第15讲 轴对称最值问题（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材人教版

第15讲 轴对称最值问题（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+4个模型归纳+20道经典题+课后作业】 模块二 根据“两点之间，线段最短”原理求最值 【模型一】 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 【模型二】 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 【模型三】 在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。 考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。 【例1】如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，BP＝AQ＝4，QD＝3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为 　 　． 【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′． 【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴BA＝BC，∠A＝60° ∵D为AC中点， ∴BD⊥AC， 作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′， ∵BP＝AQ＝4，QD＝3， ∴AD＝DC＝AQ+QD＝7，QD＝DQ′＝3 ∴CQ′＝CD﹣DQ′＝4＝BP， ∴AP＝AQ′＝10， ∵∠A＝60°， ∴△APQ′是等边三角形， ∴PQ′＝PA＝10， ∴PE+QE的最小值为10． 故答案为：10． 【例2】如图，已知∠AOB＝30°，P为∠AOB内一定点；M，N分别是射线OA，射线OB上的点，若△PMN的周长最小值为6，则OP＝　 　． 【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点F、E在CD上时，△PEF的周长最小． 【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点E、F，连接OP、OC、OD、PE、PF． ∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D， ∴PE＝CE，OP＝OC，∠COA＝∠POA； ∵点P关于OB的对称点为D， ∴PF＝DF，OP＝OD，∠DOB＝∠POB， ∴OC＝OD＝OP，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∴CD＝OC＝OD． ∴△PEF的周长的最小值＝PE+EF+PF＝CE+EF+DF≥CD＝6． ∴OP＝6． 故答案为：6． 【例3】如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则△CPD周长的最小值为 　 　． 【分析】分别作点P关于OA，OB的对称点E，F，连接CE，DF，EF，OF，OE，则有CP＝CE，DP＝DF，要使△CPD周长的最小值，即使DP+CP+CD＝CE+DF+CD为最小值即可，然后问题可求解． 【解答】解：分别作点P关于OA，OB的对称点E，F，连接CE，DF，EF，OF，OE，如图所示： 由轴对称可知：CP＝CE，DP＝DF，OF＝OP＝OE＝12cm，∠FOD＝∠POD，∠EOC＝∠POC， ∵∠AOB＝30°，即∠AOB＝∠POD+∠POC＝30°， ∴∠FOD+∠COE＝30°， ∴∠EOF＝60°， ∴△EOF是等边三角形， ∴EF＝OE＝12cm， ∵C△CPD＝DP+CP+CD＝CE+DF+CD， ∴要使△CPD周长的最小值，即使DP+CP+CD＝CE+DF+CD为最小值，所以当点E、F、D、C四点共线时，取得最小值，为EF的值， ∴△CPD周长的最小值为12cm； 故答案为：12cm． 【例4】如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，则MQ+PQ+PN的最小值为 　 　． 【分析】作点M关于OB的对称点M′，点N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于点P′，交OB于点Q′，连接PN′、QM′，P′N，根据轴对称的性质，得到MP+PQ+QN的最小值为M′N′，推出△M′ON′为等边三角形，进一步得出结果． 【解答】解：如图，作点M关于OB的对称点M′，点N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于点P′，交OB于点Q′，连接PN′、QM′，P′N， 则MQ＝M′Q，PN＝PN′， ∴MQ+PQ+PN＝M′Q+PQ+PN′≥M′N′， ∴MQ+PQ+PN的最小值为M′N′的长． ∵OM＝OM′，ON＝ON′，MM′⊥OB，NN′⊥OA， ∠M′OB＝∠AOB＝20°，∠N′OA＝∠AOB＝20°， ∴∠M'ON'＝60°， ∴△M′ON′为等边三角形， ∴M′N′＝OM′＝3， 即MP+PQ+QN 的值最小为3； 故答案为：3 【例5】如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E点是AC边的中点，P是AD上的一个动点，连接PE、PC，当PC+PE的值最小时，则∠APE的度数为 　 　． 【分析】作点E关于AD的对称点F，然后连接CF，交AD于点H，连接HE，由轴对称的性质及两点之间线段最短可得CF即为PC+PE的最小值，进而由等边三角形的性质可求解． 【解答】解：作点E关于AD的对称点F，然后连接CF，交AD于点H，连接HE， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∵AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC，BD＝DC， ∵点E是AC的中点，AD垂直平分EF， ∴点F是AB的中点， ∴CF⊥AB，CF平分∠ACB， ∴∠BCF＝30°， ∴当点P与点H重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时PC+PE为最小值，即为CF的长， ∴∠DHC＝∠FHP＝60°， ∵AD垂直平分EF， ∴FH＝HE， ∴∠FHP＝∠PHE＝60°， 即∠APE＝60°， 故答案为：60°． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是　　 ． 【分析】根据题意，分别作点D，E的对称点D′，E′，根据两点之间线段最短可确定点M，N的位置为点M′，N′，此时四边形DEMN的周长最小，根据对称的性质可得∠AE′M′＝AEM′，∠N′D′P＝∠N′DP，根据三角形的外角的性质可得∠EM′N′+∠DN′M′＝2∠AE′M′+2∠N′D′P，根据直角三角形中两锐角互余可得出∠AE′M′＝90°﹣∠1，∠N′D′P＝90°﹣∠3，运用等量待会即可求解． 【解答】解：如图所示，作点E关于AM的对称点E′，作点D关于BC的对称点D′，连接D′E′交BC，AC于点N′，M′， ∴根E′M′+M′N′+N′D′的值最小， ∴四边形DEMN的周长最小值为：DE+E′M′+M′N′+N′D， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B＝∠C＝45°， 在△CM′N′中， ∵∠1+∠3+∠C＝180°， ∴∠1+∠3＝180°﹣45°＝135°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠M′AE′＝90°，∠N′PD′＝90°，∠AE′M′＝∠AEM′，∠N′DP＝∠N′D′P， ∴∠EM′N′＝2∠AE′M′，∠DN′M′＝2∠N′D′P， 在Rt△AM′E′，Rt△PN′D′中， ∵∠AE′M′＝90°﹣∠2＝90°﹣∠1，∠N′D′P＝90°﹣∠4＝90°﹣∠3， ∴∠DN′M′+∠EM′N′＝2∠AE′M′+2∠N′D′P ＝2（90°﹣∠1）+2（90°﹣∠3） ＝360°﹣2（∠1+∠3） ＝360°﹣2×135° ＝90°， ∴当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是90°， 故答案为：90°． 【变式2】如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，点M，N分别为边AB，AC垂直平分线上的动点，连接AM，AN，MN，当△AMN周长最小时，∠MAN＝　　 度． 【分析】利用垂直平分线的性质将AM、AN分别转化为BM、CN，根据两点之间线段最短确定△AMN周长最小时的位置，再结合三角形内角和与等腰三角形性质，求出∠MAN的度数． 【解答】解：∵点M在AB的垂直平分线上， ∴AM＝BM， ∵点N在AC的垂直平分线上， ∴AN＝CN，△AMN的周长＝AM+MN+AN＝BM+MN+CN， 当B、M、N、C四点共线时，△AMN周长最小． 在△ABC中，∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°． ∵AM＝BM， ∴∠MAB＝∠B， ∵AN＝CN， ∴∠NAC＝∠C， ∴∠MAB+∠NAC＝∠B+∠C＝70°， ∴∠MAN＝∠BAC﹣（∠MAB+∠NAC）＝110°﹣70°＝40°． 故答案为：40． 【变式3】已知：如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β．当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α＝　60°　． 【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小， ∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN， ∴∠QPN（180°﹣α） ∵∠QPN＝∠AOB+∠OQP ＝∠AOB+∠AQN' ＝∠AOB ＝30°（180°﹣β）， ∴（180°﹣α）＝30°（180°﹣β）， ∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β）， ∴180°﹣α＝240°﹣β， ∴β﹣α＝240°﹣180°， ∴β﹣α＝60°， 故答案为60°． 【变式4】如图，等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，点N为BD上一点，点M为BC上一点，且BN＝MC，若当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是 　 　． 【分析】作∠BCE＝∠ABD＝20°，使得CE＝AB，连接EM，依据△ABN≌△ECM（SAS），即可得到AN＝EM，进而得出当A，M，E三点共线时，AN+AM的最小值等于AE的长，再根据△ACE是等边三角形，即可得到AB的长． 【解答】解：如图所示，作∠BCE＝∠ABD＝20°，使得CE＝AB，连接EM， 在△ABN和△ECM中， ， ∴△ABN≌△ECM（SAS）， ∴AN＝EM， ∴AN+AM＝EM+AM， 当A，M，E三点共线时，AN+AM的最小值等于AE的长， 又∵AM+AN的最小值为4， ∴AE的长为4， ∵∠BAC＝100°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝40°， ∵CE＝AB＝AC，∠ACE＝40°+20°＝60°， ∴△ACE是等边三角形， ∴AC＝AE＝4， ∴AB＝4， 故答案为：4． 【变式5】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，△ABD是等边三角形，点P是∠BAC的角平分线上一动点，连接PC、PD，则PC+PD的最小值为 　 　． 【分析】连接BP，根据AP垂直平分BC，即可得到CP＝BP，再根据当B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长，即可得出PD+PC的最小值为10． 【解答】解：如图，连接BP， ∵点P是∠BAC的角平分线上一动点，AB＝AC， ∴AP垂直平分BC， ∴CP＝BP， ∴PD+PC＝PD+PB， ∴当B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长， 又∵△ABD是等边三角形，AB＝BD＝10， ∴PD+PC的最小值为10， 故答案为：10． 模块三 根据“点到直线的连线中，垂线段最短”原理求最值 【模型四】在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 【例6】如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝12，AD＝8，AD垂直平分BC，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是　　． 【分析】连接BE，过B作BG⊥AC于G；由AD垂直平分BC，得AB＝AC＝10，BE＝CE，则EC+EF＝BE+EF≥BF，当B、E、F三点共线，且BF⊥AC即BF，BG重合时，BF最小，从而EC+EF最小；利用面积相等关系即可求得最小值． 【解答】解：如图，连接BE，过B作BG⊥AC于G； ∵AD垂直平分BC， ∴AC＝AB＝10，BE＝CE， ∴EC+EF＝BE+EF≥BF， ∴当B、E、F三点共线时，BF最小， 此时BF⊥AC，即F、G重合， ∴BF与BG重合， 从而EC+EF最小，最小值为线段BG的长； ∵， ∴． 故答案为：． 【例7】如图，△ABC中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，BP平分∠ABC，点D、E分别是BC、BP上不与端点重合的动点，连接CE，DE，则CE+DE的最小值为　　 ． 【分析】在AB上截取BF＝BD，连接EF，作CG⊥AB于点G，证明△DBE≌△FBE，得到DE＝EF，进而得到CE+DE＝CE+EF≥CF，根据垂线段最短，得到当点F与点G重合时，CF最小，此时CE+DE最小，进行求解即可． 【解答】解：在AB上截取BF＝BD，连接EF，作CG⊥AB于点G， ∵BP平分∠ABC， ∴∠FBE＝∠DBE， 在△DBE与△FBE中， ， ∴△DBE≌△FBE（SAS）， ∴DE＝EF， ∴CE+DE＝CE+EF≥CF， ∴当CF⊥AB，即点F与点G重合时，CF最小， ∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5， ∴，即：4×3＝5CG， ∴， ∴CF的最小值为， ∴CE+DE的最小值为； 故答案为：． 【例8】如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为12，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则△PBD的周长的最小值是 　 　． 【分析】如图，连接PC．利用三角形的面积公式求出CD，由EF垂直平分AB，推出PB＝PC，推出PB+PD＝PC+PD，由PC+PD≥AD，推出PC+PD≥4，推出PC+PD的最小值为4，由此即可解决问题． 【解答】解：如图，连接CP， ∵AC＝BC，CD⊥AB， ∴BD＝AD＝3， ∵S△ABC•AB•CD＝12， ∴CD＝4， ∵EF垂直平分BC， ∴PB＝PC， ∴PB+PD＝PC+PD， ∵PC+PD≥CD， ∴PC+PD≥4， ∴PC+PD的最小值为4， ∴△PBD的最小值为4+3＝7， 故答案为：7． 【例9】如图，点E在等边三角形ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为C，P是射线CD上一动点，F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝6，则AB的长为 　 　． 【分析】根据题意，作点E关于CD的对称点E′，连接PE′，当点E′，P，F三点共线，E′F⊥AB时，EP+FP的值最小，由此即可求解． 【解答】解：如图所示，作点E关于CD的对称点E′，连接PE′， ∴PE＝PE′，CE＝CE′， ∴EP+FP＝PE′+PF≥E′F， 当点E′，P，F三点共线，E′F⊥AB时，EP+FP的值最小， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60，AB＝BC＝AC， ∵E′F⊥AB， ∴∠FE′B＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°， ∴BE′＝2BF， ∵BF＝6，BE＝4， ∴BE′＝2BF＝12， ∵CE＝CE′， ∴12＝2CE+BE＝2CE+4， 解得，CE＝4， ∴AB＝BC＝4+4＝8， 故答案为：8． 【例10】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线MN分别交AB，AC边于M，N点．若点D为BC边上一动点，点P为直线MN上一动点，当PC+PD的值最小时，△CDP周长为 　 　． 【分析】作AE⊥BC于点E，连接AP、AD，由AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是18，求得BE＝CE＝2，AE＝9，由MN垂直平分AC，得PC＝PA，由PA+PD≥AD，可知当PD与AE重合，且A、P、D三点在同一条直线上时，PC+PD的值最小，求得PC+PD+CE＝AE+CE＝11，于是得到问题的答案． 【解答】解：作AE⊥BC于点E，连接AP、AD，则∠AEB＝90°， ∵AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是18， ∴BE＝CEBC＝2，4AE＝18， ∴AE＝9， ∵MN垂直平分AC， ∴PC＝PA， ∴PC+PD＝PA+AD， ∵PA+PD≥AD， ∴当PA+PD＝AD，且AD的值最小时，PA+PD的值最小， ∴当PD与AE重合，且A、P、D三点在同一条直线上时，PC+PD＝PA+AD＝AE，此时PC+PD的值最小， ∴PC+PD+CE＝AE+CE＝9+2＝11， ∴当PC+PD的值最小时，△CDP周长为11， 故答案为：11． 【变式6】如图，在△ABC中，BC＝BA＝36，∠C＝15°，AD平分∠BAC，点E、F分别是射线AD和线段AC上的动点，连接CE、EF，则CE+EF的最小值为 　 　． 【分析】根据题意画出符合条件的图形，作F关于AD的对称点为M，作AB边上的高CP，求出EM+EC＝MC，根据垂线段最短得出EM+EC＝MC≥PC，求出PC即可得出CE+EF的最小值． 【解答】解：作F关于AD的对称点为M，作AB边上的高CP，连接CM交射线AD于E， ∵AD平分∠BAC， ∴M必在AB上， ∵F关于AD的对称点为M， ∴ME＝EF， ∴EF+EC＝EM+EC， 即EM+EC＝MC≥PC（垂线段最短）， ∵BC＝BA＝36，∠C＝15°， ∴∠BAC＝∠BCA＝15°， ∴∠PBC＝∠BAC+∠BCA＝30°， ∴PCBC＝18， 即CE+EF的最小值为18 故答案为：18． 【变式7】如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为 　 　． 【分析】根据等边三角形的性质得到AC＝BC，∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，根据直角三角形的性质得到BG＝2BF＝14，求得EG＝8，于是得到结论． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠B＝60°， 作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P， 则此时，EP+PF的值最小， ∵∠B＝60°，∠BFG＝90°， ∴∠G＝30°， ∵BF＝7， ∴BG＝2BF＝14， ∴EG＝8， ∵CE＝CG＝4， ∴AC＝BC＝10， 故答案为：10． 【变式8】如图，△ABC中，BC＝20，∠ABC＝15°，点F、E分别是AB，BC上的动点，则EF+FC的最小值＝　 　． 【分析】作点C关于AB的对称点C′，连接BC′，作C′E⊥BC交AB于点F，当C′E⊥BC时，EF+FC有最小值C′E，据此即可求解． 【解答】解：作点C关于AB的对称点C′，连接BC′，作C′E⊥BC交AB于点F，如图所示： 则CF＝C′F，BC′＝BC＝20，∠C′BA＝∠ABC＝15°， ∴EF+FC＝EF+C′F，∠CBC′＝30°， ∵点E别是BC上的动点， ∴C′E⊥BC时，EF+FC有最小值C′E， ∵∠CBC′＝30°， ∴， 故答案为：10． 【变式9】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，BD平分∠ABC交AC于点D，点E，F分别是BD，AB上的动点，则 （1）AD的长为 　　； （2）AE+EF的最小值为 　　． 【分析】（1）作DG⊥BC于点G，由BD平分∠ABC，DG⊥BC，AD⊥BA，得DG＝AD，则3AD5AD3×4＝S△ABC，求得AD，于是得到问题的答案； （2）在BC上截取BL＝BF，连接AL，作AH⊥BC于点H，由5AH3×4＝S△ABC，求得AH，由BL＝BF，BD平分∠FBL，得BD垂直平分FL，所以EF＝EL，则AE+EF＝AE+EL，而AE+EL≥AL，所以当AE+EL＝AL，且AL的值最小时，AE+EL的值最小，此时AE+EF的值最小，因为AL的最小值为，所以AE+EF的最小值为，于是得到问题的答案． 【解答】解：（1）作DG⊥BC于点G， ∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5， ∴AD⊥BA， ∵BD平分∠ABC，DG⊥BC，AD⊥BA， ∴DG＝AD， ∵AB•ADBC•DGAB•AC＝S△ABC， ∴3AD5AD3×4， 解得AD， 故答案为：． （2）在BC上截取BL＝BF，连接AL，作AH⊥BC于点H， ∵BC•AHAB•AC＝S△ABC， ∴5AH3×4， 解得AH， ∵BL＝BF，BD平分∠FBL， ∴BD垂直平分FL， ∴点L与点F关于直线BD对称， ∴EF＝EL， ∴AE+EF＝AE+EL， ∵AE+EL≥AL， ∴当AE+EL＝AL，且AL的值最小时，AE+EL的值最小，此时AE+EF的值最小， ∵当AL与AH重合时，AL的值最小， ∴AL的最小值为， ∴AE+EF的最小值为， 故答案为：． 【变式10】如图，等边△ABC和等腰△ABD，AB＝BD，点E，F分别为边AB，AD的中点，若△ABD的面积为16，AD＝4，点M是CE上的动点，则△AMF的周长的最小值为 　 　． 【分析】连接BF交CE于点M，根据三线合一，得到A，B关于CE对称，根据△AMF的周长等于AF+AM+MF＝AF+BM+MF≥AF+BF，当B，M，F三点共线时，△AMF的周长最短，再根据△ABD的面积为16，求出BF的长，进而求出△AMF的周长的最小值即可． 【解答】解：连接BF交CE于点M，连接AM， ∵△ABC是等边三角形，点E为边AB的中点， ∴A，B关于CE对称， ∴AM＝BM， ∴AF+AM+MF＝AF+BM+MF≥AF+BF， 即：当B，M，F三点共线时，△AMF的周长最短， ∵△ABD是等腰三角形，F为边AD的中点， ∴BF⊥AD，， ∴， ∴BF＝8， ∴△AMF的周长的最小值为AF+BF＝2+8＝10； 故答案为：10． 模块四 课后作业 1．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是 　　（用含a，b的式子表示）． 【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小． 【解答】解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AF＝CFa，BF＝b， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC， ∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°）， 作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小， ∵CA＝CM，∠ACM＝60°， ∴△ACM是等边三角形， ∴AM＝AC， ∵BF⊥AC， ∴FM＝BF＝b， ∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FMa+b． 故答案为：a+b． 2．如图，在等腰△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 　 　． 【分析】在AB上截取AE＝AC，连接EQ交AD于点P′，连接CE，作EF⊥AC于点F，因为∠ACB＝120°，AC＝BC＝8，所以∠CAB＝∠B＝30°，AE＝AC＝8，则EFAE＝4，而AD平分∠BAC，则AD垂直平分CE，当点P与点P′重合时，PC+PQ＝EQ，所以当EQ的值最小时，则PC+PQ的值最小，由EQ≥4，求得EQ的最小值是4，则PC+PQ的最小值是4，于是得到问题的答案． 【解答】解：在AB上截取AE＝AC，连接EQ交AD于点P′，连接CE，作EF⊥AC于点F，则∠AFE＝90°， ∵∠ACB＝120°，AC＝BC＝8， ∴∠CAB＝∠B（180°﹣120°）＝30°，AE＝AC＝8， ∴EFAE＝4， ∵AE＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD垂直平分CE， ∴点E与点C关于直线AD对称， ∴当点P与点P′重合时，PC+PQ＝P′E+P′Q＝EQ， ∴当EQ的值最小时，则PC+PQ的值最小， ∵EQ≥EF， ∴EQ≥4， ∴EQ的最小值是4， ∴PC+PQ的最小值是4， 故答案为：4． 3．在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝a，BC＝b，BD平分∠ABC交AC于点D，则S△ABC为 　 ；若动点M在线段BD上，动点N在线段AB上，连接AM、MN，则AM+MN的最小值为 　　.（用含a、b的式子表示） 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，用a的代数式表示出AE，根据三角形面积公式即可求出S△ABC的值；在BC上取一点N'，使BN'＝BN，探究出AM+MN最小时，点A，M，N'三点在一条直线上，且AN'⊥BC，即AM+MN的最小值为AE的长即可解决问题． 【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E， ∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝a， ∴∠BAE∠BAC＝60°， ∴∠ABE＝30°， ∴AEABa， ∴S△ABCab； 在BC上取一点N'，使BN'＝BN， ∵BD平分∠ABC， ∴∠MBN＝∠MBN'， 在△BMN和△BMN'中， ， ∴△BMN≌△BMN'（SAS）， ∴MN＝MN'， ∴AM+MN＝AM+MN'， 即当AM+MN最小时，点A，M，N'三点在一条直线上，且AN'⊥BC， ∴AM+MN的最小值为AE的长，即a． 故答案为：ab，a． 4．如图，在△ABC中，点E和点D分别在AB和AC边上，∠AED＝∠ACB，ED＝CD，连接BD，点F和点G分别是线段BD和BC上的两个动点，AB＝4，△ABC的面积是6，则FG+CF的最小值是 　 　． 【分析】过点D作DN⊥AB垂足为N，作DM⊥BC垂足为M，先证明△DEN≌△DCM（AAS），得到DN＝DM，再利用角平分线性质可求∠DBN＝∠DBM，在BA上取BH＝BG，通过证明△BHF≌△BGF（SAS），证明CF+FG＝CF+FH，过C作CK⊥AB，垂足为K，利用三角形面积即可得出结果． 【解答】解：如图，过点D作DN⊥AB垂足为N，作DM⊥BC垂足为M， ∴∠DEN＝∠DMC＝90°， ∵∠AED＝∠ACB，ED＝CD， ∴△DEN≌△DCM（AAS）， ∴DN＝DM， ∵DN⊥AB，DM⊥BC， ∴BD平分∠ABC， ∴∠DBN＝∠DBM， 在BA上取BH＝BG， ∵BF＝BF，∠HBF＝∠GBF， ∴△BHF≌△BGF（SAS）， ∴FG＝FH， ∴CF+FG＝CF+FH， 过C作CK⊥AB，垂足为K， ∴， ∴CK＝3， 由垂线段最短可知CF+FH≥CK，即CF+FG≥3， 则当C、F、H三点共线，且CF⊥AB，FG+CF最小，最小值是3， 故答案为：3． 5．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠BAC＝80°，AD，CD分别平分∠BAC 和∠ACB，P是AC上一点，PH⊥BC，已知AD＝m，BC＝n，m＜n．当PD+PH取最小值时，HC＝　　．（用含m，n的式子表示） 【分析】作∠ACE＝20°，CE交BA的延长线于点E，在CE上取一点D'，使CD'＝CD，连接AD‘，连接PD'，过点D'作D'G⊥BC于点G，证明出△BCE和△EAD'是等边三角形，得到CD'＝n﹣m，得到PD+PH取最小值时，HC＝GC，再求出GC的长即可． 【解答】解：作∠ACE＝20°，CE交BA的延长线于点E，在CE上取一点D'，使CD'＝CD，连接AD‘，连接PD'，过点D'作D'G⊥BC于点G， ∵∠B＝60°，∠BAC＝80°， ∴∠ACB＝40°， ∵AD，CD分别平分∠BAC 和∠ACB， ∴∠DAC＝40°，∠DCA＝20°， ∴∠D'CA＝20°， ∴∠DCA＝∠D'CA，∠BCE＝60°， 又∵AC＝AC，PC＝PC， ∴△DCA≌△D'CA，△DCP≌△D'CP， ∴AD＝AD'＝m，∠D'AC＝∠DAC＝40°，PD＝PD'， ∴PD+PH＝PD'+PH≥D'G， 即PD+PH的最小值为HC＝GC， ∵∠B＝60°，∠BCE＝60°， ∴△BCE是等边三角形， ∴CE＝BC＝n，∠E＝60°， ∵∠BAC＝80°，∠D'AC＝40°， ∴∠EAD'＝180°﹣∠BAC﹣∠D'AC＝60°， ∴△EAD'是等边三角形， ∴ED'＝AD'＝m， ∴CD'＝CE﹣ED'＝n﹣m， 在Rt△D'CG中， ∵∠D'CG＝60°， ∴∠CD'G＝30°， ∴CGCD'（n﹣m）， ∴HC（n﹣m）． 6．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，AD，DC分别平分∠BAC，∠ACB，E为BC上一点，若∠ADC＝105°，则CD+DE的最小值为　　 ． 【分析】过点D作DF⊥AB交于点F，得出∠ABC＝30°，根据AC＝BC＝8，得到C、D、F三点共线，根据30度角的性质得到，当DE⊥BC时，此时CD+DE的值最小，证明△DBF≌△DBE（AAS），得到DF＝DE，根据CD+DE＝CD+DF＝CF即可求解． 【解答】解：过点D作DF⊥AB交于点F， ∵AD、DC分别平分∠BAC，∠ACB， ∴∠BAC＝2∠DAC，∠ACB＝2∠DCA， ∵∠ADC＝105°， ∴∠DAC+∠DCA＝180°﹣∠ADC＝75°， ∴∠BAC+∠BCA＝150°， ∴∠ABC＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝30°， 又∵AC＝BC＝8， ∴∠BAC＝∠ACB，C在AB的垂直平分线上， ∴∠DAC＝∠DCA， ∴D在AB的垂直平分线上， ∵DF⊥AB， ∴C、D、F三点共线， ∴CF⊥AB， ∴， 当DE⊥BC时，此时CD+DE的值最小， ， ∴△DBF≌△DBE（AAS）， ∴DF＝DE， ∴CD+DE＝CD+DF＝CF， ∴若∠ADC＝105°，则CD+DE的最小值为4． 故答案为：4． 7．在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝40°，点E、F分别为AC和AB上的动点，BE与CF相交于G点，当BE+EF+CF的值最小时，则∠ABE＝　 　°． 【分析】将△ABC沿着AC翻折，再沿着AB′翻折，连接BC′交AB′于点F′，交AC于点E，在AB边上截取AF＝AF′，连接EF，根据垂线段最短即可解决问题． 【解答】解：如图，将△ABC沿着AC翻折，再沿着AB′翻折，连接BC′交AB′于点F′，交AC于点E， 在AB边上截取AF＝AF′，连接EF， ∴EF＝EF′， ∴BE+EF+CF＝BE+EF′+F′C″＝BC″最小， ∵AB＝AC，∠A＝40°， 由翻折可知：∠BAC＝∠B′AC＝∠B′AC″＝40°，AB＝AB′＝AC″， 在△ABC′中，3×40°+2∠ABE＝180°， ∴∠ABE＝30°， 故答案为：30． 8．如图，在等边△ABC中，D为AC中点，点P，Q分别为AB，AD上的点，BP＝AQ＝3，QD＝2，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为 　 　． 【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，求出PQ′即可． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴BA＝BC， ∵D为AC中点， ∴BD⊥AC， ∵AQ＝3，QD＝2， ∴AD＝DC＝AQ+QD＝5， 如图，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE， PE+QE＝PE+EQ′ 当点P，E，Q′共线时，PE+EQ的值最小．最小值为PQ′， ∵AQ＝3，AD＝DC＝5， ∴QD＝DQ′＝2， ∴CQ′＝BP＝3， ∴AP＝AQ′＝7， ∵∠A＝60°， ∴△APQ′是等边三角形， ∴PQ′＝PA＝7， ∴PE+QE的最小值为7． 故答案为：7． 9．如图，∠BAC＝38°，点D，点P分别是AB，AC上的定点，∠DPA＜14°，点E，点F分别是AC，AB上的动点，当DE+EF+FP的值最小时，∠EFP﹣∠DEF＝　 　． 【分析】作点P关于AB的对称点P'，点D关于AC的对称点D'，如图，由此可知DE+EF+FP＝D'E+EF+FP'≥D'P'，可得当D'，E，F，P'在同一直线上时，DE+EF+FP的值最小，根据轴对称的性质及三角形内角和定理可得，∠PAP'+∠P'+∠AED+∠DEF＝∠FEP+∠APF+∠EFP，进而得∠PAP'+∠DEF＝∠EFP，即可得答案． 【解答】解：作点P关于AB的对称点P'，点D关于AC的对称点D'，如图， 则：FP＝FP'，DE＝D′E， ∴DE+EF+FP＝D'E+EF+FP'≥D'P'， ∴当D'，E，F，P'在同一直线上时，DE+EF+FP的值最小，如图，连接AP′，AD' 由轴对称可知，∠BAP'＝∠ABC＝38°，即：∠PAP'＝76°，∠AED＝AED'＝∠FEP，∠P'＝∠APF， 由三角形的内角和可得：∠PAP'+∠P'+∠AED+∠DEF＝∠FEP+∠APF+∠EFP， 则：∠PAP'+∠DEF＝∠EFP， ∴∠EFP﹣∠DEF＝∠PAP'＝76°， 故答案为：76°． 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连接AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 　 　度． 【分析】作点B关于直线MN的对称点D，连接AD，BD，CD，当点P为AD与MN的交点时，AP+BP的值最小．由轴对称易证∠CBP＝∠CDP，结合∠BCN＝30°证得△BCD是等边三角形，可得AC＝CD，结合已知根据等腰三角形性质可求出∠CDP，即可解决问题． 【解答】解：如图，作点B关于直线MN的对称点D，连接AD，BD，CD，当点P为AD与MN的交点时，AP+BP的值最小． 由轴对称可得：∠DCN＝∠BCN＝30°，CB＝CD，PB＝PD， ∴∠CBD＝∠CDB，∠PBD＝∠PDB， ∴∠CBD﹣∠PBD＝∠CDB﹣∠PDB， 即∠CBP＝∠CDP， ∵∠BCD＝∠DCN+∠BCN＝30°+30°＝60°，CB＝CD， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠CDB＝60°， ∵AC＝BC， ∴AC＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA， ∵∠CAD+∠CDA＝180°﹣∠ACD＝180°﹣（∠ACB+∠BCD）＝180°﹣（80°+60°）＝40°， ∴∠CAD＝∠CDA＝20°， ∴∠CBP＝∠CDA＝20°． 故答案为：20． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 轴对称最值问题（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+4个模型归纳+20道经典题+课后作业】 模块二 根据“两点之间，线段最短”原理求最值 【模型一】 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 【模型二】 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 【模型三】 在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。 考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。 【例1】如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，BP＝AQ＝4，QD＝3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为 　 　． 【例2】如图，已知∠AOB＝30°，P为∠AOB内一定点；M，N分别是射线OA，射线OB上的点，若△PMN的周长最小值为6，则OP＝　 　． 【例3】如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则△CPD周长的最小值为 　 　． 【例4】如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，则MQ+PQ+PN的最小值为 　 　． 【例5】如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E点是AC边的中点，P是AD上的一个动点，连接PE、PC，当PC+PE的值最小时，则∠APE的度数为 　 　． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是　　 ． 【变式2】如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，点M，N分别为边AB，AC垂直平分线上的动点，连接AM，AN，MN，当△AMN周长最小时，∠MAN＝　　 度． 【变式3】已知：如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β．当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α＝　60°　． 【变式4】如图，等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，点N为BD上一点，点M为BC上一点，且BN＝MC，若当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是 　 　． 【变式5】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，△ABD是等边三角形，点P是∠BAC的角平分线上一动点，连接PC、PD，则PC+PD的最小值为 　 　． 模块三 根据“点到直线的连线中，垂线段最短”原理求最值 【模型四】在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 【例6】如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝12，AD＝8，AD垂直平分BC，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是　　． 【例7】如图，△ABC中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，BP平分∠ABC，点D、E分别是BC、BP上不与端点重合的动点，连接CE，DE，则CE+DE的最小值为　　 ． 【例8】如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为12，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则△PBD的周长的最小值是 　 　． 【例9】如图，点E在等边三角形ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为C，P是射线CD上一动点，F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝6，则AB的长为 　 　． 【例10】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线MN分别交AB，AC边于M，N点．若点D为BC边上一动点，点P为直线MN上一动点，当PC+PD的值最小时，△CDP周长为 　 　． 【变式6】如图，在△ABC中，BC＝BA＝36，∠C＝15°，AD平分∠BAC，点E、F分别是射线AD和线段AC上的动点，连接CE、EF，则CE+EF的最小值为 　 　． 【变式7】如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为 　 　． 【变式8】如图，△ABC中，BC＝20，∠ABC＝15°，点F、E分别是AB，BC上的动点，则EF+FC的最小值＝　 　． 【变式9】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，BD平分∠ABC交AC于点D，点E，F分别是BD，AB上的动点，则 （1）AD的长为 　　； （2）AE+EF的最小值为 　　． 【变式10】如图，等边△ABC和等腰△ABD，AB＝BD，点E，F分别为边AB，AD的中点，若△ABD的面积为16，AD＝4，点M是CE上的动点，则△AMF的周长的最小值为 　 　． 模块四 课后作业 1．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是 　　（用含a，b的式子表示）． 2．如图，在等腰△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 　 　． 3．在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝a，BC＝b，BD平分∠ABC交AC于点D，则S△ABC为 　 ；若动点M在线段BD上，动点N在线段AB上，连接AM、MN，则AM+MN的最小值为 　　.（用含a、b的式子表示） 4．如图，在△ABC中，点E和点D分别在AB和AC边上，∠AED＝∠ACB，ED＝CD，连接BD，点F和点G分别是线段BD和BC上的两个动点，AB＝4，△ABC的面积是6，则FG+CF的最小值是 　 　． 5．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠BAC＝80°，AD，CD分别平分∠BAC 和∠ACB，P是AC上一点，PH⊥BC，已知AD＝m，BC＝n，m＜n．当PD+PH取最小值时，HC＝　　．（用含m，n的式子表示） 6．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，AD，DC分别平分∠BAC，∠ACB，E为BC上一点，若∠ADC＝105°，则CD+DE的最小值为　　 ． 7．在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝40°，点E、F分别为AC和AB上的动点，BE与CF相交于G点，当BE+EF+CF的值最小时，则∠ABE＝　 　°． 8．如图，在等边△ABC中，D为AC中点，点P，Q分别为AB，AD上的点，BP＝AQ＝3，QD＝2，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为 　 　． 9．如图，∠BAC＝38°，点D，点P分别是AB，AC上的定点，∠DPA＜14°，点E，点F分别是AC，AB上的动点，当DE+EF+FP的值最小时，∠EFP﹣∠DEF＝　 　． 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连接AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 　 　度． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $