3.2.1　第1课时　函数的单调性----2026-2027学年高一上学期数学必修一课件人教A版

该高中数学课件聚焦函数单调性与最值，通过观察函数图象共同特征、分析对应值表数量关系，搭建从直观想象到数学抽象的学习支架，衔接函数图象与符号语言表述的逻辑脉络。 其亮点在于以思维导图整合素养目标与知识结构，通过二次函数绝对值图象求单调区间、定义法证明对勾函数单调性等典例，结合类题通法强化数学抽象与逻辑推理。课堂练习融入高考真题，助力学生深化理解，教师可借定向训练提升教学针对性。

3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性 素养目标 思维导图 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性(直观想象). 2.理解它们的作用和实际意义(数学抽象). 课前自主学习 问题1.观察下列两个图象,从图象上看,它们有什么共同特征? 提示:从图象上看,它们的图象从左到右都是上升的. 问题2.上述特征能否用数量间的关系来体现?试着填表: x 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x)=x+1 __ __ __ __ 6 __ __ __ g(x)=x2(x≥0) __ __ __ ___ 25 ___ ___ ___ 2 3 4 5 7 8 9 1 4 9 16 36 49 64 　通过对应值表你发现了什么? 提示:当自变量x的值增大时,对应的函数值y也随着增大. 问题3. 根据上面函数图象,写出函数的变化趋势. 提示:随着x值的增大,函数图象有的呈上升趋势,有的呈下降趋势,有的在一个区间内呈上升趋势,在另一区间内呈下降趋势. 【核心概念】 1.增函数的定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D: 如果∀x1,x2∈I,当x1<x2时,都有__________,那么就称函数f(x)在区间I上单调递增,特别地,当 函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数. 2.减函数的定义 如果∀x1,x2∈I,当x1<x2时,都有__________,那么就称函数f(x)在区间I上单调递减,特别地,当 函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数. 3.单调性定义 如果函数y=f(x)在区间I上____________________,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严 格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的__________. f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 单调递增或单调递减 单调区间 课堂合作探究 探究点一　依据函数图象求单调区间 【典例1】已知函数y=f(x)为二次函数,且满足:对称轴为x=1,f(0)=-3,f(3)=0. (1)求函数f(x)的解析式,并求y=f(x)图象的顶点坐标; (2)在给出的平面直角坐标系中画出y=|f(x)|的图象,并直接写出函数y=|f(x)|的单调递增区间. 【解析】(1)设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 所以,解得, 所以f(x)=x2-2x-3,所以f(1)=-4, 所以顶点坐标为(1,-4). (2)y=|f(x)|=|x2-2x-3|= , 图象如图所示: 则函数的单调递增区间为[-1,1]和[3,+∞). 　【类题通法】求函数单调区间的三种方法 方法一:将函数转化为已知的基本初等函数(如一次函数、二次函数等),再进行单调性的判断. 方法二:定义法.即先求出定义域,再利用单调性的定义进行判断求解. 方法三:图象法.即先画出图象,再根据图象求单调区间. 提醒:一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”而应该用“和”或“,”来表示. A.函数在区间[-5,-3]上单调递增 B.函数在区间[1,4]上单调递增 C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减 D.函数在区间[-5,5]上没有单调性 【解析】选ABD.若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间,不能用“∪”连接. 【定向训练】 　(多选题)(2024·南通高一检测)如图所示的是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　) 探究点二　函数单调性的证明 【典例2】(规范解答) (13分)已知函数f(x)=x+,且f(2)=4. (1)求实数m的值; (2)判断函数f(x)在[2,+∞)上的单调性,并证明你的结论. 【思维导引】(1)代入x=2,求出实数m的值;(2)利用定义法求解函数的单调性,步骤为:取值,作差,判号,下结论. 【解析】(1)根据题意得,f(2)=2+=4, 解得m=4;…………3分 (2)f(x)=x+在[2,+∞)上单调递增,理由如下: 设2<x1<x2, …………5分 则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=…………8分 因为2<x1<x2,故x1-x2<0,x1x2-4>0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), …………11分 所以f(x)在[2,+∞)上单调递增. …………13分 　【类题通法】定义法判断函数单调性的四个步骤 (1)取值:设任意x1,x2∈D且x1<x2; (2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并对其变形,变形手段:因式分解、通分、配方、分母有理化等; (3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号,即比较f(x1)与f(x2)的大小; (4)结论:由f(x1)与f(x2)的大小及单调性定义下结论. 【定向训练】 　(2025·鞍山高一检测)已知函数f(x)=,且满足f(0)=0,f(1)=. (1)求a和b的值; (2)判断函数f(x)在[-2,2]上的单调性,并用定义法证明. 【解析】(1)由函数f(x)=满足f(0)=0,f(1)=,可得,解得. (2)由(1)可知f(x)=,则函数f(x)在[-2,2]上单调递增, 证明如下: 设任意x1,x2∈[-2,2],且x1<x2,则f(x1)- f(x2)===, 由-2≤x1<x2≤2,可得x1x2<4, 又x1-x2<0,+4>0,+4>0, 则<0,则f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在[-2,2]上单调递增. 探究点三　函数单调性的应用 【典例3】若函数y=在(-1,+∞)上单调递增,求a的取值范围. 【思维导引】将y=化为y=a-,再由增减性确定a的取值范围. 【解析】因为y===a-,又y=a-在(-1,+∞)上单调递增,所以a>0,即a的取值范围是(0,+∞). 　【类题通法】函数单调性应用的两个关注点 (1)单调性的定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围. (2)若一个函数在区间[a,b]上是单调的,则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的. 【定向训练】 1.若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞,3]上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　.  【解析】f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3. 因此函数的单调递增区间为(-∞,-a-1], 由f(x)在(-∞,3]上单调递增知3≤-a-1, 解得a≤-4,即实数a的取值范围为(-∞,-4]. 答案:(-∞,-4] 2.已知函数f(x)=若f(x)是R上的增函数,则实数a的取值范围为　　　　　.  【解析】因为f(x)是R上的增函数, 所以解得4≤a<8. 答案:[4,8) 课堂练习 1.函数f(x)的图象如图所示,则 (　　) A.函数f(x)在[-1,2]上单调递增 B.函数f(x)在[-1,2]上单调递减 C.函数f(x)在[-1,4]上单调递减 D.函数f(x)在[2,4]上单调递增 【解析】选A.结合题中图象可知函数f(x)在[-1,2]上是“上升”的,故A正确. √ 2.设函数f(x)是R上的增函数,对实数a,b,若a+b>0,则有 (　　) A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b) C.f(a)-f(b)>f(-a)-f(-b) D.f(a)-f(b)<f(-a)-f(-b) 【解析】选A.因为a+b>0,所以a>-b,b>-a, 所以f(a)>f(-b),f(b)>f(-a), 所以f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b). √ 3.若y=(2k-1)x+b是R上的减函数,则有 (　　) A.k> B.k>- C.k< D.k<- 【解析】选C.由2k-1<0,得k<. 4.已知函数y=,x∈{x|1≤x≤2},则此函数的值域是　　　　.  【解析】因为函数y=在区间[1,2]上单调递减,当x∈[1,2]时,≤≤,即1≤≤2. 因此,函数y=,x∈[1,2]的值域为[1,2]. 答案:[1,2] √ 5.已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的减函数,且f(x-1)<f(1-3x),则x的取值范围是　　　　　.  【解题指南】根据函数的基本性质求解. 【解析】由题意:函数f(x)是定义在[-1,1]上的减函数, 故有解得<x≤. 答案:(,] 谢 谢 $