重难点05 垂直平分线问题（暑假预习讲义）新八年级数学新教材人教版

重难点05 垂直平分线 内容导航 01 技巧总结→ 定类型·抓技巧：精准定向 02 题型分类→ 梳理题型，归类破题提效 题型1 利用垂直平分线性质求线段长度 题型2 利用垂直平分线判定点在垂直平分线上 题型3 垂直平分线应用 Ⅰ：1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 题型1 利用垂直平分线性质求线段长度 1．如图，在中，点是中点，过点作交于点，过点作交于点，若点是中点，的周长为20，，则________． 2．如图，在中，的周长为，通过尺规作图，的周长为，则________． 3．如图，在中，，为上一点，． (1)尺规作图：在上确定一点，使得；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，探究和的数量关系并说明理由． 4．如图，在中，，垂足为D，是的角平分线，点F在BC上，过F作，垂足为E，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若D是的中点，且，求线段的长度，并说明理由． 5．如图，点，分别在，的垂直平分线上，，，三点在同一条直线上，如果，，那么四边形的周长为_________． 6．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．如图，某中学有、、三栋教学楼，教学楼、在校内的主干道上，教学楼在校内支路的末端．为了方便教学和管理，现计划在道路上修建一栋办公楼，使办公楼到、两栋教学楼的距离相等，请用尺规作图法在图中作出办公楼的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 9．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接，若，，则的周长为______． 10．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 题型2 利用垂直平分线判定点在垂直平分线上 11．请结合图形阅读作法，并将证明“”的过程补充完整． 已知直线和外一点，下面是小明设计的“过点作直线的垂线”的作法： 作法：①在直线上取点，； ②分别以点、为圆心，、为半径作弧，两弧在直线下方交于点； ③作直线． 结论：，且经过点． 证明：连接，，，． 由作法可知， ∵ ，∴点在线段的垂直平分线上； ∵ ，∴点在线段的垂直平分线上；（依据： ） ∴直线是线段的垂直平分线（依据：两点确定一条直线） ∴． 12．解决问题 (1)如图1，已知在中，，．把向下平移至后，， ．请求出图中阴影部分的面积． (2)如图2，中，是边的垂直平分线，，，求的长． (3)如图3，已知，，垂直的延长线于点垂直的延长线于点F．求证：． 13．如图，中，平分交于D，点E为边上一点，． (1)求证：； (2)根据要求画出图形并证明：连接，交于点，并证明． 14．中，．尺规作图痕迹如图所示，其中点在上，点在上，交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 15．如图在四边形中，．取中点P，连接，，若． (1)求证：； (2)若，四边形面积为78，，求的长． 16．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E，连接交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：垂直平分． 17．如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． 18．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 19．已知题目：如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，，，，，求证：．下面是小明的证明过程． 证明：∵，∴．第①步 在和中，∵∴，第②步 ∴．第③步 (1)老师批改时，告知小明在第________步中出现错误，请你写出正确的证明过程； (2)用无刻度直尺找到的中点O．（保留作图痕迹，不必写作法） 20．如图，已知，，，，，与相交于点，连接．求证： (1)； (2)是的中垂线． 题型3 垂直平分线应用 21．一个缺角的三角形残片如图1所示． (1)如图1，不恢复这个缺角，请画出AB边上的高所在的直线（不写作法，保留作图痕迹），依据是 ． (2)如图2，若点N，M分别为A的中点，连接，两线交于点O，小明又找到边的中点E，连接，写出图形中面积相等的三角形 ． 22．如图，周长为，为的中点，且，连接．已知周长为13，求的长． 23．根据题目条件，解答下列各题 (1)尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法） ①将折叠使得点与点重合，折痕交于点．请用尺规画出折痕； ②连接，作的平分线交于点； (2)在（1）所作的图中，若，，那么的度数为 °． 24．已知，请用直尺和圆规完成下面的作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图1，请在的边上找一个点P，使得点P到点A和点C的距离相等． (2)如图2，已知中，，请在边上找一点Q，使Q到边的距离等于的长度． 25．如图，在中，，，点是边上一点（不与点，重合），连接，将沿翻折后得到，点的对应点为点． (1)如图1，若，求的度数； (2)尺规作图：用直尺和圆规在图2中作出点，使沿翻折后，点落在的延长线上．（保留作图痕迹，并标注相应字母，不写作法） 26．在学习了尺规作图后，小研发现，通过作角平分线和垂线，可以解决“过角内部一点构造等腰三角形”的问题，并与她的同伴进行了交流．现在，请你作为她的同伴，根据她的想法和思路，完成下面的作图和填空： (1)构造垂线，已知射线为的角平分线，点为内部一点，小研过点作的垂线，垂足为点，分别与、相交于点、，则一定为等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）． (2)利用三角形全等证明她的猜想． 证明：为的角平分线 ①________ ②________ 在和中 ④________ 是等腰三角形． 27．如图，，是的角平分线，是的垂直平分线． (1)求和的度数； (2)若，的周长为15，求的长． 28．学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字型全等的方法来解决问题，如图1，已知中，点E为中点，连结并延长到点D，使，连接则有“8”字全等型．利用这种方法解下列问题． 【课例回顾】（1）如图2，为测量河对岸点A到点B的距离，借鉴上述方法，过点B画直线l，并在直线l上依次取点C和点D，使得，，请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长； 【猜想探究】（2）如图3，在中，D是的中点，，，，猜想线段与有什么数量关系？并证明； 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，为中线，且，过点D作交于点E．请求线段的长．（用含d的式子表示） 29．【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．此方法在解决几何问题中有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，再利用三角形的三边关系，即可求出中线的取值范围． 请你直接写出的取值范围：______； (2)如图2，，点D为的中点，，，求； (3)如图3，在和中，，，．连接，，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．请猜想和的数量关系并说明理由． 30．【问题提出】 （1）如图①，点A在线段的垂直平分线上，，则的度数为______； 【问题探究】 （2）如图②，点A在线段的垂直平分线上，点E在的延长线上，交的延长线于点D，延长至点F，使得，过点F作交的延长线于点G，判断与是否相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，是某公园的一块草坪示意图，点A在的垂直平分线上，点D在的延长线上，小路于点E，交于点F，在边上有一口灌溉水井G．为方便游客饮水与休息，在与的交点O处修建了游客饮水区，并在E处修了一座凉亭．若，，求游客饮水区O到凉亭E的距离．（小路的宽度及水井与凉亭的大小均忽略不计） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点05 垂直平分线 内容导航 01 技巧总结→ 定类型·抓技巧：精准定向 02 题型分类→ 梳理题型，归类破题提效 题型1 利用垂直平分线性质求线段长度 题型2 利用垂直平分线判定点在垂直平分线上 题型3 垂直平分线应用 Ⅰ：1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 题型1 利用垂直平分线性质求线段长度 1．如图，在中，点是中点，过点作交于点，过点作交于点，若点是中点，的周长为20，，则________． 【答案】6 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 连接，易证明垂直平分、垂直平分，则，设、，则，利用的周长求出的值，最后利用求解即可． 【详解】解：连接， 点是中点、， 垂直平分、， ， 点是中点、， 垂直平分、， ， ， 设、，则， 的周长为， ， ， ． 2．如图，在中，的周长为，通过尺规作图，的周长为，则________． 【答案】3 【分析】先根据垂直平分线的性质得到，，列出两个三角形周长式子并作差，再用线段等量代换消去、、，化简后直接算出的长度． 【详解】解：由尺规作图痕迹可得，直线是线段的垂直平分线， ，． 的周长为， 的周长为， ， ∴． ∴， ， 3．如图，在中，，为上一点，． (1)尺规作图：在上确定一点，使得；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，探究和的数量关系并说明理由． 【答案】(1)方法一：    ；方法二： (2)由图可知， ∵ ∴ ∵， ∴ 【分析】（1）根据作一个角等于已知角或作的垂直平分线交于点； （2）根据三角形外角的性质，进行角度的转换即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 4．如图，在中，，垂足为D，是的角平分线，点F在BC上，过F作，垂足为E，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若D是的中点，且，求线段的长度，并说明理由． 【答案】(1)证明：是的角平分线， ，， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ． (2)， 理由：，D是中点， 是的垂直平分线， ， 由（1）得，， ， ． 【分析】（1）由是的角平分线，可得，由，，，可证即可； （2）先证得是的垂直平分线，再由（1）的结论即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 5．如图，点，分别在，的垂直平分线上，，，三点在同一条直线上，如果，，那么四边形的周长为_________． 【答案】10 【分析】根据“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”得出，，即可求解． 【详解】解：点A，D分别在，的垂直平分线上， ，， ， ， ． 6．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质可得，周长，即当点、、在同一直线上时，周长最小． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ∴， ∴周长， ∴当点、、在同一直线上时，周长最小，为． 7．如图，，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图过程可知，直线，然后通过三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由作图过程可知，直线， ． ， ， ． 8．如图，某中学有、、三栋教学楼，教学楼、在校内的主干道上，教学楼在校内支路的末端．为了方便教学和管理，现计划在道路上修建一栋办公楼，使办公楼到、两栋教学楼的距离相等，请用尺规作图法在图中作出办公楼的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】下图即为所求作： 【分析】要使到、两点的距离相等，则点为线段的中垂线和直线的交点即可． 【详解】略 9．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接，若，，则的周长为______． 【答案】 【分析】由作图流程可得是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，结合等量代换可知，的周长即为与之和． 【详解】解：由尺规作图可知，是的垂直平分线， ∵点在上， ∴， ∴的周长为． 10．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：如图所示，连接， 是的垂直平分线， ， ，是的中点， 是的垂直平分线 ， ； (2) 【分析】（1）连接，利用垂直平分线的性质得到，再结合、是中点，得到，进而证明； （2）证明，得到，根据三角形外角性质得到的度数，同理求出的度数，最后根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 题型2 利用垂直平分线判定点在垂直平分线上 11．请结合图形阅读作法，并将证明“”的过程补充完整． 已知直线和外一点，下面是小明设计的“过点作直线的垂线”的作法： 作法：①在直线上取点，； ②分别以点、为圆心，、为半径作弧，两弧在直线下方交于点； ③作直线． 结论：，且经过点． 证明：连接，，，． 由作法可知， ∵ ，∴点在线段的垂直平分线上； ∵ ，∴点在线段的垂直平分线上；（依据： ） ∴直线是线段的垂直平分线（依据：两点确定一条直线） ∴． 【答案】，，到线段两端点距离相等的点在这条线段垂直平分线上 【分析】先根据同圆的半径相等可知，，再根据到线段两端点距离相等的点在这条线段垂直平分线上可得点都在线段的垂直平分线上，然后根据两点确定一条直线可得直线是线段的垂直平分线，由此即可得证． 【详解】证明：连接，，，． 由作法可知，∵， ∴点在线段的垂直平分线上； ∵， ∴点在线段的垂直平分线上；（依据：到线段两端点距离相等的点在这条线段垂直平分线上） ∴直线是线段的垂直平分线，（依据：两点确定一条直线） ∴． 12．解决问题 (1)如图1，已知在中，，．把向下平移至后，， ．请求出图中阴影部分的面积． (2)如图2，中，是边的垂直平分线，，，求的长． (3)如图3，已知，，垂直的延长线于点垂直的延长线于点F．求证：． 【答案】(1) (2)7 (3)证明：如图，连接． 在和中， ， ． 又，， 【分析】（1）根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，再求出梯形的面积即为阴影部分的面积． （2）根据垂直平分线的性质可得，进而根据即可求解． （3）连接，证明，得到，再利用角平分线的性质得到． 【详解】（1）解：把向下平移至， ，， ， ， 阴影部分面积梯形的面积，． （2）垂直平分 ， ． （3）略 13．如图，中，平分交于D，点E为边上一点，． (1)求证：； (2)根据要求画出图形并证明：连接，交于点，并证明． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)所求图形如图所示． 证明：∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴． 【分析】（1）由角平分线的定义得到，再运用“”证明即可． （2）根据垂直平分线的判定定理证明是的垂直平分线，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 14．中，．尺规作图痕迹如图所示，其中点在上，点在上，交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：由作图得， ∴ ∵平分 ∴ 又∵ ∴． 【分析】（1）首先利用直角三角形两锐角互余求出，然后由角平分线的定义求解； （2）首先得到，然后由角平分线得到平分，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴ 由作图得，平分 ∴； （2）略 15．如图在四边形中，．取中点P，连接，，若． (1)求证：； (2)若，四边形面积为78，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长交的延长线于E，根据可知，再根据点为的中点，可证得，结合全等三角形的性质可知，，再由是线段的垂直平分线，可得，再由线段的和差以及等量代换即可得证； （2）由（1），根据梯形面积公式，列方程，求的长． 【详解】（1）证明：延长交的延长线于E， ∵， ∴， ∵取中点P， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即； （2）解：由（1）知，， ∵，， ∴四边形面积， ∴． 16．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E，连接交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形的内角和定理与角平分线的定义求解即可． （2）证明，，可得，进一步可得结论． 【详解】（1）解： ，， ， 平分， ， ． （2）证明：平分，，， ， ， ， ， 垂直平分． 17．如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由、得；结合已知、公共边，用定理证明，由全等三角形对应角相等，得，从而证出结论． （2）由（1）中得，又已知，根据线段垂直平分线的判定定理，得直线是的垂直平分线，因此． 【详解】（1）证明：，， ． 在和中， ． ， 平分． （2）由（1）知， ． 又， 点、都在的垂直平分线上． ． 18．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）根据三角形的周长，求出，分割法求面积，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：∵，的周长为18， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．已知题目：如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，，，，，求证：．下面是小明的证明过程． 证明：∵，∴．第①步 在和中，∵∴，第②步 ∴．第③步 (1)老师批改时，告知小明在第________步中出现错误，请你写出正确的证明过程； (2)用无刻度直尺找到的中点O．（保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】(1) ②；证明： ， ． ， ， ， ． 在和中， ， ， ． (2) 解：如图， 连接交于，即为中点， ∵， ∴， ∴． 【详解】（1）略 （2）略 20．如图，已知，，，，，与相交于点，连接．求证： (1)； (2)是的中垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先利用“”，得出，再利用“”，得出，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，得出，，进一步得，结合，得出点和点在的垂直平分线上，即可得证． 【详解】（1）证明：， ， 即． ，， ． 又， ， ． 又， ， ． （2）证明：由（1）可知，，， ，， ， 即． 又， 点和点在的垂直平分线上， 是的中垂线． 题型3 垂直平分线应用 21．一个缺角的三角形残片如图1所示． (1)如图1，不恢复这个缺角，请画出AB边上的高所在的直线（不写作法，保留作图痕迹），依据是 ． (2)如图2，若点N，M分别为A的中点，连接，两线交于点O，小明又找到边的中点E，连接，写出图形中面积相等的三角形 ． 【答案】(1)边上的高如图：，依据是：锐角三角形的三条高线相交于三角形内部一点 (2)与 【分析】（1）根据锐角三角形的三条高线相交于三角形内部一点，作图即可； （2）根据中点可知，由等底同高可得． 【详解】（1）解：图略， 作法：分别过点A、B作，相交于点O，过点O作，直线即为边上的高所在的直线， 依据是：锐角三角形的三条高线相交于三角形内部一点； （2）解：是的中点， ， ． 22．如图，周长为，为的中点，且，连接．已知周长为13，求的长． 【答案】 【分析】根据题意得到垂直平分，由周长的计算得到，根据线段中点即可求解． 【详解】解：∵为的中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∵的周长为21，即， ∵的周长为13， ∴，则， ∴， ∵为的中点， ． 23．根据题目条件，解答下列各题 (1)尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法） ①将折叠使得点与点重合，折痕交于点．请用尺规画出折痕； ②连接，作的平分线交于点； (2)在（1）所作的图中，若，，那么的度数为 °． 【答案】(1)①如图，折痕即为所求； ②如图，即为所求． (2) 【分析】（1）①作的垂直平分线，交于点，直线即为所求； ②根据尺规作图——作角平分线的方法，作的平分线即可； （2）根据三角形内角和定理得出，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，进而求出，根据角平分线的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：略 （2）解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 24．已知，请用直尺和圆规完成下面的作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图1，请在的边上找一个点P，使得点P到点A和点C的距离相等． (2)如图2，已知中，，请在边上找一点Q，使Q到边的距离等于的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）点P满足，所以点P在的垂直平分线上，作线段的垂直平分线，其与边的交点即为所求点P． （2）点Q满足到的距离等于，说明Q在的角平分线上，作的角平分线，其与边的交点即为所求点Q． 【详解】（1）解：作线段的垂直平分线交于点P， 点P即为所求， 理由：由作图知，垂直平分， ∴， （2）解：作的平分线，交边于点Q， 点Q即为所求， 理由：过点Q作于点R， ∵， ∴， 由作图知，平分， ∴． 25．如图，在中，，，点是边上一点（不与点，重合），连接，将沿翻折后得到，点的对应点为点． (1)如图1，若，求的度数； (2)尺规作图：用直尺和圆规在图2中作出点，使沿翻折后，点落在的延长线上．（保留作图痕迹，并标注相应字母，不写作法） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由折叠得，，根据平行的性质得到，求出，再利用三角形外角性质即可求得答案； （2）过点C作的垂线，再在的延长线上截取即可． 【详解】（1）解：由折叠得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略． 26．在学习了尺规作图后，小研发现，通过作角平分线和垂线，可以解决“过角内部一点构造等腰三角形”的问题，并与她的同伴进行了交流．现在，请你作为她的同伴，根据她的想法和思路，完成下面的作图和填空： (1)构造垂线，已知射线为的角平分线，点为内部一点，小研过点作的垂线，垂足为点，分别与、相交于点、，则一定为等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）． (2)利用三角形全等证明她的猜想． 证明：为的角平分线 ①________ ②________ 在和中 ④________ 是等腰三角形． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)①；②；③；④． 【分析】（1）根据尺规作图垂线的方法即可作图； （2）证明即可． 【详解】（1）略 （2）证明：为的角平分线 在和中 是等腰三角形． 27．如图，，是的角平分线，是的垂直平分线． (1)求和的度数； (2)若，的周长为15，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由角平分线的定义得，由线段垂直平分线的性质得，则，再结合三角形内角和定理求出，即可得出结果； （2）由线段垂直平分线的性质得，再结合三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为15， ∴， ∵， ∴． 28．学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字型全等的方法来解决问题，如图1，已知中，点E为中点，连结并延长到点D，使，连接则有“8”字全等型．利用这种方法解下列问题． 【课例回顾】（1）如图2，为测量河对岸点A到点B的距离，借鉴上述方法，过点B画直线l，并在直线l上依次取点C和点D，使得，，请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长； 【猜想探究】（2）如图3，在中，D是的中点，，，，猜想线段与有什么数量关系？并证明； 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，为中线，且，过点D作交于点E．请求线段的长．（用含d的式子表示） 【答案】（1）补充如图 知道就可知道的长； （2），理由如下： 延长到G，使得，则， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】（1）作交l于点D，延长交于点，证明即可得到结论； （2）延长到G，使得，由得，，根据平行线的性质得到，求得，证明即可得到结论； （3）如图4，延长到F使，证明得，，再证明，得出，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）①作交l于点D，延长交于点M，则，即知道就可知道的长； 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴；        （2）略 （3）如图4，延长到F使， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 29．【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．此方法在解决几何问题中有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，再利用三角形的三边关系，即可求出中线的取值范围． 请你直接写出的取值范围：______； (2)如图2，，点D为的中点，，，求； (3)如图3，在和中，，，．连接，，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．请猜想和的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，三角形三边关系，同角的补角相等，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据三角形三边关系进行作答，即可求解； （2）如图2，延长交的延长线于H，根据中点得，证得，求得，证得为线段的垂直平分线，然后即可求解； （3）延长至点H，使，连接，先证得，得，，再根据平行线的性质证得，再证，然后即可求解； 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：如图2，延长交的延长线于H， ， ∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为线段的垂直平分线， ∴； （3）解：； 理由如下：延长至点H，使，连接，如图： ， ∵F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 30．【问题提出】 （1）如图①，点A在线段的垂直平分线上，，则的度数为______； 【问题探究】 （2）如图②，点A在线段的垂直平分线上，点E在的延长线上，交的延长线于点D，延长至点F，使得，过点F作交的延长线于点G，判断与是否相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，是某公园的一块草坪示意图，点A在的垂直平分线上，点D在的延长线上，小路于点E，交于点F，在边上有一口灌溉水井G．为方便游客饮水与休息，在与的交点O处修建了游客饮水区，并在E处修了一座凉亭．若，，求游客饮水区O到凉亭E的距离．（小路的宽度及水井与凉亭的大小均忽略不计） 【答案】（1）；（2）．理由见解析；（3）游客饮水区到凉亭的距离为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边对等角等知识点． （1）由垂直平分线的性质可知，，再利用等边对等角即可求解； （2）由垂直平分线的性质可知，，得，进而可证明，即可得证； （3）过点作，垂足为，构造，可得，由全等三角形性质可得，，则，可知，再证，得，即可求解． 【详解】解：（1）∵点在线段的垂直平分线上，， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由见解析： ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）过点作，垂足为，如图③： ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即：游客饮水区到凉亭的距离为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $