第05讲 三角形全等的判定（暑假预习讲义）新八年级数学新教材人教版

第05讲 三角形全等的判定 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 用SAS证明三角形全等 题型2 用ASA(AAS)证明三角形全等 题型3 用SSS证明三角形全等 题型4 全等的性质与HL综合 题型5 添加条件使三角形全等 题型6 灵活选择判定方法证全等 题型7 倍长中线模型 题型8 旋转模型 题型9 垂线模型 题型10 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 题型11 尺规作图-作三角形 题型12 尺规作一个角等于已知角 题型13 过直线外一点作已知直线的平行线 题型14 全等三角形综合问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 三角形全等判定、SSS、SAS、ASA、AAS、HL、公共边、公共角、对顶角 1.掌握三角形全等的SSS、SAS、ASA、AAS四种基本判定定理，了解直角三角形专属判定定理HL。 2.理解每个判定定理的条件含义，能准确区分不同判定方法的适用场景。 3.明确SSA、AAA不能作为三角形全等的判定依据，并能举例说明原因。 4.能根据已知条件，灵活选择判定方法证明两个三角形全等。 5.结合全等判定，完成线段相等、角相等的简单推理与证明，规范几何证明步骤。 学习重点：掌握三角形全等的五种判定方法，能运用定理证明三角形全等。 学习难点：准确挖掘图形隐含条件，合理选择判定方法并规范完成几何推理证明。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 边边边（SSS） 1.内容：三边分别相等的两个三角形全等。 2.几何语言：在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF(SSS) 3.适用场景：题干已知三组对应边相等，或可推导出三边相等。 即时即练如图，若，，则可得．其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，利用证明三角形全等即可． 【详解】解：在和中， ，，， ， 故选：A． 【方法总结】 如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 知识点02 边角边（SAS） 1.内容：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 2.关键强调：必须是两边中间的夹角，不是其中一边的对角。 3.几何语言：在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF(SAS) 即时即练已知：如图，A、D是CF上的两点，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据线段的和差求出，根据平行线的性质求出，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【方法总结】 如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 知识点03 角边角（ASA） 1.内容：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 2.关键强调：边必须在两个角中间，为两角的公共边。 3.几何语言：在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF(ASA) 即时即练如图，D是上一点，交于点E，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】首先，根据平行线的性质得，然后，证得，即可得到． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ，，， ∴， ∴． 【方法总结】 如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 知识点04 角角边（AAS） 1.内容：两角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。 2.推导依据：结合三角形内角和，AAS 可由 ASA 推导得出。 3.几何语言：在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF(AAS) 即时即练如图，在和中，三点共线，三点共线，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据证明两个三角形全等即可． 【详解】证明：∵三点共线，三点共线， ∴与是对顶角， ∴． 在和中， ∴． 【方法总结】 由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 知识点05 直角三角形全等专属判定（HL） 1.适用范围：仅用于直角三角形。 2.内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 3.几何语言：在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90° ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL) 4.补充：直角三角形也可使用 SSS、SAS、ASA、AAS 判定全等。 即时即练如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的全等判定解答即可． 【详解】解：补充，可得：， 在和中， ， ∴． 【方法总结】 一般的两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”条件时，它们并不全等，但当其中的“A”是直角时，这两个直角三角形就是全等的，这就是判定两个直角三角形全等特有的“HL'’定理。 题型1 用SAS证明三角形全等 【例1】如图，已知点B，D在上，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据两直线平行，内错角相等得，再由推出，然后根据证明； （2）由（1），根据全等三角形对应边相等可得结论． 【详解】（1）证明：（1）∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴． 【例2】如图，点在线段上，，且，．连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得，再根据即可得证； （2）根据三角形外角的定义及性质得，再根据全等三角形的性质得，最后根据角的和差可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 【技巧归纳】 找准两组对应边+两边的夹角，角必须夹在两条边中间；优先挖掘公共角、对顶角，严格区分夹角与对角，禁止套用 SSA。 易错提醒：两边及其中一边的对角相等，不能判定全等。 【变式1-1】如图，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，再结合，，证明，即可作答． （2）由（1）得，故，又结合，则，即可作答． 【详解】（1）解：， 即， 在和中， ； （2）解：由（1）得， ， 又， ． 【变式1-2】如图，，，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键；由题意得，利用即可证明，得，即可得平分． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分． 题型2 用ASA(AAS)证明三角形全等 【例1】如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 【例2】如图，点，，，在一条直线上，，连接，，．若要使，则需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键； 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角，根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 当添加， ∵，，，不能证明， ∴A选项不符合题意； 当添加，那么，即， ∵，，，不能证明， ∴B选项不符合题意； 当添加， ∵，，，满足， ∴可证， ∴C选项符合题意； 当添加，不能证明， ∴D选项不符合题意； ∴需要添加的条件可以是， 故选：C． 【技巧归纳】 AS：两角夹一边，相等的边在两个角中间； AAS：两角加其中一个角的对边； 可结合三角形内角和，灵活在ASA、AAS之间转化。 易错提醒：分清夹边与对边，条件顺序与定理保持一致。 【变式2-1】如图，点是的高和所在直线的交点，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．关键是通过高的性质得到直角，再利用同角的余角相等找到相等的角，从而构造全等三角形．先根据高的定义得出，再由直角三角形两锐角互余推出，结合已知，证明，最后根据全等三角形对应边相等得到． 【详解】解：∵、是的高， ∴， ∵在中，， 在中，， ， ∴， 在和中， ∴， ∴. 【变式2-2】如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据证出即可； （2）证明，由全等三角形的性质可得出，由得到，利用解答即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴ （2）解：∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型3 用SSS证明三角形全等 【例1】小明发现有两个结论：在与中 ①若，且它们的周长相等，则； ②若，则． 对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①，②都错误 B．①，②都正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】三角形全等的判定定理，分别根据两个结论给出的条件，结合全等判定规则判断正误即可． 【详解】解：对于结论①： ∵，，且两个三角形周长相等， ∴， ∴ ，故①正确． 对于结论②： 已知条件为 ，，，属于两边及其中一边的对角对应相等（）的情况，不能判定三角形全等，可构造出满足条件但不全等的两个三角形，故②错误. 综上，①正确，②错误，答案选C． 【例2】已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用定理证明两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 【技巧归纳】 寻找三组对应边相等，优先利用公共边；题干多给出线段和差、等量代换，先推导出三边对应相等再证明。 易错提醒：不要漏写公共边，三条边必须一一对应。 【变式3-1】如图，点D是外一点，连接，已知，． (1)在内求作一点M，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图： （1）以点A为圆心，的长为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，即可； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点M即为所求； （2）解：，， ． ． ， ． ． 【变式3-2】如图，已知点在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，整理得，再结合，，即可证明； （2）先根据三角形内角和性质进行计算，得，结合全等三角形的对应角相等，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， 即， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； 由（1）得， ∴． 题型4 全等的性质与HL综合 【例1】如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形判定方法“”即可求解． 【详解】解：∵，， ∴用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是． 【例2】如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，添加下列选项中的条件，能用判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理．根据三角形全等的判定定理即可得． 【详解】解：∵，， A、添加，利用定理可判定，则此项不符合题意； B、添加，利用定理判定，则此项不符合题意； C、添加，利用定理判定，则此项不符合题意； D、添加，∴，则，能用可判定，则此项符合题意； 故选：D． 【技巧归纳】 HL专用于直角三角形，只需找斜边+一条直角边相等；先利用HL证全等，再用全等性质求线段、角度。 易错提醒：普通三角形不能使用 HL，做题先标注直角。 【变式4-1】如图，，，于点，于点，求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定和线段的和差关系． 根据、以及，，证，得到，再根据线段的和差关系即可得出结论． 【详解】解：于点，于点， ， 在和中，， ， ， ． 【变式4-2】已知：如图，在中，，是过点A的直线，于点D，于点E，且． (1)若在的同侧（如图①）求证：． (2)若在的两侧（如图②），问与仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据直角三角形全等的判定方法HL易证得，可得，再根据三角形内角和定理即可证得结论； （2）与（1）同理结论仍成立，即根据直角三角形全等的判定方法HL易证得，可得，再根据三角形内角和定理即可证得结论． 【详解】（1）证明：于D，于E， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 即； （2）解：， 于D，于E， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 即． 题型5 添加条件使三角形全等 【例1】如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 【答案】①③ 【分析】根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ①当时， 在和中， ， ∴； ②当时，不能判断； ③当时， 在和中， ， ∴； ④当，而，所以与不是对应角，所以不能判断． 综上所述，能使的条件有①③． 【例2】的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直定义得出，根据图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 若添加， ∴． 【技巧归纳】 对照现有条件，匹配五大判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL），缺边补边、缺角补角；答案一般不唯一，优先选最简单条件。 易错提醒：禁止补充SSA、AAA类条件。 【变式5-1】如图，点是上任意一点，．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定和性质逐个选项进行判断即可． 【详解】解：A、补充，不能推出，故此选项符合题意； B、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； C、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； D、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式5-2】如图，在和中，，． (1)请添加一个条件________，使； (2)若，且，，求的度数． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】（1）添加一个条件为，再证明出，最后利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：添加一个条件为， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵ ∴． 题型6 灵活选择判定方法证全等 【例1】如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知条件是，，， ∴， ∴． 故选：B． 【例2】如图，一块三角形玻璃破裂成I，II号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上___________号碎片．根据全等三角形的知识，这样选择的依据是___________． 【答案】 Ⅱ 角边角/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键． 根据三角形全等的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，带Ⅱ号碎片去可以利用“角边角”得到与原三角形全等的三角形． 故答案为：Ⅱ，角边角． 【技巧归纳】 1.已知多条边相等 → 优先SSS； 2.已知两边+一个角 → 优先SAS（必看是否为夹角）； 3.已知多个角相等 → 优先ASA、AAS； 4.图形含直角 → 优先尝试HL。 易错提醒：先挖掘公共边、公共角、对顶角等隐含条件。 【变式6-1】小数同学在探究三角形全等的条件时，设计了一个如图所示的数学实验，把两根木条的一端用螺栓固定点位置，然后固定木条，摆出．把木条转动一定角度后，点刚好落在直线上的处．此实验得到的结论是：_____的两个三角形不一定全等． 【答案】有两边和其中一边的对角分别相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定，在和中，为公共边，，，锐角三角形与钝角不全等，从而说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不能确定全等． 【详解】解：在和中，为公共边，，， 而与不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故答案为：有两边和其中一边的对角分别相等． 【变式6-2】如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是熟知全等三角形的判定定理，，，． （1）利用全等三角形的判定定理判定即可； （2）利用得到即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴； ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ； ∴，， ∴，即， 在与中， ， ； 综上，全等三角形有；；； （2）解： 证明：由（1）知， ∴． 题型7 倍长中线模型 【例1】如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系． 延长至点，使，连接，证明，进而得到，根据三角形的三边关系求出的范围即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，则：， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 【例2】如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 【答案】8，10，12 【分析】本题考查三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长至，使，连接，证明，得到，在中根据三角形的三边关系求出的取值范围，从而得到的取值范围，即可解答． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 为边上的中线， ， ∵在和中， ， ， ， ， ∴． 为偶数， ∴，10，12． 故答案为：8，10，12 【技巧归纳】 遇到三角形中线，延长中线至一倍长，构造SAS型全等；利用全等实现线段转移，将分散线段集中到同一个三角形中。 口诀：遇中线，加倍延，出全等，转线段。 易错提醒：延长后务必标注相等线段，明确对顶角为夹角。 【变式7-1】【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 延长至E，使，连接，根据是中线得到，证明得到，可知，根据“大边对大角”得到，即可证明． 【详解】证明：延长至E，使，连接， ∵是中线， ∴ ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式7-2】如图，为的中线． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解题的关键是通过倍长中线法构造全等三角形，将线段进行转化，把分散的线段集中到同一个三角形中利用三边关系解决问题． （1）倍长中线至使，连接，利用证明，得到，再在中运用三角形三边关系推导出； （2）由（1）的全等结论得，结合三角形三边关系，代入及边长数值，计算得出的取值范围． 【详解】（1）证明：延长到点，使，连接． 为的中线， 在和中， ） 在中，根据三角形的三边关系，得，即 （2）解：由（1）知： 所以，即． 题型8 旋转模型 【例1】如图，在四边形中，平分，，在上截取，连接，，并延长交于点．给出下列结论：；；．其中正确的有________．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，只要证明，，即可解决问题． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，故①正确， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，故②正确， ∵，，， ∴， ∴， ∴，故③正确， 故答案为：． 【例2】如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 【技巧归纳】 图形绕定点旋转，旋转前后三角形全等；旋转角为公共角，利用“等角 + 公共角”推出夹角相等，常用SAS 证明。 口诀：图形旋转边角不变，公共角作夹角，SAS 直接用。 易错提醒：找准旋转前后的对应边、对应角。 【变式8-1】在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）证即可求解； （3）证即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：， ∵，， ∴ ∵，， 故答案为： （2）解：，理由如下： ， ， 又， ， 即：， 在和中，， ； （3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下： 如图所示： ， ， 即：， 在和中，， 又， ． 【变式8-2】【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 题型9 垂线模型 【例1】已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 【例2】如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理证得，，然后证明得到即可求解． 【详解】解：∵在等腰三角形中，是底边上的高线， ∴，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故答案为：． 【技巧归纳】 多条垂线出现，可得多个直角90°；利用同角/等角的余角相等推导角相等，再结合ASA、AAS、SAS证全等。 口诀：多垂直，余等角，转角之后证全等。 易错提醒：区分直角、余角关系，不要混淆角度。 【变式9-1】如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式9-2】【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 题型10 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【例1】如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 【例2】如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 _____． 【答案】4 【分析】过点E作于点F，根据等边三角形的性质及线段的和差推出，，根据直角三角形的性质得出，根据含角的直角三角形的性质推出，根据等腰三角形的性质及线段的和差求解即可． 此题考查了含角的直角三角形的性质，熟记含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点E作于点F， ∵是等边三角形，边长为1，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 【技巧归纳】 常用截长补短法 截长：在长线段上截取一段等于其中一条短线段，证剩余部分等于另一条短线段； 补短：延长短线段，使总长等于长线段，再证全等。 易错提醒：辅助线描述规范，证明紧扣全等性质。 【变式10-1】如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等角对等边、角平分线的定义，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交于点，利用全等三角形的判定定理证出，得出，，由得到，再利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 的长为10． 【变式10-2】如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）在上截取，连接，利用全等三角形判定，得出，进而用判定得到，得出，再通过线段的等量代换即可证明； （2）在上截取，连接，用类似（1）的方法可得图②和图③中（1）的结论不成立，写出数量关系即可． 【详解】（1）证明：如图，在上截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． （2）解：在图②和图③中，（1）的结论不成立． 图②中，结论：； 图③中，结论：． 对于②，截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． 对于③，截取，连接，同理可证：． 题型11 尺规作图-作三角形 【例1】课堂上，李老师先给每人发一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出，后续画图的主要过程如图2所示．这种画图方法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ， ∴这种画图方法的依据是． 故选：A． 【例2】已知线段a，直角和锐角，求作直角三角形，使，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 先作出的余角，再作，在上截取，以B为顶点，为一边作，则即为所作． 【详解】解：如图：即为所作． 【技巧归纳】 依据SSS、SAS、ASA判定原理作图，先作基准边，再作角 / 截取线段，保留作图痕迹，最后标注字母。 易错提醒：尺规作图只能用无刻度直尺和圆规，不可用量角器、刻度尺测量。 【变式11-1】如图，已知线段和．      (1)求作，使；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在（1）的条件下，若， ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作三角形，等腰直角三角形的性质和判定，灵活运用所学知识解决问题． （1）先作，再以点A为圆心，以线段的长为半径画圆，交的一条边为B，再作，交的另一条边为C，连接即可． （2）由作法可知：，由此求出，得出是等腰直角三角形，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 【变式11-2】如何作一个三角形与已知三角形全等？请思考作图依据并与同学交流． 【答案】见解析 【分析】此题考查了尺规作三角形的方法．利用尺规作图，根据全等判定定理作图，通过已知三角形的三边长度，构造一个与之全等的三角形，依据是三边对应相等的两个三角形全等（定理）． 【详解】解：已知三角形，要作三角形与之全等， 首先，作线段等于， 然后以为圆心、长为半径画弧，以为圆心、长为半径画弧，两弧交于点， 连接，， 则三角形全等于三角形， 依据是SSS全等判定定理． 题型12 尺规作一个角等于已知角 【例1】 (1)尺规作图，在的外部作，使得（要求只保留作图痕迹，不写作法）； (2)设， ①用x表示； ②求证：； ③探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析；③，理由见解析 【分析】（1）利用尺规作图在的外部作，使得即可； （2）①根据（1）的作图即可解答；②由作图可知：，，再利用角的和差即可证明结论；③先说明，再利用角的和差即可解答． 【详解】（1）解：（1）如图：即为所求． （2）解：①由（1）作图可知： ②证明：由作图可知：，， ∴， ． ③与的和等于，理由如下：， ∴． 【例2】小华利用已学知识用尺规作一个角等于已知角，具体情况如图所示则小华得到与全等的依据是__________． 【答案】 【分析】利用作图痕迹得到，，根据全等三角形的判定方法即可解答． 【详解】解：由作图痕迹得，， ． 【技巧归纳】 核心原理是SSS全等；按照 “画射线→截等线段→画等弧→确定另一边” 四步操作，全程保证半径不变。 易错提醒：作图过程中圆规半径不能随意更改。 【变式12-1】尺规作图：作一个角等于已知角． 已知：． 求作：，使． 作法： 步骤一：如图，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交、于点，； 步骤二：如图，作射线，以点为圆心，以▲长为半径画弧，交于点； 步骤三：以点为圆心，以■长为半径画弧，与步骤二中所画的弧相交于点； 步骤四：经过点画射线，则． 则▲，■所表示的内容为（    ） A．任意， B．， C．任意， D．， 【答案】B 【分析】根据作一个角等于已知角的作图步骤分析即可求解． 【详解】解：步骤一：如图1，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交、于点，； 步骤二：如图，作射线，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点； 步骤三：以点为圆心，以长为半径画弧，与步骤二中所画的弧相交于点； 步骤四：经过点画射线，则． 则▲，■所表示的内容为，． 【变式12-2】如图，点在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（    ） A．以点为圆心，长为半径的弧 B．以点为圆心，长为半径的弧 C．以点为圆心，长为半径的弧 D．以点为圆心，长为半径的弧 【答案】C 【详解】解：要作，需要构造同位角相等，即， 如图，点在的边上， 首先以为圆心，任意长为半径画弧，交于，交于， 然后以为圆心，长为半径画弧，交于 ， 接下来需要以为圆心，长为半径画弧，交之前的弧于，连接即可得到， ∴图中弧是以点为圆心，长为半径的弧． 题型13 过直线外一点作已知直线的平行线 【例1】如图，已知P是直线外一点，用两种不同的方法过点P作与直线平行的直线．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不需要写作法．） 【答案】见解析． 【分析】此题主要考查了尺规作图，解答此题的关键是熟练掌握基本尺规作图，应用两种方法，过直线外一点作已知直线的平行线． 【详解】解：方法1：（1）过点P作直线与直线相交得， （2）以点P为顶点作，得直线； 方法2：过点P作直线，过点P作直线，得直线； 【例2】如图，点在的边上．请用尺规作图法，作直线．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】作即可． 本题考查了基本作图，平行线的判定，熟练掌握作图是解题的关键． 【详解】解：如图，（作法不唯一） 则直线即为所求． 【技巧归纳】 利用同位角相等，两直线平行，先作一个角等于已知同位角，依托 “作等角” 尺规方法完成。 易错提醒：找准同位角位置，作图痕迹清晰。 【变式13-1】（1）尺规作图：已知，过点在线段上方作射线，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的作图中，在射线上截取，连接，求证： 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了作平行线，全等三角形的性质与判定，平行线的判定． （1）作，即可求解． （2）证明得出，即可证明． 【详解】解：（1）如图所示，                    （2）如图，在射线上截取 由（1）可知， 且，              ∴ ， ． 【变式13-2】尺规作图：如图，已知，过点作直线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】本题考查过直线外一点作已知直线的平行线，根据题意作，连接即可． 【详解】解：如图，直线即为所求． 题型14 全等三角形综合问题 【例1】如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由证明得出，则①②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得，得出，则③正确；作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定得出平分，假设，证明，可得到，从而得到，与矛盾，则④错误． 【详解】解：， ∴，即， 在和中， ， ，则①正确； ，，，则②正确； 由三角形的外角性质得：， ，则③正确； 如图，作于，于，则， 在和中， ， ， ，， 平分，即， ， ∴， 假设， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，即，与矛盾， 则假设不成立，则④错误； 综上，正确的结论有①②③． 【例2】如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动；已知点的运动速度是．则经过__________，与全等． 【答案】1或4 【分析】设运动的时间为，由条件分两种情况，当时，则有，由条件可得到关于的方程，当△△，则有，同样可得出的方程，可求出的值． 【详解】解：设运动的时间为，分两种情况： ①当，时，， ，， ， ， ， ， 点从点出发在线段上以的速度向点运动， ； ②当，时，， 由题意得：， 解得：， 综上，经过或，与全等． 【技巧归纳】 整体思路：识图找隐含条件→选判定证全等→用全等性质推边角关系；多步题型分步拆解，结合平行线、角平分线、高线、模型综合分析。 易错提醒：多组全等时，分清对应元素，推理步骤有理有据，不跳关键步骤。 【变式14-1】如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：；；；，其中正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】①利用直角三角形两锐角和为，结合角平分线定义，得，由三角形外角或内角和定理，推出．②由折叠性质得，故，，计算得，即．③在的基础上，利用同角的余角相等得，结合、，由证得．④延长交于，先由证得，再证得，最终得． 【详解】解：中，， ， 的角平分线、相交于点， ，， ， ， 故①正确； ∵沿着折叠与重合，交于点H， ∴，， ∴， ∴， 故②正确； ， ，， ， 在和中， ， 故③正确； 延长交于点，则， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， 故④正确． 【变式14-2】如图，中，，点以每秒个单位的速度按的路径运动，点以每秒个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 _____ ． 【答案】或 【分析】分类讨论：①当点在上，点在上，②当在上，在上，③当在上重合时，根据题意结合全等三角形的性质得出，再分别用表示出和的长，列出等式，解出即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 【详解】解：当在上，在上时，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点运动秒； 当在上，在上时，如图， ∴， ∵，∴，∴，∴，不符合题意，舍去； 当在上重合时，如图， 则 ∴， 即 解得：， 综上可知：或． 1．如图，，下列条件中，不能判定与全等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐个判断即可求解． 【详解】解：A、根据可判断与全等，故选项不符合题意； B、根据可判断与全等，故选项不符合题意； C、、的夹角是，、的夹角是，已知条件为，因此不符合，不能判断与全等，故选项符合题意； D、根据可判断与全等，故选项不符合题意． 2．如图，，，下列根据“”定理，添加一个条件可以使得成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定定理，根据判定定理“”即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在和中，斜边， ∴要利用“”判定，则应添加条件直角边或， 故选：． 3．如图，在3×3的小正方形网格中，A，B，C，D均为格点，设，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，在中，，、分别是，上的点，添加下列条件后，仍不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在和中，已知，为公共角，已经具备一边一角对应相等，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断即可． 【详解】解：， ， 当时，则根据“”可判断，故A选项不符合题意； 当时，可得，即，则根据“”可判断，故B选项不符合题意； 当时，不能判断，故C选项符合题意； 当时，则根据“”可判断，故D选项不符合题意． 5．在中，，则边上的中线的取值范围是__． 【答案】 【分析】延长到点E，使，连接，证明，得到，在中，根据三角形三边的关系得到，代入求解即可． 【详解】解：如图所示，延长到点E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 6．如图，三角形中，平分，，若，，则___________． 【答案】 【分析】延长交于点E，证明，得到，，，可证明得到，根据三角形的中线平分三角形的面积得到，据此可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵平分 ∴ 又∵， ∴， ∴，，， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 7．如图，是的角平分线，于点，点为的中点，若，，则有下列结论：；；；．其中正确的是 ________ ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线及高线的性质，根据角平分线的定义可判定；根据角平分线的定义及垂直的定义求得，，再由即可判定；根据三角形中线的性质即可判定；根据已知条件判定不出，由此即可解答；熟知三角形的角平分线、中线及高线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴，故正确； ∵，， ∴， ∴，故正确； ∵为的中点， ∴，故 正确； ∵为斜三角形，为直角三角形， ∴与不全等， ∴不能够判定正确； 故答案为：． 8．已知，是等腰三角形，，点在x轴的负半轴上，直角顶点在y轴上，点在x轴上方． (1)如图1所示，点的坐标是，点的坐标是，过点作轴于，则线段 ，点的坐标是 ； (2)如图2，利用尺规作图过点作轴于，（不写作法，保留作图痕迹）请猜想线段，，之间的数量关系并写出证明过程． (3)如图3，若x轴恰好平分，于x轴交于点，过点作轴于，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)4， (2)画图见解析，或，证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出，，再判断出，，进而得出，即可得出结论； （2）先过点作轴于，再结合（1）的方法，进行分类讨论，即可得出结论； （3）先判断出，再判断出，进而判断出，得出，最后判断出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， . （2）解：如图，即为所求作的直线； 当点在轴下方时， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 当点在轴上方时，如图， 同（1）原理可得， ，， ， ； 综上，或； （3）解：如图，延长，相交于点， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ， ， 轴平分，轴， ， ， ， ， ， ∴． 9．【问题】已知：是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上的两点，且， 【探究】嘉嘉、琪琪和乐乐对上面的问题展开了探究，请阅读他们的探究过程并解答下列问题： (1)如图1，若直线经过的内部，且，射线在上．嘉嘉给出的条件是“”，猜想与的数量关系是 (2)如图2，琪琪改变了嘉嘉的条件，变为“”其余条件不变，请你探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，乐乐改变了直线的位置，使经过的外部，，请写出、、三条线段之间的数量关系： （不要求证明） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）先得出，，根据证，即可； （2）求出，，根据证，推出，即可； （3）求出，，根据证，推出，即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，，， ∴， ∵， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解： ，， 又，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 10．在中，，长为，长为，长为，并且．请回答以下问题： (1) ， ； (2)如图，在中，，，，，．在中，动点P从点A出发，沿运动，到点C停止，速度为，若另外有一个动点Q与点P同时出发，动点Q从点B出发，沿运动，到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好有以A，P，Q为顶点的三角形与全等，求出点Q的运动速度； (3)若在中，动点P仍从点A出发，运动轨迹变为沿运动，到点B停止，速度仍为．动点Q运动轨迹不变，仍与点P同时出发，从点B出发沿着运动，到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，仍有以，P，Q为顶点的三角形与全等(为A或B)，此时点Q的运动速度还可以为 ． 【答案】(1)9，12 (2)点Q的运动速度为或； (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，算术平方根的非负性，解一元一次方程． （1）利用非负数的性质求解即可； （2）由题意得，，分两种情况讨论，①，；②，，分别列式计算即可求解； （3）由题意得，，同（2）理，分两种情况讨论，分别列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， 故答案为：9，12； （2）解：∵，， ∴，， 设运动时间为，动点Q速度为， 由题意得，， 要使与全等，且， ①，， ∴，解得； ，即， 解得； ②，， ∴，解得； ，即， 解得； 综上，点Q的运动速度为或； （3）解：设运动时间为，动点Q速度为， 以，P，Q为顶点的三角形与全等，此时点P在上， 由题意得，， ①，， ∴，解得； ，即， 解得； ②，， ∴，解得； ，即， 解得； 综上，点Q的运动速度为或； 故答案为：或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 三角形全等的判定 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 用SAS证明三角形全等 题型2 用ASA(AAS)证明三角形全等 题型3 用SSS证明三角形全等 题型4 全等的性质与HL综合 题型5 添加条件使三角形全等 题型6 灵活选择判定方法证全等 题型7 倍长中线模型 题型8 旋转模型 题型9 垂线模型 题型10 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 题型11 尺规作图-作三角形 题型12 尺规作一个角等于已知角 题型13 过直线外一点作已知直线的平行线 题型14 全等三角形综合问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 三角形全等判定、SSS、SAS、ASA、AAS、HL、公共边、公共角、对顶角 1.掌握三角形全等的SSS、SAS、ASA、AAS四种基本判定定理，了解直角三角形专属判定定理HL。 2.理解每个判定定理的条件含义，能准确区分不同判定方法的适用场景。 3.明确SSA、AAA不能作为三角形全等的判定依据，并能举例说明原因。 4.能根据已知条件，灵活选择判定方法证明两个三角形全等。 5.结合全等判定，完成线段相等、角相等的简单推理与证明，规范几何证明步骤。 学习重点：掌握三角形全等的五种判定方法，能运用定理证明三角形全等。 学习难点：准确挖掘图形隐含条件，合理选择判定方法并规范完成几何推理证明。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 边边边（SSS） 1.内容：三边分别相等的两个三角形全等。 2.几何语言：在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF(SSS) 3.适用场景：题干已知三组对应边相等，或可推导出三边相等。 即时即练如图，若，，则可得．其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 知识点02 边角边（SAS） 1.内容：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 2.关键强调：必须是两边中间的夹角，不是其中一边的对角。 3.几何语言：在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF(SAS) 即时即练已知：如图，A、D是CF上的两点，且，，．求证：． 【方法总结】 如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 知识点03 角边角（ASA） 1.内容：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 2.关键强调：边必须在两个角中间，为两角的公共边。 3.几何语言：在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF(ASA) 即时即练如图，D是上一点，交于点E，，．求证：． 【方法总结】 如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 知识点04 角角边（AAS） 1.内容：两角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。 2.推导依据：结合三角形内角和，AAS 可由 ASA 推导得出。 3.几何语言：在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF(AAS) 即时即练如图，在和中，三点共线，三点共线，，．求证：． 【方法总结】 由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 知识点05 直角三角形全等专属判定（HL） 1.适用范围：仅用于直角三角形。 2.内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 3.几何语言：在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90° ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL) 4.补充：直角三角形也可使用 SSS、SAS、ASA、AAS 判定全等。 即时即练如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 一般的两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”条件时，它们并不全等，但当其中的“A”是直角时，这两个直角三角形就是全等的，这就是判定两个直角三角形全等特有的“HL'’定理。 题型1 用SAS证明三角形全等 【例1】如图，已知点B，D在上，，，．求证： (1)； (2)． 【例2】如图，点在线段上，，且，．连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【技巧归纳】 找准两组对应边+两边的夹角，角必须夹在两条边中间；优先挖掘公共角、对顶角，严格区分夹角与对角，禁止套用 SSA。 易错提醒：两边及其中一边的对角相等，不能判定全等。 【变式1-1】如图，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式1-2】如图，，，求证：平分． 题型2 用ASA(AAS)证明三角形全等 【例1】如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，点，，，在一条直线上，，连接，，．若要使，则需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 AS：两角夹一边，相等的边在两个角中间； AAS：两角加其中一个角的对边； 可结合三角形内角和，灵活在ASA、AAS之间转化。 易错提醒：分清夹边与对边，条件顺序与定理保持一致。 【变式2-1】如图，点是的高和所在直线的交点，且，求证：． 【变式2-2】如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型3 用SSS证明三角形全等 【例1】小明发现有两个结论：在与中 ①若，且它们的周长相等，则； ②若，则． 对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①，②都错误 B．①，②都正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【例2】已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 【技巧归纳】 寻找三组对应边相等，优先利用公共边；题干多给出线段和差、等量代换，先推导出三边对应相等再证明。 易错提醒：不要漏写公共边，三条边必须一一对应。 【变式3-1】如图，点D是外一点，连接，已知，． (1)在内求作一点M，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【变式3-2】如图，已知点在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型4 全等的性质与HL综合 【例1】如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，添加下列选项中的条件，能用判定的是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 HL专用于直角三角形，只需找斜边+一条直角边相等；先利用HL证全等，再用全等性质求线段、角度。 易错提醒：普通三角形不能使用 HL，做题先标注直角。 【变式4-1】如图，，，于点，于点，求证． 【变式4-2】已知：如图，在中，，是过点A的直线，于点D，于点E，且． (1)若在的同侧（如图①）求证：． (2)若在的两侧（如图②），问与仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由． 题型5 添加条件使三角形全等 【例1】如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 【例2】的条件是（     ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 对照现有条件，匹配五大判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL），缺边补边、缺角补角；答案一般不唯一，优先选最简单条件。 易错提醒：禁止补充SSA、AAA类条件。 【变式5-1】如图，点是上任意一点，．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在和中，，． (1)请添加一个条件________，使； (2)若，且，，求的度数． 题型6 灵活选择判定方法证全等 【例1】如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A． B． C． D． 【例2】如图，一块三角形玻璃破裂成I，II号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上___________号碎片．根据全等三角形的知识，这样选择的依据是___________． 【技巧归纳】 1.已知多条边相等 → 优先SSS； 2.已知两边+一个角 → 优先SAS（必看是否为夹角）； 3.已知多个角相等 → 优先ASA、AAS； 4.图形含直角 → 优先尝试HL。 易错提醒：先挖掘公共边、公共角、对顶角等隐含条件。 【变式6-1】小数同学在探究三角形全等的条件时，设计了一个如图所示的数学实验，把两根木条的一端用螺栓固定点位置，然后固定木条，摆出．把木条转动一定角度后，点刚好落在直线上的处．此实验得到的结论是：_____的两个三角形不一定全等． 【变式6-2】如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 题型7 倍长中线模型 【例1】如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是______． 【例2】如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 【技巧归纳】 遇到三角形中线，延长中线至一倍长，构造SAS型全等；利用全等实现线段转移，将分散线段集中到同一个三角形中。 口诀：遇中线，加倍延，出全等，转线段。 易错提醒：延长后务必标注相等线段，明确对顶角为夹角。 【变式7-1】【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 【变式7-2】如图，为的中线． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 题型8 旋转模型 【例1】如图，在四边形中，平分，，在上截取，连接，，并延长交于点．给出下列结论：；；．其中正确的有________．（填序号） 【例2】如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【技巧归纳】 图形绕定点旋转，旋转前后三角形全等；旋转角为公共角，利用“等角 + 公共角”推出夹角相等，常用SAS 证明。 口诀：图形旋转边角不变，公共角作夹角，SAS 直接用。 易错提醒：找准旋转前后的对应边、对应角。 【变式8-1】在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【变式8-2】【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 题型9 垂线模型 【例1】已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 【例2】如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为_____． 【技巧归纳】 多条垂线出现，可得多个直角90°；利用同角/等角的余角相等推导角相等，再结合ASA、AAS、SAS证全等。 口诀：多垂直，余等角，转角之后证全等。 易错提醒：区分直角、余角关系，不要混淆角度。 【变式9-1】如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【变式9-2】【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 题型10 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【例1】如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【例2】如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 _____． 【技巧归纳】 常用截长补短法 截长：在长线段上截取一段等于其中一条短线段，证剩余部分等于另一条短线段； 补短：延长短线段，使总长等于长线段，再证全等。 易错提醒：辅助线描述规范，证明紧扣全等性质。 【变式10-1】如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长． 【变式10-2】如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 题型11 尺规作图-作三角形 【例1】课堂上，李老师先给每人发一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出，后续画图的主要过程如图2所示．这种画图方法的依据是（    ） A． B． C． D． 【例2】已知线段a，直角和锐角，求作直角三角形，使，，． 【技巧归纳】 依据SSS、SAS、ASA判定原理作图，先作基准边，再作角 / 截取线段，保留作图痕迹，最后标注字母。 易错提醒：尺规作图只能用无刻度直尺和圆规，不可用量角器、刻度尺测量。 【变式11-1】如图，已知线段和．      (1)求作，使；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在（1）的条件下，若， ，求的长． 【变式11-2】如何作一个三角形与已知三角形全等？请思考作图依据并与同学交流． 题型12 尺规作一个角等于已知角 【例1】 (1)尺规作图，在的外部作，使得（要求只保留作图痕迹，不写作法）； (2)设， ①用x表示； ②求证：； ③探究与的数量关系，并说明理由． 【例2】小华利用已学知识用尺规作一个角等于已知角，具体情况如图所示则小华得到与全等的依据是__________． 【技巧归纳】 核心原理是SSS全等；按照 “画射线→截等线段→画等弧→确定另一边” 四步操作，全程保证半径不变。 易错提醒：作图过程中圆规半径不能随意更改。 【变式12-1】尺规作图：作一个角等于已知角． 已知：． 求作：，使． 作法： 步骤一：如图，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交、于点，； 步骤二：如图，作射线，以点为圆心，以▲长为半径画弧，交于点； 步骤三：以点为圆心，以■长为半径画弧，与步骤二中所画的弧相交于点； 步骤四：经过点画射线，则． 则▲，■所表示的内容为（    ） A．任意， B．， C．任意， D．， 【变式12-2】如图，点在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（    ） A．以点为圆心，长为半径的弧 B．以点为圆心，长为半径的弧 C．以点为圆心，长为半径的弧 D．以点为圆心，长为半径的弧 题型13 过直线外一点作已知直线的平行线 【例1】如图，已知P是直线外一点，用两种不同的方法过点P作与直线平行的直线．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不需要写作法．） 【例2】如图，点在的边上．请用尺规作图法，作直线．（不写作法，保留作图痕迹） 【技巧归纳】 利用同位角相等，两直线平行，先作一个角等于已知同位角，依托 “作等角” 尺规方法完成。 易错提醒：找准同位角位置，作图痕迹清晰。 【变式13-1】（1）尺规作图：已知，过点在线段上方作射线，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的作图中，在射线上截取，连接，求证： 【变式13-2】尺规作图：如图，已知，过点作直线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 题型14 全等三角形综合问题 【例1】如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例2】如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动；已知点的运动速度是．则经过__________，与全等． 【技巧归纳】 整体思路：识图找隐含条件→选判定证全等→用全等性质推边角关系；多步题型分步拆解，结合平行线、角平分线、高线、模型综合分析。 易错提醒：多组全等时，分清对应元素，推理步骤有理有据，不跳关键步骤。 【变式14-1】如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：；；；，其中正确的有（　　） A． B． C． D． 【变式14-2】如图，中，，点以每秒个单位的速度按的路径运动，点以每秒个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 _____ ． 1．如图，，下列条件中，不能判定与全等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．如图，，，下列根据“”定理，添加一个条件可以使得成立的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在3×3的小正方形网格中，A，B，C，D均为格点，设，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，、分别是，上的点，添加下列条件后，仍不能证明的是（   ） A． B． C． D． 5．在中，，则边上的中线的取值范围是__． 6．如图，三角形中，平分，，若，，则___________． 7．如图，是的角平分线，于点，点为的中点，若，，则有下列结论：；；；．其中正确的是 ________ ． 8．已知，是等腰三角形，，点在x轴的负半轴上，直角顶点在y轴上，点在x轴上方． (1)如图1所示，点的坐标是，点的坐标是，过点作轴于，则线段 ，点的坐标是 ； (2)如图2，利用尺规作图过点作轴于，（不写作法，保留作图痕迹）请猜想线段，，之间的数量关系并写出证明过程． (3)如图3，若x轴恰好平分，于x轴交于点，过点作轴于，请直接写出与之间的数量关系． 9．【问题】已知：是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上的两点，且， 【探究】嘉嘉、琪琪和乐乐对上面的问题展开了探究，请阅读他们的探究过程并解答下列问题： (1)如图1，若直线经过的内部，且，射线在上．嘉嘉给出的条件是“”，猜想与的数量关系是 (2)如图2，琪琪改变了嘉嘉的条件，变为“”其余条件不变，请你探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，乐乐改变了直线的位置，使经过的外部，，请写出、、三条线段之间的数量关系： （不要求证明） 10．在中，，长为，长为，长为，并且．请回答以下问题： (1) ， ； (2)如图，在中，，，，，．在中，动点P从点A出发，沿运动，到点C停止，速度为，若另外有一个动点Q与点P同时出发，动点Q从点B出发，沿运动，到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好有以A，P，Q为顶点的三角形与全等，求出点Q的运动速度； (3)若在中，动点P仍从点A出发，运动轨迹变为沿运动，到点B停止，速度仍为．动点Q运动轨迹不变，仍与点P同时出发，从点B出发沿着运动，到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，仍有以，P，Q为顶点的三角形与全等(为A或B)，此时点Q的运动速度还可以为 ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $