第2章 锐角的正弦、余弦、正切 综合与实践 坡度 （课件）-2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件围绕“坡度”概念展开，通过观察八达岭长城视频及图片感受陡峭，引出科学描述需求，简化为直角三角形对比坡角与坡度，构建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”从现实（长城、楼梯）抽象坡度，“数学思维”对比坡角与坡度分析工程便利性，“数学语言”用公式结合人字形铁路案例和小组测量实践。采用情境化、实践性教学，助学生发展抽象能力和应用意识，为教师提供丰富教学资源。

湘教·九年级上册 综合与实践 坡度 1 2 图 1 是八达岭部分长城的图片，八达岭地形给你的感受是什么？ 图1 长城视频 观察 观察 我们可以直观地感受到长城两侧的山坡十分陡峭.“陡峭”是我们的直观感受，不是一个科学术语.多高的坡算陡峭，多高的坡算平缓，每个人的标准都不一样.工程建设不能用直观感受去描述，而是要用数字精确地表述山坡的陡峭程度，这就需要用到一些科学术语. 图1 如果把某山坡简化成图 2 所示的Rt△ABC，AC是坡面，如何用一个数据精确表述 AC 的陡峭程度呢？ 想一想 由图可知，∠A越大，山坡越陡峭.因此，坡面与水平面所成的角可以表示山坡的陡峭程度，我们称这个物理量为坡角.但是，工程师较少用坡角表示陡峭程度，而是用另一个物理量—坡度.坡度的含义是高度与长度的比值，即图中的 ， 通常会用百分数(或干分数) 来表示. A C B 水平面 坡面 图2 查找相关资料，了解为什么工程师用坡度而不是坡角去衡量一个斜坡的陡峭程度，这样做有哪些好处. 议一议 对比项 坡角（角度） 坡度（比值/百分比） 物理含义 坡面与水平面的夹角 垂直高度与水平宽度的比值 数学表达 度数（°） 百分数、千分数或比例 平面图可标注性 需额外绘图或测量 可直接从水平投影读取 工程计算便利性 需三角函数转换 直接参与比例和力学公式 直观性 需角度感 每前进单位距离的上升量一目了然 做一做 选择学校的某处斜坡(如果没有斜坡可以用楼梯替代) ，然后小组合作测量其坡度. 例如，可以直接使用现代仪器测量，也可按下述步骤进行： (1)准备以下材料：一根结实的绳子(至少要2-3m) 、两根长木棍、水准泡(可自制)、铅垂线(可自制) 、长直尺、固态胶等； (2)将绳子两端分别绑在木棍上，用固态胶将水准泡粘在绳子上(轻轻粘住即可)并测量出中间绳子的长度L； (3)将一根木棍插入斜坡，利用铅垂线作为基准。调整木棍角度，使其垂直于水平面(不是垂直于斜坡)； 做一做 (4) 拉动另一根木棍到斜坡的另一点，使绳子拉直； (5) 参照水准泡，调整绳子的位置，使其与水平面平行，并固定好木棍； (6) 用长直尺分别测量两根木棍绑绳处距离地面的高度，分别记作AB和CD，如图 3 所示. A C B 斜坡 木棍乙 绳子 木棍甲 D 因此，斜坡的坡度 图3 在2004年铁路第五次提速以前，从塞外进京必须穿过八达岭隧道、走人字形铁路.这条人字形铁路就是詹天佑修建京张铁路的三项创造性成就之一，詹天佑为何要在青龙桥设计人字形铁路？ 想一想 京张铁路 由于大多数同学没法去八达岭实地测量，也很难查到八达岭坡度的一手数据，因而可借助地图软件，定位到青龙桥处，打开测距功能，测量从人字形铁路下方到八达岭隧道口(隧道口在八达岭长城发车站北侧) 的距离，可得这段距离是1.5km，如图 4 所示. 根据京张铁路坡道碑的数据，换算该人字形铁路的坡度为 ，于是经过 1.5km 后，火车上升了约45 m. 如果不走人字形铁路，用测距功能测量从起点到八达岭隧道口的直线距离，可得这段直线离是 921 m. 此时可算得坡度为 ， 远远高于当时允许的极限。 做一做 要想进入某公园，需经过 5 级高度均为 0.1 m，长为 3m 的台阶，现为方便残障人士手摇自行车进入，拟将其中的 1.2m 台阶改为斜坡，请自行查找资料了解手摇自行车的最大爬坡坡度，并根据最大爬坡坡度拿出相应的台阶改造方案. 实践 背景 张家界国家森林公园是中国第一个国家森林公 园，其地貌奇特，石峰林立，形态各异，树木茂 盛.某校组织初三学生到张家界国家森林公园开展 研学旅行，如图，同学们来到入口观测到山顶 在仰角 的地方（学生身高忽略不计），然后 水平前行了27米，到达一个岔路口 处，从这里上 山有两条路线. 课堂练习 13 实践 背景 续表 14 路线一 沿着一个坡度的斜坡步行到索道口 ，然 后乘坐一条长500米，且与水平线夹角为 的索 道 上山. 路线二 继续沿水平路线前行到山脚 ，然后乘坐山体电梯 直达山顶（山体电梯 与水平地面垂直）. 续表 15 任务 （1）山顶离水平地面的高度为多少米？ 结果精确到1米, 参考数据：， ， ，， 16 【解】如图，设过点的水平线交 于点 ，过点作于点 ，则四边形 为矩形，所以， . 设米.因为 ， 17 所以 （米）. 在 中， （米）， （米），所以 米， 米. 18 因为 米，所以 米. 因为 ， ，所以 ， 所以，所以 ， 即 ， 解得 （米）， 19 所以 （米）. 答：山顶离水平地面 的高度约为500米. （2）若师生的步行速度为50米/分，索道的运行速度为70米/ 分，山体电梯的运行速度为180米/分.张老师带领部分同学选 择路线一，李老师带领另一部分同学选择路线二，两队从 点一起出发，请问哪个队伍先到山顶？ 21 由（1）可知 米， （米）， 所以 （米）， （米）. 路线一所需时间 （分钟）， 路线二所需时间 （分钟）. 因为 ，所以选择路线一的队伍先到山顶. 答：张老师带领部分同学选择路线一先到山顶. 22 课堂小结 1. 说一说本节课的收获. 2. 你还存在哪些疑惑？ $null京张铁路1905年，清政府决定修建北京到张家口的铁路，称为京张铁路。但是俄国和英国等列强都想通过修铁路来扩大在中国的利益，最终排除外部阻挠，由中国自己修建，这个任务就落到了詹天佑身上。铁路总共分为三段，当修到第二段时，大家可以看到山路众多，难度是最大的，其中需要打通四条隧道，尤其是八达岭隧道，如果全打隧道，但是当时清政府的拨款不够，工期也紧张，根本做不到，地形也不适合建造蹒跚铁路，如果建在地面的话，怎么样可以发现落差很大，货车爬不动的见地面坡度太陡不行，建隧道难度大，预算不够还是不行，那怎么办？于是詹天佑在青龙桥这里设置一个临时站点，铁路先爬坡拐弯去青龙桥，然后再从青龙桥爬坡到8达岭。由于铁路的形状呈一个人字形，所以被称为人字形铁路。我们在旁边建一个直接上去的铁路，对比一下，可以明显看到，人字形铁路一边上一边下，降低了铁路的坡度，这就满足了火车的最低要求。但是坡度还不够，詹天佑于是设计了双火车头，再往上去青龙桥的方向上，前面的火车头拉，后面的火车头推。然后从青龙桥出发到8达岭的方向上就反过来了，火车头后面变成了前面，改为拉火车，前面变成了后面，改为推火车。这样双倍动力解决了爬坡的问题。这样的设计可以让铁路修到8达岭后，再进行打通隧道穿过去，而不是打通整个八达岭，从而缩短了709米的隧道长度，也降低了工程难度，预算和工期的问题得以解决。但是有个弊端，那就是下坡的时候由于落差大，容易停不下来。所以詹天佑在铁路上设置了很多的保险岔路。岔路铁路是上升的坡度，并且有适度的长度，这样停不下来的火车可以冲进岔路，就可以停下来了。如此解决了最难的路段，铁路才得以修建完成。京张铁路也成为了我国第一条自己设计并建造的铁路。