3.1.1 函数的概念 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的概念，通过温故知新回顾初中函数定义及一次、二次等函数，设置“y=1是否为函数”等问题引发认知冲突，再结合列车路程、工资计算等实例引导学生从集合角度归纳函数本质，搭建新旧知识过渡的学习支架。 其亮点在于以现实情境为载体，通过问题驱动和实例分析，培养学生用数学眼光抽象数量关系、用数学思维归纳函数三要素的能力，结合区间表示等规范数学语言。例题涵盖定义域求解、函数相等判断等，学生能深化理解，教师可依托结构化内容提升教学效率。

热烈欢迎各位领导、老师莅临指导！ 人教版2019高中数学新教材 必修第一册 3.1.1函数的概念 1、回顾初中学习的函数概念 设在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量． 2、请问：我们在初中学过哪些函数？ 温故知新 一次函数： 正比例函数： 反比例函数： 二次函数： 3、请同学们考虑以下两个问题： 显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题.因此，需要从新的高度认识函数，本节课我们将从集合的角度重新认识函数. 是函数吗？ 与 是同一个函数吗？ 问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为 S=350t 这个是函数吗？ 一元一次函数 思考：有人说“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1小时就前进了350km”.你认为这个说法正确吗？ 问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为 S=350t t的变化范围是什么？S的变化范围是什么？ A1中的任意一个时间t 和B1的路程S有什么关系？ 这个关系是怎样建立起来的？ 解析式：S=350t 问题2：某电器维修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超过6天.如果工资确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么一个工人每周的工资W和他每周工作的天数d就是函数关系 W=350d d的变化范围是什么？W的变化范围是什么？ A2={1,2,3,4,5,6} B2={350,700,1050,1400,1750,2100} A2中的任意一个d和B2的工资W之间有什么关系？ 这个关系是怎样建立起来的？ 解析式：W=350d 问题3.图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻h的空气质量指数(AQI)的I值？你认为这里的I是t的函数吗？ 对于数集 A3中的任一时刻t，在数集 B3中都有唯一确定的AQI的值I与之对应.因此，这里I是 t 的函数. 问题4:国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额)反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，表中是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.恩格尔系数r是年份y的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？ 对于数集A4 中的任意一个年份y ,在数集B4 中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应.所以,r是y 的函数. 分析、归纳以上四个实例，变量之间的关系有什么共同点？ 对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作 f：A→B. 四个实例中变量之间的关系都可描述为： …………………… 函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A. 其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做函数值. 自变量x的取值范围A叫做函数的定义域； 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. …………………… 理解函数的概念应关注五点 (1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集， 即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域 都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的． (2)理解函数的概念要注意，函数的定义域是非空数集A， 但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集． (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性， 即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数 集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性 只要有一个不满足，便不能构成函数． (4)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”， f(x)也不一定就是解析式； (5)除f(x)外，有时还用g(x)、u(x)、F(x)、G(x)等符号来表示函数. (6) 函数关系必定是一对一或多对一，一对多不是函数 二次函数 一次函数 反比例 函数 正比例 函数 值域 定义域 对应法则 函数 R R R R R 常见函数的定义域、值域 问题： （1）试说明函数定义中有几个要素？ 定义域、值域、对应法则 ①定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素，是一个整体； ②值域由定义域、对应法则惟一确定； 例1、设 下图表示从A到B的函数是…………( ). 0 x y 2 2 1 0 x y 2 1 2 1 0 x y 2 1 2 0 x y 2 1 2 1 A D C B 例2、下列图像中不能作为函数y=f(x)图像的是（ ） x y O x y O x y O A B C D x y O 例3、下列说法中，不正确的是……( ). A.函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应. B.函数的定义域和值域一定是无限集合. C.定义域和对应关系确定后，函数值域也就随之确定. D.若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素. 例4．求下列函数的定义域。 （1） (2) (3) 注：由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定。定义域必须写成集合的形式。 例5、判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数， 说明理由？ （1）f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x； g ( x ) = （3）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) = （5） （6） 例6：已知函数 （1）求函数的定义域； （2）求 的值； （3）当a>0时，求f(a), f(a-1)的值。 自变量x在其定义域内任取一个确定的值 时，对应的函数值用符号 表示 （3） 下例函数中哪个与函数y=x相等 （1） （2） (4) 2、 求： 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 (设a, b为实数,且a<b) 闭区间:满足a≤x≤b的实数x的集合,记作 [a,b] 开区间:满足a＜x＜b的实数x的集合,记作 (a , b) “∞”不是一个 数,表示无限大的变化趋势,因此作为端点, 不用方括号. 区间的概念 半开半闭区间:满足a＜x≤b或a≤x＜b的实数x 的集合,分别记作(a, b],[a, b). 实数集R记作 (-∞,+∞), 把下列不等式写成区间表示 1. -2<x<4,记作： ____； 2.x >4,记作:__________； 3. 5≤x≤7,记作: ； 4. 2≤x＜5,记作: ； 5. 1＜x≤3,记作: _____； 6. x≤-10,记作:_______； 7.x≥3,记作:_______； 8.x<-6,记作:_______ ； 10. {x|-2≤x<6}∪{x|3<x≤8}记作______. 9. {x|x>6}∩{x|-5<x≤14}记作_______; (-2,4) (4, +∞) [5,7] [2,5) (1, 3] (-∞,-10] (-∞, -6) [3,+∞) [-2,8] 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 谢谢指导！ $