巧分线”，且．求作的巧分线（不与重合），并直接用含a的代数式表示．（要求：尺规作图，保留作图痕迹．不写作法）． 【答案】(1)①③(2)图见解析, 或 【详解】（1）解：①角的平分线会将角分成两个相等的角，此时“一个角（原角）是另一个角（平分后的角）的两倍”，符合“巧分线”定义，故①正确； ②“巧分线”只需满足一个角是另一个角的两倍，不一定平分角（如被分成和），故②错误； ③一个角的“巧分线”可能有多种分法（如的角可以分成和，或和），个数不唯一，故③正确． 故答案为：①③； （2）解：分两种情况： ①如图，是的一条巧分线，此时是的角平分线， ∵ ∴， ∵射线是的“巧分线”， ∴， ∴， ∴； ②如图，是的一条巧分线，此时是的角平分线， ∵ ∴， ∵射线是的“巧分线”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 4．已知：如图，在中，，．        (1)求作的平分线，交于点P．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的角度？ 【答案】(1) 如图所示：即为所求； (2) 【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出； （2）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出的度数，利用角平分线的定义进行计算得出答案． 【详解】（1）解：以点为圆心，适当长为半径画弧交，于两点，再分别以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接点与该点所在直线交于点P，即为所求； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵平分， ∴． 5．在人教版八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述：在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图1． (1)知识应用：小风想要做一个如图2所示的“筝形”的风筝，他想先固定中间的“十字架”，再确定四周． ①从数学的角度看，小风确定“十字架”和时应满足的条件是 ②借助图2以及①中所写条件，证明四边形是个“筝形” (2)知识拓展：如图3所示，如果D为内一点，平分，且，试证明：． 【答案】(1)①垂直平分；②见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定方法，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质是解决此题关键． （1）①根据题意直接确定和时应满足的条件，即可；②根据线段垂直平分线的性质，可得，即可解答； （2）过点D分别作，垂足分别为E，F，根据角平分线的性质可得，从而证明，，进而得到，，即可解答． 【详解】（1）解：①解：小风确定“十字架”和时应满足的条件是垂直平分； 故答案为：垂直平分 ②证明：∵垂直平分， ∴， ∴四边形是个“筝形”； （2）解：如图，过点D分别作，垂足分别为E，F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． 6．如图，，M是平面内一点，连接，的平分线与的平分线交于点N．若，则的度数为（     ） A．50° B．60° C．65° D．70° 【答案】B 【分析】根据平行线的性质与三角形内角和为求出对应角的度数，再根据等量代换求解． 【详解】解：设与相交于点， ∵的平分线与的平分线交于点N， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 7．如图，已知中，平分是边上的高，相交于点，求的度数． 【答案】 【分析】先求解，，进一步利用三角形的内角和定理与邻补角的性质求解. 【详解】解：在中，平分， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在中，，于点D，平分，相交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）求出的度数，再由垂线的定义和三角形内角和定理求出的度数，接着根据角平分线的定义求出的度数即可得到答案； （2）由角平分线的定义可得，由直角三角形两锐角互余得到，，则可证明，再由，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即； （2）略 9．如图，在中，，点在右侧，连接、，设，过作于点，点在内部，且平分，延长至点，使，则可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设 ，利用“8字模型”表示出 ，进而表示出 和 ，最后利用三角形内角和及对顶角相等建立与的关系即可. 【详解】解：设， 平分， ， 设与交于点，在和中，， ， ， ， ， ， ， 共线， ， 设交于点 ， 在中，， 又， 在中，， ， . 10．如图，，分别是的高和角平分线． (1)若，，求和的度数； (2)若，，且，直接写出和的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先利用三角形内角和求出，结合角平分线定义得到，再用内角和算出；根据高线得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出，最后作差得到； （2）先用三角形内角和表示出，结合角平分线得到，代入内角和公式化简求出；再由高线推出，通过角度相减化简得到的代数式． 【详解】（1）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ； （2）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ． 题型2 利用三角形的高求解 11．如图，在中，是的角平分线，是的中线，过点分别作，，垂足分别为点，，若的面积为，的长为，则的长为___________． 【答案】2 【分析】根据是的中线，可得的面积是面积的两倍，再利用的面积求出，然后根据角平分线的性质得． 【详解】解：∵的面积为，是的中线， ∴的面积为4， ∴， ∵的长为， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴． 12．以下是小明证明“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的过程．请按照要求补全图形和证明过程． 已知：如图，是边上一点，过点作的垂线． (1)尺规作图：在上截取；作的平分线交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)补全以下证明过程． 证明：， ． 平分， ① ． 在和中， ． ③ ，． 所以，点到，的距离相等． 【答案】(1)作图如图所示： (2)①，②，③ 【分析】（1）截取：以点为圆心，线段的长度为半径画弧，弧线与边的交点即为点，此时；作的平分线：以点为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交射线、射线于两个点；分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距一半的长度为半径画弧，两弧在的内部交于一点；过点和这个交点作射线，该射线即为的平分线，它与直线的交点即为点；用直尺连接，保留所有作图的圆弧痕迹即可； （2）①处：已知平分，根据角平分线的定义（角平分线将一个角分成两个相等的角）填空；②处：题目标注全等判定依据为（边角边：两边及其夹角对应相等，两个三角形全等），已知夹角，公共边，还缺少一组夹边相等；结合作图条件；③处：根据全等三角形的对应边相等、对应角相等，由可推出对应边相等． 13．人教版教材八年级数学上册给出了作一个角的角平分线的方法，内容如下： 已知：． 求作的平分线． 作法：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点． （3）画射线，射线即为所求． 根据以上作图过程，我们来证明射线是的平分线． 证明：根据已知条件和作图过程可知，在和中， ，（推理依据：②） ，（推理依据：③） 射线即为的平分线． 由以上的作图和证明过程，回答下列问题： 问题一：证明过程中的①处应填_____； 问题二：证明过程中的②处应选（    ）； ．．．． 问题三：证明过程中的③处应填_____． 【答案】问题一：；问题二：；问题三：全等三角形的对应角相等． 【分析】本题考查的是作已知角的角平分线，全等三角形的判定与性质，掌握“全等三角形的判定方法”是解本题的关键．由作图的方法可得作图依据；由，，，再利用可得，从而可得答案． 【详解】证明：根据已知条件和作图过程可知，在和中， ，（推理依据：） ，（推理依据：全等三角形的对应角相等） 射线即为的平分线． ∴问题一：证明过程中的①处应填； 问题二：证明过程中的②处应选（）； ． 问题三：证明过程中的③处应填:全等三角形的对应角相等 故答案为：；；全等三角形的对应角相等． 14．小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形”并给出了如下证明．   已知：如图，在中，平分   求证：是等腰三角形．   证明：…… (1)请完成证明过程； (2)小明继续研究，将猜想中的“高线”换成_______，发现命题的结论也正确，请完成填空，并对小明继续研究得到的结论给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)中线，见解析 【分析】本题考查了关于等腰三角形“三线合一”性质的证明，利用全等三角形进行证明是解题关键． （1）证即可； （2）可过点D作于点E，于点F．证；也可延长至点E，使，连接．证； 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ = 90°． 在和中， ∴； ∴，是等腰三角形． （2）解：中线． 方法1： 如图1，过点D作于点E，于点F． ∵ 平分， ∴，． ∵ D是中点， ∴ ． ∴； ∴ ， ∴是等腰三角形． 方法2： 如图2，延长至点E，使，连接． ∵ D是中点， ∴ ． 在和中， ∴； ∴ ． ∵ 平分， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴是等腰三角形． 15．证明命题：等腰三角形两个底角的角平分线相等． （根据命题，写出已知、求证，并完成证明过程） 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用，命题证明类问题；难点是写出已知和求证．先确定命题的题设和结论，据此画图用数学符号语言表示，再利用角平分线的性质及三角形全等进行证明． 【详解】解：已知：如图，在中，，，是的角平分线． 求证：． 证明：∵，，是的角平分线． ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 16．已知，如图，在中，D、E分别是边、延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 要求：在横线“______”上填证明步骤，在括号“（    ）”中填证明依据 证明：过点P分别作，，． ∵平分 （已知），且，， ∴______（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分，且______， ∴， ∴______（等量代换）． 又∵，， ∴点P在的平分线上（    ） ∴平分． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质和判定方法，进行作答即可． 【详解】证明：过点P分别作，，． ∵平分（已知），且，， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分，且，， ∴， ∴（等量代换）． 又∵，， ∴点P在的平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上） ∴平分． 17．阅读以下材料，并完成相应的任务： 角平分线分线段成比例定理的认识定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，即：如图①，在中，平分，则 综合与实践课上，“奋斗”小组利用不同的方法验证出该定理的正确性． 方法一：证明：如图②，过点作，交线段于点      （依据1） 平分     （依据2）     即     方法二：证明：如图③，过点作，交的延长线于点……．    任务： (1)填空：方法1中的依据1指的是______________，依据2指的是______________ (2)“方法二”给出了这个定理的部分证明过程，请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分； (3)如图④，已知在中，，，，平分，请你直接写出线段的长． 【答案】(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；等角对等边 (2) ， ，，， 平分， ， ， ， ． (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定，角平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据题意，得到，，由此证明，故依据1指的是：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；过点作于点，通过证明，得到，故依据2指的是：等角对等边，由此得到答案． （2）过点作，交的延长线于点，得到，，，由角平分线的性质得到，由此得到证明． （3）由已知得，再由角平分线的性质，得到，从而得到，再由勾股定理得到，由此得到答案． 【详解】（1）根据题意得： ， ，， ， 依据1指的是：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似； 如图，过点作于点，    在和中， ， ， 依据2指的是：等角对等边， 故答案为：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；等角对等边． （2）略 （3）由已知得：在中，，，， ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，，，， ， ． 18． （1）【感知】：如图1，点P是角平分线上一点，过点P作于点C，于点D，证明（不需要证明）． （2）【探究】如图2，在中，，是的平分线，点E在边上，． ①证明：； ②请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，的外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请直接写出的度数． 【答案】（2）①见解析；②，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （2）①过D作于F，则；证即可； ②根据推出，再证，得，即可； （3）过P作交延长线于H，于G，于K，由题意得，，推出，得出平分，即可求解； 【详解】（2）①证明：过D作于F，如图： ∵是的平分线，， ∴， ∵，且． ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：之间的数量关系为，理由如下： 由①知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：过P作交延长线于H，于G，于K，如图： ∵平分 ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； 小明是这样思考的：过点作于点，作于点，四边形中两对角为90°，则另外两对角互补，则可证明，从而得证，即可得证结论．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，理由见详解 (2)，理由见详解 (3)，理由见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平分，，结合角平分线的性质可以得到，再根据四边形的内角和结合等角互换得到，即可证明进而得到； （2）（3）首先均构造辅助线形成直角三角形，进而同（1）的步骤结合已知条件证明进而得到即可． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，作于点E，作于点F， ∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴； （3）解：如图，作于点E，作于点F， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 20．问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图①，中，平分，垂直平分．试判断与的数量关系； 探究展示：智慧小组发现，与互为补角，并展示了如下的证明方法： 证明：如图②，作交的延长线于点F，于点G， 平分，，（依据1） 垂直平分，，（依据2） ……    反思交流： (1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ (2)请按照上面的证明思路，完整写出该题证明过程． 【答案】(1)依据1：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；依据2：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等 (2)详见解析 【分析】（1）根据角平分线和线段垂直平分线的性质即可求解； （2）证即可． 【详解】（1）解：依据1：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 依据2：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等 （2）解：图②中作交延长线交于点F． 于点G， 平分，， 垂直平分，， ，， ，， ， ， ， ， ∴与互为补角 题型3 利用三角形的角平分线求解 21．如图，D、E、F分别是三边上的点，平分，，，E是的中点，若的面积为，则的面积为_____； 【答案】 【分析】如图：过点D分别作于G， 于H，然后根据角平分线的性质可得，再根据三角形面积公式，即可得出；利用三角形中线的性质可得，再证明，则，最后根据的面积为即可解答． 【详解】解：如图：过点D分别作于G， 于H， ∵平分， ∴，， ∵，，， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 22．如图，在中，，在和上分别截取，使，分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于点．若，则的面积为（   ）． A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】由作图步骤可知，是的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边距离相等．过作，则；的面积可拆分为与面积之和，分别用底、和高、计算相加即可． 【详解】解：过点作于． 由尺规作图过程可得：平分， ，，根据角平分线性质： ． 的面积， ， ， ． 23．如图，是的一条角平分线，，垂足为．是上一点，且．若，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据角平分线的性质得到，再证明即可求解． 【详解】解：∵是直角三角形， ∴． ∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 24．如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D； (2)应用与计算：若，，，求点D到的距离． 【答案】(1)如图，即为所求， (2)3 【分析】（1）利用尺规作图的基本方法，作的角平分线． （2） 利用角平分线的性质，得点到的距离等于，再通过面积法列方程求解． 【详解】（1）解：以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在内部交于一点，作射线，交于点，即为所求． （2）解：过点作于点， 平分，，， ， 设， ， ， 即， ， 解得， 点到的距离为． 25．如图，已知，． (1)尺规作图：作的平分线，交于D．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在第（1）题的前提下，若，，求的长． 【答案】(1)的平分线如图所示： (2)3 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法和步骤解答即可； （2）作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式求出即可. 【详解】（1）略； （2）解：作于点E，如图， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴. 26．如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是__________． 【答案】 【分析】过点分别作、的垂线，垂足为、，由角平分线的性质可得，从而得到，则，由中线的性质可得． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，垂足为、， ∵是的平分线，且，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 27．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的面积为___________． 【答案】7 【分析】过点作，由题意可得，然后进行求解即可． 【详解】解：过点作交于点E，如图所示， 由题可知，平分， 又， ∴， ∴． 28．如图，在中，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点P，射线交于点D，若，，则的面积为 _____ ． 【答案】6 【分析】过D作于E，根据角平分线的性质和三角形的面积即可得到结论． 【详解】解：过D作于E，    由题可知平分， ∵，， ∴ ， ∵， ∴． 29．如图，是的平分线，点在上，于点，且，点是射线上的一个动点，则线段的最小值是______． 【答案】 【分析】利用垂线段最短和角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解． 【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段的长度最短， ∴过点作，线段的最小值为， ∵是的平分线，点在上，，， ∴． 30．如图，在中，和的平分线相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解和的关系，进而判断①；根据得，根据角平分线和三角形内角和定理得，在上取一点H，使，利用证明可得，利用可证明得，进而可判断②；作于H，于M，根据题意得，根据，利用三角形面积即可判断③，即可得． 【详解】解：∵和的平分线，相交于点O， ∴，， ∴ ，故①正确； ∵， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，在上取一点H，使， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图所示，作于H，于M， ∵和的平分线相交于点O， ∴点O在的平分线上， ∴， ∵， ∴ ，故③正确； 综上，其中正确的有①②③共个． 2 / 14 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