重难点03 将军饮马求最值问题（暑假预习讲义）新八年级数学新教材人教版

重难点03 将军饮马求最值问题 内容导航 01 技巧总结→ 定类型·抓技巧：精准定向 02 题型分类→ 梳理题型，归类破题提效 题型1 线段差最大值 题型2 线段和最小值问题 将军饮马模型： 名称 图形 已知与结论 将军饮马——“两定一动” A B l P 已知：如图，定点A，B在直线l的两侧 结论：PA+PB的最小值为线段AB的长 A B l P B’ 已知：如图，定点A，B在直线l的同侧 结论： PA+PB的最小值为线段AB’的长A B l P B’ A B l P P’ 已知：如图，两定点A，B在直线l的同侧 结论：当A，B，P三点共线时，|PA－PB|的值最大为线段AB的长 A B l P’ P B’ 已知：如图，两定点A，B在直线l的两侧 结论：当A，B’，P三点共线时，|PA－PB|的值最大为线段AB’的长 将军饮马——“两动一定” A P O B P1 N M P2 已知：如图，P为∠AOB内一点 结论：当P1，M，N，P2，四点共线时，PM+PN+MN的最小值为线段P1P2的长 将军饮马——“两定两动” l1 P O l2 Q M N P’ Q’ F E D C A B D’’ D’ 已知：如图，P，Q为角内两定点 结论：当Q’，M，N，P’四点共线时，四边形PQMN的周长最小值为线段PQ+P’Q’的值 将军饮马——“三动点” 已知：如图，已知D，E，F分别为AB，AC，BC上的动点 结论：当CD最短，即CD⊥AB时，△DEF周长的最小值为线段D’D’’的长 将军饮马——“定点一定长” M N B A n m A’ 已知：如图，直线m∥n，A，B分别为直线m上方和直线n下方的两个定点（直线AB不与m垂直） 结论：AM+MN+BN的最小值为A’B+MN的值 A B l N M A’’ A’ 已知：如图，定点A，B在直线l的同侧 结论：AM+MN+BN的最小值为A’’B+MN的值 题型1 线段差最大值 1．浙教版教材八上第56页有个例题如图，分析中讲到：“显然：当点，P，B同在一直线上时，最短． 例2：如图，直线l表示草原上的一条河面．一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中．他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线． 分析：如图，设P是直线上任意一点，连结，以直线l为对称轴，作与线段成轴对称的线段，则显然，当点，P，B同在一直线上时，最短，即路程最短． 请问这里所根据的数学原理是_____ A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 【知识拓展】小陈老师说用类似的原理还可以解决下面的问题：在直线l上找一点Q，使得的值最大．聪明的小婷同学说：“只要连接，并延长，与直线l的交点就是点Q的位置． 如图1，若点A、B、Q在同一直线上，则，若取直线上其余位置任一点C，则______（填或或或），由此可知的最大值是线段______的长度． 【尝试应用】如图2，已知是边长为6的等边三角形，点D和点M分别为边和的中点，点P为上的一个动点． （1）求的最小值； （2）求的最大值． 2．在中，，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，． (1)如图1，当时，则的大小； (2)当时， ①如图2，连接，的形状是　 　三角形； ②如图3，直线与交于点，满足．P为直线上一动点．说明P点在什么位置时，有最大值；请直接写出这个最大值．（提示：作点D关于直线的对称点） 3．如图，若为等腰直角三角形，，，为上的动点，则的最大值是________ 4．如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为______． 5．在中，为的延长线上一点，为线段的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，的长为___________． (2)如图2，连接，请判断的形状，并说明理由． (3)如图3，过点作直线，使得，为直线上的一个动点，求的最大值． 6．如图，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为12，，则的最小值为______，的最大值为______． 7．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，垂足为E，平分． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，点P是直线上的动点，求的最大值． 8．如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 9．在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是___________． 10．如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为______． 题型2 线段和最小值问题 11．问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值． (2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值． (3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 12．综合实践：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决数学问题的一种策略．如图，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同侧有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． 小明的作法是：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 【活动一】 如图，为了证明点的位置即为所求，小明经探究发现，在直线l上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图中小明的证明； (2)如图，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图，已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【活动二】感悟方法，尝试应用 (4)如图6，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系________； ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图6上标注点的位置，并求出的最小值________． 13．如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是______． 14．如图，已知在等边中，， ，若点P在线段上运动，当有最小值时，最小值为__________． 15．如图，在等边中，边上的高是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是________． 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，，点O与坐标原点重合，C是边上一点，连接，P是y轴上一动点． (1)若是的中线，求的最小值； (2)若是的角平分线，Q是上一点，求的最小值． 17．阅读材料： 如图1，“智慧小组”在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中的证明； (2)如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是________； (3)如图5，在中，，，，，平分，分别在，上取点，，连接，，则的最小值是________． 18．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据：______； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值； (3)如图3，已知，点Q在内部，点M，N分别在射线，上，若，请求出周长的最小值． 19．几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 解法：作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为线段的长．    (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形； (2)应用：①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点O），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，，点M、N分别在边、上，且，点P，Q分别在、上，则的最小值是________． 20．唐代诗人李颀的诗句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，引出一系列有趣的数学问题，通常称为将军饮马问题． (1)如图①，若点和点分别在直线的两侧，请作示意图，在直线上找点，使得有最小值，并写出作图依据； (2)如图②，若点和点分别在直线的同侧，请作示意图，在直线上找点，使得有最小值； (3)如图③，定点在内部，点，分别在射线，上，请作示意图，确定点，，使得的周长最小． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点03 将军饮马求最值问题 内容导航 01 技巧总结→ 定类型·抓技巧：精准定向 02 题型分类→ 梳理题型，归类破题提效 题型1 线段差最大值 题型2 线段和最小值问题 将军饮马模型： 名称 图形 已知与结论 将军饮马——“两定一动” A B l P 已知：如图，定点A，B在直线l的两侧 结论：PA+PB的最小值为线段AB的长 A B l P B’ 已知：如图，定点A，B在直线l的同侧 结论： PA+PB的最小值为线段AB’的长A B l P B’ A B l P P’ 已知：如图，两定点A，B在直线l的同侧 结论：当A，B，P三点共线时，|PA－PB|的值最大为线段AB的长 A B l P’ P B’ 已知：如图，两定点A，B在直线l的两侧 结论：当A，B’，P三点共线时，|PA－PB|的值最大为线段AB’的长 将军饮马——“两动一定” A P O B P1 N M P2 已知：如图，P为∠AOB内一点 结论：当P1，M，N，P2，四点共线时，PM+PN+MN的最小值为线段P1P2的长 将军饮马——“两定两动” l1 P O l2 Q M N P’ Q’ F E D C A B D’’ D’ 已知：如图，P，Q为角内两定点 结论：当Q’，M，N，P’四点共线时，四边形PQMN的周长最小值为线段PQ+P’Q’的值 将军饮马——“三动点” 已知：如图，已知D，E，F分别为AB，AC，BC上的动点 结论：当CD最短，即CD⊥AB时，△DEF周长的最小值为线段D’D’’的长 将军饮马——“定点一定长” M N B A n m A’ 已知：如图，直线m∥n，A，B分别为直线m上方和直线n下方的两个定点（直线AB不与m垂直） 结论：AM+MN+BN的最小值为A’B+MN的值 A B l N M A’’ A’ 已知：如图，定点A，B在直线l的同侧 结论：AM+MN+BN的最小值为A’’B+MN的值 题型1 线段差最大值 1．浙教版教材八上第56页有个例题如图，分析中讲到：“显然：当点，P，B同在一直线上时，最短． 例2：如图，直线l表示草原上的一条河面．一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中．他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线． 分析：如图，设P是直线上任意一点，连结，以直线l为对称轴，作与线段成轴对称的线段，则显然，当点，P，B同在一直线上时，最短，即路程最短． 请问这里所根据的数学原理是_____ A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 【知识拓展】小陈老师说用类似的原理还可以解决下面的问题：在直线l上找一点Q，使得的值最大．聪明的小婷同学说：“只要连接，并延长，与直线l的交点就是点Q的位置． 如图1，若点A、B、Q在同一直线上，则，若取直线上其余位置任一点C，则______（填或或或），由此可知的最大值是线段______的长度． 【尝试应用】如图2，已知是边长为6的等边三角形，点D和点M分别为边和的中点，点P为上的一个动点． （1）求的最小值； （2）求的最大值． 【答案】A；【知识拓展】，；【尝试应用】（1）；（2）3 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题等内容，三角形的三边关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 由材料可直接得解； 知识拓展根据三角形三边关系即可得解； 尝试应用（1）由题得，进而，当且仅当B、P、M三点共线时取等，据此求出长度； （2）由知识拓展可直接得解． 【详解】由材料可知其数学原理为两点之间，线段最短； 故答案为：A； 知识拓展根据三角形三边关系可知，当且仅当C、A、B三点共线时取等； 故答案为：，； 尝试应用（1）如图，连接， 为等边三角形，D为中点， 垂直平分， ， ，当且仅当B、P、M三点共线时取等，此时最小值为的长度， 为中点， ，， ， 的最小值为； （2）由知识拓展可知，， 当点P位于点A位置时取等，此时， 的最大值为 2．在中，，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，． (1)如图1，当时，则的大小； (2)当时， ①如图2，连接，的形状是　 　三角形； ②如图3，直线与交于点，满足．P为直线上一动点．说明P点在什么位置时，有最大值；请直接写出这个最大值．（提示：作点D关于直线的对称点） 【答案】(1) (2)①等边 ②点在的延长线上时，的值最大，最大值为2，理由见解析 【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可； （2）①是等边三角形，证明，即可； ②结论：．如图3中，作点关于直线的对称点，连接，，．当点在的延长线上时，的值最大，此时，利用全等三角形的性质证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图1中， 点是线段，的垂直平分线的交点， ， ，， ，， ， ， ， ． （2）解：①如图2中， 点是线段，的垂直平分线的交点， ， ，， ，， ， ， ， ， 是等边三角形； ②如图3中，作点关于直线的对称点，连接，，． 当点在的延长线上时，的值最大，此时， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 时等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ． ∴点在的延长线上时，的值最大，最大值为2， 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 3．如图，若为等腰直角三角形，，，为上的动点，则的最大值是________ 【答案】 【分析】作关于的对称点，连接交于，则点就是使的值最大的点，，连接，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据角的和差关系得到，根据轴对称的性质得到，，推出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：作关于的对称点，连接交于，则点就是使的值最大的点，， 连接， 为等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ． 故答案为：． 4．如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称−−最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，则此时点P就是使的值最大的点， 连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可推出是等边三角形，进而即可得到结论，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P， ∴， ∴， 根据三角形的三边关系可知，此时点P就是使的值最大的点， 连接， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．在中，为的延长线上一点，为线段的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，的长为___________． (2)如图2，连接，请判断的形状，并说明理由． (3)如图3，过点作直线，使得，为直线上的一个动点，求的最大值． 【答案】(1)4 (2)为等边三角形，理由见解析 (3)的最大值为4 【分析】（1）利用含的直角三角形的性质求解即可； （2）利用线段的垂直平分线的性质证明，再利用三角形内角和定理和四边形内角和定理求出，进而即可推出为等边三角形； （3）作点关于直线的对称点，连接．当点在的延长线上时，的值最大，此时，再利用全等三角形的性质证明，进而即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴， 故答案为：4； （2）解：为等边三角形，理由如下， 点为线段的垂直平分线的交点， ， ． ， ， ， ， ， 又∵， 为等边三角形； （3）解：连接，由（2）得，为等边三角形， ，， 如图，作点关于直线的对称点，连接． ， ，则点在的延长线上时，的值最大，此时． ，， ， ． ， ， ， ， ． ， 是等边三角形， ，， ． ， ． ， ， ． 6．如图，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为12，，则的最小值为______，的最大值为______． 【答案】 【分析】连接，由三线合一及线段中点的定义可得，，由三角形的面积公式可得，由此即可求出的长，由“直线是的垂直平分线”可得点关于直线的对称点为点，由“轴对称的性质——最短路线问题”可知，的长即为的最小值；由三角形三边之间的关系可得，，进而可得，由绝对值的意义可得，由此即可得出的最大值；综上，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ，是的中点， ，， ， ， 直线是的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的最小值为； ，， ， ， 的最大值为； 故答案为：，． 7．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，垂足为E，平分． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，点P是直线上的动点，求的最大值． 【答案】(1)30° (2)见解析 (3)2 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到．由角平分线的概念得到，进而利用三角形内角和定理求解即可； （2）根据含角直角三角形的性质得到，进而求解即可； （3）作C点关于直线的对称点，根据角平分线的定义可判断在直线上，连接的直线就是，则当P点和A点重合时，最大，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明∶ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解∶ 作C点关于直线的对称点， ∵平分． ∴在直线上， ∴连接的直线就是， ∴当P点和A点重合时，最大， 此时的最大值为， ∵， ∴的最大值为2． 8．如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、轴对称图形的性质；通过轴对称图形的性质转化线段和角是解题的关键．作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、；易得，，；进而构造出等边，然后根据三角形的三边关系可得；求出的长即可 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、；    由轴对称图形的性质可知：，， ∴ 即：当三点共线时， ∵ 为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴是等边三角形 ∴ 即：的最大值为 故选：A． 9．在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是___________． 【答案】2 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键． 【详解】解：∵点是边的中点， ∴， 在上取点，使得， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 10．如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查轴对称——最短问题，菱形的性质，解直角三角形等知识，连接交于点，过点作于点，延长交于点，连接交于点，作关于的对称线段，则的对应点在线段上，当点是定点时， ，当共线时，的值最大，最大值是线段的长，当点与重合时，点 与 重合，此时的值最大，最大值是线段的长，也就是线段的长，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】如图，连接交于点，过点作于点，延长交于点，连接交于点，作关于的对称线段，则的对应点在线段上，当点是定点时， ，当共线时，的值最大，最大值是线段的长， 当点与重合时，点 与 重合，此时的值最大，最大值是线段的长，也就是线段的长， 如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 题型2 线段和最小值问题 11．问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值． (2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值． (3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 【答案】(1)3 (2)3 (3)5 【分析】（1）连接，可得点B，C关于对称，则，那么，故就是的最小值，然后根据等边三角形的性质得到，再根据等边三角形的高即可求解； （2）过点作于点，可得平分，，，，则，那么，即可求解最小值； （3）分别作点P关于的对称点E，D，连接，分别交于点Q，R，连接，则，，然后得到是等边三角形，则，，而，故点共线时，周长取得最小值即为，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵是等边三角形，是边上的高， ∴点B，C关于对称，， ∴， ∴ ∴就是的最小值． ∵在等边三角形中，E是的中点， ∴， 而是边上的高 ∴， ∴的最小值为3． （2）解：如图，过点作于点， ∵为等边三角形的高， ∴平分，， ∴，， ∴， ∴， 故其最小值为3； （3）解：如图，分别作点P关于的对称点E，D，连接，分别交于点Q，R，连接． ∵点P关于的对称点为E， ∴． ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴当点共线时，周长取得最小值即为 ∴． 12．综合实践：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决数学问题的一种策略．如图，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同侧有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． 小明的作法是：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 【活动一】 如图，为了证明点的位置即为所求，小明经探究发现，在直线l上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图中小明的证明； (2)如图，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图，已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【活动二】感悟方法，尝试应用 (4)如图6，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系________； ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图6上标注点的位置，并求出的最小值________． 【答案】(1)证明：由轴对称的性质可知，，， ， ， ，， ∴当、、三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求． (2)的周长最小值为， (3) (4)①；②如图：点F即为所求．， 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，则， ，可得即可证明结论； （2）如图，连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是m与的交点时，的周长最小；再利用垂直平分线的性质以及线段的和差即可解答； （3）如图，分别作关于、的对称点、，连接、、，当、、、四点共线时，的周长取最小值，再根据轴对称的性质解答即可． （4）①利用等腰三角形三线合一的性质求解即可；②如图：连接与的交点F即为所求；再利用等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： 如图，连接， ∵是边的垂直平分线， ， 的周长为， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 即当是与的交点时，的周长最小，最小为， （3）解： 如图，分别作关于、的对称点、，连接、、，当、、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，，，， ， ， ， ， ，， ． （4）解：①在等边三角形中，是的中线， ，， ； ②如图：点F即为所求． 点为上一点 当点，，三点共线时，的值最小，即的长度 在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ． 13．如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质及最短路径问题．关键是利用垂直平分线的对称性将转化为，再根据“两点之间线段最短”确定的最小值为的长度，最后结合等边三角形高的性质求出的长度． 【详解】解：如图，连接． ∵是等边三角形，是边上的高， ∴垂直平分， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴． 根据两点之间线段最短，当为与的交点时，取得最小值，最小值为的长度． 又∵是的中点，是等边三角形， ∴是边上的高， ∴， 故的最小值为． 故答案为：． 14．如图，已知在等边中，， ，若点P在线段上运动，当有最小值时，最小值为__________． 【答案】 【分析】作，垂足分别为，根据三线合一，结合含30度角的直角三角形的性质，推出，进而得到，进行求解即可. 【详解】解：作，垂足分别为， ∵在等边中，， ， ∴，，， ∴，， ∴， ∴的最小值为. 15．如图，在等边中，边上的高是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．先连接，再根据，则，最后根据两点之间线段最短，求得的长，即为的最小值． 【详解】解：如图，连接，， ∵等边中，是边上的中线，F是边的中点， ∴垂直平分，垂直平分，， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当C、F、E三点共线时，， 即的最小值为． 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，，点O与坐标原点重合，C是边上一点，连接，P是y轴上一动点． (1)若是的中线，求的最小值； (2)若是的角平分线，Q是上一点，求的最小值． 【答案】(1)最小值为 (2)的最小值为 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形中线的性质，角平分线的定义． （1）作点C关于y轴对称的点，连接，与y轴交于点，当点P在位置时，最小．根据是的中线求出，即可求出的最小值； （2）根据是的角平分线可知点P关于对称的点在上，则当时，垂足为H，最小，即最小，为的长，根据等面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图1，作点C关于y轴对称的点，连接，与y轴交于点，当点P在位置时，最小． 是的中线， 是边的中点， ∵A，B的坐标分别为，， ∴，， ． 由对称可知， 最小值为； （2）解：是的角平分线， 点P关于对称的点在上，如图2． 此时， ． 当时，垂足为H，最小，即最小，为的长． 由，得， 解得， 的最小值为． 17．阅读材料： 如图1，“智慧小组”在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中的证明； (2)如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是________； (3)如图5，在中，，，，，平分，分别在，上取点，，连接，，则的最小值是________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）由题意知，是等边的对称轴，如图1，作关于的对称点，连接，，则的最小值是，然后求解作答即可； （3）由题意知，是的对称轴，如图2，作关于的对称点，连接，作于，由题意知，当三点共线时，，当重合时，的值最小，为，根据，即，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：∵等边，是的平分线， ∴是等边的对称轴， 如图1，作关于的对称点，连接，， ∴为的中点，为的平分线， ∴， 由题意知，的最小值是， 故答案为：4； （3）解：∵平分， ∴是的对称轴， 如图2，作关于的对称点，连接，作于， 由题意知，当三点共线时，， 当重合时，的值最小，为， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 18．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据：______； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值； (3)如图3，已知，点Q在内部，点M，N分别在射线，上，若，请求出周长的最小值． 【答案】(1)图见解析，两点之间线段最短 (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． （1）依据是两点之间线段最短得出答案； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，点即为所求； （3）分别作关于、的对称点、，连接，交、于、，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】（1）连接，与直线相交于一点，则有最小值．作图依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图，点即为所求． （3）如图2， 作法：（Ⅰ）作关于的对称点， （Ⅱ）作点关于的对称点， （Ⅲ）连接，分别交于点M，交于N， 则的周长最小， 连接、， ∵点C和点Q关于对称， ∴，， 同理可得， ，， ∴， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长． 19．几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 解法：作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为线段的长．    (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形； (2)应用：①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点O），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，，点M、N分别在边、上，且，点P，Q分别在、上，则的最小值是________． 【答案】(1)见解析 (2)①12；②2 【分析】（1）根据模型作出图形； （2）①分别作关于、的对称点、，连接，交、于、，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果；②作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，此时的值最小，最小值为，进而推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1，    （2）①如图2，    作法：（Ⅰ）作关于的对称点， （Ⅱ）作点关于的对称点， （Ⅲ）连接，分别交于点，交于， 则的周长最小， 连接、， 点和点关于对称， ，， 同理可得，，， ， ， 为等边三角形， ， 的周长； ②如图3，      作法：（Ⅰ）作点关于的对称点，点关于的对称点， （Ⅱ）连接交于，交于， （Ⅲ）连接、， ， ， 此时的值最小，最小值为， ，，，， ，， ， 为等边三角形， ，即 的值最小为2， 故答案为：2． 20．唐代诗人李颀的诗句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，引出一系列有趣的数学问题，通常称为将军饮马问题． (1)如图①，若点和点分别在直线的两侧，请作示意图，在直线上找点，使得有最小值，并写出作图依据； (2)如图②，若点和点分别在直线的同侧，请作示意图，在直线上找点，使得有最小值； (3)如图③，定点在内部，点，分别在射线，上，请作示意图，确定点，，使得的周长最小． 【答案】(1)作图依据：两点之间线段最短 (2) (3) 【分析】（1）依据两点之间线段最短得出答案； （2）利用对称的性质即可得出结果； （3）分别作Q关于、的对称点C、D，连接，交、于点M、N，则的周长最小． 【详解】（1）解：连接，与直线l相交于点C，则有最小值． （2）解：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． （3）解：作法：①作点Q关于的对称点C， ②作点Q关于的对称点D， ③连接，分别交于点M，交于点N，则的周长最小． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $