重难点01 与三角形有关的线段问题（暑假预习讲义）新八年级数学新教材人教版

重难点01 与三角形有关的线段问题 内容导航 01 技巧总结→ 定类型·抓技巧：精准定向 02 题型分类→ 梳理题型，归类破题提效 题型1 利用三角形的中线求长度或面积 题型2 利用三角形的高求解 题型3 利用三角形的角平分线求解 Ⅰ：三角形中线模型 核心性质 1.中线平分对边：若AD是△ABC中线，则BD=DC=1/2BC 2.中线等分面积：S△ABD=S△ACD=1/2S△ABC​ 3.重心分中线2:1：三条中线交点为重心，重心到顶点距离是到对边中点的2倍 经典题型模型 1.边长计算模型已知两边 + 中线长，求第三边；常作倍长中线构造全等三角形（倍长中线模型）。例：AD为中线，延长AD至E使DE=AD，证△ABD≅△ECD，转移边长。 2.面积分割模型单中线分等面积；多条中线分割出 6 块面积相等小三角形；结合等高三角形面积比等于底之比解题。 解题思路 求长度→倍长中线造全等；求面积→直接用中线等分面积。 Ⅱ：三角形的高模型 核心性质 1.高垂直对应底边：AH⊥BC，∠AHB=∠AHC=90∘ 2.面积通用公式：底高，同一三角形不同底高乘积相等 3.高的位置：锐角三角形三高在内部；直角三角形两条直角边为高；钝角三角形两条高在外部 经典题型模型 1.等面积转换模型已知两边及一条高，求另一边上的高，利用底高底高列等式计算。 2.直角双高模型（Rt△）Rt△ABC，∠C=90∘，CD⊥AB，结论：AC⋅BC=AB⋅CD；子母相似三角形，线段比例可直接套用。 3.钝角三角形外高模型高落在边延长线上，计算边长需用线段和差，注意垂直直角条件。 解题思路 求线段长→等面积法；求角度→直角互余倒角。 Ⅲ：三角形角平分线模型 核心性质 1.平分内角：AD平分∠BAC，则∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC 2.角平分线距离相等：平分线上点到角两边垂线段长度相等 3.角平分线定理：DC/BD=AC/AB​ 经典题型模型 1.距离相等模型过平分线上一点作两边垂线，两条垂线段相等，用于线段等量代换、面积计算。 2.角平分线 + 平行线等腰模型角平分线 + 一组平行线，可构造等腰三角形，实现边、角互推。 3.双角平分线角度模型 ①两内角平分线夹角：∠P=90∘+1/2∠A ②一内一外角平分线夹角：∠P=1/2∠A 解题思路 求线段→角平分线定理 / 等距代换；求角度→套用双分角固定结论。 题型1 利用三角形的中线求长度或面积 1．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 3．如图，在中，分别是边上的中线和高．，，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．若是的中线，下列结论错误的是（   ） A． B． C．点D平分 D． 5．如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．如图，为的中线，为的中线，若的面积为，，则中边上的高是（     ） A．3 B． C．4 D． 8．如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，的面积是6，则的长为（） A．3 B．4 C．6 D．12 9．如图，在中，分别为的中点．若的面积为，则的面积为(     ) A． B． C． D． 10．如图，，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型2 利用三角形的高求解 11．如图，在等腰中，，过点作，交的延长线于点，且，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 12．如图，在中，为边上的中线，．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 13．如图，的面积为30，，E是的中点，与相交于点P，那么四边形的面积为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 14．如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 15．如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 16．如图，在三角形中，边上的高，若点M在边上移动，则的最小值为（　　） A． B． C．4 D．5 17．如图，在四边形中，，点，分别在边，上，，，分别记四边形，四边形的面积为，．若，，则，的长分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 18．如图，在中，，P为边上一动点（不与A，B重合），于E，于F，连接，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的大小 C．的周长 D．的面积 19．如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，则下列说法错误的个数有（　　） ①点到的距离等于． ②点到直线的距离等于．③点到直线的距离等于． ④点到的距离等于 A．个 B．个 C．个 D．个 20．如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 题型3 利用三角形的角平分线求解 21．如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 22．如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的面积为（     ）． A．20 B．12 C．10 D．6 23．如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为，，则线段的长不可能是（     ）． A． B． C． D． 24．在中，，是上一点，平分．若，，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 25．如图，已知平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 26．如图，在四边形中，，，分别平分，，过点作，分别交，于点，．若，的面积为12，则的长为（     ） A．8 B．10 C．12 D．18 27．如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 28．如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 29．如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 30．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点． 则为（     ） A． B． C． D． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点01 与三角形有关的线段问题 内容导航 01 技巧总结→ 定类型·抓技巧：精准定向 02 题型分类→ 梳理题型，归类破题提效 题型1 利用三角形的中线求长度或面积 题型2 利用三角形的高求解 题型3 利用三角形的角平分线求解 Ⅰ：三角形中线模型 核心性质 1.中线平分对边：若AD是△ABC中线，则BD=DC=1/2BC 2.中线等分面积：S△ABD=S△ACD=1/2S△ABC​ 3.重心分中线2:1：三条中线交点为重心，重心到顶点距离是到对边中点的2倍 经典题型模型 1.边长计算模型已知两边 + 中线长，求第三边；常作倍长中线构造全等三角形（倍长中线模型）。例：AD为中线，延长AD至E使DE=AD，证△ABD≅△ECD，转移边长。 2.面积分割模型单中线分等面积；多条中线分割出 6 块面积相等小三角形；结合等高三角形面积比等于底之比解题。 解题思路 求长度→倍长中线造全等；求面积→直接用中线等分面积。 Ⅱ：三角形的高模型 核心性质 1.高垂直对应底边：AH⊥BC，∠AHB=∠AHC=90∘ 2.面积通用公式：底高，同一三角形不同底高乘积相等 3.高的位置：锐角三角形三高在内部；直角三角形两条直角边为高；钝角三角形两条高在外部 经典题型模型 1.等面积转换模型已知两边及一条高，求另一边上的高，利用底高底高列等式计算。 2.直角双高模型（Rt△）Rt△ABC，∠C=90∘，CD⊥AB，结论：AC⋅BC=AB⋅CD；子母相似三角形，线段比例可直接套用。 3.钝角三角形外高模型高落在边延长线上，计算边长需用线段和差，注意垂直直角条件。 解题思路 求线段长→等面积法；求角度→直角互余倒角。 Ⅲ：三角形角平分线模型 核心性质 1.平分内角：AD平分∠BAC，则∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC 2.角平分线距离相等：平分线上点到角两边垂线段长度相等 3.角平分线定理：DC/BD=AC/AB​ 经典题型模型 1.距离相等模型过平分线上一点作两边垂线，两条垂线段相等，用于线段等量代换、面积计算。 2.角平分线 + 平行线等腰模型角平分线 + 一组平行线，可构造等腰三角形，实现边、角互推。 3.双角平分线角度模型 ①两内角平分线夹角：∠P=90∘+1/2∠A ②一内一外角平分线夹角：∠P=1/2∠A 解题思路 求线段→角平分线定理 / 等距代换；求角度→套用双分角固定结论。 题型1 利用三角形的中线求长度或面积 1．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：， ， ∵是中线， ． 2．如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴ ∵的面积为24， ∴， ∵为的中点， ∴ ∴． 3．如图，在中，分别是边上的中线和高．，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式求得，然后根据三角形中线的性质得到即可． 【详解】解：，， ， 是边上的中线， ． 4．若是的中线，下列结论错误的是（   ） A． B． C．点D平分 D． 【答案】A 【详解】解：∵ 是 的中线， ∴ D是的中点，即点D平分， 可得， 是中线无法推出，因此A结论错误． 5．如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过的面积和已知的高，利用面积公式求出的长度，再根据中线性质得到，进而计算出的长． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，解得． 又∵是的中线， ∴． 6．如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】点，是线段的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出，，最后便可以求出的面积． 【详解】解：∵点，是线段的三等分点， ∴， ∴ 同理， ∴ ， ∵， ∴． 7．如图，为的中线，为的中线，若的面积为，，则中边上的高是（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有，过点E作，利用面积公式即可求得答案． 【详解】解：过点E作交于点F，如下图， ∵为的中线，为的中线， ∴，， ∴， ∵的面积为30，， ∴， 解得， 即中边上的高为3． 8．如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，的面积是6，则的长为（） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质求出的面积，再利用三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴， ∴． 9．如图，在中，分别为的中点．若的面积为，则的面积为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形求解即可． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴是的中线，是的中线， ∴， ． 10．如图，，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质求出的面积，再根据面积公式求出即可． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∵， 即， ∴． 题型2 利用三角形的高求解 11．如图，在等腰中，，过点作，交的延长线于点，且，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可通过连接，利用三角形面积的和差关系，结合等腰三角形的性质，推导出与的等量关系，进而求出的值． 【详解】解：连接， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 12．如图，在中，为边上的中线，．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质可得，再结合直角三角形面积公式，代入与的面积，进而求出垂线段的长度． 【详解】解：为边上的中线， ， ， ， ． 13．如图，的面积为30，，E是的中点，与相交于点P，那么四边形的面积为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】连接，设的面积是，的面积是，根据，为的中点，得的面积是，的面积是，进而得到的面积是，再根据的面积与的面积相等，得，解得，再根据的面积是30即可求得、的值，从而求解． 【详解】解：连接，如图， 设的面积是，的面积是． ，为的中点， 的面积是，的面积是， ∴的面积是， 又， 的面积是， 的面积是， ∵为的中点， 解得， 又的面积为， 解得， ∴， ∴四边形的面积为． 14．如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴． 15．如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用等面积法，求出之间的关系，并设值，再利用已知求出的长度，套用三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 设，则， ∵， ∴，解得，， ． 16．如图，在三角形中，边上的高，若点M在边上移动，则的最小值为（　　） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据 “垂线段最短”，当垂直于时，的长度最短．此时可利用三角形面积的两种表示方法来计算的长度即可． 【详解】解：根据垂线段最短可知，当垂直于时，的长度最短， ∵， ∴， 解得． 17．如图，在四边形中，，点，分别在边，上，，，分别记四边形，四边形的面积为，．若，，则，的长分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】设梯形的高为h，根据梯形面积公式表示出和，利用建立关于和的方程，结合求解即可． 【详解】解：连接，，如图所示： 设四边形的高为h， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴， ， ， ∴， ， ∵， ∴， 整理得：， 即， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴． 18．如图，在中，，P为边上一动点（不与A，B重合），于E，于F，连接，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的大小 C．的周长 D．的面积 【答案】B 【分析】过B作，与的延长线交于D，连接，利用等积法即可得出结论． 【详解】解：过B作，与的延长线交于D，连接， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴的大小为定值．其余选项均不能得到是定值. 19．如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，则下列说法错误的个数有（　　） ①点到的距离等于． ②点到直线的距离等于．③点到直线的距离等于． ④点到的距离等于 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离． 【详解】解：因为， 所以点到的距离等于线段的长度，即点到的距离等于． ①错误． 因为， 所以点到直线的距离等于线段的长度，即点到直线的距离等于． ②正确． 因为， 所以点到直线距离等于线段的长度，即点到直线距离等于． ③正确． 如图所示，过点作的垂线，交于点． 点到的距离等于线段的长度． 因为， 所以． ④错误． 综上所述，说法错误的为①④，共个． 故选：B 20．如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的高线、角平分线、中线的定义判断即可． 【详解】解：∵是高线， ∴，故选项A正确； ∵是角平分线， ∴，故选项B正确； ∵是中线， ∴，故选项C正确； 无法证明，故选项D错误． 题型3 利用三角形的角平分线求解 21．如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出，从而求出的长． 【详解】解：∵是的角平分线， 且，， ∴， ∵， ∴． 22．如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的面积为（     ）． A．20 B．12 C．10 D．6 【答案】C 【分析】如图：过D作于F，利用角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积关系以及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过D作于F， ∵是的角平分线，，垂足为， ∴， ∴的面积为． 23．如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为，，则线段的长不可能是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，利用三角形的面积公式求出的长，根据垂线段最短得到时，最短，此时，进行判断即可． 【详解】解：过点作， 则：， ， 点为直线上的一个动点， 当时，最短， 是的平分线， 当时，， 线段的长不可能是4． 24．在中，，是上一点，平分．若，，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图， 则有的长为点到的距离， ∵， ∴， ∵平分，且，， ∴， ∴点到的距离是 ． 25．如图，已知平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，进而求出的最小值． 【详解】解：如图，当时，线段的长度取得最小值， 平分，，， ． 26．如图，在四边形中，，，分别平分，，过点作，分别交，于点，．若，的面积为12，则的长为（     ） A．8 B．10 C．12 D．18 【答案】A 【分析】过点P作于H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，再根据三角形的面积公式得，求出，即可求的长． 【详解】解：如图，过点P作于H， ∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∵的面积为12，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 27．如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，利用角平分线的性质得出，再根据即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 28．如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵平分，，， ∴． 29．如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】过点作，利用角平分线的性质，证得和，根据等量代换进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得． 30．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点． 则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本作图得到平分，所以． 【详解】解：由作法得平分， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $