第05讲 三角形的外角（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材人教版

第05讲 三角形的外角（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+1个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 三角形的外角 我们在学习三角形的内角和定理时，某个证明思路是通过作辅助线,把三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起拼成一个平角，这样就可以证明三角形的内角和等于180°．如图，先把△ABC的一边BC延长，这时在△ABC外得到∠ACD．类比三角形的内角，我们该如何概括类似∠ACD这样的角呢? 它又具有什么性质呢? 让我们在本节课的学习中找寻答案吧! 【知识点1 三角形的外角】 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 【题型1 三角形外角的定义】 【例1】如图所示，是外角的是（   ） A．和 B．和 C．和， D．以上说法都不对 【变式1-1】如图，在中，点D，E分别是边AB，BC上的点，连接AE和DE，则下列是的外角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，下列各角是的外角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】在三角形的所有外角（每个顶点处只取一个外角）中，锐角最多有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【题型2 利用三角形的外角性质简单求角】 【例2】如图，和是的外角，若，求的度数．      【变式2-1】点D为的边的延长线上的一点，于点F，交于点E，，，求的度数． 【变式2-2】将一副直角三角板按如图所示方式摆放，其中含角的直角三角板的斜边与含角的直角三角板的一直角边贴合，含角的直角三角板的另一条直角边过含角的直角三角板的直角顶点，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】将一副三角板按如图所示位置摆放，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用三角形的外角性质解决平行线中的问题】 【例3】将一副三角板按如图方式放置，使，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在中，平分交于点D，过点C作，且交的延长线于点E，点F在的延长线上，且． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【变式3-2】如图，已知，，，，求的度数． 【变式3-3】解答下列各题： (1)如图1，，利用平行线的性质，证明：； (2)问题迁移：如图2，在（1）的条件下，的下方两点E，F满足，平分．若的2倍与的差为，求的度数． 【题型4 利用三角形的外角性质解决折叠问题】 【例4】如图， 将 折叠使点 落在处， 折痕为．若，则的度数为______ 【变式4-1】如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则______（用含的式子表示）． 【变式4-2】如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 【变式4-3】如图①，把纸片沿折叠，使点A落在四边形内部点的位置，通过计算我们知道：．请你继续探索：    (1)如果把纸片沿折叠，使点A落在四边形的外部点的位置，如图②，此时与之间存在什么样的关系？为什么？请说明理由． (2)如果把四边形沿时折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部、的位置，如图③，你能求出、、与之间的关系吗？（直接写出关系式即可） 【题型5 三角形的外角性质与单角平分线】 【例5】如图，，，的角平分线与相交于点，，则的度数是____________． 【变式5-1】如图，是的角平分线，E为边上一点，过点E作交的延长线于点F．若，则的大小为________度． 【变式5-2】如图，在中，点和分别是，上一点，，是的角平分线，是的外角，若，，，则、、三者间的数量关系是 ___． 【变式5-3】如图，平分的外角交的延长线于点D． (1)若，，求的度数是 ； (2)若，求的度数(用含的式子表示)． 【题型6 三角形的外角性质与双角平分线】 【例6】在中， (1)如图1，若，为和的角平分线，则的度数是 度； (2)如图2，为和的角平分线，直接写出与之间的关系 ； (3)如图3，为和的角平分线，写出与的数量关系并证明． 【变式6-1】如图所示，在中，和的角平分线交于点O，和的角平分线交于点D，和的角平分线交于点E，，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，，的角平分线相交于点，若，则的度数为_____． 【变式6-3】如图，在中，，点E、F分别在边上，，，的角平分线与的角平分线交于点P，则的度数为__________． 模块三 课后作业 1．如图所示，下列说法错误的是（    ） A．∠ACD是△ABC的一个内角； B．∠BAD是△ABD的一个内角； C．∠BEC是△ACE的一个外角； D．∠AOC是△ABD的一个外角； 2．如图，在中，是上一点，连接．则的大小关系是（   ） A． B． C．无法判断 D． 3．一个三角形中，三个内角的比为，则该三角形最大的外角为（   ） A． B． C． D． 4．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，将三角形纸片按如图方式折叠：折痕分别为和，点A与边上的点G重合，点B与延长线上的点F重合．若满足，则 ． 6．在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 7．如图，，点，是射线，上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D．随点，的移动而变化 8．如图，AB∥CD，的平分线和的平分线的反向延长交于点E，且，则 度． 9．如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 10．已知相交于点． (1)如图1，若平分交于点，平分交于点，求的度数； (2)如图2，延长至点，若直线平分交于点，平分交直线于点，求的度数． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 三角形的外角（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+1个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 三角形的外角 我们在学习三角形的内角和定理时，某个证明思路是通过作辅助线,把三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起拼成一个平角，这样就可以证明三角形的内角和等于180°．如图，先把△ABC的一边BC延长，这时在△ABC外得到∠ACD．类比三角形的内角，我们该如何概括类似∠ACD这样的角呢? 它又具有什么性质呢? 让我们在本节课的学习中找寻答案吧! 【知识点1 三角形的外角】 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 【题型1 三角形外角的定义】 【例1】如图所示，是外角的是（   ） A．和 B．和 C．和， D．以上说法都不对 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的定义：三角形的一个内角的邻补角即为该三角形的外角，据此即可求解． 【详解】解：外角的是和， 故选：B． 【变式1-1】如图，在中，点D，E分别是边AB，BC上的点，连接AE和DE，则下列是的外角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形外角的定义即三角形一个内角的一边与另一边的反向延长线所夹的角，可判断求解． 【详解】解：由题意得，∠ADE，∠DEC是△BDE的外角． 故选：C． 【变式1-2】如图，下列各角是的外角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的定义：三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角. 根据定义判断图中哪个角是的外角即可. 【详解】解：∵图中只有是由过线段的延长线与组成的角，符合三角形外角的定义， ∴是的外角. 故选： D． 【变式1-3】在三角形的所有外角（每个顶点处只取一个外角）中，锐角最多有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角；根据三角形内角和知，三角形最多有一个钝角，从而最多有一个锐角，由此可确定答案． 【详解】解：由于三角形中最多只有一个钝角，否则若有两个钝角的话，根据钝角大于直角，则这两个内角的和大于，与三角形内角和为矛盾； 此内角的补角是锐角，正好是三角形的外角，故锐角最多有1个； 故选：C． 【题型2 利用三角形的外角性质简单求角】 【例2】如图，和是的外角，若，求的度数．      【答案】 【分析】先根据三角形外角的性质求出的度数，则由平角的定义可得答案． 【详解】解： ， ． 【变式2-1】点D为的边的延长线上的一点，于点F，交于点E，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形外角的性质、垂直，熟练掌握三角形外角的性质、垂直的定义是解决本题的关键．根据三角形外角的性质，得．欲求，需求．由，得．由，得． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【变式2-2】将一副直角三角板按如图所示方式摆放，其中含角的直角三角板的斜边与含角的直角三角板的一直角边贴合，含角的直角三角板的另一条直角边过含角的直角三角板的直角顶点，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的定义和平角的定义，在中，根据三角形外角的定义可求出的度数，再根据平角的定义即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，由题意可知， ， ， ， 故选：D． 【变式2-3】将一副三角板按如图所示位置摆放，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．先根据三角形的内角和得出，再利用可得答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 则， 故选：C． 【题型3 利用三角形的外角性质解决平行线中的问题】 【例3】将一副三角板按如图方式放置，使，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板的认识，三角形的外角，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，，，由，得到，再结合，得到答案． 【详解】解：设与，分别交于点，，如图所示： 由题意可知，，， ， ， 是的外角， ． 故选：D． 【变式3-1】如图，在中，平分交于点D，过点C作，且交的延长线于点E，点F在的延长线上，且． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，再结合题意得出，即可得出结果； （2）由平行线的性质并结合题意可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分交于点D， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 【变式3-2】如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形外角性质、平行线性质、三角形内角和定理等知识点，弄清楚角之间的关系是解题的关键， 由三角形内角和定理以及已知条件可得，再根据平行线的性质可得，易得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】证明：，，， ， ∵， （两直线平行，内错角相等） ， ， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 【变式3-3】解答下列各题： (1)如图1，，利用平行线的性质，证明：； (2)问题迁移：如图2，在（1）的条件下，的下方两点E，F满足，平分．若的2倍与的差为，求的度数． 【答案】(1)证明：如图：设相交于O，过O作， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴，即． (2) 【分析】（1）如图：设相交于O，过O作，利用平行线的性质以及角的和差可得，再利用平行线的性质可得，易得，进而证明结论； （2）设，则；设，则，利用（1）的结论可得；，再根据和的关系求得a的值，进而求得的度数； 【详解】（1）略 （2）解：∵平分， ∴， 设，则；设，则， 由（1）结论可知：；， ∵的2倍与的差为， ∴，即，解得：， ∴ 【题型4 利用三角形的外角性质解决折叠问题】 【例4】如图， 将 折叠使点 落在处， 折痕为．若，则的度数为______ 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的外角性质，折叠的性质，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 由折叠性质可知，，然后通过外角性质可得，，则，从而有，然后代入即可求解． 【详解】解：如图， 由折叠性质可知，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则______（用含的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，三角形的外角性质，由直角三角形的性质得，由折叠的性质得，再根据三角形的外角性质解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，翻折变换，熟知以上知识是解题的关键． （1）先根据折叠性质得，然后根据三角形外角性质易得即可求得结果； （2）连接，先根据三角形外角性质得，，则，整理可得结论； （3）由折叠性质得，，，再根据三角形内角和得，接着利用平角定理得到，然后整理即可得到答案． 【详解】（1）解： 沿直线折叠，且， 点落在上，如图（1）， ∴， ； 故答案为：； （2）解：， 理由：连接，如图， ∵，， ， 又， ； （3）解：． 理由：如图（3），由翻折可得：，，， ∵， ∴ ， ． 【变式4-3】如图①，把纸片沿折叠，使点A落在四边形内部点的位置，通过计算我们知道：．请你继续探索：    (1)如果把纸片沿折叠，使点A落在四边形的外部点的位置，如图②，此时与之间存在什么样的关系？为什么？请说明理由． (2)如果把四边形沿时折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部、的位置，如图③，你能求出、、与之间的关系吗？（直接写出关系式即可） 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，由外角的性质得到，作差即可得到答案； （2）由图形折叠的性质可知 ，两式相加变形后即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，    ∵，， ∴； （2）解：由图形折叠的性质可知 ，    两式相加得，， 即， ∴， 即：． 【题型5 三角形的外角性质与单角平分线】 【例5】如图，，，的角平分线与相交于点，，则的度数是____________． 【答案】/11度 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形角的定义和性质等知识，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解题关键．首先根据“直线平行，内错角相等”可得，再结合角平分线的性质可得，进而可得，然后根据三角形外角的性质，由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【变式5-1】如图，是的角平分线，E为边上一点，过点E作交的延长线于点F．若，则的大小为________度． 【答案】13 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理及外角的性质，先利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，进而求出，由即可解答． 【详解】解： ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：13． 【变式5-2】如图，在中，点和分别是，上一点，，是的角平分线，是的外角，若，，，则、、三者间的数量关系是 ___． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的外角性质．根据平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，根据是的外角，得到，由三角形外角的性质得到，于是得到结果． 【详解】解： ，， ， 平分， ， 是的外角， ， ， ， 是的外角， ， ， ， 即， 故答案为：． 【变式5-3】如图，平分的外角交的延长线于点D． (1)若，，求的度数是 ； (2)若，求的度数(用含的式子表示)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，得到，，根据三角形外角性质，求解即可； （2）根据三角形外角性质，三角形内角和求解即可； 【详解】（1）解：，， ， ， 平分的外角， ， ； （2）解：平分的外角， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型6 三角形的外角性质与双角平分线】 【例6】在中， (1)如图1，若，为和的角平分线，则的度数是 度； (2)如图2，为和的角平分线，直接写出与之间的关系 ； (3)如图3，为和的角平分线，写出与的数量关系并证明． 【答案】(1)120 (2) (3)，证明见解析 【分析】题目考查了三角形外角的性质，角平分线的定义,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，补角的定义，三角形的内角和定理等，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解； （1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求得答案； （2）根据角平分线的定义、平角定义以及三角形内角和定理即可求得答案； （3）根据在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线，推出，，根据三角形外角性质求解即可； 【详解】（1）解：在中，， ， ，分别是两个内角，的角平分线， ，， ； （2）在中， ， ，分别是两个外角，的角平分线， ， ， 故答案为：； （3），证明如下： 在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线， ，， ， ， ， ， ． 【变式6-1】如图所示，在中，和的角平分线交于点O，和的角平分线交于点D，和的角平分线交于点E，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线定义、三角形外角的应用等知识点，熟知三角形的外角性质是解答此题的关键． 根据角平分线的定义有、得，根据外角的性质进而完成解答． 【详解】解：平分，平分的外角， ∴、， ， ∴， ∴， 故选B． 【变式6-2】如图，，的角平分线相交于点，若，则的度数为_____． 【答案】/26度 【分析】本题考查了角的平分线，三角形外角性质，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握性质和定理是解题的关键．设的交点为M，延长交于点N，根据，得，代入解答即可． 【详解】解：设的交点为M，延长交于点N， ∵，的角平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】如图，在中，，点E、F分别在边上，，，的角平分线与的角平分线交于点P，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据题意可知，设，表示出，根据角平分线的定义，可得的度数，根据列方程，即可求出的度数． 【详解】解：∵，平分， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 模块三 课后作业 1．如图所示，下列说法错误的是（    ） A．∠ACD是△ABC的一个内角； B．∠BAD是△ABD的一个内角； C．∠BEC是△ACE的一个外角； D．∠AOC是△ABD的一个外角； 【答案】D 【分析】根据三角形内角、外角的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、∠ACD是△ABC的一个内角，说法正确； B、∠BAD是△ABD的一个内角，说法正确； C、∠BEC是△ACE的一个外角，说法正确； D、∠AOC是△AEO的一个外角，原说法错误； 故选：D． 2．如图，在中，是上一点，连接．则的大小关系是（   ） A． B． C．无法判断 D． 【答案】D 【分析】此题考查三角形的外角问题，关键是根据三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角解答．根据三角形的外角性质进行解答即可． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 即， 故选：D． 3．一个三角形中，三个内角的比为，则该三角形最大的外角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形的内角和定理先求出各个内角，再求解外角即可． 【详解】解：设三角形的内角为别为，，， ， 解得， ∴，， ∴最小的内角为， 故这个三角形的最大的外角的度数是． 故选：C． 4．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．首先求出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：将一副三角板按如图方式叠放，如图，、、、标记如下： 由题意知：，， ， ， 故选：C 5．如图，将三角形纸片按如图方式折叠：折痕分别为和，点A与边上的点G重合，点B与延长线上的点F重合．若满足，则 ． 【答案】38 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，三角形的外角，根据折叠的性质，求出，三角形的内角和与外角的性质，分别求出，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵折叠， ∴，，， ∴，即：， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：38． 6．在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键； 由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④； 【详解】解：，的平分线交于点， ，， ， ， 故①正确，符合题意； 平分， ， ，， ， ， 故②正确，符合题意； 如图， ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 故③错误，不符合题意； ， ， ， ， 故④正确，符合题意； 综上正确的有：①②④； 故选：C 7．如图，，点，是射线，上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D．随点，的移动而变化 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角性质和角平分线定义的应用．根据角平分线定义得出，，根据三角形外角性质得出，求出，即可求出答案． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 8．如图，AB∥CD，的平分线和的平分线的反向延长交于点E，且，则 度． 【答案】28 【分析】延长DC，交BG于M，设BG、EC交于点N，设，利用平行线的性质及外角的性质可得①，利用角平分线的定义和三角形的内角和定理可得②，再由①②整理得出③，结合已知条件即可求解． 【详解】 延长DC，交BG于M，设BG、EC交于点N， 设， ， ABCD， ， ，即①， 的平分线和的平分线的反向延长交于点E， ， ， 在和中，， ，即②， 联立①②，可整理得③， ④， 联立③④，可整理得， ， 故答案为：28． 9．如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【分析】（1）先利用三角形内角和与角平分线求出，再用外角性质求，最后在直角三角形中计算； （2）先利用外角和角平分线，把用、表示，再结合直角三角形内角和，化简得到与、的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 10．已知相交于点． (1)如图1，若平分交于点，平分交于点，求的度数； (2)如图2，延长至点，若直线平分交于点，平分交直线于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出，由平分线的定义可得出、，再结合三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论； （2）由邻补角互补结合角平分线可得出，根据三角形外角性质结合（1）中即可得出，再根据三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ． 平分交于，平分交于， ，． ，， ， ． （2）解：，平分交直线于， ， ，， ． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $